(共19张PPT)
§27.2.1相似三角形的判定
（第2课时）
1.定义法:两三角形对应角相等，对应边的比相等的
两个三角形相似
一、如何判断两三角形是否相似?
∵
DE∥BC
∴
△
ADE
∽
△
ABC
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
2.平行法:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两
边的延长线）相交，所构成的三角形与原
三角形相似。
A型
X型
猜想？
有没有其他简单的办法判断两个三角形相似呢？
二、
三角形全等有哪几种简单的判
定方法呢？
SSS、SAS
、ASA(AAS)、HL
A
B
C
C’
B’
A’
三组对应
边的比相等
是否有△
∽△
？
探究2
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同桌交流一下，看看是否有同样的结论。
求证:
△
∽△
A
B
C
D
E
∴
又
∴
同理
∴
∴
∥
∽
∽
∴
∽
∽
A
B
C
（SSS）判定定理：如果两个三角形的三组对
应边的比相等,那么这两个三角形相似.
简单地说:三组对应边比相等的两三角形相似.
∽
例1：
∴
∵
∴
∽
解：
类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能不能通过两边及其夹角来判定两个三角形相似呢？
猜想？
改变k和∠A的值的大小,是否有同样的结论？
探究3
事实上我们经过探究发现有两边及其夹角判定两个三角形相似的结论
如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。(SAS)
求证:
△
∽△
A
B
C
D
E
∴
又
∴
∴
∴
∥
∽
∽
∴
∽
∽
(SAS)判定定理：如果两个三角形的两组
对应边的比相等，并且相应的夹角相
等，那么这两个三角形相似。
A
B
C
∽
解
∵
AB/A’B’=7/3
AC/A’C’=14/6=7/3
∴
AB/A’B’=
AC/A’C’
又
∠A＝
∠A’＝60°
∴
△ABC∽△A`B`C`
AB=7，
AC=14，
∠A＝60°
A’B’＝3，A’C’＝6，
∠A’＝
60°
AB=7，
AC=14，
∠A＝60°
A’B’＝6，A’C’＝3，
∠A’＝
60°
例2：根据下列条件，判断△ABC和△A’B’C’
是否相似，并说明理由。
变式
例3.
右图中的两个三角形相似吗？理由是什么？
练习：
1.
2.图中两个三角形是否相似？
6
3
10
5
C
A
B
E
E
2
6
9
3
4
14
相似
不相似
相似
不相似
要制作两个形状相同的三角形框架，其中一
个三角形框架的三边长分别为4，6，8。另一个三角形框架的一边长为2，它的别外两条边长应当是多少？你有几种答案？
3.
提示：三种选法，分别使另一个三角形的长
为2的边与长为4，6，8的边对应。
2:4=x:6=y:8
x:4=2:6=y:8
x:4=y:6=2:8
相似三角形的判定方法有几种？
小结：
1、定义判定法
3、边边边判定法（SSS）
4、边角边判定法（SAS）
2、平行判定法
比较复杂，烦琐
只能在特定的图形里面使用
作业：
P54页
习题27.2
第2题（1，2），第3题.(共22张PPT)
问题引入：
观察两副三角尺，其中同样角度（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的。一般地，如果两个三角形有两组对应角相等，它们一定相似吗？
探究：
作△ABC
和△DEF，使得∠A=∠D,
∠B=
∠E，这时它们的第三个角满足∠C=
∠F吗？分别度量这两个三角形的边长，计算
，你有什么发现？
把你的结果与邻座的同学比较，你们的结论一样吗？
△ABC
和△DEF相似吗？
猜想：
请你证明：
问题：如图⊿ABC和⊿A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，试猜想△ABC和△A′B′C′是否相似？并证明你的猜想成立。
B
A
C
A′
B′
C′
D
E
证明：在AB上截取A′D=AB，画DE∥B′C′交A′C′与点E，
则：△A′DE∽△A′B′C′，∠A′DE=∠B′，
∵∠B=∠B′
∴∠B=∠A′DE
∵A′D=AB，
∠A=∠A′
∴△ABC≌△A′DE
∴△ABC∽△A′B′C′
C
A
A'
B
B'
C'
∵
∠A=∠A'，
∠B=∠B'
∴
ΔABC
∽
ΔA'B'C'
用数学符号表示：
判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
A
B
C
A’
B’
C’
基础演练
1、下列图形中两个三角形是否相似？
A
B
C
D
E
A
B
C
A’
C’
B’
A
B
C
D
E
(1)
(2)
(3)
(4)
例2
如图,弦AB和CD相交于OO内一点P,
求证:PA
?
