第2课时 百分率和配套问题
1．学会运用二元一次方程组解决百分率和配套问题；(重点、难点)
2．进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程．
一、情境导入
(1)某工厂去年的总产值是x万元，今年的总产值比去年增加了20%，则今年的总产值是________万元；
(2)若该厂去年的总支出为y万元，今年的总支出比去年减少了10%，则今年的总支出是________万元；
(3)若该厂今年的利润为780万元，那么由(1)，(2)可得方程________________．
二、合作探究
探究点一：列方程组解决百分率问题
【类型一】
列方程组解决增长率问题
为了解决民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，去年秋季有5000名民工子女进入主城区中小学学习，预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样今年秋季将新增1160名民工子女在主城区中小学学习．
(1)如果按小学每年收“借读费”500元、中学每年收“借读费”1000元计算，求今年秋季新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”；
(2)如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，按今年秋季入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备多少名中小学教师？
解析：解决此题的关键是求出今年秋季入学的学生中，小学生和初中生各有民工子女多少人．欲求解这个问题，先要求出去年秋季入学的学生中，小学生和初中生各有民工子女多少人．
解：(1)设去年秋季在主城区小学学习的民工子女有x人，在主城区中学学习的民工子女有y人．则解得20%x＝680，30%y＝480，500×680＋1000×480＝820000(元)＝82(万元)．
答：今年秋季新增的1160名中小学生共免收82万元“借读费”；
(2)今年秋季入学后，在小学就读的民工子女有3400×(1＋20%)＝4080(人)，在中学就读的民工子女有1600×(1＋30%)＝2080(人)，需要配备的中小学教师(4080÷40)×2＋(2080÷40)×3＝360(名)．
答：一共需配备360名中小学教师．
方法总结：在解决增长相关的问题中，应注意原来的量与增加后的量之间的换算关系：增长率＝(增长后的量－原量)÷原量．
【类型二】
列方程组解决利润问题
某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%、乙商品加价40%作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折酬宾，某顾客购买甲、乙商品各1件，共付款538元，已知商场共盈利88元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元．
解析：本题中所含的等量关系有：①甲商品的售价＋乙商品的售价＝538元；②甲商品的利润＋乙商品的利润＝88元．
解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，根据题意，得
化简，得解得
答：甲商品的进价为250元，乙商品的进价为200元．
方法总结：销售问题中进价、利润、售价、折扣等量之间的关系：利润＝售价－进价，售价＝标价×折扣，售价＝进价＋利润等．
探究点二：列方程组解决配套问题
现用190张铁皮做盒子，每张铁皮可以做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
解析：此题有两个未知量——制盒身、盒底的铁皮张数．问题中有两个等量关系：(1)制盒身铁皮张数＋制盒底铁皮张数＝190；(2)制成盒身的个数的2倍＝制成盒底的个数．
解：设制盒身的铁皮数为x张，制盒底的铁皮数为y张，根据题意，得
解得
答：110张铁皮制盒身，80张铁皮制盒底．
方法总结：找出本题中的两个等量关系是解题的关键，解决配套问题时一定要抓住题目中的特定的数量关系，根据等量关系列出方程组求解．
三、板书设计
1．百分率问题：增长率问题；利润问题
2．配套问题
通过问题的解决使学生进一步认识数学与现实世界的密切联系，乐于接触生活环境中的数学信息，愿意参与数学话题的研讨，从中懂得数学的价值，逐步形成运用数学的意识．3.4二元一次方程组的应用
第1课时
简单实际问题和行程问题
【教学目标】
1．让学生学会分析题中已知量与未知量的关系，列出相应的二元一次方程组．
2．使学生通过列方程组解决实际问题，提高学习数学的趣味性、现实性、科学性．
【重难点】
重点：根据题中的各个量的关系，准确列出方程组；
难点：借助列表，数与数之间的关系，分析出问题中所蕴涵的数量关系
【知识要点】
知识点一：列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.
一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.
知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系
行程问题：
(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程； ；；
(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。
(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；
②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；
③顺水速度－逆水速度＝2×水速。
注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。
例1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.
相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.
这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
思路点拨：画直线型示意图理解题意：
(1)这里有两个未知数：①汽车的行程；②拖拉机的行程.
