(共28张PPT)
12.1
函数
第12章
一次函数
第2课时
函数的表示方式
导入新课
回顾与思考
下列问题中的变量y是不是x的函数？
是
（1）
y
=
2x
（2）
y+2x=3
是
（3）
y=
不是
（6）
是
（7）
不是
（4）
y=x2
（5）
y2=x
（8）
y=±x+5
（9）
y=x2+3z
是
是
不是
不是
(x≥0)
在计算器上按照下面的程序进行操作：
输入x（任意一个数）
按键
×
2
=
显示y（计算结果）
x
1
3
－4
0
101
y
7
11
－3
5
207
显示的数y是输入的数x的函数吗？为什么?
填表：
+
5
如果是，写出它的解析式.
y
=
2x+5
导入新课
动手操作
讲授新课
用列表法、解析法与图象法表示函数
一
回想上一节课研究的三个问题
问题1：用热气球探测高空气象
时间t/min
0
1
2
3
4
5
6
7
…
海拔高度h/m
500
550
600
650
700
750
800
850
…
问题2：绘制用电负荷曲线
问题3：汽车刹车问题
由此你发现了什么？
表示函数
的一般方法
列表法
图象法
解析法
函数的三种表示法：
y
=
2.88x
图象法、
列表法、
解析式法．
1
4
9
16
25
36
49
问题3：汽车刹车问题
由此你发现了什么？
列表法
解析法
图象法
定义
实例
优点
通过列出自变量的值，与对应函数值的表格来表示函数关系的方法
问题1
具体反映了函数随自变量的数值对应关系
用数学式子表示函数关系的方法
问题3
准确地反映了函数随自变量的数量关系
用图象来表示两个
变量间的函数关系
的方法
问题2
直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律
函数三种表示方法的区别
自变量的取值范围及求函数值
二
例1
求下列函数中自变量x的取值范围：
（1）y=2x+4；
（2）y=－2x2；
（3）
（4）
解：（1）x为全体实数;
（2）x为全体实数；
（3）x≠2;
（4）x≥3.
典例精析
（1）解析式是整式时，自变量取全体实数；
（2）解析式是分式时,自变量的取值应使分母不为0；
（3）解析式是平方根时，自变量取值范围应使被开方数大于
或等于0；
（4）解决实际问题时,必须既符合理论又满足实际,特别注意：不要先化简关系式再求取值范围.
方法归纳
解：（1）当x=3时，y=2x+4=2×3+4=10；
（2）当x=3时，y
=－2x2=－2×32=－18；
（3）当x=3时，
例2
当x=3时，求下列中函数的函数值：
如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
（4）当x=3时，
（1）y=2x+4；
（2）y
=－2x2；
（3）
（4）
[归纳一]:函数关系式中自变量的取值范围
一般主要考虑以下四种情况：
⑴函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数；
⑵函数关系式为分式形式：分母≠0；
⑶函数关系式含算术平方根：被开方数≥0；
⑷函数关系式含0指数：底数≠0．
例3
一个游泳池内有水300
m3，现打开排水管以每小时25
m3的排出量排水.
（1）写出游泳池内剩余水量Q
m3与排水时间th间的函数关系式；
（2）写出自变量t的取值范围.
排水后的剩水量Q
m3是排水时间h的函
数，有Q=-25
t
+300.
池中共有300
m3水，每小时排水25
m3，故全部排完只需
300÷25=12（h），故自变量
t的取值范围是0≤t≤12.
（3）开始排水后的第5h末，游泳池中还有多少水？
（4）当游泳池中还剩150
m3水时，已经排水多长时间？
当t=5，代入上式得Q=-5×25+300=175（m3），
即第5h末池中还有水175
m3
当Q=150m3时，由150=-25
t
+300，得t
=6h，
即第6
h末池中有水150m3.
【归纳二】实际问题中自变量的取值范围．
在实际问题中确定自变量的取值范围，主
要考虑两个因素：
⑴自变量自身表示的意义．如时间、耗油量等不能为负数；
⑵问题中的限制条件．此时多用不等式或不等式组来确定自变量的取值范围．
例4
如何作出y=2x+1的图象？
解：列表：
…
…
y=2x+1
…
2
1
0
-1
-2
…
x
-3
-1
1
5
3
函数的图象
三
连线：
描点：
O
x
y
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
3
1
4
2
5
-2
-4
-1
-3
作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．
由函数表达式画图象的一般步骤：
1.列表:分析函数自变量的取值范围，取自变量的一些值（间隔相同），算出y的对应值；
2.描点:以表中对应值为坐标,在坐标系内描出相应的点；
3.连线:分析函数图象的发展趋势（是直线还是曲线，有限还是无限）按照自变量由小到大的顺序,用平滑的曲线连接所描的各点,即得图象.
注意：描出的点越多，图象就越精确.
例5
王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时），看图回答下列问题：
解：由图象可知：（1）小强出发0分钟时，爷爷已经爬山60米，因此小强让爷爷先上60米；
（2）山顶离山脚的距离是300米，小强先爬上山；
O
（1）小强让爷爷先上多少米？
（2）山顶高多少米？谁先爬上山顶？
（3）因为小强和爷爷路程相等时是8分钟，所以小强用了8分钟追上爷爷；
O
（3）小强需多少时间追上爷爷？
小强爬山300米用了10分钟，速度为30米／分，爷爷爬山（300-60）米=240米，用了10.5分钟，速度约为23米／分，因此小强的速度大，大7米／分.
O
（4）谁的速度大？大多少？
例5
画出函数
的图象？
解：列表：
…
…
…
40
30
20
10
0
…
x
0
0.4
1.6
6.3
3.5
连线：
描点：
O
x
y
10
20
30
40
50
-1
3
1
4
2
5
-1
6
作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．
当堂练习
1.求下列函数中自变量x的取值范围：
x≠0
x≠-1
x≥0
x为一切实数
x≥2
x为一切实数
2.小明的爸爸早晨出去散步，从家走了20
min到达距离家800
m的公园，他在公园休息了10
min，然后用30
min原路返回家中，那么小明的爸爸离家的距离s（单位：m）与离家的时间t（单位：
min）之间的函数关系图象大致是（
）
D
3.某工厂投入生产一种机器，每台成本y（万元/台）与生产数量x（台）之间是函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x（单位：台）
10
20
30
y（单位：万元/台）
60
55
50
C
则y与x之间的解析式是（
）
A.y=80-
2x
B.y=40+
2x
C.
y=65-
D.y=60-
4.用解析式法与图象法表示等边三角形的周长l是边长a的函数.
a
…
1
2
3
4
…
l
…
3
6
9
12
…
描点、连线：
用描点法画函数l=3a的图象.
O
2
x
y
1
2
3
4
5
8
6
4
10
12
解：因为等边三角形的周长l是边长a的3倍，所以周长l与边长a的函数关系可表示为l=3a（a＞0）.
5.一条小船沿直线向码头匀速前进.在0min
，2min，
4min，6min时，测得小船与码头的距离分别为200m，
150m，100m，50m.
（1）小船与码头的距离是时间的函数吗？
（2）如果是，写出函数的解析式，并画出函数图象.
函数解析式为：
.
列表：
t/min
0
2
4
6
……
s/m
200
150
100
50
……
是
s
=
200-25t
船速度为（200-150）÷2=25m/min，
s=200-25t
t/min
s/m
O
1
2
3
4
5
6
7
50
100
150
200
画图：
函数的表示方法
列表法、解析法和图象法
课堂小结
自变量的取值范围
使含自变量的等式有意义
使实际问题有意义
函数的表示方法——图象法
函数的图象
从函数的图象中获取信息
画函数图象(共28张PPT)
12.2
一次函数
第12章
一次函数
第5课时
一次函数的应用——方案决策
导入新课
观察与思考
O
观察下图，你能发现它们三条函数直线之间的差别吗？这些玩具车下滑的过程中有哪些不同？
x
y
讲授新课
实际问题中的方案选择
我们前面学习了一些有关一次函数的知识及如何确定解析式，一次函数也可以帮我们解决很多实际问题．
比如刚才的问题，你知道怎样让玩具小车跑得更快吗？
例1
某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到外地旅游.当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基本相同，到此地旅游的价格都是每人100元.经联系协商，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠;乙旅行社表示单位先交1000元后，给予每位游客六折优惠.问该单位选择哪个旅行社，可使其支付的旅游总费用较少？
典例精析
分析：假设该单位参加旅游人数为x，按甲旅行社的优惠条
件，应付费用80x(元)；按乙旅行社的优惠条件，应付费用
(60x+1000)(元)．问题变为比较80x
与60x+1000
的大小了．
解法一：设该单位参加旅游人数为x.那么选甲旅行社，应付费用80x(元)；选乙旅行社，应付(60x+1000)(元).
记
y1=
80x，y2=
60x+1000.在同一直角坐标系内作出两个函数的图象，
y1与y2的图象交于点(50,4000).
x／人
50
60
y／元
800
1600
3200
2400
4000
4800
5600
O
10
20
30
40
70
80
90
y1=
80x
y2=
60x+1000
观察图象，可知：
当人数为50时，选择甲或乙旅行社费用都一样；
当人数为0～49人时，选择甲旅行社费用较少；
当人数为51～100人时，选择乙旅行社费用较少.
x／人
50
60
y／元
800
1600
3200
2400
4000
4800
5600
O
10
20
30
40
70
80
90
y1=
80x
y2=
60x+1000
解法二：设选择甲、乙旅行社费用之差为y，
则y=y1-y2=80x-(60x+1000)=20x-1000.
画出一次函数y=
20x-1000的图象如下图.
O
20
40
60
-200
-400
-600
-800
-1000
y
x
y=
20x-1000
它与x轴交点为（50,0）
由图知：
（1）当x=50时，y=0，即y1=y2；
（2）当x＞50时，y
＞
0，即y1
＞
y2；
（3）当x＜50时，y
＜0，即y1
＜
y2.
解法三：
（1）当y1=y2，即80x=
60x+1000时，x=50.
