(共21张PPT)
如图,长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8
000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5
元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
·
长青化工厂
公路10千米
列方程组解决较复杂的实际问题
例1
分析：销售款与产品数量有关，原料费与原材料有关.设制成x吨产品，购买y吨原料.根据题意填写下表：
1.5×
20x
1.2×
110x
8
000x
1.5×
10y
1.2×
120y
1
000y
15
000
97
200
价
值（元）
铁路运费（元）
公路运费（元）
合
计
原料y吨
产品x吨
解:根据图表，列出方程组
解方程组得
x=300，
y=400.
8000x-1000y-15
000-97
200
=8000×300-1
000×400-15
000-97
200
=1
887
800（元）
这批产品的销售款比原料费与运输费的和多
1
887
800元.
1.5
×
20x+
1.5×10y=15
000，
1.2
×
110x+
1.2×120y=97
200.
实际问题
设未知数、找等量关系、列方程（组）
数学问题
[方程(组)]
解方程（组）
数学问题的解
双检验
实际问题的答案
练一练：一批货物要运往某地，货主准备用汽车运输公司的甲乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表(两次两种货车都满载)：
第一次
第二次
甲种货车的车辆数（辆）
2
5
乙种货车的车辆数（辆）
3
6
累计运货吨数（吨）
15.5
35
现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，你能算出货主应付运费多少元吗？
解:设甲、乙两种货车每辆每次分别运货x吨、y吨，
解得
x=4，
y=2.5.
2x+
3y=15.5，
5x+
6y=35.
第一次
第二次
甲种货车的车辆数（辆）
2
5
乙种货车的车辆数（辆）
3
6
累计运货吨数（吨）
15.5
35
总运费为：
30×(3x+
5y)=30×(3×4+
5×2.5)=735(元).
某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：
作物品种
每公顷所需人数
每公顷投入资金/万元
蔬菜
5
1.5
荞麦
4
1
在现有情况下,这18位农民应承包多少公顷田地,怎样安排种植才能使所有人都参与种植,且资金正好够用？
例2
作物品种
种植面积/公顷
需要人数
投入资金/万元
蔬菜
x
5x
1.5x
荞麦
y
4y
y
合计
-----
18
5
将题中出现的量在表格中呈现
解：设蔬菜种植x
公顷,荞麦种植y
公顷.
根据题意可列出方程组：
解方程组，得：
承包田地的面积为：
x+y=4
公顷
人员安排为为：
5x=5×2=10(人)；4y=4×2=8(人)
这18位农民应承包4公顷田地，种植蔬菜和荞麦各2公顷，并安排10人种植蔬菜，8人种植荞麦，这样能使所有人都参与种植且资金正好够用.
练一练：北京和上海都有某种仪器可供外地使用,其中北京可提供10台，上海可提供4台.已知重庆需要8台，
武汉需要6台，从北京、上海将仪器运往重庆、武汉
的费用如下表所示.有关部门计划用8000元运送这
些仪器，请你设计一种方案，使武汉、重庆能得到
所需仪器，而且运费正好够用.
运费表
单位：（元
/
台）
终点
起点
武汉
重庆
北京
400
800
上海
300
500
解:设从北京运往武汉x台，则运往重庆(10-x)台，
设从上海运往武汉y台，则运往重庆(4-y)台，
解方程组得
x=4，
y=2.
x+
y=6，
400x+
300y+800(10-x)+
500(4-y)=8000.
运费表
单位：（元
/
台）
终点
起点
武汉
重庆
北京
400
800
上海
300
500
从北京运往武汉4台，运往重庆6台，从上海运往武汉2台，运往重庆2台.
某车间有22名工人，每人每天可以生产1
200个螺钉或2
000个螺母.
1个螺钉需要配
2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应各安排多少名工人生产螺钉和螺母？
分析：
将题中出现的量在表格中呈现
产品类型
所需人数
生产总量
螺钉
x
螺母
y
螺母总产量是螺钉的2倍
人数和为22人
1200x
2000y
例3
解：设生产螺钉的x人，生产螺母的y人.
依题意，可列方程组：
解方程组，得
设生产螺钉的10人，生产螺母的12人.
