3.5
三元一次方程组及其解法
教学目标
知识与技能
了解三元一次方程组的概念，会用消元法解简单的三元一次方程组。
过程与方法
经历三元一次方程组解法的探索过程，使学生能深入体会消元化归思想方法，通过解特殊的三元一次方程组，发展学生思维的多样性与独创性。
情感、态度与价值观
通过从《九章算术》一书中引出方程组实例，激发学生热爱祖国的悠久文化的思想感情，培养学生钻研精神。在解决问题时，敢于发表自己的见解，理解他人的看法并与他人交流。
教学重难点
重点
通过与二元一次方程组的解法类比学会解三元一次方程组，关键是三元的消成二元的。
难点
如何消元，消去哪个未知数
难点突破
与二元一次方程组进行类比，先易后难，引导学生自主探索。
教学过程
一、设置问题情境，引入概念
本章“数学史话”所介绍的《九章算术》一书中第八章第一题（见课件），今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实秉各几何？
列成方程组就是
师：你能给此方程组起名吗？
生：可以，叫三元一次方程组。
复习二元一次方程组的概念，运用类比方法，让学生定义出三元一次方程组的概念。师：这种由三个一次方程组成的含有三个未知数的方程组，叫作三元一次方程组。
慧眼识别
看看下列方程组中，哪些是三元一次方程组：
（1）
（2）
（3）
（4）
二、师生共同探索三元一次方程组的解法
师：现在我们已知道这个方程组是三元一次方程组，那么我们如何解这个三元一次方程组呢？
让学生思考后学生讲解题思路，老师书写解题过程：
例1，解方程组
生：解：把①代入②，得
把①代入③，得：
由④得得
⑥
把⑥代入⑤得
把代入⑥得：
∴
师：通过上面的解三元一次方程组的过程，互相交流一下，三元一次方程组是如何解出来的呢？
生：三元一次方程组
消元
二元一次方程组
消元
一元一次方程
师：你觉得哪一步最为重要
生：三元消成二元最为重要
师：既然第一步消元最为重要，下面你们能否把三元一次方程组转化为二元一次方程组呢？
例2：把下列三元一次方程组转化为二元一次方程组
（1）
学生讨论后，讲解题思路，师书写过程：
生：把①代入②得
把①代入③得
（2）
生：①+②得
②+③得
三、牛刀小试
在练习纸上解方程组：
预判：学生可能把
①+②消y得，
把②+③消z得
得到错误消元
学生练习，师巡视指导。
师：解三元一次方程组首先要明确消元目标，两次都应消相同的元，
四、巩固提高
师：通过上面的解方程组的过程，我们发现三元消成二元时，可以选择不同的元来消，下面，同学们看一看，这些方程组你首先消去哪个未知数呢？
例3：不解方程，说出你想先消去哪个未知数：
1、
缺某元，消某元
2、
通过例3，我们知道如何选择最合适的未知数来消元，请思考这样的一个问题：
在练习纸上练习解方程组：
师巡视指导，展示各种不同解法：
解法1、①+②+③得
解法2、①+②－③得
④
④－①得
把代入①得
④－②得
把代入②得
④－③得
∴
∴
五、拓展提高
师：在解三元一次方程组中，其重点就是把三元的转化为二元的，这种当我们遇到一个新的问题时，首先把它转化为我们所熟悉的问题，随后加以解决，这种思想方法就叫做化归思想。
请利用化归思想解方程组：
让学生利用类比的方法给出方程组的概念和解题思路。
六、小结：你这节课学会了什么？
七、作业：
附：板书设计
①
②
③
④
⑤
①
②
③
④⑤
①
②
③
①
②
③
①
②
③
①
②
③
①
②
③
①
②
③
④
课
题
一、三元一次方程组概念
例1
例2（1）（2）
二、三元一次方程组解题思路
三元→二元→一元
板演区
板演区3.5 三元一次方程组及其解法
1．理解三元一次方程(组)的概念；
2．能解简单的三元一次方程组．(重点、难点)
一、情境导入
《九章算术》里面有这样一道题目(用现代汉语表述)：3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗．
问上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？
二、合作探究
探究点一：三元一次方程组的有关概念
下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
A.
B.
C.
D.
解析：A选项中，方程x2－y＝1与xz＝2中含未知数的项的次数为2，不符合三元一次方程组的定义，故A选项不是；B选项中，，不是整式，故B选项不是；C选项中方程组含有四个未知数，故C选项不是；D选项符合三元一次方程组的定义，故答案为D.
方法总结：满足三元一次方程组的条件：(1)方程组中一共含有三个未知数；(2)每个方程中含未知数的次数都是1；(3)方程组中共有三个整式方程．
探究点二：三元一次方程组的解法
解下列三元一次方程组：
(1)(2)
解析：(1)观察各个方程的特点，可以考虑用代入法求解，将①分别代入②和③中，消去z可得到关于x、y的二元一次方程组；(2)观察各个方程的特点，可以考虑用加减法求解，用①减去②可消去z，用①加上③也可消去z，进而得到关于x、y的二元一次方程组．
解：(1)将①代入②、③，消去x，得解得把x＝2，y＝3代入①，得z＝5.所以原方程组的解为
(2)①－②，得x＋2y＝11.④
①＋③，得5x＋2y＝9.⑤
④与⑤组成方程组解得
把x＝－，y＝代入②，得z＝－.
所以原方程组的解是
方法总结：解三元一次方程组的难点在于根据方程组中未知数的系数特点选择较简便的方法．(1)一般地，若某一未知数的系数比较简单，可选用代入法；(2)若方程组三个方程中某个未知数的系数的绝对值相等或成倍数时，可选用加减消元法．
探究点三：三元一次方程组的应用
一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1.将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数．
解析：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x，y，z，则原三位数可表示为100x＋10y＋z.
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z.由题意，得
解得
答：原三位数是368.
方法总结：解数字问题的关键是正确地用代数式表示数．如果一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，那么这个两位数可表示为10a＋b；如果一个三位数的百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，那么这个三位数可表示为100a＋10b＋c，依此类推．
三、板书设计
三元一次方程组
通过对二元一次方程组的类比学习，让学生感受把新知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，感受数学知识之间的密切联系；增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维习惯．
