(共21张PPT)
13.1
三角形中的边角关系
2.三角形中角的关系
思
考
三角形若按角来分类，可分为哪几类？
三角形按边长关系，可分为：
等腰三角形（等边三角形是它的特例)
不等边三角形
三角形
导入新课
回顾与思考
画一画：同学们手中有直角三角板，请再画一个内角不是90°的三角形.
讲授新课
三角形按角分类
一
三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形；
锐角三角形
有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形.
钝角三角形
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形；
直角三角形
直角边
直角边
斜边
A
B
C
直角三角形ABC可以写成Rt△ABC；
直角三角形
斜三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形
三角形按角的大小分类
要点归纳
我的形状最小，那我的内角和最小.
我的形状最大，那我的内角和最大.
不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.
一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.
情境引入
我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.
思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢?
折叠
还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？
三角形内角和定理
二
锐角三角形
测量
480
720
600
600＋480＋720＝1800
（学生运用学科工具—量角器测量演示）
剪拼
视频：剪拼验证内角和定理
三角形的内角和等于180°.
总结归纳
则有：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
例1
如图，△ABC中，BD⊥AC，垂足为D，∠ABD=54°，∠DBC=18°,求∠A和∠C的度数.
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=∠CDB=90°.
在△ABC中，
∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°,
∠ABD=54°，∠ADB=90°，
∴∠A=180°－∠ABD－∠ADB
=180°－54°－90°=36°.
解：
∴∠C=180°－∠A－（∠ABD+∠DBC）
=180°－36°－（54°+18°）=72°.
例2
如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
基本图形
由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.
总结归纳
例3
在△ABC
中，
∠A
的度数是∠B
的度数的3倍，∠C
比∠B
大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解:
设∠B为x°，则∠A为(3x)°，
∠C为(x
＋
15)°，
从而有
3x
＋
x
＋(x
＋
15)＝
180.
解得
x
＝
33.
所以
3x
＝
99
，
x
＋
15
＝
48.
答：
∠A，
∠B，
∠C的度数分别为99°，
33°，
48°.
几何问题借助方程来解.
这是一个重要的数学思想.
②在△ABC中，∠A
:∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是
_________三角形
.
练一练：
①在△ABC中，∠A=35°，∠
B=43
°，则∠
C=
.
③在△ABC中，
∠A=
∠B+10°,
∠C=
∠A
+
10°,
则
∠A=
，
∠
B=
，∠
C=
.
102°
直角
60°
50°
70°
1.下列各组角是同一个三角形的内角吗？为什么？
（2）60°，
40°，
90°
（3）30°，
60°，
50°
（1）3°，
150°，
27°
是
不是
不是
三角形的内角和为180°.
当堂练习
2.求出下列各图中的x值．
x=70
x=60
x=30
x=50
3.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________
.
B
A
C
D
4
1
3
2
E
40°
（
280
°
4.如图，四边形ABCD中，点E在BC上,∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．
解：∵∠A+∠ADE=180°，
∴AB∥DE，
∴∠CED=∠B=78°．
又∵∠C=60°，
∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）
=180°-（78°+60°）
=42°．
三角形中角的关系
课堂小结
三角形按角分类
直角三角形
斜三角形
三角形的内角和等于180°
锐角三角形
钝角三角形(共27张PPT)
小结与复习
第13章
三角形中的边角
关系、命题与证明
①三角形有三条边，三个内角，三个顶点.
②组成三角形的线段叫做三角形的边;
③相邻两边所组成的角叫做三角形内角，简称角;
④相邻两边的公共端点是三角形的顶点，
⑤三角形ABC用符号表示为△ABC，
⑥三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c
表示，AC可用b表示，BC可用a表示.
不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．
A
B
C
要点梳理
一、三角形的相关概念
注意：
1.三边关系的依据是：两点之间线段最短.
2.判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.
3.三角形第三边的取值范围是:
两边之差<第三边<两边之和
三角形的任意两边之和大于第三边;
三角形的任意两边之差小于第三边.
二、三角形的三边关系
注意：①
三角形的高是线段；
②
锐角三角形三条高全在三角形的内部；
直角三角形有两条高是直角边，另一条在内部；
钝角三角形有两条高在三角形外，另一条在内部.
③
三角形三条高所在直线交于一点．
1.三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在
的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
表示法：①
AD是△ABC的边BC上的高；
②
AD⊥BC于D；
③∠ADB=∠ADC=90°.
三、三角形的高、中线、角平分线：
注意：①三角形的中线是线段；
②三角形三条中线全在三角形的内部；
③三角形三条中线交于三角形内部一点；
④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．
2.三角形的中线：连接一个顶点和它对边中点的线段．
表示法：
①
AD是△ABC的边BC上的中线；
②
BD=DC=
BC.
注意：①三角形的角平分线是线段；
②三角形三条角平分线全在三角形的内部；
③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；
④用量角器画三角形的角平分线．
3.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段.
表示法：
①
AD是△ABC中∠BAC的平分线.
②
∠1=∠2=
∠BAC.
1
2
注意：①
命题有真命题和假命题两种.
对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫做命题.
②
命题由题设和结论两部分组成.
前一部分称之为条件，后一部分称之为结论.
③
命题通常是用“如果······
那么······”的形式给出.
④
“如果p,
那么q”中的题设与结论互换，得一个新命题：“如果q,
那么p”
这两个命题称为互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做逆命题.
四、命题与证明
⑤
当一个命题是真命题时它的逆命题不一定是真命题.