解决配套问题要弄清：
（1）每套产品中各部分的比例；
（2）生产各部分的工人数之和=工人总数.
1.某食品厂要配制含蛋白质15％的食品100kg，现
在有含蛋白质分别为20％，12％的两种配料.用
这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可
以的话，它们各需多少千克？
解：设需含蛋白质为20%、12%的配料分别为xkg、ykg,
根据题意列出方程组得
解得
需含蛋白质为20%、12%的配料分别为37.5kg、62.5kg.
2.一个工厂共42名工人,每个工人平均每小时生产圆形
铁片120片或长方形铁片80片.已知两片圆形铁片与
一片长方形铁片可以组成一个圆柱形密封的铁桶.你
认为如何安排工人的生产,才能使每天生产的铁片正
好配套?
解：设生产圆形铁片的工人x人，生产长方形铁片的工人y人，根据题意列出方程组得
解得
生产圆形铁片的工人24人，生产长方形铁片的工人18人.
3.某工地挖掘机的台数和装卸机的台数之和为21，如
果每台挖掘机每天平均挖土750m3，每台装卸机每
天平均运土300m3，正好能使挖出的土及时运走，
问挖掘机有多少台？装卸机有多少台？
解：设挖掘机x台，装卸机y台.根据题意列出方程组得
解得
挖掘机有6台，装卸机有15台.
4.李大叔销售牛肉干，已知甲客户购买了12包五香味
的和10包原味的共花了146元，乙客户购买了6包五
香味的和8包原味的共花了88元.
（1）现在老师带了200元，能否买到10包五香味牛肉
干和20包原味牛肉干？
解：设五香味每包x元，原味每包y元.
依题意，可列方程组：
解方程组，得
所以老师带200元能买到所需牛肉干.
解：设刚好买五香味x包，原味y包.
（2）现在老师想刚好用完这200元钱，你能想出哪些
牛肉干的包数组合形式？
因为x，y为非负整数
1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因
此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些
问题.
3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种
多样的，应根据具体问题灵活选用.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
2.这种处理问题的过程可以进一步概括为：(共38张PPT)
探究1
养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天约用饲料675
kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约用饲料940
kg.饲养员李大叔估计每只大牛1天约需饲料18到20
kg，每只小牛1天约需饲料7到8
kg.你认为李大叔估计的准确吗？
列方程组解决简单实际问题
1
问题1
题中有哪些未知量，你如何设未知数？
未知量
每头大牛1天需用的饲料;
每头小牛1天需用的饲料.
问题2
题中有哪些等量关系？
(1)30只大牛和15只小牛一天需用饲料为675kg;
(2)(30+12)只大牛和(15+5)只小牛一天需用饲料为940kg.
设未知数
设每头大牛和每头小牛平均1天各需用
饲料为xkg和ykg，
解:设每头大牛和小牛平均1天各需用饲料为xkg和ykg，
根据等量关系，列方程组：
每头大牛和每头小牛1天各需用饲料为20kg和5kg，饲养员李大叔估计每天大牛需用饲料18到20千克，每头小牛一天需用7到8千克与计算有一定的出入.
+
=
675,
+
=
940.
30x
15y
42x
20y
解方程组：x=
,
y=
.
20
5
剧情发展：随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小牛，已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头小牛，乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小牛，请问李大叔应聘请甲乙两种饲养员各多少人？
解：设李大叔应聘请甲种饲养员x人，乙种饲养员y人，则：
+
=
42,
+
=
20.
8x
5y
4x
2y
解得：
x
=4，
y
=
2.
李大叔应聘请甲种饲养员4人，乙种饲养员2人.
某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分，试问该队胜几场，平几场？
分析：题中的未知量有胜的场数和平的场数，等量关系有：胜的场数+平的场数=11；
胜场得分+平场得分=27.
胜场
平场
合计
场数
得分
x
3x
y
y
11
27
例1
解：设市第二中学足球队胜x场，平y场.依题意可得
8
y
3x
y
3
该市第二中学足球队胜8场，平3场.
x
通过上述两题，总结
用二元一次方程组解
决实际问题的步骤
小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1)审题：弄清题意和题目中的_________；
(2)设元：用___________表示题目中的未知数；
(3)列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4)解方程组：利用__________法或___________解
出未知数的值；
(5)检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，
然后作答.