所以当人数为50时，选择甲或乙旅行社费用都一样；
（2）当y1
＞
y2，即80x
＞
60x+1000时，
得x
＞
50.
所以当人数为51～100人时
，选择乙旅行社费用较少；
（3）当y1
＜
y2，即80x
＜
60x+1000时，得x＜50.
所以当人数为0～49人时，选择甲旅行社费用较少；
例2：某县区大力发展猕猴桃产业，预计今年A地将采摘200吨，B地将采摘300吨．若要将这些猕猴桃运到甲、乙两个冷藏仓库，已知甲仓库可储存240吨，乙仓库可储存260吨，从A地运往甲、乙两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往甲、乙两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A地运往甲仓库的猕猴桃为x吨，A、B两地运往两仓库的猕猴桃运输费用分别为yA元和yB元．
(1)分别求出yA、yB与x之间的函数关系式；
解：(1)yA＝20x＋25(200－x)＝－5x＋5000，
yB＝15(240－x)＋18(60＋x)＝3x＋4680；
(2)试讨论A、B两地中，哪个的运费较少；
(2)∵yA－yB＝(－5x＋5000)－(3x＋4680)＝－8x＋320，
∴当－8x＋320＞0，即x＜40时，B地的运费较少；
当－8x＋320＝0，即x＝40时，两地的运费一样多；
当－8x＋320＜0，即x＞40时，A地的运费较少；
(3)考虑B地的经济承受能力，B地的猕猴桃运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两地运费之和最少？求出这个最小值．
设两地运费之和为y元，则
y＝yA＋yB＝(－5x＋5000)＋(3x＋4680)＝－2x＋9680.
由题意得yB＝3x＋4680≤4830，解得
x≤50.
∵y随x的增大而减小，x最大为50，
∴y最小＝－2×50＋9680＝9580.
∴在此情况下，当A地运往甲、乙两仓库分别为50吨、150吨；B地运往甲、乙两仓库分别为190吨、110吨时，才能使两地运费之和最少，最少是9580元．
方法总结：阅读理解题的解题关键是读懂题意．
第(2)小题比较大小要注意分类讨论，第(3)小题是利用一次函数的方案设计问题，一般先根据数量之间的关系建立函数，然后再利用一次函数的增减性确定出符合要求的最佳方案．
例3：我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶（如下图）.
海
岸
公
海
B
A
下图中
l1
，l2
分别表示两船相对于海岸的距离S与追赶时间t之间的关系.根据图象回答下列问题
（1）哪条线表示
B
到海岸的距离与追赶时间之间的关系？
解：观察图象，得 当t＝0时，B距海岸0海里，即S＝0，
故
l1
表示
B
到海岸的距离与追赶时间之间的关系；
2
4
6
8
10
O
2
4
6
8
t
/分
s
/海里
l1
l2
Ｂ
Ａ
（2）A、B
哪个速度快？
t从0增加到10时，l2的纵坐标增加了2，l1的纵坐标增加了5.
2
4
6
8
10
O
2
4
6
8
t
/分
s
/海里
l1
l2
Ｂ
Ａ
即10分内，
A
行驶了2海里，
B
行驶了5海里，
所以
B
的速度快
7
5
当t＝15时，l1上对应点在l2上对应点的下方
这表明，15分钟时
B尚未追上
A.
2
4
6
8
10
O
2
4
6
8
t
/分
s
/海里
l1
l2
Ｂ
Ａ
12
14
（3）15分钟内B能否追上
A？
15
2
4
6
8
10
O
2
4
6
8
t
/分
s
/海里
l1
l2
Ｂ
Ａ
12
14
（4）如果一直追下去，那么
B
能否追上
A？
如图延伸l1
、l2
相交于点P.
因此，如果一直追下去，那么
B
一定能追上
A.
P
2
4
6
8
10
O
2
4
6
8
t
/分
s
/海里
l1
l2
Ｂ
Ａ
12
14
P
（5）当
A
逃到离海岸12海里的公海时,B将无法对其进行检查.照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？
从图中可以看出，l1
与
l2
交点P的纵坐标小于12，
这说明在
A
逃入公海前，
我边防快艇
B
能够追上
A.
10
k1表示快艇B的速度，k2表示可疑船只A的速度.可疑船只A的速度是0.2海里/分，快艇B的速度是0.5海里/分.
2
4
6
8
10
O
2
4
6
8
t
/分
s
/海里
l1
l2
Ｂ
Ａ
12
14
（6）l1与l2
对应的两个一次函数y=k1x
+b1与y=k2x+b2中，k1，k2的实际意义各是什么？可疑船只A与快艇B的速度各是多少？
下图
l1,
l2
分别是龟兔赛跑中s-t函数图象.
（1）这一次是
米赛跑.
（2）表示兔子的图象是
.
100
l2
练一练
s
/米
（3）当兔子到达终点时，乌龟距终点还有
米；
l1
l2
1
2
3
4
5
O
100
20
120
40
60
80
t
/分
6
8
7
（4）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑
米；
（5）乌龟要先到达终点，至少要比兔子早跑
分钟；
-1
12
9
10
11
-3
-2
40
4
-4
40
1.小亮和小明周六到距学校24km的滨湖湿地公园春游，小亮8：00从学校出发，骑自行车去湿地公园，小明8：30从学校出发，乘车沿相同路线去滨湖湿地公园，在同一直角坐标系中，小亮和小明的行进路程S（km）与时间t（时）的函数图象如图所示．根据图象得到结论，其中错误的是（ ）
A．小亮骑自行车的平均速度是12km/h
B．小明比小亮提前0.5小时到达滨湖湿地公园
C．小明在距学校12km处追上小亮
D．9：30小明与小亮相距4km
D
当堂练习
解析：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为
b米/秒，由题意得
1600+100a=1400+100b,
1600+300a=1400+200b,
解得a=2,b=4.
故这次越野跑的全程为1600+300×2=220米．
2.一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为
米．
2200
3.
如图，射线OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中s、t分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差
km/h．
解析：根据图象可得出：甲的速度为
120÷5=24（km/h），
乙的速度为(120﹣4)÷5=23.2（km/h），
速度差为24﹣23.2=0.8（km/h），
0.8
B
4.电信局为满足不同客户的需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图(MN∥CD)，若通话时间为500分钟，则应选择哪种方案更优惠( )
A．方案A
B．方案B
C．两种方案一样优惠
D．不能确定
B
5.在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（时）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲、乙两根蜡烛燃烧
前的高度分别是
，
从点燃到燃尽所用的时间
分别是
.
30厘米、25厘米
2时、2.5时
（2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式；
（3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？
在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？
在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？
y甲=-15x+30
y乙=-10x+25
x=1
x>1
x<1
课堂小结
利用一次函数进行方案决策
列出不等式（方程），求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系
从数学的角度分析数学问题，建立函数模型
结合实际需求，选择最佳方案(共21张PPT)
12.4
综合与实践
一次函数模型的应用
第12章
一次函数
导入新课
情境引入
乌鸦喝水，是《伊索寓言》中一个有趣的寓言故
事.故事梗概为:"一只口渴的乌鸦看到窄口瓶内有半瓶
水，于是将小石子投入瓶中，使水面升高，从而喝到
了水."告诉人们遇到困难要积极想解决办法，认真思
考才能让问题迎刃而解的道理.数学问题也一样哦.
10
cm
9
cm
如果将乌鸦喝水的故事进行量化，你能判断乌鸦丢进多少颗石子，水能刚好在瓶口？说说的做法！
讲授新课
一次函数模型的应用
现实生活或具体情境中的很多问题或现象都可以抽象成数学问题，并通过建立合适的数学模型来表示数量关系和变化规律，再求出结果并讨论结果的意义.
下面有一个实际问题，你能否利用已学的知识给予解决？
问题：奥运会每4年举办一次，奥运会的游泳成绩在不断的被刷新，如男子400m自由泳项目，2016年奥运冠军的马克-霍顿成绩比1984年的约提高了30s，下面是该项目冠军的一些数据：
根据上面资料，能否估计2020年东京奥运会时该项目的冠军成绩？
年份
冠军成绩/s
1984
231.23
1988
226.95
1992
225.00
1996
227.97
2000
220.59
年份
冠军成绩/s
2004
223.10
2008
221.86
2012
220.14
2016
？
2020
？
解：（1）以1984年为零点，每隔4年的年份的x值为横坐标，相应的y值为纵坐标，即（0,231.23），（1,226.95）等，在坐标系中描出这些对应点.
O（1984）
230
1（1988）
2（1992）
3（1996）
4（2000）
5（2004）
6（2008）
7（2012）
8（2016）
y/s
x/年
210
220
200
240
（2）观察描出的点的整体分布，它们基本在一条直线附近波动，y与x之间的函数
关系可以用一次函数去模拟.即y=kx+b.
O（1984）
230
1（1988）
2（1992）
3（1996）
4（2000）
5（2004）
6（2008）
7（2012）
8（2016）
y/s
x/年
210
220
200
240
·
·
·
·
·
·
·
·
这里我们选取第1个点（0，231.23）及第7个点（7，221.86）的坐标代入y=kx+b中,得
b=231.23,
7k+b=221.86.
解得k=-1.34,
b=231.23
所以，一次函数的解析式为y=-1.34x+231.23.
(3)
当把1984年的x值作为0，以后每增加4年得x的一个值，这样2016年时的x值为8，把x=8代入上式，得y=
-1.34×8+231.23=220.51(s)
因此，可以得到2016年奥运会男子的自由泳的400m的冠军的成绩约是220.51s
2016年里约奥运会澳大利亚选手马克-霍顿以221.55s的成绩获得男子400m自由泳项目奥运会冠军，你对你预测的准确程度满意吗？
归纳总结
通过上面的学习，我们知道建立两个变量之间的函数模型，可以通过下列几个步骤完成：
（1）将实验得到的数据在直角坐标系中描出；
（2）观察这些点的特征，确定选用的函数形式，并根据已知数据求出具体的函数表达式；
（3）进行检验；
（4）应用这个函数模型解决问题.