⑥
符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子，称之为反例.
要说明一个命题是假命题，只要举一个反例即可.
三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．
(2)
从剪拼可以看出：∠A+∠B+∠C=180?
(1)
从折叠可以看出：∠A+∠B+∠C=180?
(3)
由推理证明可知：∠A+∠B+∠C=180?
2.三角形内角和定理及推论
三角形的外角的定义:
三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
三角形的外角与内角的关系：
2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
1.三角形的一个外角与它相邻的内角互补；
3.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；
4.三角形的外角和为360°.
考点一
三角形的三边关系
例1
已知两条线段的长分别是3cm、8cm
，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？
解：
由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边，得
8-3
∴
5
又∵第三边长为奇数,
∴
第三条边长为
7cm或9cm.
考点讲练
【分析】根据三角形的三边关系满足8-3三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三条线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任意两边的和都大于第三边，也可以直接检查较小两边之和是否大于第三边.三角形的三边关系在求线段的取值范围以及在证明线段的不等关系中有着重要的作用.
方法总结
1.已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是(
)
A．1，2，3
B．2，5，8
C．3，4，5
D．4，5，10
2.在等腰三角形ABC中，它的两边长分别为8cm和3cm,则它的周长为________.
C
针对训练
19cm
3.以线段3、4、x-5为边组成三角形，那么x的取值范围是
.
6考点二
三角形内角和定理及推论
例2下列条件中，能判定△ABC为直角三角形的是（
）
A．∠A=2∠B=3∠C
B．∠A+∠B=2∠C
C．∠A=∠B=30°
D．∠A=
???∠B=
???∠C
【分析】根据“三角形内角和定理和为180°”求出各选项中△ABC的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断．
【答案】故选D．
D
三角形内角和定理：三角形内角和是180°．其推论为直角三角形两锐角互补及有两个角的和为90°的三角形是直角三角形．已知三角形中的三角形之间关系，可运用方程思想来求各角的度数.
方法总结
针对训练
4.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐
角的度数为_____.
30°
解：设∠B=x°
，则∠A=3x°，∠C=4x°，
从而x+3x+4x=180?，
解得x=22.5°．
即∠B=22.5°，∠A=67.5°，∠C=90°．
△ABC中，∠B=
∠A=
∠C，求△ABC的三个内
角度数.
考点三
三角形的角平分线、中线和高
例3
下列说法错误的是（
）
A.三角形的三条中线都在三角形内，且平分三角形面积
B.直角三角形的高线只有一条
C.三角形的三条角平分线都在三角形内
D.钝角三角形内只有一条高线
B
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念逐一进行判断.
【答案】B
三角形的三条角平分线、三条中线、三条高（或延长线)分别相交于一点，其中中线平分三角形面积，直角三角形由两条高线在边上，钝角三角形由两条三角形在三角形外面.
方法总结
针对训练
6.如图所示，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6cm,则AB与AC的差为（
）
A
B
C
D
12cm
B.
6cm
C.
3cm
D.
2cm
B
7.如图，在△ABC
中，∠ABC
，∠
ACB
的平分线BD，CE
交于
点O．
（1）若∠A
=80°，则∠BOC
=
．
（2）你能猜想出∠BOC
与∠A
之间的数量关系吗？
130°
∠BOC
=
90°+
∠A
A
B
C
O
E
D
例4
分别写出下列命题的条件及结论，并判断真假，是假命题的举出反例.
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果a＞b,b＞c,那么a＞c；
（3）三角形的中线平分该三角形的面积.
考点四
命题与证明
【分析】先把各个命题写成“如果……那么……”的形式，方便
找出结论与结果.
解：（1）条件：两个角相等，结论：它们是对顶角.
假命题，反例：两个角也有可能是两条平行线的同位角或内错角；
（2）条件：
a＞b,b＞c
，结论：
a＞c.真命题；
（3）条件：三角形的一条中线分三角形为两个小三角形，结论：这两个小三角形面积相等.真命题.
方法总结
说明假命题的方法：
举反例
使之具有命题的条件，而不具有命题的结论.
∵直线AB与直线CD相交于点O，
(
)
8.如图，直线AB与直线CD相交于点O，
∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC
=∠BOD.
证明：
∴
∠AOB与∠COD都是平角，(
)
已知
平角的定义
∴
∠AOC＋∠AOD＝180°，
补角的定义
∴
∠AOC
=∠BOD
.(
)
同角的补角相等
∠BOD＋∠AOD＝180°，
(
)
针对训练
例5
如图，求证：∠A+∠B+∠C=∠ADC.
A
B
C
D
证明：如图，作射线BD.
E
）
）
）
）
1
2
3
4
根据三角形外角的性质，则有∠3=
∠1+
∠A
①
；∠4=
∠2+
∠C
②.由①+
②得∠3+
∠4=
∠1+
∠A
+
∠2+
∠C
，故∠A+∠B+∠C=∠ADC得证.
考点五
三角形的外角
【分析】作射线BD.通过三角形外角的性质进行转化即可求证.
A
B
C
D
A
B
C
D
其他证法:如下图
E
证法二
证法三
这是一个常见的几何图形模型，因为它像飞镖，故称之为“飞镖模型”.它利用三角形外角的性质推出四角之间的数量关系，即∠A+∠B+∠C=∠ADC.运用这一结论，能提高我们解题的准确性和速度.
方法总结
9.如图，已知CE为△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC＞∠B.
