第十四章 整式的乘法与因式分解复习课件(共38张PPT)

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名称 第十四章 整式的乘法与因式分解复习课件(共38张PPT)
格式 ppt
文件大小 1.0MB
资源类型 教案
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2020-12-30 08:16:22

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文档简介

第14章
整式的乘除与因式分解
复习与小结
本章知识结构:
一、整式的有关概念
1、代数式 2、单项式 3、单项式的系数及次数
4、多项式 5、多项式的项、次数 6、整式
二、整式的运算
(一)整式的加减法
去括号,合并同类项
1、单项式除以单项式
2、多项式除以单项式
(三)整式的除法
1、同底数幂的乘法 2、幂的乘方
3、积的乘方 4、同底数的幂相除
5、单项式乘以单项式 6、单项式乘以多项式
7、多项式乘以多项式 8、平方差公式
9、完全平方公式
(二)整式的乘法
一、整式的有关概念
1、单项式:
数与字母乘积,这样的代数式叫单项式。单独的一个数或字母也是单项式。
2、单项式的系数:
单项式中的数字因数。
3、单项式的次数:
单项式中所有的字母的指数和。
4、多项式:几个单项式的和叫多项式。
5、多项式的项及次数:组成多项式中的单项式叫多项式的项,多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。特别注意,多项式的次数不是组成多项式的所有字母指数和!!!
6、整式:单项式与多项式统称整式。(分母含有字母的代数式不是整式)
二、整式的运算
(一)整式的加减法
基本步骤:去括号,合并同类项。
1、同底数幂的乘法
法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
数学符号表示:
(其中m、n为正整数)
(二)整式的乘法
练习:判断下列各式是否正确。
2、幂的乘方
法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘。
数学符号表示:
(其中m、n为正整数)
练习:判断下列各式是否正确。
(其中m、n、P为正整数)
3、积的乘方
法则:积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘。
符号表示:
练习:计算下列各式。
4.单项式与单项式相乘的法则:
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
法则: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
(a+b)( m+n)=am+an+bm+bn
( a+b)(m+n) =

a(m+n)+b(m+n
a(m+n)+b(m+n)
5 .多项式与多项式相乘:
=am+an+bm+bn
(1)、平方差公式
即两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差。这个公式叫(乘法的)平方差公式
说明:平方差公式是根据多项式乘以多项式得到的,它是两个数的和与同样的两个数的差的积的形式。
6.乘法公式:
一般的,我们有:
1、 205×195
2、 (3x+2) (3x-2)
3、(-x+2y) (-x-2y)
4 、
(x+y+z)(x+y-z)
(2)、完全平方公式
法则:两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。
一般的,我们有:
注意:
(1)(a-b)=-(b-a)
(2 )(a-b)2=(b-a)2
(3) (-a-b)2=(a+b)2
(4) (a-b)3=-(b-a)3
7.添括号的法则:
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都要改变符号。
(1)、同底数幂的除法
即:同底数幂相除,底数不变,指数相减。
一般地,我们有
(其中a≠0,m、n为正整数,并且m>n )
8.整式的除法:
即任何不等于0的数的0次幂都等于1
(2)、单项式除以单项式
法则:单项式除以单项式,把它们的系数、同底数幂分别相除作为商的一个因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
(3)、多项式除以单项式
法则:多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加。
练习
练习:计算下列各题。
分解因式
定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式,象这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解或分解因式。
与整式乘法的关系:
互为逆过程,互逆关系
方法
提公因式法
公式法
步骤
一提:提公因式
二用:运用公式
三查:检查因式分解的结果是否正确 (彻底性)
平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2
(1).公因式:一个多项式的各项都含有的公共的因式,叫做这个多项式各项的公因式
(2)找公因式:找各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积。
(3).提公因式法:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,作为多项式的一个因式,然后用原多项式的每一项除以这个公因式,所得的商作为另一个因式,将多项式写成因式乘积的形式,这种因式分解 的方法提公因式法。
知识点1 因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的
形式,这种变形叫做把这个多项式因式
分解,也叫做把这个多项式分解因式 。
X2-1 (X+1)(X-1)
因式分解
整式乘法
知识点2 提公因式法
多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公
共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式
的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+
mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中
一个因式是各项的公因式m,另一个因式
(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,像
这种分解因式的方法叫做提公因式法.
例如:x2 – x = x(x-1),
8a2b-4ab+2a = 2a(4ab-2b+1)
x
2a
探究交流
下列变形是否是因式分解?为什么?
(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x);
(2)x2-2x+3=(x-1)2+2;
(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1);
(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.
提公因式错误,可以用整式乘法检验其真伪.
不满足因式分解的含义
因式分解是恒等变形而本题不恒等.
是整式乘法.
典例剖析
例1 用提公因式法将下列各式因式分解.
(1)-x3z+x4y;(2)3x(a-b)+2y(b-a)
解:(1)-x3z+x4y=x3(-z+xy).
(2)3x(a-b)+2y(b-a)
=3x(a-b)-2y(a-b)
=(a-b)(3x-2y)
x3
+ (b-a)
- (a-b)
(a-b)
小结 运用提公因式法分解因式时,要注意下列问题:
(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项
要合并,而且每个括号内不能再分解.
如:(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)
=(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)]
=(x+y)(4m-6n).
=2(x+y)(2m-3n).
(2)如果出现像(2)小题需统一时,首先
统一,尽可能使统一的个数少,这时注意到
(a-b)n=(b-a)n(n为偶数)
例如:分解因式a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2.
本题既可以把(x-y)统一成(y-x),也可以把(y-x)
统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简
便,因为(x-y)2=(y-x)2.
a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2
=(y-x)2[a+b(y-x)+c] =(y-x)2(a+by-bx+c).
(3)因式分解最后如果有同底数幂,要写成
幂的形式.
例如:(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)
=(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)]
=(a-2b)(8a-16b)
=8(a-2b)(a-2b) =8(a-2b)2.
做一做
把下列各式分解因式.
(1)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b);