数量关系
字母
2
代入消元
加减消元法
练一练1
某城市规定：出租车起步价所包含的路程为
0～3km，超过3km的部分按每千米另收费.
甲说：“我乘这种出租车走了11km，付了17元.”
乙说：“我乘这种出租车走了23km，付了35元.”
请你算一算：出租车的起步价是多少元？超过3km后，每千米的车费是多少元？
分析
本问题涉及的等量关系有：
总车费=0～3km的车费(起步价)+超过3km的车费.
解：设出租车的起步价是x元,超过3km后每千米收费y元.
根据等量关系,得
解这个方程组，得
这种出租车的起步价是5元，超过3km后每千米收费1.5元.
起步价
超过3km后的费用
合计费用
甲
乙
x
x
（11-3）y
（23-3）y
17
35
练一练2
今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？
牛五、羊二
牛二、羊五
5头牛、2只羊共价值10两“金”；2头牛、5只羊共价值8两“金”.问每头牛、每只羊各价值多少“金”？
解:设每头牛值“金”x两,每只羊值“金”y两.
由题意,得
5x+2y=10,
2x+5y=8.
羊值“金”
两,牛值“金”
两.
探究2
据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1:2．现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3:4？
请提取数学信息
列方程组解决几何问题
2
转换成数学语言：
A
D
C
B
已知：长方形ABCD，
AB=CD=200m，
AD=BC=100m，
长方形ABCD分割为两个小长方形，长方形1和长方形2分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是1:2.
目标
甲、乙两种作物的总产量的比是3:4
这里研究的实际上是
什么
问题.
分
析
把一个长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？
01
竖着画，把长分成两段，则宽不变
02
横着画，把宽分成两段，则长不变
长方形的面积分割
我们可以画出示意图来帮助分析
试着画一画
01
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
1.大长方形的长=200m
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4
等量关系式有几个？
分
析
01
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
1.大长方形的长=200m
2.甲、乙两种作物总产量比=3:4
分
析
设AE＝xm，BE＝ym.
先求出两种作物的面积
SAEFD=100x
SEFCB=100y
再写出两种作物的总产量
甲：100x×1
乙：100y×2
则列方程为
100x:200y=3:4
总产量=
1
:
2
x
y
200m
100
则列方程为
x+y=200
单位面积产量×面积
01
竖着画，把长分成两段，则宽不变
A
D
C
F
B
E
根据题意列方程组为
100x:200y=3:4
x
y
200m
100m
解
答
x+y=200
解得
x=120
y=80
甲种作物
乙种作物
解：
过点E作EF⊥AB，
交CD于点F.
设AE＝xm，BE＝ym.
将这块土地分为长120m,宽100m和长100m,宽80m的
两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
02
横着画，把宽分成两段，则长不变
A
D
C
B
E
x
y
F
x+y=100
乙种作物
甲种作物
解：过点E作EF⊥AD，交BC于点F.
设DE＝xm，AE＝ym.
200x:400y=3:4
200y
200x
x=60
y=40
解得
解
答
根据题意列方程组为
200m
100m
将这块土地分为长200m,宽60m和长200m,宽40m的
两个小长方形分别种植甲、乙两种作物.
练一练：
8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?（单位：cm）
60
x+y=60
x=3y
解:设小长方形地砖的长为x,
宽为y,
由题意,得
解此方程组得：
x
=45,
y=15.
小长方形地砖的长为45cm,
宽为15cm.
列方程组解决行程问题
小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.
假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min.问小华家离学校多远？
3
例1
分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路，
一段为下坡路.
平路：60
m/min
下坡路：80
m/min
上坡路：40
m/min
走平路的时间+走下坡路的时间=________，
走上坡路的时间+走平路的时间=
_______．
路程=平均速度×时间
10
15
方法一（直接设元法）
平路时间
坡路时间
总时间
上学
放学
解：设小华家到学校平路长x
m，下坡路长y
m.