例：小明同学在探索鞋码的两种长度“码”与“厘米”之间的换算关系时，通过调查获得下表数据：
x(厘米)
…
22
25
23
26
24
…
y(码)
…
34
40
36
42
38
…
问题1：根据表中提供的信息，在同一直角坐标系中描出相应的点，你能发现这些点的分布有什么规律吗？
典例精析
30
32
38
36
34
42
40
23
25
24
21
22
27
26
y
(码)
x(厘米)
问题2：据说篮球巨人姚明的鞋子长31cm，那么你知道他穿多大码的鞋子吗？
这些点在一条直线上，
如图所示.
O
我们选取点（22，34）及
点（25，40）的坐标代入
y=kx+b中,得
22k+b=34,
25k+b=40.
解得k=2,
b=-10
所以，一次函数的解析式为y=2x-10.
把x=31代入上式，得y=2×31-10=52.
因此，可以得到姚明穿52码的鞋子.
当堂练习
1.下图是用棋子摆成的“上”字
，则第n个图共有多少枚棋子？
图1
图2
图3
图4
解：先列表：
x
1
2
3
…
y
6
10
14
…
描点：如图所示
我们发现图形的变化规律为一条直线，我们可设该直线为y=kx+b.
选取点（1，6）及
点（2，10）的坐标代入
y=kx+b中,得
k+b=6,
2k+b=10.
解得k=4,
b=2
所以，一次函数的解析式为y=4x+2.
把x=n
代入上式，得y=4n+2.
因此，可以得到第n个图形有（4n+2）棋子.
2.世界上大部分国家都使用摄氏温度(℃)计量法，但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度(?)计量法．两种计量法之间有如下的对应关系：
x/℃
0
10
20
30
40
50
y/?
32
50
68
86
104
122
(1)在平面直线坐标系中描出相应的点，观察这些点的分布情况，并猜想y与x之间的函数关系；
解：(1)如图所示，以表中对应值为坐标的点大致分布在一条直线上，据此，可猜想：y与x之间的函数关系为一次函数；
(2)确定y与x之间的函数表达式，并加以检验；
解：设y＝kx＋b，把(0，32)和(10，50)代入得
解得
经检验，点(20，68)，(30，86)，
(40，104)，(50，122)的坐标均能满足上述表达式，
所以y与x之间的函数表达式为
(3)华氏0度时的温度应是多少摄氏度？
解：当y＝0时，
解得
∴华氏0度时的温度应是
摄氏度；
(4)华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？
解：把y＝x代入，
解得
∴
华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能，此值为－40.
课堂小结
一次函数模型的应用
①将实验得到的数据在直角坐标系中描出
②观察这些点的特征，确定选用的函数形式，并根据已知数据求出具体的函数表达式
③进行检验
④应用这个函数模型解决问题(共26张PPT)
12.2
一次函数
第12章
一次函数
第6课时
一次函数与一元一次方程、
一元一次不等式
导入新课
回顾与思考
y<0
y>0
让我们来观察一下平面直角坐标系,思考下列问题：
(1)纵坐标等于0的点在哪里?
(2)纵坐标大于0的点在哪里?
(3)纵坐标小于0的点在哪里?
x
y
o
y=0
问题1：(1)解方程2x+20=0；
(2)当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？
解：(1)
2x+20=0
2x=-20
x=-10
(2)
当y=0时
，即
2x+20=0
2x=-20
x=-10
从“函数值”
角度看
两个问题实际上是同一个问题．
讲授新课
一次函数与一元一次方程
一
（3）画出函数
y=2x+20的图象，并确定它与x轴的交点坐标.
0
x
y
20
－10
y=2x+20
思考：
直线y=2x+20与x轴交点坐标为（____,_____），这说明方程2x＋20＝0的解是x=_____.
从“函数图象”上看
-10
0
-10
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
问题2
下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？
（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．
用函数的观点看：
解一元一次方程
ax
+b
=k
就是求当函
数（y=ax
+b）值为k
时对应的自变量的值．
2x
+1=3
的解
y
=2x+1
2x
+1=0
的解
2x
+1=-1
的解
1.直线y=2x+20与x轴交点坐标为（____,_____），这说明方程2x＋20＝0的解是x=_____.
-10
0
-10
练一练
2.若方程kx＋2＝0的解是x=5，则直线y=kx＋＋2与x轴交点坐标为（____,_____）.
5
0
求一元一次方程
kx+b=0的解．
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数y=
kx+b
中，y=0时x的值．
从“函数值”看
求一元一次方程
kx+b=0的解．
求直线y=
kx+b
与
x
轴交点的横
坐标．
从“函数图象”看
归纳总结
例1:直线y＝2x＋b与x轴的交点坐标是(2，0)，则关于x的方程2x＋b＝0的解是x＝________．
解析：∵直线y＝2x＋b与x轴的交点坐标是(2，0)，
则x＝2时，y＝0，
∴关于x的方程2x＋b＝0的解是x＝2.
典例精析
2
直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标就是方程kx＋b＝0的解，反之亦然．所以在解题时，常需作出一次函数的草图，结合图形分析更加直观、方便．
方法总结
1.已知：一次函数y=0.8x-2与x轴的交点为（2.5，0），你能说出0.8x-2=0的解吗？
2.已知：一次函数y=kx-5与x轴的交点为（3，0），那么你能说出kx-5=0的解吗？
3.已知关于x的一元一次方程mx+n=0的解是-3，则直线y=mx+n与x轴的交点坐标是_______.
试一试
x=2.5
x=3
（-3，0）
例2
一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答)
解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒，
由题意得2x+5=17
解得
x=6
答：再过6秒它的速度为17米/秒.
解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5
由2x+5=17
得
2x－12=0
由右图看出直线y=2x－12与x轴的交点为（6，0），得x=6.
O
x
y
6
－12
y=2x－12
解法3：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5
由右图可以看出当y
=17时，x=6.
y=2x+5
x
y
O
6
17
5
－2.5
一次函数与一元一次不等式
二
观察在x轴上方的函数图象所对应的函数值
y和自变量x的取值范围.
y=2x+6
思考:它们与不等式2x+6>0及其解集有何关系？
y>0
x>-3
1
2
3
-1
-2
-3
-4
-1
1
2
3
4
5
6
7
O
x
y
A(0,6)
B(0,-3)
想一想：你能通过观察函数图象得出一次不等式2x+6<0的解集吗？
y=2x+6
x<
-3
1
2
3
-1
-2
-3
-4
1
3
4
5
7
O
A(0,6)
B(0,-3)
2
6
4
-1
x
y
问题：请同学们观察一次函数y=2x+6和y=3的图象，你能说出2x+6=3的解和2x+6>3的解集吗？
y=2x+6
y=3
-1.5
1
2
3
-1
-2
-3
-4
1
3
4
5
7
O
A(0,6)
B(0,-3)
2
6
4
-1
x
y
x=-1.5,
x＞-1.5
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
一次函数与一元一次不等式的关系
y=kx+b的值
大于(或小于)0时，
x的取值范围
从“函数值”看
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
确定直线y=kx+b
在x轴上方(或下方)
的图象所对应的x
取值范围
从“函数图象”看
归纳总结
例3
画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：
（1）方程-3x+6=0的解;
（2）不等式-3x+6>0
和-3x+6<0的解集；
（3）当x取何值时，y<3?
解：（1）作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交于点B(2，0).
所以，方程-3x+6=0的解就是交点B的横坐标
x
O
B(2,0)
A(0,6)
y
解：（2）由图象可知，不等式-3x+6>0
的解集是图象位于
x轴上方的x的取值范围,即x<2；不等式
-3x+6<0的解集是图象位于
x轴下方的x的取值范围，即x>2；
x
O
B(2,0)
A(0,6)
3
1
(1,3)
y
（3）由图象可知，当x>1时，y<3.
（2）不等式-3x+6>0
和-3x+6<0的解集;
（3）当x取何值时，y<3?
试一试
1.一次函数y=-x+2的图象如图，你能说出-x+2<0的解集吗？
x
y
0
y=-x+2
2
x>2
2.一次函数y=kx+b的图象如图，你能说出kx+b<0的解集吗？
x
y
0
y=kx+b
-4
x
<
-4
当堂练习
1．利用图象解一元一次方程x+3=0.
?3
y=x+3
O
y
解：作y=x+3图象如右图.
由图象知y=x+3交x轴于(-3，0),
所以原方程的解为x
=?3
.
x
3
2.用画函数图象的方法解不等式5x+4＜2x+10.
解:原不等式化为3x
-6<0,
画出直线y
=
3x
-6(如图).
可以看出,当x<2
时这条直线上的点在x轴的下方,
即这时y
=
3x
-6
<0,
所以不等式的解集为x<2.
y=3x-6
1
2
3
-1
-2
-3
-1
-3
-4
-5
2
O
-2
1
4
-6
x
y
即5x+4
＜2x
+10的解集为x<2.
解：画出两个函数y=5x?1
和y=2x+5的图象．
由图象知，两直线交于点
(2，9)，所以原方程的解为
x=2．
O
y=5x?1
y=2x+5
9
2
x
y
3．利用函数图象求x的值:
5x?1=
2x+5.
4.函数y=2x+6的图象如图，利用图象：
(1)求方程2x+6=0的解；
由图象可得：图象过点(-3，0).
∴方程2x+6=0的解为x=-3；
(2)求不等式2x+6>0的解集；
由图象可得：当x＞-3时，函数y=2x+6的图象在x轴上方.
∴不等式2x+6>0的解集为x＞-3；
(3)若-1≤y≤3，求x的取值范围.
由图象可得：函数图象过F(1.5，3)，G(-3.5，-1)两点，
当-3.5≤x≤-1.5时，函数y=2x+6的函数值满足-1≤y≤3，
∴x的取值范围是-3.5≤x≤-1.5.
课堂小结
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式
解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.
解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.(共22张PPT)
12.1
函数
第12章
一次函数
第1课时
变量与函数
人间四月芳菲尽，
山寺桃花始盛开。
白居易
高处不胜寒
苏轼
导入新课
早穿皮袄午穿纱，围着火炉吃西瓜，
说明__________随______的变化而变化.
