人教版八年级下册18.1.2 第3课时 三角形的中位线 课件(共22张PPT)

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18.1.2 平行四边形判定
第3课时 三角形的中位线
第十八章 平行四边形
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质.
2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
学习重点：掌握和运用三角形中位线的性质．
学习难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）.
复习引入
回顾与思考
在三角形中，连接一个 和它的 的 叫做三角形的中线.
顶点
对边中点
线段
1、什么叫三角形的中线？有几条？
2、三角形的中线有哪些性质？
A
B
C
F
E
D
①三角形的每一条中线把三角形的面积平分.
②三角形的中线相交于同一点.
那么，链接DE，DE是三角形的什么线呢？
顶点
顶点
中点
中点
讲授新课
三角形的中位线定理

问题1：一个三角形有几条中位线？
D
E
F
三条
问题2：三角形中位线与三角形中线有什么区别？
D
E
D
端点不同
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线
三角形中线

问题3：如图，DE是△ABC的中位线，DE与BC有怎样的关系？
D
E
两条线段的关系
位置关系
数量关系
分析：
DE与BC的关系
猜想：
DE∥BC
？

问题4：度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论．
猜想：
三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
D
E
问题5：如何证明你的猜想？
证一证
已知：已知，如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点. 求证：DE∥BC， ．
证明：
D
E
延长DE到F，使EF=DE．
连接AF、CF、DC ．
∵AE=EC，DE=EF ，
∴四边形ADCF是平行四边形．
F
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴CF AD ．
∴CF BD ．
∴DF BC ．
又 ，
∴ DE∥BC， ．
D
E
证明：
延长DE到F，使EF=DE．
F
∴四边形BCFD是平行四边形．
∴△ADE≌△CFE．
∴∠ADE=∠F
连接FC．
∵∠AED=∠CEF，AE=CE，
证法2：
，AD CF．
∴BD CF．
又 ，
∴DF BC ．
∴ DE∥BC， ．
三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
知识要点
三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
D
E
△ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点，
则DE∥BC，DE= BC．
三角形中位线定理：
符号语言：
练一练
1.如图，在△ABC中，DE是中位线.
（1）若∠ADE=60°，则∠B= .
（2）若BC=8cm，则DE= cm.
A
B
C
D
E
（3）已知三角形三边分别为4、6、8，则连接该三角形各边中点所得的三角形的周长是 .
60°
4
9
练一练
2. 如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，
连接AC和BC，怎样量出A、B两点间的距离？
根据是什么？
分别画出AC、BC中点M、N，
量出M、N两点间距离，则AB=2MN.
N
M
根据是三角形中位线定理．
重要发现
A
B
C
D
E
F
①中位线DE、EF、DF把△ABC
分成四个全等的三角形；有三
组共边的平行四边形，它们是
四边形ADFE和BDEF，四边形
BFED和CFDE，四边形ADFE
和DFCE.
②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.
三角形的中位线的综合运用
例1 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
A
B
C
H
D
E
F
G
四边形问题
连接对角线
三角形问题
（三角形中位线定理）
证明:连接AC.
∵E,F,G,H分别为各边的中点,
∴ EF∥HG, EF=HG.
∴EF∥AC,
HG∥AC,
∴四边形EFGH是平行四边形.
顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.
归纳
A
B
C
H
D
E
F
G
例2（1）在△ABC中，BD、CE分别是边AC，AB上的中线，BD、CE相交于点O，H点M、N分别是OB、OC的中点，试猜想四边形DEMN是什么四边形？请加以证明.
解：四边形DEMN是平行四边形.
理由如下：
∵DE是△ABC的中位线
∴DE//BC，DE= BC.
∵MN是△OBC的中位线
∴MN//BC，MN= BC.
∴四边形DEMN是平行四边形.
例3 如图,在四边形ABCD中,AD=BC，E,F分别是边AB,CD的中点，G为对角线BD的中点.
求证:△EFG是等腰三角形.
D
C
B
G
A
F
E
证明：在△ABD中
∵E,G分别是边AB,BD的中点，
∴EG= AD，
∴同理FG= BC；
又∵AD=BC，
∴EG=FG，∴△EFG是等腰三角形.
当堂练习
1.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，BC=10cm，则DE=______.
A
E
D
C
B
(1)
B
D
A
E
C
(2)
2. △ABC中,D、E分别是AB、AC的中点，∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=_____.
5cm
60°
3. 如图：如果AD= AC，AE= AB，DE=2cm，
那么BC= cm.
A
B
D
C
E
4.在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、 BD、 AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是 .
A
B
D
C
E
F
G
H
H
G
8
11
第2题图
第3题图
5.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD=12，AC=16，E，F分别为AB，CD的中点，求EF的长．
解：取BC边的中点G，连接EG、FG．
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，
又BD=12，AC=16，AC⊥BD，
∴EG=8，FG=6，EG⊥FG，
∴在直角△EGF中，由用勾股定理，得
∴EG∥AC,
FG∥BD,
G
6.如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,CD,AC,BD的中点.
求证:四边形EGFH是平行四边形.
D
C
B
G
A
F
H
E
证明：∵四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，∴FG∥AD，HE∥AD，FH∥CB，GE∥BC，
∴GE∥FH，GF∥EH（平行于同一条直线的两直线平行）；
∴四边形GFHE是平行四边形；
课堂小结
三角形的中位线
三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半
三角形的中位线定理
三角形的中位线定理的应用
课后作业