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
所以，小明家到学校的距离为700m.
方法二（间接设元法）
平路
距离
坡路距离
上学
放学
解：设小华下坡路所花时间为xmin,
上坡路所花时间为ymin.
根据题意，可列方程组：
解方程组，得
所以，小明家到学校的距离为700m.
故平路距离：60×（10-5）=300（m）
坡路距离：80×5=400（m）
甲、乙两人相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇.试问两人的速度各是多少？
分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系.
例2
（1）
同时出发，同向而行
甲出发点
乙出发点
4km
甲追上乙
乙2h行程
甲2h行程
甲2h行程=4km+乙2h行程
（2）
同时出发，相向而行
甲出发点
乙出发点
4km
相遇地
甲0.5h
行程
乙0.5h
行程
甲0.5h行程+乙0.5h行程=4km
解：设甲、乙的速度分别为xkm/h,ykm/h.
根据题意，得
解方程组，得
甲的速度为5km/h,乙的速度为3km/h.
练一练：我国的长江由西至东奔腾不息，其中九江至南京约有450千米的路程，某船从九江出发9个小时就能到达南京；返回时则用多了1个小时.求此船在静水中的速度以及长江水的平均流速.
解：设轮船在静水中的速度为x千米/时，长江水的平均流速为y千米/时.
轮船在静水中的速度为47.5千米/时，长江水的平均流速为2.5千米/时.
1.计划若干节车皮装运一批货物.如果每节装15.5吨，
则有4吨装不下，如果每节装16.5吨，则还可多装8
吨.问有多少节车皮？多少吨货物？
解：设有x节车皮，y吨货物，根据题意列出方程组得
y=15.5x+4，
y=16.5x-8
（以下部分由同学们完成）
2.某班有40名同学看演出，购买甲、乙两种票
共用去370元，其中甲种票每张10元，乙种票
每张8元.请问甲种和乙种票各多少张？
解得
甲种票25张，乙种票15张.
解：设甲种票x张，乙种票y张.
则
3.课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这
样的一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有
九十四足，问鸡兔各多少只？
解得
鸡有23只，兔有12只.
解：设鸡有x只，兔有y只.
则
4.有甲、乙两数，甲数的3倍与乙数的2倍之和等于47，
甲数的5倍比乙数的6倍小1，这两个数分别是多少？
解得
甲数为10，乙数为
.
解：设甲数为x，乙数为y.
则
5.甲、乙两店共有练习本200本，某月甲店售出19本，
乙店售出97本后，甲、乙两店所剩的练习本数目
相等，则甲店和乙店原有练习本各多少？
解得
甲店原有练习本61本，乙店原有练习本139本.
解：设甲店原有练习本x本，乙店原有练习本y本.
则
6.某船顺流航行36km用3h，逆流航行24km用3
h，
则水流速度和船在静水中的速度各是多少？
船在静水中的速度为10
km/h，水流速度为2
km/h.
解：设船在静水中的速度是x
km/h,水流速度是y
km/h.
则
解得
隔壁听到人分银，
不知人数不知银。
每人五两多六两，
每人六两少五两。
多少人数多少银？
解：设有x个人，y两银，
由题意得：
5x+6=y
6x-5=y
7.古有一捕快，一天晚上他在野外的一个茅屋里，听到
外边来了一群人在吵闹，他隐隐约约地听到几个声音，
下面有这一古诗为证：
解得：
x=11
y=61
有11个人，61两银.
8.甲、乙两人都从A地到B地，甲步行，乙骑自行车，
如果甲先走6千米乙再动身，则乙走
小时后恰好
与甲同时到达B地；如果甲先走1小时，那么乙用
小时可追上甲，求两人的速度．
解：设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时,则
甲的速度为4千米/时，乙的速度为12千米/时.
二元一次方程组的应用
应用
步骤
简单实际问题
行程问题
路程=平均速度×时间
审题：弄清题意和题目中的
设元：用_____表示题目中的未知数
列方程组:根据__个等量关系列出方程组
解方程组
检验作答
数量关系
字母
2
代入法；
加减法.
几何问题