(2)4p(1-q)3+2(q-1)2;
2(2a+b)2
2(1-q)2(2p-2pq+1)
或2(q-1)2(2p-2pq+1)
(2)完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2其中,a2±2ab+b2叫做完全平方式.
例如:4x2-12xy+9y2
=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.
知识点3 公式法
(1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).
例如:4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).
探究交流
下列变形是否正确?为什么?
(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y);
(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2;
(3)x2-2x-1=(x-1)2.
目前在有理数范围内不能再分解.
不是完全平方式,不能进行分解
不是完全平方式,不能进行分解
例2 把下列各式分解因式.
(1)(a+b)2-4a2 ; (2)1-10x+25x2;
(3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2
做一做
把下列各式分解因式.
(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1;
(2)(x+y)2-4(x+y-1).
(1)(x2 +3)2
(2)(x+y-2)2
(2)1-10x+25x2
(3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
=(a+b+2a)(a+b-2a)
=(3a+b)(b-a)
=(1-5x)2
=1-10x+(5x)2
4a2
(2a)2
+2a
-2a
25x2
(5x)2
综合运用
例3 分解因式.
(1)x3-2x2+x;(2)x2(x-y)+y2(y-x)
解:(1)x3-2x2+x
=x(x2-2x+1)
=x(x-1)2
(2)x2(x-y)+y2(y-x)
x
=x2(x-y)-y2(x-y)
=(x-y)(x+y)(x-y)
=(x+y)(x-y)2
=(x-y)(x2-y2)
小结 解因式分解题时,首先考虑
是否有公因式,如果有,先提公因式;
如果没有公因式是两项,则考虑能否用
平方差公式分解因式. 是三项式考虑用
完全平方式,最后,直到每一个因式都
不能再分解为止.
探索与创新题
例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式,则k= —
分析:完全平方式是形如:a2±2ab+b2即两数
的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2
∴±kxy=2·3x·6y=36xy
∴k=±36
做一做
若x2+(k+3)x+9是完全平方式,则k=___
k=3或k=-9
思考题 分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10
分析:把x4+x2作为一个整体,用一个
新字母代替,从而简化式子的结构.
解:令x4+x2=m,则原式可化为
(m-4)(m+3)+10
=m2-m-12+10
=m2-m-2
=(m-2)(m+1)
=(x4+x2-2)(x4+x2+1)
=(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)
=(x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1)
1、利用因式分解计算:
(1)
(2)(1- )(1- )(1- )…(1- )
(3)20042-4008×2005+20052
(4)9.92-9.9×0.2+0.01
2、若a、b、c为△ABC的三边,且满足
a2+b2+c2=ab+ac+bc,试判断△ABC的形状。
(2)
3.分解因式:
(1).
(3)
(4)
计算:1、(3a2b3)2·(- 2ab3c)2
2、x(x-1)-2x(-x+1)-3x(2x-5)
3 、先化简,再求值:
(3a+1)(2a-3)-6(a+2)(a-1),其中a=-3
解:原式=(9a4b6) (4a2b6c2)
=(9×4)(a4·a2) (b6·b6) ·c2
=36a6b12c2
1.将多项式am+an+bm+bn 分解因式