高处不胜寒，说明
____________随____________的变化而变化.
天气温度
时间
高山气温
海拔高度
万物皆变，大到天体、小到分子都处在不停的运动变化之中,如何从数学的角度来刻画这些运动变化并寻找规律呢?
为了更深刻地认识千变万化的世界，在这一章里，我们将学习有关一种量随另一种量变化的知识，共同见证事物变化的规律.
讲授新课
变量与函数
一
我们生活在一个变化的世界，通常会看到在同一变化过程中，有两个相关的量，其中一个量往往随着另一个量的变化而变化,那我们如何来研究各种运动变化呢?
数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.
问题1
如图，用热气球探测高空气象.
当t=3min，h为650m
设热气球从海拔500m处的某地升空，它上升后到达的海拔高度h
m与上升时间t
min的关系记录如下表：
时间t/min
0
1
2
3
4
5
6
7
…
海拔高度h/m
500
550
600
650
700
750
800
850
…
当t=2min，h为600m
当t=1min，h为550m
当t=0min，h为500m
(1)计时一开始，热气球的高度是多少？
(2)热气球的高度随时间的推移而升高的高度有规律吗？
(3)你能总结出h与t的关系吗？
500m
50m×1＝50m
50m×2=100m
50m×3=150m
50m×4=200m
…
50m×t=50tm
h=500+50t
(4)哪些量发生了变化？哪些量没有发生变化？
保持不变的量
（常量）
热气球原先所在的高度500m
气球上升的速度50m/min
不断变化的量
热气球升空的时间tmin
气球升空的高度hm
（变量）
因别人变化而变化的量__________.
自我发生变化的量___________；
（5）热气球上升的高度h与时间t，这两个变量之间有关系吗？
t
h
结论：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量.
时间t/min
0
1
2
3
4
5
6
7
…
海拔高度h/m
500
550
600
650
700
750
800
850
…
典例精析
例1
指出下列事件过程中的常量与变量
(1)某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千橘子的总价为m元，其中常量是
，变量是
；
(2)周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常量是
，变量是
；
(3)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式
中，其中常量是
，变量是
；
5
a，m
2，π
C，
r
注意：π是一个确定的数，是常量
S，
h
指出下列事件过程中的变量和常量：
（1）汽油的价格是7.4元/升，加油
x
升，车主加油付油费为
y
元；
（2）小明看一本200
页的小说，看完这本小说需要t
天，平均每天所看的页数为
n；
（3）用长为40
cm
的绳子围矩形，围成的矩形一边长为
x
cm，其面积为
S
cm2．
（4）若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β=90－α.
练一练
例2
阅读并完成下面一段叙述：
⒈某人持续以a米／分的速度用t分钟时间跑了s米，其中常量是
,变量是
.
⒉s米的路程不同的人以不同的速度a米／分各需跑的时间为t分，其中常量是
,变量是
.
3.根据上面的叙述，写出一句关于常量与变量的论：
.
在不同的条件下，常量与变量是相对的
a
t，s
s
a，t
区分常量与变量，就是看在某个变化过程中，该量的值是否可以改变，即是否可以取不同的值.
方法
问题2
下图是某市某日自动测量仪记下的用电负荷曲线.
O
(1)你发现哪些变量？
哪个是自变量？
哪个是因变量？
为什么？
(3)这一天的用电高峰、用电低谷时负荷各是多少？它们是在
什么时刻达到的？
(2)任意给出这一天中的某一时刻，如4.5h、20h，你能找到这
一时刻的用电负荷y
MW（兆瓦）是多少吗？说明了什么？
时间、负荷
时间
负荷
因为负荷随时间的变化而变化.
能，分别为10000MW、15000MW，说明t的值一确定，y的值就唯一确定了.
这一天的用电高峰在13.5h达到18000MW，用电低估在4.5h达到10000MW.
问题3
汽车在行驶过程中，由于惯性的作用刹车后仍将滑行一段距离才能停住，这段距离称为刹车距离.刹车距离是分析事故原因的一个重要因素.
(1)式中哪个量是常量？哪个量是变量？哪个量是自变
量？哪个量是因变量？
某型号的汽车在平整路面上的刹车距离sm与车速vkm/h之间有下列经验公式：
(2)当刹车时车速v
分别是40、80、120km/h时，相应的
滑行距离s分别是多少？
当v＝40km/h时，s＝6.25m；当
v＝80km/h时，s＝25m；
当
v＝120km/h时，s＝56.25m.
①256；②s,v；③v；④s.
一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
要点归纳
典例精析
例3
下列关于变量x
，y
的关系式：?y
=2x+3；?y
=x2+3；?y
=2|x|；④
；⑤y2-3x=10，其中表示y
是x
的函数关系的是
．
???
判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量有唯一确定的值与它对应.
方法
一个x值有两个y
值与它对应
例4
已知函数
(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；
(2)求当x取什么值时，函数的值为0.
解：（1）当x=2时，y=
;
当x=3时，y=
;
当x=-3时，y=7;
（2）令
解得x=
即当x=
时，y=0.
把自变量x的值带入关系式中，即可求出函数的值.
当堂练习
1.设路程为s，时间为t，速度为v，当v=60时，路程和时间的关系式为
，这个关系式中，
是常量，
是变量，
是
的函数.
60
s=60t
t和s
s
t
2.油箱中有油30kg,油从管道中匀速流出，1h流完，则油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（min）之间的函数关系式是
.
3.写出下列各问题的函数关系式，并指出其中的常量与变量，自变量与函数.
（1）运动员在200米一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t（秒）与跑步的速度v(米/秒)的关系式；
（2）n边形的对角线条数s与边数n之间的关系式.
解：（1）
，其中200是常量，v、t是变量，
v是自变量，t是v的函数；
（2）
，其中
，-3是常量，s、n是变
量，n是自变量，s是n的函数.
4.下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？如果是，请指出自变量.
（1）改变正方形的边长
x，正方形的面积
S
随之变化；
（2）秀水村的耕地面积是106
m2，这个村人均占有耕地面积
y
（单位：m2）随这个村人数
n
的变化而变化；
（3）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为
x，它对应的实数为
y，y
随
x
的变化而变化．
S
是x的函数，其中x是自变量.
y
是n的函数，其中n是自变量.
y
不是x的函数.
例如，到原点的距离为1的点对应实数1或-1,
变量与函数
常量与变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．
课堂小结
函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每个确定值,y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．(共26张PPT)
12.2
一次函数
第12章
一次函数
第3课时
用待定系数法求一次函数的解析式
导入新课
前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出两个具体的一次函数解析式吗？如何画出它们的图象？
思考：反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？
两点法——两点确定一条直线
问题引入
引例：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s）与其下滑时间t(s)的关系如右图所示：
(1)请写出v与t的关系式.
(2)下滑3
s时物体的速度是多少？
v
(m/s)
t(s)
O
解：（1）v=2.5t;
（2）v=2.5×3=7.5
(m/s).
5
2
讲授新课
确定正比例函数的表达式
一
典例精析
例1
求正比例函数
的表达式．
解：由正比例函数的定义知
m2－15＝1且m－4≠0，
∴m＝－4，
∴y＝－8x.
方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0.
想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？
确定一次函数的表达式呢？
一个
两个
如图，已知一次函数的图象经过P（0，-1），
Q（1，1）两点.
怎样确定这个一次函数的解析式呢？
合作探究
确定一次函数的表达式
二
因为一次函数的一般形式是y=kx+b（k，b为常数，k≠0），要求出一次函数的解析式，关键是要确定k和b的值（即待定系数）.
函数解析式
y=kx+b
满足条件的两点
(x1,y1),(x2,y2)
一次函数的图象直线l
选取
解出
画出
选取
∵P（0，-1）
和Q（1，1）都在该函数图象上，
∴它们的坐标应满足y=kx+b
，
将这两点坐标代入该式中，得到一个关于k，b的二元一次方程组：
k·0
+
b
=
-1，
k
+
b
=
1，
｛
｛
解这个方程组，得
k=2，
b=-1.
∴这个一次函数的解析式为y
=
2x-
1.
像这样，通过先设定函数解析式（确定函数模型），再根据条件确定解析式中的未知系数，从而求出函数解析式的方法称为待定系数法.
知识要点
例2
如果知道一个一次函数，当自变量x=4时，函数值y=5;当x=5时，y=2.你能画出它的图象，并写出函数解析式吗？
解：因为y是x的一次函数，设其表达式为y=kx+b.
由题意得
解得
4k+b=5,
5k+b=2,
所以，函数表达式为
y=-3x+17,
图象如图所示.
k=-3,
b=17,
利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤：
1.用含字母的系数设出一次函数的表达式：y=kx+b.
2.将已知条件代入上述表达式中得k，b的二元一次方程组.
3.解这个二元一次方程组得k，b.
4.进而求出一次函数的表达式.
总结归纳
1.已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2）,
则k=______.
2.已知函数y=2x+b的图像经过点（a，7）和（-2，a），
则这个函数的表达式为____________.
3
y=2x+5
练一练
例3
已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式.
分析：一次函数y=kx+b与y轴的交点是（0，b），与x轴的交点是（
，0）.由题意可列出关于k，b的方程.
y
x
O
2
注意：此题有两种情况.
解：设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)
∵一次函数y=kx+b的图象过点（0，2），
∴b=2
∵一次函数的图象与x轴的交点是(
，0)，则
解得k=1或-1.
故此一次函数的解析式为y=x+2或y=-x+2.
正比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象如图所示，它们的交点A的坐标为(3，4)，并且OB=5.
(1)你能求出这两个函数的解析式吗？
(2)△AOB的面积是多少呢？
做一做
分析：由OB=5可知点B的坐标为(0,-5).y=k1x的图象过点A(3，4)，y=k2x+b的图象过点A(3，4)，B(0,-5)，代入解方程(组)即可.