(2)有两个等量关系：
①相向而行：汽车行驶小时的路程＋拖拉机行驶小时的路程＝160千米;
②同向而行：汽车行驶小时的路程＝拖拉机行驶小时的路程.
解：设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.
根据题意，列方程组
解这个方程组，得:
.
答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.
总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略。
【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？
【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
例2．今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？
思路点拨：解本题的关键是理解“6年后”这几个字的含义，即6年后父子俩都长了6岁。今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，根据这两个相等关系列方程。
解：设现在父亲x岁，儿子y岁，根据题意得：
，
答：父亲现在30岁，儿子6岁。
总结升华：解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄变化（增大、减小）了，其他人也一样增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）。
【变式】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.
3．4 二元一次方程组的应用
第1课时 简单实际问题和行程问题
1．能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题；(重点)
2．学会利用二元一次方程组解决行程问题．(重点、难点)
一、情境导入
古算题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问有几客几房中？”题目大意：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房里住7人，就会有7人没地方住；若是每间房住9人，就会空一间房．问有多少间房？多少客人？你能解答这个问题吗？
二、合作探究
探究点一：列方程组解决简单实际问题
某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？
解：设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨．由题意，得解得
答：甲、乙两种货物各装150吨．
方法总结：列方程组解应用题一般都要经历“审、设、找、列、解、答”这六个步骤，其关键在于审清题意，找相等关系；设未知数时，一般是求什么，设什么；并且所列方程的个数与未知数的个数相等．
探究点二：列方程组解决行程问题
【类型一】
相遇问题
某体育场的一条环形跑道长400m.甲、乙两人从跑道上同一地点出发，分别以不变的速度练习长跑和骑自行车．如果背向而行，每隔min他们相遇一次；如果同向而行，每隔1min乙就追上甲一次．问甲、乙每分钟各行多少米？
解析：题中的两个相等关系为：①乙骑车的路程＋甲跑步的路程＝400m(背向)；②乙骑车的路程－甲跑步的路程＝400m(同向)．
解：设乙骑车每分钟行xm，甲每分钟跑ym，由题意，得解得
答：甲每分钟跑250m，乙每分钟骑550m.
方法总结：环路上的等量关系：若同时同地出发，当背向而行，第一次相遇时，二者路程之和＝一周长；若同时同地出发，同向而行，第一次相遇时，快者的路程－慢者的路程＝一周长．
【类型二】
行程问题
A、B两码头相距140km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7h，逆水航行用了10h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．
解析：设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h，列表如下，
路程
速度
时间
顺流
140km
(x＋y)km/h
7h
逆流
140km
(x－y)km/h
10h
解：设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h.由题意，得解得
答：这艘轮船在静水中的速度为17km/h，水流速度为3km/h.
方法总结：本题关键是找到各速度之间的关系，顺速＝静速＋水速，逆速＝静速－水速；再结合公式“路程＝速度×时间”列方程组．
三、板书设计
1．简单实际问题
2．行程问题
通过一道古题，把同学们带入古代的数学问题情景，学生体会到数学中的“趣”；进一步加深课堂与生活的联系，突出数学教学的实际价值，培养学生的人文精神．3.4
二元一次方程组的应用
第2课时
百分率和配套问题
【教学目标】
1．让学生学会分析题中已知量与未知量的关系，列出相应的二元一次方程组．
2．使学生通过列方程组解决实际问题，提高学习数学的趣味性、现实性、科学性．
【重难点】
重点：根据题中的各个量的关系，准确列出方程组；
难点：借助列表，数与数之间的关系，分析出问题中所蕴涵的数量关系
【知识要点】
1．百分率问题：
解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后的量；
原量×(1－减少率)＝减少后的量.
2．配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。
类型一：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题
例1．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.
现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？
思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反了).
解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得：
答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等.
各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.
【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。
【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？
类型二：列二元一次方程组解决——百分率问题
例2.
某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？
思路点拨：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有
总产值（万元）
总支出（万元）
利润（万元）
去年
x
y
200
今年
120%x
90%y
780
根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值—总支出和表格里的已知量和未知量，可以列出两个等式。
解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，根据题意得：
，解之得：
答：去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元
总结升华：当题的条件较多时，可以借助图表或图形进行分析。
【变式1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？
【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。