证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠1=∠2.
∵∠BAC＞∠1，
∴∠BAC＞∠2.
∵∠2＞∠B，
∴∠BAC＞∠B.
针对训练
三角形角的关系
课堂小结
三角形按角分类
直角三角形
斜三角形
三角形的内角和等于180°
锐角三角形
钝角三角形
三角形内角和定理的证明及推论1、2
三角形内角和定理的证明
推论1：直角三角形的两锐角互余.
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
三角形的外角
外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角.
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
三角形的外角和等于360°.(共31张PPT)
13.2
命题与证明
第4课时
三角形的外角
导入新课
复习引入
1.在△ABC中，∠A=80°,
∠B=52°,则∠C=
.
3.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
48
°
三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角，
它们的和是180
°.
2.如图，在△ABC中，
∠A=70°,
∠B=60°,
则∠ACB=
，∠ACD=
.
A
B
C
D
50
°
130°
B
D
C
A
O
●
40
°
70
°
？
●
●
●
问题：发现懒洋洋独自在O处游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先从A前进到C处，然后再折回到B处截住懒洋洋返回羊村的去路，红太狼则直接在A处拦截懒洋洋，已知∠BAC=40°
，
∠ABC=70°.灰太狼从C处要转多少度角才能直达B处？
利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？
思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
B
D
C
A
O
●
40
°
70
°
？
●
●
●
由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，
所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
讲授新课
三角形的外角的概念
一
定义
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
问题1
如图，延长AC到E,∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD
与∠BCE为对顶角，∠ACD
=∠BCE；
C
B
A
D
∠BCE是△ABC的一个外角，∠DCE不是△ABC的一个外角.
问题2
如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
A
B
C
画一画
画出△ABC的所有外角，共有几个呢?
每一个三角形都有6个外角．
每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
每一个三角形都有6个外角．
总结归纳
F
A
B
C
D
E
如图,∠
BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
练一练
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
三角形的外角的性质
二
问题1
如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角
∠ACB有什么关系？
∠BCD与∠ACB互补.
问题2
如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B)有什么关系？
三角形的外角
A
C
B
D
相邻的内角
不相邻的内角
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行线的方法证明此结论吗？
D
证明：过C作CE平行于AB，
A
B
C
1
2
∴∠1=
∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2=
∠A
，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD=
∠1+
∠2=
∠A+
∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
验证结论
如图
，试比较∠2
、∠1的大小；
如图
，试比较∠3
、∠2、
∠1的大小.
?
?
图?
图?
解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
拓展探究
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4：三角形的外角大于与它不相邻任何一个内角.
A
B
C
D
∠B+∠C=∠CAD
∠CAD
>
∠B，
∠CAD
>
∠C
归纳总结
三角形内角和定理的推论
练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
B
C
D
(
(
(
80
°
60
°
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50
°
32
°
(2)
∠1=40
°,
∠2=140
°
∠1=18
°,
∠2=130
°
例1
如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.
∵
∠BEC是△AEC的一个外角，
∴
∠BEC=
∠A+
∠ACE，
∵∠A=42°
，∠ACE=18°，
∴
∠BEC=60°.
∵
∠BFC是△BEF的一个外角，
∴
∠BFC=
∠ABD+
∠BEF，
∵
∠ABD=28°
，∠BEC=60°，
∴
∠BFC=88°.
解：
F
A
C
D
E
B
典例精析
例2
如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，
∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
E
解：延长BP交AC于点E，
则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【变式题】
(一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，
∠C=30°，求∠BDC的度数.
A
B
C
D
(
(
(
51
°
20
°
30
°
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
A
B
C
D
(
(
20
°
30
°
解法一：连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51°
+20°+30°
=101°.
E
)
)
1
2
)
3
)
4
你发现了什么结论？
A
B
C
D
(
(
(
51
°
20
°
30
°
E
)
1
解法二：延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC
=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51°
+20°+30°=101°.
解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
)
2
F
解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.
总结
三角形的外角和
三
例3
如图，
∠BAE,
∠CBF,
∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE=
∠2+
∠3，
∠CBF=
∠1+
∠3,
∠ACD=
∠1+
∠2.
又知∠1+
∠2+
∠3=180
°，
所以∠BAE+
∠CBF+
∠ACD
=2(∠1+
∠2+
∠3)=360
°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他解法吗？
解法二：如图，∠BAE+∠1=180
°
①
，
∠CBF
+∠2=180
°
②，
∠ACD
+∠3=180
°
③，
又知∠1+
∠2+
∠3=180
°，
①+
②+
③得
∠BAE+
∠CBF+
∠ACD
+(∠1+
∠2+
∠3)=540
°，
所以∠BAE+
∠CBF+
∠ACD=540
°-180°=360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
解法三：过A作AM平行于BC，
∠3＝
∠4
B
C
1
2
3
4
A
∠2＝
∠BAM，
所以
∠1＋
∠2＋
∠3＝
∠1＋
∠4＋
∠BAM=360°
M
∠2＋
∠
3＝
∠
4＋∠BAM，
结论：三角形的外角和等于360°.
思考
你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？
D
E
F
当堂练习
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.
（
）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍.
（
）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.
（
）
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（
）
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.
（
）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（
）
2.如图，AB//CD，∠A＝37°,
∠C＝63°，那么∠F
等于
（
）
F
A
B
E
C
D
A.26°
B.63°
C.37°
D.60°
A
3.（1）如图，∠BDC是________
的外角,也是
的外角；
(2)若∠B=45
°，
∠BAE=36
°,
∠BCE=20
°,试求∠AEC的度数.
