27.2.2 相似三角形的性质 课件(共21张PPT)

第二十七章 相似
三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素?
高
中线
角平分线
周长
面积
如果两个三角形相似，那
么，对应的这些要素
有什么关系呢？
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' ，
解：如图，分别作出 △ABC 和△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∴△ABD ∽△A' B' D' .
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
∴
结论: 两个相似三角形对应高的比等于相似比.
试一试：请仿照上述方法猜想并证明两个相似三角形对应中线、对应角平分线的性质.
归纳：
类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.
一般地，我们有：相似三角形对应线段的比等于相似比.
全等三角形的周长有何种关系？若相似三角形相似比为k,请你猜想：它们的周长的比与相似比有何关系？请结合图形进行说明，并描述你的结论.
A
B
C
如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么
因此
AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
从而
结论2：相似三角形周长的比等于相似比.
如果相似三角形的相似比为k,请你猜想：它们的面积的比与相似比有何关系？
由前面的结论，我们有
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
结论3：相似三角形面积的比等于相似比的平方.
例 如图，在△ABC 和△DEF 中， AB=2DE ，AC=2DF，∠A=
∠D．若△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为　　 ,求△DEF 的边 EF 上的高和面积．
B
A
C
D
E
F
∵△ABC 的边BC上的高是 6，面积是 　 ，
∴△DEF 的边EF上的高为　×6=3，
面积为
解：在△ABC 和△DEF 中，
∵AB=2DE，AC=2DF，
∴　 　　　　
又 ∠D=∠A ，
∴△DEF∽△ABC ，
△DEF 与△ABC 的相似比为　 ．
练习
1.判断题（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）一个三角形各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍；（ ）
（2）一个三角形各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍.（ ）
√
×
2.在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2 cm变成了6 cm，放缩比例是多少？这个三角形的面积发生了什么变化？
解：放缩比例是300%, 面积扩大为原来的9倍.
3. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和△EFC 的面积分别为4和9，求△ABC的面积.
A
B
C
D
F
E
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴ △ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
∴△ADE ∽△EFC.
又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9，
∴ AE : EC=2:3，
则 AE : AC =2 : 5，
∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25.
4. 如图，这是圆桌正上方的灯泡 (点A) 发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米，则地面上阴影部分的面积约为多少 (结果保留两位小数)？
A
D
E
F
C
B
H
解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米，
桌面的直径为 1.2 米，
∴ AF = AH－FH = 2 (米)，
DF = 1.2÷2 = 0.6 (米).
∵DF∥CH，
∴△ADF ∽△ACH，
∴ 即
解得 CH = 0.9米.
∴ 阴影部分的面积为：
答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米.
(平方米).
A
D
E
F
C
B
H
拓展
例 如图，在△ABC中， BA= BC=20 cm，AC=30 cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4 cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3 cm的速度向A点运动，设运动时间为x 秒.
⑴当x为何值时，PQ∥BC?
⑵如果△ABC与以点A,P,Q为顶点的三角形
相似，试求出它们的面积比.
解：（1）由题意可知AP=4x,AQ=30- 3x.
因为 PQ∥BC，
所以

即

解得
?
?
?
（2）当PQ∥BC时， ∽
由（1）可知
面积比为
当 ∠APQ= ∠ACB时, ∽
由
面积比为
课堂小结
回顾思考:相似三角形有哪些性质？
1.从边的角度看：对应边的比等于相似比.
2.从角的角度看：对应角相等.
3.从对应线段的角度看：对应高、对应中线 、对应角平分线的比都等于相似比.
4.从周长和面积的角度看：对应周长的比等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方.