18.2.1矩形的性质 课件(共25张PPT)

§18.2 .1特殊的平行四边形
——矩形
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
A
B
C
D
四边形ABCD
如果
AB∥CD AD∥BC
B
D
ABCD
A
C
平行四边形的性质：
边
平行四边形的对边平行且相等
角
平行四边形的对角相等；
对角线
平行四边形的对角线互相平分；
温故知新
平行四边形的判定：
边
两组对边分别平行的四边形；
两组对边分别相等的四边形；
角
两组对角分别相等的四边形；
对角线
对角线互相平分的四边形；
一组对边平行且相等的四边形；
平行四边形的判定定理：
细心观察
细心观察平行四边形内角的变化
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
矩形的定义：
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形
探索新知
具备平行四边形所有的性质
A
B
C
D
O
矩形的一般性质：
边
矩形的对边平行且相等
角
矩形的对角相等；
对角线
矩形的对角线互相平分；
新知再探:
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
猜想1：矩形的四个角都是直角．
A
B
C
D
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠A=90°
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
A
B
C
D
证明： ∵四边形ABCD是矩形
∴ ∠A=90°
又 矩形ABCD是平行四边形
∴ ∠A=∠C ∠B = ∠D
∠A +∠B = 180°
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
即矩形的四个角都是直角
新知再探:
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
猜想2：矩形的对角线相等．
A
B
C
D
已知：如图,四边形ABCD是矩形
求证：AC = BD
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB
∴AC = BD
即矩形的对角线相等
求证:矩形的对角线相等
∴△ABC △DCB
矩形特殊的性质
矩形的四个角都是直角．
矩形的两条对角线相等．
从角上看：
从对角线上看：
矩形的对角线相等且互相平分
矩形的对边平行且相等
矩形的四个角都是直角
边
对角线
角
数学语言表达
∵四边形ABCD是矩形
AD ∥BC ，CD ∥AB
AD = BC ，CD = AB

A
B
C
D
O
归纳：矩形的性质
如右图：已知四边形ABCD是矩形
∴
根据矩形的性质我们会发现图中现在有很多的直角三角形和等腰三角形，如:Rt△ABC
等腰三角形AOB
想一想：
1、下列说法错误的是 （ ）
A、矩形的对角线互相平分
B、有一个角是直角的四边形是矩形
C、矩形的对角线相等
D、矩形的对边平行且相等
B
2、矩形是轴对称图像吗？它的对称轴有几条？
结论：
矩形是轴对称图形，它有2条对称轴，对称轴是对边中点所在直线
A
O
D
C
B
直角三角形的性质:
直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半.
即兴练一练:
已知一直角三角形两直角边分别为6和8,则其
斜边上的中线长为________.
5
再探新知
由矩形的对角线相等且互相平分可得：
1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
B.对边相等
A.对角相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
C
新知应用
2、已知:四边形ABCD是矩形,AB=8㎝，AD=6㎝，则AC＝_______ ㎝，OB=_______ ㎝
O
D
C
B
A
5
10
例1：已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AC=8
求（1）BC的长，（2）矩形的周长和面积
解：
（1）在矩形ABCD中，OA=OB
A
B
O
C
D
∵ ∠AOD=120°
∴ ∠AOB=60°
∴ △AOB为等边三角形
∴AB=OA= AC=4
在Rt△ABC中，
BC=
=
=
（2）矩形ABCD的周长=2（BC+AB）=
矩形ABCD的面积=
方法小结:
如果矩形两对角线的夹角是60°或120°, 则其中必有等边三角形.
例题讲解
练习: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线AC、BD的长？
∴AC与BD相等且互相平分
∴ OA=OB
∵ ∠AOB=60°
∴ △AOB是等边三角形
∴ OA=AB=4(㎝)
∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)
解：∵ 四边形ABCD是矩形
D
C
B
A
o
例2：如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=4，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C'处，BC'交AD于点E，则线段DE的长为多少？
解：∵四边形ABCD为矩形
∴AD∥BC,AB=DC=4,AD=BC=8
∴∠EDB=∠DBC
由题意得：∠EBD=∠DBC
∴∠EDB=∠EBD
∴BE=ED
设：BE=x=ED,AE=AD-ED=8-x
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
BE2=AB2+AE2
即x2=42+（8﹣x）2
解得：x=5
∴ED=5
练习：在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为多少？
解：设CE=x
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°
∵△BCE沿BE折叠，且点C恰好落
在AD边上的点F处
∴BF=BC=5，EF=CE=x，
DE=CD﹣CE=3﹣x
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AF2=BF2﹣AB2=16，
∴AF=4
∴ DF=AD﹣AF=1．
在Rt△DEF中，
由勾股定理得：
EF2=DE2+DF2，
即x2=（3﹣x）2+12，
解得：x=
∴CE=
1.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为______．
分析：
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，
M是AD的中点
∴OM= CD= AB=2.5
∵AB=5， AD=12
∴AC=
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点
∴BO= AC=6.5
∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO
+OM=5+6+6.5+2.5=20
巩固提高
20
2.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F．若AB=6，BC=4 ，则FD的长为（　　）
B
3、如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E．若∠DAE=3∠BAE，则∠EAO的度数为多少？
解：∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，OA=OC= AC，
BO=DO= BD，∠BAD=90°
∴OA=OB
∵∠DAE=3∠BAE
∴∠DAE=67.5°，∠BAE=22.5°
∵AE⊥BD
∴∠AEB=90°
∴∠ABO=90°-22.5°=67.5°
∵OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=67.5°
∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=67.5°-22.5°=45°
如图，在一张长为7cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为多少?
发散思维
（2）当AE=EF=4时
（3）当AE=EF=4时
（1）当AE=AF=4时
4、在矩形中进行有关计算或证明，常根据矩形的性质将问题转化到直角三角形或等腰三角形中，利用直角三角形或等腰三角形的有关性质进行解题。
3、直角三角形的一个重要性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
1、矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形
矩形的对边平行且相等
矩形的四个角均为直角
矩形的对角线相等且互相平分
2、矩形的性质
课堂小结
作业：
数学作业本P24
谢谢！