A
B
C
D
E
△ADE
△ADC
解：根据三角形外角的性质有
∠ADC=
∠B+
∠BCE,
∠AEC=
∠ADC+
∠BAE.
所以∠AEC=
∠B+∠BCE+
∠BAE
=45
°+20
°+36
°=101
°.
解：因为∠ADC是△ABD的外角.
4
.如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD,
∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：
（1）∠B
的度数；（2）∠C的度数.
在△ABC中，
∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180?-40?-70?=70°.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
A
B
C
D
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+
∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180?,
∴∠A+
∠
B+∠C+
∠
D+∠E
=
180?.
5.如图，求∠A+
∠B+
∠C+
∠D+
∠E的度数.
能力提升：
1
2
3
B
A
C
P
N
M
D
E
F
6.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F
=________.
360°
课堂小结
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
推论1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360
°
推论2：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角(共36张PPT)
13.1
三角形中的边角关系
第13章
三角形中的边角关系、
命题与证明
3.三角形中几条重要线段
复习回顾
导入新课
定义
图示
垂线
线段中点
角平分线
O
B
A
A
B
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
把一条线段分成两条相等的线段的点
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？
情境引入
三角形的角平分线
一
问题1
如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？
A
C
B
O
∠AOC=
∠BOC
问题2
你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗?
A
B
C
D
想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗?
相同点是：
∠
BAD=
∠
CAD;
不同点是：前者是线段，后者是射线.
讲授新课
B
A
C
用量角器画最简便，用圆规也能.
在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
折痕AD即为三角形的∠A的平分线.
A
B
C
A
D
问题4：请画出这个三角形的另外两条角平分线,你发现了什么？
三角形的三条角平分线交于一点．
A
B
C
D
E
F
问题3：一个三角形有几条角平分线？
3
称之为三角形的内心．
思考：观察直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？
三角形的三条角平分线交于一点．
称之为三角形的内心．（后面学到）
例1：如图，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED=80°，求∠ECD的度数.
解：∵DC平分∠ACB,
又DE∥BC,
典例精析
∴∠AED=∠ACB=80°.
∴∠ECD=40°.
∴∠ECD=∠BCD=
∠ACB.
视频：平均分蛋糕
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线(median).
AE是BC边上的中线.
三角形的“中线”
B
A
C
A
BE=EC
E
三角形的中线
二
(1)在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线.
你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的
位置关系?
议一议
三条中线，
交于一点
(2)钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？
折一折，画一画，并与同伴交流.
三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.
要点归纳
典例精析
例2
在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝________.
提示：将△ABD与△ADC的周长之差转化为边长的差.
7cm
三角形的高
三
三角形的高的定义
A
从三角形的一个顶点，
B
C
向它的对边
所在直线作垂线，
顶点
和垂足
D
之间的线段
叫作三角形的高线，
简称三角形的高.
如右图,
线段AD是BC边上的高.
和垂足的字母.
注意
!
标明垂直的记号
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
思考：你还能画出一条高来吗？
一个三角形有三个顶点，应该有三条高.
(1)
你能画出这个三角形的三条高吗?
(2)
这三条高之间有怎样的位置关系？
O
(3)
锐角三角形的三条高是在三角
形的内部还是外部?
锐角三角形的三条高交于同一点；
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
锐角三角形的三条高
如图所示；
直角边BC边上的高是
;
直角边AB边上的高是
;
(2)
AC边上的高是
;
直角三角形的三条高
A
B
C
(1)
画出直角三角形的三条高,
AB
BC
它们有怎样的位置关系？
D
直角三角形的三条高交于直角顶点.
BD
钝角三角形的三条高
(1)
你能画出钝角三角形的三条
高吗？
A
B
C
D
E
F
(2)
AC边上的高呢？
AB边上呢？
BC边上呢？
BF
CE
AD
A
B
C
D
F
(3)钝角三角形的三条高
交于一点吗？
(4)它们所在的直线交于
一点吗？
O
E
钝角三角形的三条高
不相交于一点；
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
视频：画钝角三角形的高
例3
作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是( )
方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
D
例4
如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____．
方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)
求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”．
例5
如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAD＝30°.
∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－30°－50°＝100°.
例6
如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长为35cm，BC=11cm，且△ABD与△ACD的周长差为3cm，求AB与AC的长.
A
C
D
B
解:
∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD.
∵△ABC的周长为35cm，BC=11cm，
∴AC+AB=35-11=24（cm）.
又∵△ABD与△ACD的周长差为3cm,
∴AB-AC=3cm，
∴AB=13.5cm,AC=10.5cm.
有关三角形的高、角平分线、中线的计算
四
例7：如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.
∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，
即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
解：∵点D是AC的中点，∴AD＝
AC.
∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝
S△ABC＝
×12＝6.
∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝
S△ABC＝4.
三角形的
重要线段
概念
图形
表示法
三角形
的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段
∵AD是△ABC的高线.
∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
三角形
的中线
三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段
∵
AD是△ABC的BC上的中线.
∴
BD=CD=
?BC.
三角形的
角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段
∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线
∴
∠1=∠2=
?
∠BAC
知识归纳
定义
五
观察下列语句：
1.无限不循环小数称为无理数；
2.两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
3.三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做定义．
请你举出你所熟知的一些定义例子.