PB
=
PC?PD
?
O
?
D
P
C
B
A
证明:连接AC，DB.
∵∠A和∠D都是弧CB
所对的圆周角，
∴
∠A=
∠D.
同理
∠C=
∠B.
∴
△PAC∽
△PDB.
即PA·PB=PC·PD.
引申１：如果弦AB和CD相交于圆O外一点P，结论还成立吗？
引申２：上题中Ａ，Ｂ重合为一点时，又会有什么结论？
思考：对于两个直角三角形，我们可以利用“HL”判定它们全等.那么,满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗?
已知:在Rt
△ABC和Rt
△A'B'C'
中，
∠C=90°，
∠
C'=90
°，
求证:Rt
△ABC∽Rt
△A'B'C'.
证明:
由勾股定理，得
∴Rt
△ABC∽Rt
△A'B'C'.
A
B
C
A′
B′
C′
1、已知如图直线BE、DC交于A
，
∠E=
∠C
求证：DA·AC=AB·AE
D
E
A
B
C
证明：
∵
∠E=∠C
∠DAE=∠BAC
∴
△ABC
∽
△ADE
∴
AC
:AE=AB
:AD
∴
DA
·
AC=AB
·
AE
2、判断题：
⑴
所有的直角三角形都相似
.
（
）
⑵
所有的等边三角形都相似.
（
）
⑶
所有的等腰直角三角形都相似.
（
）
⑷
有一个角相等的两等腰三角形相似
.
（
）
×
√
√
×
顶角相等
底角相等
顶角与底角相等
基础演练
B
C
A
A'
B'
C'
第一种情况
∴
ΔABC
∽
ΔA'B'C'
顶角相等
B
C
A
A'
B'
C'
第二种情况
∴
ΔABC
∽
ΔA'B'C'
底角相等
第三种情况
A
B
C
A'
B'
C'
两三角形不相似
顶角与底角相等
例1、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
A
D
B
C
已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。
证明:
∵
∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900，
∴
ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两
三角形相似）。
同理
ΔCBD
∽
ΔABC
。
∴
ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。
求证：
ΔABC
ΔACD
∽
ΔCBD
。
∽
求证（2）AC2=AD
·
AB
CD2=AD
·
DB
D
B
C
A
3、如图：在Rt
△
ABC中，
∠ABC=900，BD⊥AC于D
若
AB=6
AD=2
则AC=
BD=
BC=
18
4
√2
12√2
2.如图直线BE、DC交于A,
AD·AC=AE·BA，
求证：∠E=∠C
E
D
B
C
A
A
B
C
E
D
将△DAE绕A点旋转
如何证明∠DEA＝∠C？
E
A
B
D
C
解：
∵
∠
A=
∠
A
∠ABD=∠C
∴
△ABD
∽
△ACB
∴
AB
:
AC=AD
:
AB
∴
AB2
=
AD
·
AC
∵
AD=2
AC=8
∴
AB
=4
3.已知如图，
∠ABD=∠C
AD=2
，
AC=8，求AB
A
B
C
D
A
B
D
C
A
B
D
C
4、如图：在Rt
△
ABC中，
∠ABC=900，BD⊥AC于D
问：图中有几个直角三角形？它们相似吗？为什么？
解：
图中有三个直角三角形，分别是：
△
ABC、
△
ADB、
△
BDC
△
ABC
∽
△
ADB
∽
△
BDC
A
B
C
D
E
1
已知DE
∥BC
且∠1=∠B
，则图中共有
对相似三角形。
∵
DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∵
∠1=∠B
，∠A=∠A
∴△ACD∽△ABC
∴△ADE
∽△ACD
∵
DE∥BC
∵
∠EDC=∠DCB，
又∵
∠1=∠B
∴△DEC∽△CDB
4
三角形相似的识别方法有那些？
方法1：通过定义
方法5：通过两角对应相等。
课
堂
小
结
方法6：斜边直角边对应成比例
方法2：平行于三角形一边的直线。
方法3：三边对应成比例。
方法4：两边对应成比例且夹角。
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
2
1
O
C
B
A
D
O
C
D
A
B
A
B
C
D
E
基本图形的形成、变化及发展过程：
∽
平行型
斜交型
.
.
.
.
.
.
旋转
平移
垂直型
特殊
特殊
平移