已知一次函数y=kx+b(k≠0)的自变量的取值范围是－
3≤x≤
6，相应函数值的范围是－
5≤y≤
－
2
，求这个函数的解析式.
能力提升
分析：(1)当－
3≤x≤
6时，－
5≤y≤
－
2，实质是给出了两组自变量及对应的函数值；
(2)由于不知道函数的增减性，此题需分两种情况讨论.
答案：
例4：正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B为一次函数的图象与y轴的交点，且OA＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．
解：设正比例函数的表达式为y1＝k1x，一次函数的表达式为y2＝k2x＋b.
∵点A(4，3)是它们的交点，
∴代入上述表达式中，
得3＝4k1，3＝4k2＋b.
∴k1＝
，
即正比例函数的表达式为y＝
x.
∵OA＝
＝5，且OA＝2OB，
∴OB＝
.
∵点B在y轴的负半轴上，
∴B点的坐标为(0，－
)．
又∵点B在一次函数y2＝k2x＋b的图象上，
∴－
＝b，
代入3＝4k2＋b中，得k2＝
.
∴一次函数的表达式为y2＝
x－
.
做一做
某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y（L）与工作时间x（h）
之间为一次函数关系，函数图象如图所示.
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）一箱油可供拖拉机工作
几小时？
y
=
-5x
+
40.
8
h
根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．
归纳总结
当堂练习
1.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象如图，则下列结论正确的是
(
)
A．k=2 B．k=3 C．b=2 D．b=3
D
y
x
O
2
3
2.
如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，填空:
(1)b=______,k=______;
(2)当x=30时，y=______;
(3)当y=30时，x=______.
2
-18
-42
l
3.已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．
解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得，
∴－5＝2k＋b，5＝b，
解得b＝5，k＝－5.
∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5.
解：设直线l为y=kx+b,
∵l与直线y=-2x平行，∴k=
-2.
又∵直线过点（0，2），
∴2=-2×0+b,
∴b=2,
∴直线l的表达式为y=-2x+2.
4.已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的表达式.
5.在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数.一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米.请写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度.
解：设y=kx+b(k≠0)
由题意得：14.5=b,
16=3k+b,
解得：b=14.5
;
k=0.5.
所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5.
当x=4时，y＝0.5×4＋14.5=16.5（厘米）.
故当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度为16.5厘米.
课堂小结
用待定系数法求一次函数的解析式
2.
根据已知条件列出关于k、b的方程组；
1.
设所求的一次函数表达式为y=kx+b；
3.
解方程，求出k、b;
4.
把求出的k，b代回表达式即可.(共25张PPT)
12.3
一次函数与二元一次方程
第12章
一次函数
导入新课
观察与思考
今天数学王国搞了个家庭Party，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5”.
二元一
次方程
一次函数
x+y=5
到我这里来
到我这里来
这是怎么回事？
x+y=5应该坐在哪里呢？
二元一次方程与一次函数图象的关系
一
讲授新课
合作探究
问题1.
方程x+y=5的解有多少个?写出其中的几个.
无数个
问题2.
等式x+y=5还可以看成一个一次函数，把它
变成y=kx+b的形式是_____________.
y=-x+5
问题3.
画出y=－x+5
的图象
·
·
5
5
x
0
y=-x+5
0
y=-x+5
追问①：以方程x+y=5的解为坐标的点都在一次函数y=-x+5的图象上吗？
都在
·
·
y=-x+5
追问②：在一次函数y=-x+5的图象上任取一点，点的坐标适合方程x+y=5吗？
都适合
追问③：以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗？
相同
在一次函数
y=5－x的图象上
方程
x+y=5的解
从形到数
从数到形
归纳总结
二元一次方程的解
一次函数图象上点的坐标
一一对应
二元一次方程与一次函数的关系
例1:下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x－2y＝2的解的是( )
解析：观察直线与坐标轴的交点坐标与二元一次方程的相应数值对应情况即可找到答案．对于二元一次方程x－2y＝2，当x＝0时，y＝－1；当y＝0时，x＝2，故直线与两坐标轴的交点应该是(0，－1)，(2，0)．
典例精析
C
直线与x轴的交点的横坐标即是二元一次方程中当y＝0时x的值；直线与y轴的交点的纵坐标即是二元一次方程中当x＝0时y的值，注意数形结合．
方法总结
1.方程
x
–
y
=
1
有一个解是
，则一次函数
y
=
x
–
1
的图象上必有一个点的坐标为
.
2.一次函数
y
=
2x
–
4
的图象上有一个点的坐标为(3,2)
，
则方程
2x
–
y
=
4
必有一个解是________.
(2,1)
练一练
例2:(1)在同一直角坐标系内分别画出直线l1
：
与l2：y=2x+6的图象；
(2)如果直线l1与l2相交于点P，写出点P的坐标P（__,__）；
（3）检验点P的坐标是不是下面方程组的解.
二元一次方程组与一次函数的关系
二
y
x
4
1
2
3
5
思考：方程组的解和这两个函数图象的交点坐标有什么关系？
(-2,-2)
解：
x
…
0
2
…
…
1
0
…
x
…
0
-3
…
y=2x+6
…
6
0
…
-1
0
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
y=2x+6
y
x
4
1
2
3
5
(-2,-2)
-1
0
-2
-3
-4
1
2
3
4
5
6
y=2x+6
解：（1）如图所示；
（2）由图可知，直线l1与l2相交于点P，点P的坐标为（-2，-2）；
（3）方程x+2y=2可以转化成一次函数
的形式，因此，直线l1：
上任意一点的
坐标都是方程x+2y=2的解；同理，直线l2上任意坐标都是方程
y=2x+6的解，所以两直线交点即方程组
的解
总结归纳
解方程组相当于考虑自变量为何值时,两个函数的值相等,以及这个函数值是何值．
数
二元一次方程
组的解
两个一次函数所在直线的交点坐标
对应
形
确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标.
例3：:用图象法解方程组
x
y
-2
2
-1
0
1
3
解：由
可得
由
可得
所以原方程组的解是
得l1，l2的交点为P（2，2）.
注意：
1.步骤与格式
2.这种解法得到的解一定精确吗？
x
…
-2
0
…
y
…
0
1
…
x
…
0
1
…
y
…
-2
0
…
在同一直角坐标系中作出图象
列表：
描点、连线：
-1
-2
1
2
3
1
.若二元一次方程组
的解为
，则函数y=5-x与
y=-2x+8
的图象的交点坐标为
.
练一练
2.一次函数 y=5-x 与 y=-2x+8 图象的交点为(3,2)则方程组
的解为 .
（3，2）
例4：已知方程组的图像，你能利用图像法说出下面两个方程组的解吗？
①
②
①
②
二元一次方程组的解的情况有三种：
归纳总结
（1）图象相交时，原方程组有唯一组解；
（2）图象重合时，原方程组有无穷多组解；
（3）图象平行时，原方程组无解.
我们知道二元一次方程组的解的情况有三种.那么对于
，当x、y的系数及常数项满足什么关系时，原方程组有唯一组解、有无穷多组解、无解？
当?a1：a2?≠b1：b2?时?，两直线相交，故方程组有唯一解；
当?a1：a2?=b1：b2?=c1?:c2时，两直线重合，故方程组有无穷多解；
3.当a1：a2?=b1：b2?≠c1?:c2时，两直线平行，故方程组无解.
2.若二元一次方程组
的解为
,
则函数
与
的图象的交点坐标
为
.
当堂练习
1.一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3),
则方程组
的解为
.
(2，2)
3．如图，两条直线的交点坐标可以看作哪个方程组的解？
解：
３
-１
2
-3
x
y
0
4.若方程组
①
②
中两个二元一次方程的
图象如图所示，则此方程组的解是多少？
解：此方程组的解是
1
2
3
-1
-2
-3
-1
-3
-4
-5
2
O
-2
1
4
-6
x
y
5.
利用图象解法解方程组
5x-2y=4；
10x-4y=8.
解：
对于方程①，有
过(0,
-2)和(2,
3)画出表示方程①的直线.
同样，(0,
-2)和(2,
3)也在表示方程②的
直线上.
所以方程①、
②的图象都是通过(0,
-2)和(2,
3)两点的直线l，就是说，这两条直线重合，显然，直线l上每一个点的坐标都是原方程组的解，所以原方程组有无穷多组解.
y
1
2
3
4
o
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
x
-1
-2
-3
-4
l：5x-2y=4
(10x-4y=8)
0
2
-2
3
①
②
6.利用图象法解方程组
3x+2y=-2，
6x+4y=4.
方程组的两个方程的图象有怎样的位置关系？方程组的情况怎样？
解：作出两个方程的图象，
1
2
3
4
5
6
7
o
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
x
-1
-2
-3
-4
-5
8
3x+2y
=
-2
6x+4y
=
4
如图，两条直线平行，所以方程组无解.
y
O
y
x
7.
如图，求直线l1与l2
的交点坐标.
解方程组
y
=2x+2
y
=-x+3
解：因为直线l1过点(-1，0)，
(0，2)
，用待定系数法可求得
直线l1的解析式为y
=2x+2.同理
可求得直线l2的解析式为y
=-x+3.
得
x=
y=
即直线l1与l2
的交点坐标为
二元一次方程与一次函数
二元一次方程的解与一次函数图象的关系
课堂小结
二元一次方程组与对应两条相交直线的关系
二元一次方程组与对应两条平行线的关系(共20张PPT)
12.2
一次函数
第12章
一次函数
第4课时
一次函数的应用——分段函数
导入新课
情境导入
小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中x表示时间，y表示小明离他家的距离．
该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？
讲授新课
分段函数
购买种子
数量/kg
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
…
付款金额/元
…
问题
“黄金1号”玉米种子的价格为5
元/kg，如果一次购买2
kg
以上的种子，超过2
kg
部分的种子的价格打8
折.
（1）填写下表：
2.5
5
7.5
10
12
14
16
18
（2）写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象.
分析：从题目可知，种子的价格与
有关.
若购买种子量为x＞2时，种子价格y为：
.