例如:
1.“具有中华人民共和国国籍的人,叫做中华人民共和国公民”
是“中华人民共和国公民”的定义;
2.
“两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离”
是“两点之间的距离”的定义;
3.“在一个方程中,只含有一个未知数,并且未知数的指数是1,这样的方程叫做一元一次方程”
是“一元一次方程”的定义.
当堂练习
1．下列说法正确的是
（ ）
A．三角形三条高都在三角形内
B．三角形三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可
能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
B
2．在△ABC中，AD为中线，BE为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD=∠CAD；②∠ABE=∠CBE；③BD=DC；④AE=EC．其中正确的是
（ ）
A．①②
B．③④
C．①④
D．②③
D
3.如图，△ABC中∠C=90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC的高的有
（ ）
A．2条
B．3条
C．4条
D．5条
4.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC
的BC边上的高
(
)
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
B
D
5.填空：
（1）如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则
AB=
2＿＿,BD=
＿＿，AE=
＿＿
(2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=
＿＿，
∠3=_________，
∠ACB=2______.
图①
图②
AF
DC
∠2
2∠4
AC
∠ABC
6.在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC
的周长为25cm,求ΔADC的周长.
A
D
B
C
解：∵CD是△ABC的中线，
∴BD＝AD，
∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，
则BD+CD＝25－BC.
∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC
＝BD＋CD＋AC
＝25-BC＋AC
＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.
7.如图,AE是
△ABC的角平分线.已知∠B=45°,
∠C=60°,求∠BAE和∠AEB的度数.
A
B
C
E
解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
∵
∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°.
∵∠AEB=∠CAE+∠C，∠CAE=∠BAE=37.5°，
∴∠AEB=37.5°+60°=97.5°.
∴∠CAE=∠BAE=
∠BAC.
8.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是
△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，
求∠DAE的大小.
解：
∵
AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°.
∵
∠ADC+∠C+∠DAC=180°，
∴
∠DAC=180°－(∠ADC+∠C
)
=180°－90°－40°=50°.
∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°，
∴∠CAE=41°，
∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°=
9°.
B
A
C
D
E
课堂小结
三角形重要线段
高
钝角三角形两短边上的高的画法
中线
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
角平分线
定义(共30张PPT)
13.1
三角形中的边角关系
第13章
三角形中的边角关系、
命题与证明
1.三角形中边的关系
导入新课
埃及金字塔
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氨气分子结构示意图
飞机机翼
问题：
（1）从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑物到微小的分子结构，都有什么样的形象？
（2）在我们的生活中有没有这样的形象呢？试举例.
三角形的概念
一
问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三角形?
定义：不在同一条直线上的三条线段首尾相接所构成的图形叫作三角形.
问题2：三角形中有几条线段?有几个角?
A
B
C
边：线段AB，BC，CA是三角形的边.
顶点：点A，B，C是三角形的顶点，
角：∠A，∠B，∠C叫作三角形的内角，简称三角
形的角.
有三条线段，三个角
讲授新课
记法：三角形ABC用符号表示________.
边的表示：三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示为________.
△ABC
c，a，b
边c
边b
边a
顶点C
角
角
角
顶点A
顶点B
B
C
A
在△ABC中，
AB边所对的角是：
∠A所对的边是：
∠C
BC
再说几个对边与对角的关系试试.
三角形的对边与对角：
辨一辨：下列图形符合三角形的定义吗？
不符合
不符合
不符合
①位置关系：不在同一直线上；
②联接方式：首尾顺次.
三角形应满足以下两个条件：
要点提醒
表示方法：
三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，除此△ABC还可记作△BCA,
△
CAB,
△
ACB等.
5个，它们分别是△ABE,△ABC,
△BEC,△BCD,△ECD.
找一找：(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？
A
B
C
D
E
(2)以AB为边的三角形有哪些？
△ABC、△ABE.
（3）以E为顶点的三角形有哪些？
△
ABE
、△BCE、
△CDE.
（4）以∠D为角的三角形有哪些？
△
BCD、
△DEC.
（5）说出△BCD的三个角和三个顶点所对的边.
△BCD的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD.顶点B所对应的边为DC，顶点C所对应的边为BD，顶点D所对应的边为BC.
A
B
C
D
E
三角形按边分类
二
腰
腰
不等边三角形
等腰三角形
等边三角形
底边
顶角
底角
底角
思考：你能找出下列三角形各自的特点吗？
三条边各不相等的三角形叫做不等边三角形
；
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
三条边都相等的三角形叫做等边三角形．
思考：等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？
总结归纳
三角形按边分类
不等边三角形
等腰三角形
我们可以把三角形按照三边情况进行分类
腰和底不等的等腰三角形
等边三角形（三边都相等
的三角形）
判断：
（1）等边三角形是特殊的等腰三角形.（
）
√
（2）等腰三角形的腰和底一定不相等.（
）
×
（3）等边三角形是等腰三角形.（
）
√
三角形的三边关系
三
小明
我要到学校怎么走呀？哪一条路最近呀？
为什么？
邮局
学校
商店
小明家
A
B
C
路线1：从A到C再到B的路线走；
路线2：沿线段AB走.
请问：路线1、路线2哪条路程较短，你能说出根据吗？
路线2较短；两点之间线段最短.
由此可以得到：
三角形任意两边的和大于第三边
想一想：由不等式的变形，三角形的两边之差与第三边有何关系？
三角形任意两边的差小于第三边
三角形三边的关系定理的理论根据是？
三角形的三边关系定理
两点之间，线段最短.