若购买种子量为0≤x≤2时，种子价格y为：
.
购买种子量
y=5x
y=4（x-2）+10=4x+2
解：设购买量为x千克，付款金额为y元.
当x＞2时，
y=4（x-2）+10=4x+2.
当0≤x≤2时，y=5x；
y=5x(0≤x≤2)
y=4x+2(x>2)
y
x
O
1
2
10
3
14
∴y
=
5x(0≤x≤2)
4x+2(x>2)
函数图象为:
（2）写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象.
叫做分段函数.
注意：1.它是一个函数；
2.要写明自变量取值范围.
思考：你能由上面的函数解析式或函数图象解决以下问题吗？
（1）一次购买1.5
kg
种子，需付款多少元？
（2）30元最多能购买多少种子？
总结归纳
在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数，分段函数在生活中也有很多应用.
例1
为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户
每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元
的污水处理费；超过8立方米时，超过部分每立方米收
取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水x立
方米，应缴水费y元.
（1）求出y关于x的函数关系式；
解：（1）y关于x的函数关系式为
(1+0.3)x
=1.3x
(0≤x≤8)，
(1.5+1.2)(x-8)+1.3
×
8=2.7x-11.2
(x＞8)；
y=
函数图象如图所示；
30
20
10
8
16
O
.
.
(8,10.4)
(16,32)
y/元
x/m3
（2）画出上述函数图象;
（3）该市某户某月若用水x=5立方米或x=10立方米时，
求应缴水费;
（3）当x=5
m3时，
y=1.3×5=6.5（元）；
当x=10m3时，y=2.7×10-11.2=15.8（元）.
即当用水量为5m3时，该户应缴水费6.5元；当用水量为10m3时，该户应缴水费15.8元.
（4）y=26.6>1.3×8，可知该户这月用水超过8m3,
因此，2.7x-11.2=26.6，
解方程，得
x=14.
即该户本月用水量为14m3.
要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程．
方法总结
（4）该市某户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量.
例2
全国每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务，某地区现有土地100万平方千米，沙漠200万平方千米，土地沙漠化的变化情况如下图所示.
(1)如果不采取任何措施，那么
到第5年底，该地区沙漠面积
将增加多少万千米2？
10万千米2
(2)如果该地区沙漠的面积继续按此趋势扩大，那么从现在开始，第几年底后，该地区将丧失土地资源？
(3)如果从现在开始采取植树造林措施，每年改造4万千米2
沙漠，那么到第几年底，该地区的沙漠面积能减少到176万千米2．
每年新增面积为2万千米2，所以第50年底后将丧失土地资源.
第12年底
解：(1)由题意得
当0≤t≤2时，T=20；
当2函数解析式为：
T
=
20(0≤t≤2)
5t+10(2T=20(0≤t≤2)
T=5t+10(220
10
40
T/℃
t/h
O
1
2
30
4
3
(2)函数图像为：
1.一个试验室在0：00—2：00保持20℃的恒温，在2：00—4：00匀速升温，每小时升高5℃.写出试验室温度T（单位：℃）关于时间t（单位：h）的函数解析式，并画出函数图象.
当堂练习
2.近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电量越来越多.为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如图所示.
25
50
75
100
25
50
70
100
O
y(元）
x(度）
75
⑴请你根据图象所描述的信息，分别求出当0≤x≤50
和x>50时，y与x的函数表达式；
解:当0≤x≤50
时，由图象可设
y=k1x，
∵其经过（50，25），代入得25=50k1，
∴k1=0.5，∴y=0.5x
;
当x＞50时，由图象可设
y=k2x+b，
∵其经过（50,25）、（100,70），
得k2=0.9,b=-20,∴y=0.9x-20.
25
50
75
100
25
50
70
100
O
y(元）
x(度）
75
⑵根据你的分析：当每月用电量不超过50度时，收费标准是多少？当每月用电量超过50度时，收费标准是多少？
解：不超过50度部分按0.5元/度计算，超过部分按0.9元/度计算.
3.某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（毫克）随时间x（时）的变化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药，
（1）服药后____小时，血液中含药量最高,达到每毫升_____毫克；
（2）服药5小时，血液中含药量为每毫升____毫克；
（3）当x≤2时,
y与x之间的函数关系式是_____；
（4）当x≥2时,
y与x之间的函数关系式是_________；
（5）如果每毫升血液中含药量3毫克
或3毫克以上时，治疗疾病最有效，
那么这个有效时间是___
小时.
x/时
y/毫克
6
3
2
5
O
2
6
3
y=3x
y=-x+8
4
（1）小明全家在旅游景点游玩了多少小时？
4.“五一”黄金周的某一
天，小明全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到距离180千米的某著名旅游景点游玩.该小汽车离家的距离s(千米)与时间t(时)的关系可以用图中的曲线表示.根据图象提供的有关信息，解答下列问题：
解：由图象可知，小明全家在旅游景点游玩了4小时.
5
10
15
120
180
s（千米）
t（时）
O
A
B
C
D
8
14
（2）求出返程途中，s(千米)与时间t(时)的函数关系，并回答小明全家到家是什么时间？
解：设s=kx+b,由图象过（14，180）、（15，120）
∴S=-60t+1020
.
令S=0，得t=17.
∴返程途中S
与时间t的函数关系是
S=-60t+1020（14≤x≤17），
小明全家当天17:00到家.
课堂小结
分段函数
分段函数的具体应用
对分段函数图象的理解(共32张PPT)
12.2
一次函数
第12章
一次函数
第1课时
正比例函数的图象和性质
1.函数有哪些表示方法?
图象法、列表法、关系式法
三种方法可以相互转化
它们之间有什么关系?
2.你能将关系式法转化成图象法吗?
什么是函数的图象?
知识回顾
导入新课
讲授新课
一次函数与正比例函数
一
在现实生活当中有许多问题都可以归结为函数问题,大家能不能举一些例子?
y=3+0.5x
情景一：某弹簧的自然长度为3
cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1kg，弹簧长度y增加0.5
cm.你能写出x与y之间的关系吗？
情景二：某辆汽车油箱中原有油100
L,汽车每行驶50
km耗油9
L.设汽车行使路程x(km),油箱剩余油量y(L),你能写出x与y的关系吗?
y=100－0.18x
情景三：每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞
在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n的
变化而变化．写出函数解析式.
情景四：冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，
物体问题T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：min）
的变化而变化．写出函数解析式.
h=0.5n
T=-2t
上面的四个函数关系式:
(1)y=3+0.5x;
(2)
y=100－0.18x.
(3)
h=0.5n
；
(4)
T=-2t.
若两个变量
x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(b为常数，k≠0）的形式，则称
y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）.
当b=0时，称y是x的正比例函数.
一次函数：
大家讨论一下,这几个函数关系式有什么关系?
下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1)y＝－x－4;
(2)y＝5x2－6；
(3)y＝2πx;
(6)y＝8x2＋x(1－8x)
解：(1)是一次函数，不是正比例函数；
(2)不是一次函数，也不是正比例函数；
(3)是一次函数，也是正比例函数；
(4)是一次函数，也是正比例函数；
(5)不是一次函数，也不是正比例函数；
(6)是一次函数，也是正比例函数．
练一练
方法总结
1.判断一个函数是一次函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零；
2.判断一个函数是正比例函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．
例1：已知函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1.
(1)若它是一次函数，求m的值；
(2)若它是正比例函数，求m的值．
解：(1)
因为y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，
所以
m2－24＝1且m－5≠0，
所以
m＝±5且m≠5，
所以
m＝－5.
所以，当m＝－5时，函数y＝(m－5)xm2－24
＋m＋1是一次函数．
(2)若它是正比例函数，求
m
的值．
解：(2)因为
y＝(m－5)xm2－24＋m＋1是一次函数，
所以
m2－24＝1且m－5≠0且m＋1＝0.
所以
m＝±5且m≠5且m＝－1，
则这样的m不存在，
所以函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1不可能为
正比例函数．
【方法总结】函数是一次函数，则k≠0，且自变量的次数为1.当b＝0时，一次函数为正比例函数．
例2：画出下面正比例函数y=2x的图象.
解：
x
y
1
0
0
-1
2
-2
…
…
…
…
2
4
-2
-4
关系式法
列表法
①列表
正比例函数的图象的画法
二
y=2x
②描点
以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点
③连线
画函数图象的一般步骤：
①列表
②描点
③连线
根据这个步骤画出函数y=-3x的图象
要点归纳
这两个函数图象有什么共同特征？
y
1
2
4
5
-
1
-
2
-
3
-
4
-
5
-
1
-
2
-
3
-
4
1
4
3
0
y=
-
3x
3
2
x
1
2
5
-
1
-
2
-
3
-
4
-
5
-
1
-
2
-
3
-
4
1
4
3
0
-
3
2
x
y=2x
归纳总结
y=kx
(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线
y=kx(k≠0)
经过的象限
k＞0
第一、三象限
k＜0
第二、四象限
怎样画正比例函数的图象最简单？为什么？
由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点
(1，k)，连线即可.
两点
作图法
O
例3：在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：
（1）
；（2）
y=x
；
（3）y=3x.
x
0
1
y=x
1
y=3x
0
0
3
0
y=3x
y=x
例3：
已知正比例函数y=(m+1)xm2
，它的图象经过第几象限？
m+1=2>0
该函数是正比例函数
m2=1
{
∴根据正比例函数的性质，k>0可得该图象经过一、三象限.
解：
（1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值
范围是________.
变式1：
已知正比例函数y=(k+1)x.
k＞-1
（2）若函数图象经过点（2，4），则k_____.
解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以
k+1>0，解得k>-1.
解析：将坐标（2，4）带入函数表达式中，得
4=(k+1)·2，解得k=1.
=1
变式2：当x＞0时，y与x的函数解析式为y=2x
，
当x≤0时，y与x的函数解析为y=-2x
，则在同一直角
坐标系中的图象大致为(
)
C
正比例函数图象的性质
三
画一画：在同一直角坐标系内画出正比例函数
y=x
,
y=3x,
y=-
x和
y=-4x
的图象.