例1：判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？
（1）3cm、8cm、4cm；
（2）5cm、6cm、11cm；
（3）5cm、6cm、10cm.
典例精析
判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可.
解：（1）不能，因为3cm+4cm<8cm；
（2）不能，因为5cm+6cm=11cm；
（3）能，因为5cm+6cm>10cm.
归纳
例2
一个三角形的三边长分别为4，7，x，那么
x的取值范围是( )
A．3＜x＜11
B．4＜x＜7
C．－3＜x＜11
D．x＞3
判断三角形边的取值范围要同时运用两边
之和大于第三边，两边之差小于第三边．
归纳
解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即3＜x＜11.
A
例3
如图，D是△ABC
的边AC上一点，AD=BD，试判断AC
与BC
的大小.
解：在△BDC
中，
有
BD+DC
>BC（三角形的
任意两边之和大于第三边）.
又因为
AD
=
BD，
则BD+DC
=
AD+DC
=
AC，
所以
AC
>BC.
例4
等腰三角形中，周长为18cm.
(1)如果腰长是底边长的2倍，求各边长；
(2)如果一边长为4cm，求另两边长.
解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm,
x+2x+2x=18.
解得
x=3.6.
所以三边长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm.
(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，
所以需要分情况讨论.
①若底边长为4cm，设腰长为xcm,则有
4+2x=18.
解得
x=7.
②若腰长为4cm,设底边长为xcm，则有
2×4+x=18.
解得
x=10.
因为4+4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边，
所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形.
所以，三角形的另两边长都是7cm.
当堂练习
1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（1）
3，4，8
（
）
（2）
2，5，6
（
）
（3）
5，6，10
（
）
（4）
3，5，8
（
）
不能
能
能
不能
4.如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是9cm,则这个等腰三角形的周长为______________.
3.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm,则这个等腰三角形的周长为______________.
2.五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以其中三条线为边长可以构成________个三角形.
3
22cm
18cm或21cm
5.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求第三边的长.
解：设第三边长为x,根据三角形的三边关系，可得，
7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9，
又x为奇数，则第三边的长为7.
6.若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.
解：根据三角形的三边关系，两边之和
大于第三边，得
a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.
∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|
＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b
＝3c＋a－b.
拓展提升
课堂小结
三角形
定义及其基本要素
顶点、角、边
按边分类
三边关系
原理
两点之间线段最短
内容
两边之和大于第三边
两边之差小于第三边
|a-b|(a>b,x为第三边）
应用
不等边三角形
等腰三角形（包括等边三角形）(共27张PPT)
13.2
命题与证明
第2课时
证明
导入新课
观察与思考
两图中的中间圆大小一样吗？
这两个色块颜色有什么不同？旋转再看看
线段AB和CD长度完全相等,虽然它们看起来相差很大!
是静还是动？
平行线:不敢相信图中的横线是平行的,不过它们就是平行线!
你觉得观察得到的结论正确吗？
讲授新课
为什么要证明
一
判断一个数学结论是否正确，仅观察、猜想、
实验还不够；
必须经过一步一步、
有根有据的推理.
请举例说明，你用到过的推理.
a
b
线段a与线段b哪个
比较长？
a
b
c
d
谁与线段d在
一条直线上？
a
b
a
b
c
d
a=b
做一做
如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？（地球看成球形）能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？
解：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道
之间的间隙为
：
它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进一个拳头.
费
马
对于所有自然数n，
的值都是质数.
当n=0，1，2，3，4时，
=
3，5，17，257，65
537
都是质数
欧
拉
当n=5时，
=
4
294
967
297=
641×6
700
417
举出反例是检验错误数学结论的有效方法.
大数学家也有失误
归纳总结
这个故事告诉我们：
1.
学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度.
2.没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测的结论可能潜藏着错误，未必正确.
3.要证明一个结论是错误的，举反例就是一种常用方法.
做一做：下列命题中，哪些正确，哪些错误？
（1）每一个月都有31天；
（2）如果a是有理数，那么a是整数;
（3）同位角相等；
（4）同角的补角相等.
错误
错误
错误
正确
证明与推理
二
你能说说你是怎么判断的吗？
要判断一个命题是真命题，常常要从命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出其结论成立，从而判断这个命题为真命题，这个过程叫证明.
证实其他命
题的正确性
推理
推理的过程叫证明
经过证明的真命题叫定理
原命题、公理
一些条件
+
总结归纳
典例精析
证明：内错角相等，两直线平行.
例1
如图，直线c与直线a、b相交,且∠1=∠2，
求证：a∥b.
证明：∵∠1=∠2（已知），
∠1=∠3（对顶角相等），
∴∠2=∠3（等量代换），
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）.
你还能找出几种证法？
3
2
1
a
b
c
证明：
∵
OE平分∠AOB，
OF平分∠BOC，
∴∠1=
∠AOB，∠2=
∠BOC.
又∵∠AOB、∠BOC互为邻补角，
∴∠AOB+∠BOC=180°,
∴∠1+∠2=
(∠AOB+∠BOC)=90°,
∴OE⊥OF.
例2
已知：如图，∠AOB+∠BOC=180°，OE平分∠AOB，
OF平分∠BOC.求证：OE⊥OF.