这四个函数中,随着x的增大,y的值分别如何变化?
当k＞0时,
x增大时,y的值也增大；
当k＜0时,
x增大时,y的值反而减小.
x
y
0
2
4
y
=
2x
1
2
2
4
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
y
=
x
3
2
-3
-6
x
y
0
想一想：下列函数中,随着x的增大,y的值分别如何变化?
在正比例函数y=kx中，
当k>0时，y的值随着x值的增大而增大;
当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
总结归纳
练一练
1.已知正比例函数y=kx
(k>0)的图象上有两点（x1，y1），
（x2，y2），若x1y2.
<
2.
正比例函数y=k1x和y=k2x的图象如图，则k1和k2的大小关系是（
）
A
k1>k2
B
k1=k2
C
k1D
不能确定
y=k1x
y=k2x
x
y
o
A
例4：
已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4），且y的值随着x值的增大而减小，求m的值.
解：因为正比例函数y=mx的图象经过点（m，4）,
所以4=m·m，解得m=±2.
又y的值随着x值的增大而减小，
所以m<0，故m=－2.
（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？
（2）正比例函数y=
-
x和y
=-4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？
|k|越大，直线越陡，直线越靠近y轴.
议一议
1.下列图象哪个可能是函数y=-x的图象（
）
当堂练习
B
2.对于正比例函数y
=（k-2）x，当x
增大时，y
随x
的增大而增大，则k的取值范围
（
）
A．k＜2 B．k≤2
C．k＞2 D．k≥2
C
3.函数y=-7x的图象经过第_________象限，经过点
_______与点
，y随x的增大而_______.
二、四
（0，0）
（1,-7）
减小
4.已知正比例函数y=(2m+4)x.
（1）当m
，函数图象经过第一、三象限；
（2）当m
，y
随x
的增大而减小；
（3）当m
，函数图象经过点（2，10）.
＞-2
<-2
=0.5
5.
如图分别是函数y=k1
x，y=k2
x，y=k3
x，y=k4
x的图象.
（1）k1
k2，k3
k4(填“>”或“<”或“=”)；
（2）用不等号将k1，
k2，
k3，
k4及0依次连接起来．
＜
解：
k1＜k2
＜0＜k3
＜k4
4
2
-2
-4
4
x
y
O
y
=k4
x
-4
-2
2
y
=k3
x
y
=k2
x
y
=k1
x
＜
6.
已知函数y=(m-1)x+1-m2
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数?
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数?
解：（1）由题意可得
m-1≠0，解得m≠1.
（2）由题意可得
m-1≠0，1-m2=0，解得m=-1.
即m≠1时，这个函数是一次函数.
即m=-1时，这个函数是正比例函数.
7.
已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15
L．所使用的汽油为5元/
L
．
（1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程
x（km）之间的函数关系式.
（2）在平面直角坐标系内描出大致的函数图象.
（3）计算该汽车行驶220
km所需油费是多少.
y/元
x/km
1
2
3
4
5
6
7
6
5
4
3
2
1
O
（1）y=5×15x/100，
即
.
（2）
x
0
4
y
0
3
列表
（3）当x=220时，
答：该汽车行驶220
km所需油费是165元．
描点
连线
（元）.
解：
课堂小结
正比例函数的图象和性质
正比例函数:
y=kx(k≠0）
图象：经过原点的直线.
一次函数:
y=kx+b
(k、b为常数，且k≠0）
当k>0时，y的值随着x值的增大而增大;
当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.(共26张PPT)
小结与复习
第12章
一次函数
1.
叫变量，
叫常量.
2.函数定义：
数值发生变化的量
数值始终不变的量
在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
要点梳理
一、函数
(所用方法:描点法)
3.函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
列表法
解析式法
图象法.
5.函数的三种表示方法：
4.描点法画图象的步骤：列表、描点、连线
一次函数
一般地，如果y＝
k
x＋b
(k、b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.
正比例函数
特别地，当b＝____时，一次函数
y＝k
x＋b变为y＝
___(k为常数，k≠0)，这时y叫做x的正比例函数.
0
kx
二、一次函数、正比例函数及分段函数的相关概念与性质
1.一次函数与正比例函数的概念
2.分段函数
当自变量的取值范围不同时，函数的解析式也不同，这样的函数称为分段函数.
函数
字母取值
（
k>0
）
图象
经过的象限
函数性质
y＝kx+b
(k≠0)
b>0
y随x增大而
增大
b=0
b<0
第一、三象限
第一、二、三象限
第一、三、四象限
3.一次函数与正比例函数的性质
函数
字母取值
（
k<0
）
图象
经过的象限
函数性质
y＝kx+b
(k≠0)
b>0
y随x增大而
减小
b＝0
b<0
第一、二、四象限
第二、四象限
第二、三、四象限
求一次函数表达式的一般步骤：
（1）先设出函数表达式；
（2）根据条件列关于待定系数的方程（组）；
（3）解方程（组）求出表达式中未知的系数；
（4）把求出的系数代入设的解析式，从而具体写出这个解析式.这种求表达式的方法叫待定系数法.
4.由待定系数法求一次函数的表达式
求ax+b=0(a，b是
常数，a≠0)的解．
x为何值时，
函数y=
ax+b的值为0？
从“数”的角度看
求ax+b=0(a,
b是
常数，a≠0)的解．
求直线y=
ax+b，
与
x
轴交点的横坐标．
从“形”的角度看
1.一次函数与一元一次方程
三、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式
解不等式ax+b＞0(a，
b是常数，a≠0)
．
x为何值时，
函数y=
ax+b的值大于0？
解不等式ax+b＞0(a，
b是常数，a≠0)
．
求直线y=
ax+b在
x轴上
方的部分（射线）所对
应的横坐标的取值范
围．
2.一次函数与一元一次不等式
从“数”的角度看
从“形”的角度看
四、一次函数与二元一次方程
一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．
利用图象法解二元一次方程组的一般步骤：
①两个方程分别转化为一次函数
②在同一坐标系中画出两个函数图象
③找出图象交点坐标
④写出方程组的解
考点讲练
考点一
函数的概念与图象
例1
王大爷饭后出去散步，从家中走20分钟到离家900米的公园，与朋友聊天10分钟后，用15分钟返回家中．下面图形表示王大爷离家时间x（分）与离家距离y（米）之间的关系是（
）
A
B
C
D
【分析】对四个图依次进行分析，符合题意者即为所求．
【答案】D
D
O
O
O
O
利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数问题的相应解决．
方法总结
针对训练
1.下列变量间的关系不是函数关系的是（
）
A.长方形的宽一定，其长与面积
B.正方形的周长与面积
C.等腰三角形的底边长与面积
D.圆的周长与半径
C
2.函数
中，自变量x的取值范围是（
）
A.x＞3
B.x＜3
C.x≤3
D.x≥-3
B
3.星期天下午，小强和小明相约在某公交车站一起乘车回学校，小强从家出发先步行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y（千米）和所用的时间x（分）之间的函数关系．下列说法错误的是（
）
A．小强从家到公共汽车站步行了2千米
B．小强在公共汽车站等小明用了10分钟
C．公交车的平均速度是34千米/小时
D．小强乘公交车用了30分钟
C
x(分)
y(千米)
考点二
一次函数的图象、性质及表达式的求法
例2
已知函数y=（2m+1）x+m﹣3；
（1）若函数图象经过原点，求m的值；
（2）若函数图象在y轴的截距为﹣2，求m的值；
（3）若函数的图象平行直线y=3x﹣3，求m的值；
（4）若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，求m的
取值范围；
（5）若这个函数图象过点（1,4），求这个函数的解析式.
【分析】（1）由函数图象经过原点得m-3=0且2m+1≠0；（2）函数图象在y轴的截距为﹣2，即m-3=2；（3）由两直线平行得2m+1=3；（4）一次函数中y随着x的增大而减小，即2m+1＜0；（5）代入该点坐标即可求解.
解：（1）∵函数图象经过原点，∴m﹣3=0，且2m+1≠0，
解得m=3；
（2）∵函数图象在y轴的截距为﹣2，∴m﹣3=﹣2，
且2m+1≠0，解得m=1；
（3）∵函数的图象平行于直线y=3x﹣3，∴2m+1=3，
解得m=1；
（4）∵y随着x的增大而减小，∴2m+1＜0，解得m＜
???
．
（5）∵该函数图象过点（1,4），代入得2m+1+m-3=4,
解得m=2，∴该函数的解析式为y=5x-1.
一次函数与y轴的交点就是y=kx+b中b的值，两条直线平行，其函数表达式中的一次项系数k相等，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小.
方法总结
针对训练
4.一次函数y=-5x+2的图象不经过第______象限.
5.点（-1，y1），（2，y2）是直线y=2x+1上两点，则y1____y2.
三
＜
6. 填空题：
有下列函数：①
,
②
,
③
,
④
.
其中过原点的直
线是_____；函数y随x的增大而增大的是___________；函数y随x的增大而减小的是______；图象在第一、二、三象限的是_____.
②
①、②、③
④
③
x
y
2
=
考点三
一次函数与方程、不等式
例3
如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（
）
y
x
O
y1=x+b
y2=kx+4
P
A．x＞﹣2
B．x＞0
C．x＞1
D．x＜1
【分析】观察图象，两图象交点为P(1，3),
当x＞1时，y1在y2上方，据此解题即可.
【答案】C．
1
3
C
本题考查了一次函数与一元一次不等式，从函数的角度看，就是寻求一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.
方法总结
针对训练
7.方程x+2=0的解就是函数y=x+2的图象与（
）
A.x轴交点的横坐标
B.y轴交点的横坐标
C.y轴交点的纵坐标
D.以上都不对
8.两个一次函数y=-x+5和y=-2x+8的图象的交点坐标是
___________.
A
(3，2)
(1)问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；
(2)若搭配一个
A
种造型的成本是
800
元，搭配一个
B
种造型的成本是960元，试说明(1)中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
例4
为美化深圳市景，园林部门决定利用现有的
3490
盆甲种花卉和
2950
盆乙种花卉搭配
A、B
两种园艺造型共
50
个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个
A
种造型需甲种花卉
80
盆，乙种花卉
40
盆，搭配一个
B
种造型需甲种花卉
50
盆，乙种花卉
90
盆．
考点四
一次函数的应用
解：设搭配
A
种造型
x
个，则
B
种造型为(50－x)个，
依题意，得
∴31≤x≤33.