A
O
C
E
B
F
1
2
当堂练习
1.下列结论中你能肯定的是（
）
A.今天下雨，明天必然还下雨
B.三个连续整数的积一定能被6整除
C.小明在数学竞赛中一定能获奖
D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人
B
2.下列问题用到推理的是（
）
A.根据a=10，b=10,得到a=b
B.观察得到了三角形有三个角
C.老师告诉了我们关于金字塔的许多奥秘
D.由经验可知过两点有且只有一条直线
A
3.已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，
∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC
=∠BOD.
证明：
∴
∠AOB与∠COD都是平角(
),
已知
平角的定义
∴
∠AOC＋∠AOD＝180°,
补角的定义
∴
∠AOC
=∠BOD
(
).
同角的补角相等
∵直线AB与直线CD相交于点O
(
),
∠BOD＋∠AOD＝180°,
(
)
4.已知，如图：∠1=∠B，求证：∠2=∠C.
A
B
C
D
E
1
2
证明：∵∠1=∠B（
）,
∴AE∥BC（
）,
∴∠2=∠C（
）.
已知
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
证明
课堂小结
定理：经过证明的真命题称为定理.
证明：除了公理外,其他真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明.(共24张PPT)
13.2
命题与证明
第3课时
三角形内角和定理的证明及推论1、2
我的形状最小，那我的内角和最小.
我的形状最大，那我的内角和最大.
不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的.
一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧.
导入新课
情境引入
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
你能用数学的方法说明这个结论吗？
还有其他的拼接方法吗？
讲授新课
三角形的内角和的证明
一
活动：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.
三角形三个内角的和等于180°.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
证法1：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1
2
证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴
∠A=∠1
.
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
2
C
B
A
E
D
F
证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴
∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴
∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
想一想：同学们还有其他的方法吗？
思考：多种方法证明的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
知识要点
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
作辅助线
C
2
4
A
B
3
E
Q
D
F
P
G
H
1
B
G
C
2
4
A
3
E
D
F
H
1
试一试：同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？
例1
如图，在△ABC中，
∠BAC=40
°,
∠B=75
°,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
C
D
解：由∠BAC=40
°,
AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD=
∠BAC=20
°.
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
三角形的内角和定理的运用
二
【变式题】如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝
∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝30°，
在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.
例2
如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．
∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.
基本图形
由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.
由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.
总结归纳
4
三角形内角和定理的推论1、2
三
问题1：在△ABC中，∠C=900，求:∠A+∠B的度数？由此你能得到什么结论？
问题2：在△ABC中，∠A+∠B=900，则∠C度数为多少？由此你能得到什么结论？
在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C＝
90°，
∴∠A＋∠B＝90°.
在△ABC中,∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A＋∠B＝90°,
∴∠C＝
90°.
直角三角形的两锐角互余.
三角形内角和推论1：
三角形内角和推论2：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题
叫做推论.
要点归纳
在ABC中，
（1）∠C=90°，∠A=30°
，则∠B=
；
（2）∠A=50°
，∠B=∠C，则∠B=
；
（3）∠A—∠C=25°
，∠B—∠A=10°，则
∠B=
；
（4）∠A+
∠B
=90°
，则△
ABC
是
三角形；
练一练
60°
65°
75°
直角
1.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
则∠1与∠B的关系是（
）
A.互余
B.互补
C.相等
D.不确定
2.如图，AB∥CD,AD、BC交于点O，
∠A=42°，∠C=58°，则∠AOB=（
）
A.
42°
B.
58°
C.80°
D.100°
A
B
C
D
1
C
A
B
C
D
O
C
当堂练习
3.如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，若∠BOC=120°，则∠A=_______.
A
B
C
O
60°
求证：AB∥CD．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1＝________
(
)．
又∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BAD－∠1＝∠BCD－∠2，
即∠3＝∠4,
∴AB∥________(
)．
4.已知：如图，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD．
∠2
内错角相等，两直线平行
CD
两直线平行，内错角相等
A
B
C
D
4
2
1
3
解：∵
DE∥BC且∠C=
70°，
∴∠AED=∠C=
70°(两直线平行,同位角相等)
.
∵在△
ADE中∠A=60°，
∴∠A+∠ADE+∠AED=180°(三角形内角和定理)，
∴∠ADE=
180°－60°－70°＝50°.
D
C
B
A
E
5.如图，在△ABC中，DE∥BC,∠A=60°,
∠C=70°.
求
∠ADE的度数.
6.如图∠C=∠D=90°，AD,BC相交于点E，∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
A
E
D
C
B
解：∠CAE=∠DBE.理由如下：
在Rt△CAE中，∠CAE+∠CEA=90°
在Rt△DBE中，
∠DBE+
∠DEB=90°
∵
∠CEA=∠DEB
∴
∠CAE=∠DBE
（直角三角形两锐角互余）.
（对顶角相等），
（等角的余角相等）.
三角形内角和定理的证明及推论1、2
课堂小结
三角形内角和定理的证明
推论1：直角三角形的两锐角互余.
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.(共27张PPT)
13.2
命题与证明
第1课时
命题
导入新课
观察与思考
小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.
这个黑客终于被逮住了.
是的,现在的因特网广泛运用于我们的生活中,给我们带来了方便,但…….
这个黑客是个小偷吧？
可能是个喜欢穿黑衣服的贼.
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄地议论着.
小明的百米成绩有进步，已达到9秒9.
好！继续努力,争取超过10秒.
不要再抢啦！每个人发一个球！
有一位田径教练向领导汇报训练成绩；
相传,阎锡山在观看士兵篮球赛,双方争抢非常激烈.于是命令:
2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断,那么
它就不是命题.