∵x
是整数，x
可取
31,32,33，
∴可设计三种搭配方案：
①A
种园艺造型
31
个，B
种园艺造型
19
个；
②A
种园艺造型
32
个，B
种园艺造型
18
个；
③A
种园艺造型
33
个，B
种园艺造型
17
个．
方案①需成本：31×800＋19×960＝43040(元)；
方案②需成本：32×800＋18×960＝42880(元)；
方案③需成本：33×800＋17×960＝42720(元)．
（2）方法一：
方法二：成本为
y＝800x＋960(50－x)＝－160x＋48000(31≤x≤33)．
根据一次函数的性质，y
随
x
的增大而减小，
故当
x＝33
时，y
取得最小值为
33×800＋17×960＝42720(元)．
即最低成本是
42720
元．
用一次函数解决实际问题，先理解清楚题意，把文字语言转化为数学语言，列出相应的不等式（方程），若是方案选择问题，则要求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系，结合实际需求，选择最佳方案.
方法总结
9.小星以2米/秒的速度起跑后，先匀速跑5秒，然后突然把速度提高4米/秒，又匀速跑5秒.试写出这段时间里他的跑步路程s（单位：米）随跑步时间x（单位：秒）变化的函数关系式，并画出函数图象.
解:依题意得
{
s=2x
(0≤x≤5)
s=10+6(x-5)
(510
0
s(米)
5
0
x(秒)
①
40
10
s(米)
10
5
x(秒)
②
x(秒）
s(米)
O
·
·
·
·
5
10
10
40
·
·
·
s=2x
(0≤x≤5)
s=10+6(x-5)
(5针对训练
变
量
解析法
一次函数y=kx+b(k,b为常数，
且k≠0），特例y=kx(k为常
数，且k≠0）.
函
数
列表法
图象法
一次函数与一元一次
方程、一元一次不等式
一次函数与二
元一次方程
课堂小结
用待定系数法求一次函数的解析式
2.
根据已知条件列出关于k、b的方程组；
1.
设所求的一次函数表达式为y=kx+b；
3.
解方程，求出k、b;
4.
把求出的k，b代回表达式即可.
利用一次函数进行方案决策
②列出不等式（方程），求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系
③结合实际需求，选择最佳方案
①从数学的角度分析问题，建立函数模型(共26张PPT)
4.3
一次函数的图象
第四章
一次函数
第2课时
一次函数的图象和性质
导入新课
复习引入
形如
的函数，叫做正比例函数；
形如
的函数，叫做一次函数；
当b=0时，y=kx+b就变成了
,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
正比例函数的图象是一条经过
点的
.
y=kx（k是常数，k≠0）
y=kx+b(k,b是常数，k≠0)
y=kx
原
直线
正比例函数
解析式
y
=kx（k≠0）
性质：k＞0，y
随x
的增大而增大；k＜0，y
随
x
的增大而减小．
一次函数
解析式
y
=kx+b（k≠0）
针对函数
y
=kx+b，要研究什么？怎样研究？
图象：经过原点和
（1，k）的一条直线
x
y
O
k＞0
k＜0
x
y
O
？
？
研究函数
y
=kx+b（k≠0）的图象和性质：
研究方法：
画图象→观察图象→变量（坐标）意义解释．
讲授新课
一次函数的图象的画法
一
在上一课的学习中，我们学会了正比例函数图象的画法，分为三个步骤．
①列表
②描点
③连线
那么你能用同样的方法画出一次函数的图象吗？
-3
-2
-1
3
2
1
o
-2
2
3
4
5
x
y
1
描点、
连线
-1
列表
x
–2
–1
0
1
2
y=2x
-4
-2
0
2
4
y=2x+3
-4+3
-2+3
0+3
2+3
4+3
例1：画出一次函数y=2x＋3的图象
-4
解：为了便于对比，列出一次函数y=2x+3与正比例函数y=2x的x与y的对应值表
由此可见，一次函数y=2x+3的图
像是平行于直线y=2x的一条直线
总结归纳
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线,因此画一次函数图象时,只要确定两个点，再过这两点画直线就可以了.一般过(0,b)和(1,k+b)或(
,0)
(0,
b)
(
,
0)
与y轴交于点（0，b),b叫做直线
y=kx+b在y轴上的截距．
例2
画出直线
，并求它的截距.
解：对于
,
过（0，-1），（
，0）即得
的图象如图所示，它的截距是-1．
典例精析
-3
O
-2
2
3
1
2
3
-1
-1
-2
x
1
y
O
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1）
y=-2x-1；（2）
y=0.5x+1
x
0
1
y=-2x-1
y=0.5x+1
-1
-3
1
y=-2x-1
做一做
1.5
y=0.5x+1
也可以先画直线
y=-2x与
y=0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y=-2x-1与
y=0.5x+1
.
.
.
.
x
y
2
O
.
.
.
活动：请大家用描点法在同一坐标系内画出一次函数y=x+2,y=x-2的图象.
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=x+2
…
…
y=x-2
…
…
0
-3
1
-4
2
-2
3
-1
4
0
.
.
.
y=x+2
y=x-2
思考：观察它们的图象有什么特点？
y=x
y=x+2
y=x-2
y
2
O
x
2
●
●
观察三个函数图象的平移情况：
探究归纳
把一次函数y=x+2,y=x-2的图象与y=x比较，发现：
1.
这三个函数的图象形状都是
，并且倾斜程度
______．
2.
函数y=x的图象经过原点，函数y=x+2的图象与y轴交于点
，即它可以看作由直线y=x向
平移
个单位长度而得到．函数y=x-2的图象与y轴交于点
，即它可以看作由直线y=x向____
平移____个单位长度而得到．
直线
相同
（0，2）
上
2
（0，-2）
下
2
比较三个函数的解析式，
相同,
它们的图象的位置关系是
.
自变量系数k
平行
一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（0，b），可以由正比例函数y=kx的图象平移
个单位长度得到（当b＞0时，向
平移；当b＜0时，向
平移）.
下
上
思考：与x轴的交点坐标是什么？
要点归纳
(1)将直线y＝2x向上平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为( )
A．y＝2x－1
B．y＝2x－2
C．y＝2x＋1
D．y＝2x＋2
(2)将正比例函数y＝－6x的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数表达式可能是__________
(写出一个即可)．
练一练
B
y＝－6x+3
一次函数的性质
二
画一画1：在同一坐标系中作出下列函数的图象.
（1）
（2）
（3）
-3
O
-2
2
3
1
2
3
-1
-1
-2
x
y
1
思考：k,b的值跟图象有什么关系？
画一画2：
在同一坐标系中作出下列函数的图象.
（1）
（2）
（3）
-3
o
-2
2
3
1
2
3
-1
-1
-2
x
y
1
思考：k,b的值跟图象有什么关系？
在一次函数y=kx+b中，
当k>0时，y的值随着x值的增大而增大;
当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
由此得到一次函数性质：
归纳总结
例3
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数y=-0.5x+3图象
上的两点，下列判断中，正确的是(
)
A.y1＞y2
C.当x1＜x2时，y1＜y2
B.
y1＜y2
D.当x1＜x2时，y1＞y2
D
解析:根据一次函数的性质:
当k＜0时，y随x的增大而减小，所以D为正确答案．
提示：反过来也成立：y越大，x也越大．
k
0，b
0
>
>
k
0，b
0
k
0，b
0
k
0，b
0
k
0，b
0
k
0，b
0
>
>
>
<
<
<
<
<
=
=
思考：根据一次函数的图象判断k，b的正负，并说出直线经过的象限：
归纳总结
一次函数y=kx＋b中，k，b的正负对函数图象及性质有什么影响？
当k＞0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐上升，y随x的增大而增大.
当k＜0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐下降，y随x的增大而减小.
①
b>0时，直线经过
一、二、四象限；
②
b<0时，直线经过二、三、四象限.
①
b>0时，直线经过一、二、三象限；
②
b<0时，直线经过一、三、四象限.
两个一次函数y1＝ax＋b与y2＝bx＋a，它们在同一坐标系中的图象可能是( )
练一练
C
例4
已知一次函数
y=(1-2m)x+m-1
,
求满足下列条件的m的值：
（1）函数值y
随x的增大而增大；
（2）函数图象与y
轴的负半轴相交；
（3）函数的图象过第二、三、四象限；
解：(1)由题意得1-2m>0，解得
(2)由题意得1-2m≠0且m-1<0，即
(3)由题意得1-2m<0且m-1<0，解得
1.
一次函数y=x-2的大致图象为（
）
C
A
B
C
D
当堂练习
2.下列函数中，y的值随x值的增大而增大的函数是(
).
A.y=-2x
B.y=-2x+1
C.y=x-2
D.y=-x-2
C
3.直线y=3x-2可由直线y=3x向
平移
单位得到.
4.直线y=x+2可由直线y=x-1向
平移
单位得到.
下
2
上
3
5.点A(-1,y1),B(3,y2)是直线y=kx+b(k<0)上的两点，则y1-y2
0(填“>”或“<”).
>
6.已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m图象与
y轴交点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整数，求m的值
.
解:
由题意得
，
解得
又∵m为整数,
∴m＝2
课堂小结
一次函数函数的图象和性质
当k>0时，y的值随x值的增大而增大；
当k<0时，y的值随x值的增大而减小.
与y轴的交点是（0，b），
与x轴的交点是（
，0），
当k>0，
b>0时，经过一、二、三象限；
当k>0
，b<0时，经过一、三、四象限；
当k<0
，b>0时，经过
一、二、四象限；
当k<0
，b<0时，经过二、三、四象限.
图象
性质