如：画线段AB=CD.
1.只要对一件事情作出了判断,不管正确与否,都是命题.
如：相等的角是对顶角.
注意：
像这样判断一件事情的语句，叫作命题（proposition）.
讲授新课
命题的定义与结构
一
一、命题的概念
例1
判断下列四个语句中，哪个是命题，
哪个不是命题？并说明理由：
（1）对顶角相等吗？
（2）画一条线段AB=2cm;
（3）两条直线平行，同位角相等；
（4）相等的两个角，一定是对顶角.
典例精析
解：（3）（4）是命题，（1）（2）不是命题.
理由如下：（1）是问句，故不是命题；（2）是做一件事情，也不是命题.
2）两条直线相交，有且只有一个交点（
）
5）取线段AB的中点C；（
）
1）长度相等的两条线段是相等的线段吗?(
)
6）画两条相等的线段（
）
练一练：判断下列语句是不是命题？是用“√”，
不是用“×
表示.
3）不相等的两个角不是对顶角（
）
4）相等的两个角是对顶角（
）
×
√
×
×
√
√
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特
征？与同伴交流.
（1）如果两个三角形的三条边相等，那么这两个三角形的周长相等；
（2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；
（3）如果一个数的平方等于9，那么这个数是3.
都是“如果……那么……”的形式
二、命题的结构
命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式.
1.“如果”后接的部分是题设,
2.“那么”后接的部分是结论.
如命题：熊猫没有翅膀.改写为：
如果这个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.
注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套.
命题
题设
结论
已知事项
由已知事项推出的事项
两直线平行，
同位角相等
题设（条件）
结论
命题的组成：
总结归纳
例2
指出下列命题的条件与结论.
(1)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行；
(2)如果∠A=∠B，那么∠A的补角与∠B的补角相等.
解
：
(1)“两条直线都平行于同一条直线”是条件，“两条直线平行”是结论.
(2)“∠A=∠B”是条件，“∠A的补角与∠B的补角相等”是结论.
把下列命题改写成“如果……那么……”的形式.并指出它的题设和结论.
1.对顶角相等；
2.内错角相等；
3.两直线被第三条直线所截，同位角相等；
4.同平行于一直线的两直线平行；
5.等角的补角相等.
练一练
特别规定：
正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.
命题1：“如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除”
真命题与假命题
二
观察下列命题,你能发现这些命题有什么不同的特点吗？
命题1是一个正确的命题;命题2是一个错误的命题.
命题2：“如果两个角互补，那么它们是邻补角”
（1）同旁内角互补（
）
（4）两点可以确定一条直线（
）
（7）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（
）
（2）一个角的补角大于这个角（
）
判断下列命题的真假.真的用“√”，假的用“×
表示.
（5）两点之间线段最短（
）
（3）相等的两个角是对顶角（
）
×
√
（6）同角的余角相等（
）
×
√
√
√
×
练一练
做一做：指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……，那么……”的形式：
命题
条件
结论
①能被2整除的数是偶数.
②有公共顶点的两个角是对顶角.
③两直线平行，同位角相等.
④同位角相等，两直线平行.
那么这个数是偶数
如果一个数能被2整除
那么这两个角是对顶角
如果两个角有公共顶点
那么它们的同位角相等
如果两条直线平行
那么这两条直线平行
如果两个同位角相等
逆命题
三
上述命题③与④的条件与结论之间有什么联系？
③两直线平行，同位角相等.
④同位角相等，两直线平行.
命题③与④的条件与结论互换了位置.
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.
从上我们可以看出，只要将一个命题的条件和结论互换，就可得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题.
你还能举出其它的例子吗？
写出下列命题的逆命题：
（1）若两数相等，则它们的绝对值也相等；
（2）如果m是整数，那么它也是有理数；
（3）两直线平行，内错角相等；
（4）两边相等的三角形是等腰三角形.
绝对值相等的两个数相等；
如果m是有理数，那么它也是整数；
内错角相等，两直线平行；
等腰三角形的两边相等.
练一练
写出下列命题的逆命题，并判断它们的真假.
（1）如果a=b，则a2=b2；
（2）等角的余角相等；
（3）同位角相等，两直线平行.
（1）如果a2=b2
，则
a=b，假命题；
（2）如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等，
真命题；
（3）两直线平行，同位角相等，真命题.
思考：原命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题吗？
解：
“因为早上我发现张三从玉米地那边过来，把一袋东西背回家，还发现我地里的玉米被人捌了，我知道张三家没有种玉米。
所以我家玉米肯定是张三捌的.”
片段1：一天早上，李老汉来到衙门里告状说：张三刚刚在他地里偷捌了一袋子玉米.吕县令立即派衙役将张三拘捕到县衙审讯:
吕县令问李老汉：“你怎知是张三偷了你的玉米?”
李老汉想证明什么？
他是怎么证明的？
这种从已知条件出发（列出理由），推断出结论的证明方法，叫综合法.综合法是最常用的证明方法.
举反例
三
故事分析
根据李老汉的证明，你能断定玉米是张三偷的吗？你觉得有疑点吗？
片段2：县官一时拿不定主意，就问旁边
的县丞道：“师爷，你怎么看？”
县丞说“这事要证明是张三干的，还得弄
清那袋子里装的是不是刚捌的玉米，还要
看看地里的脚印是不是张三的，才行。
如果袋子里装的是刚捌的玉米，且地里的脚印是张三的，那就一定是他偷的。”
从结论出发，逆着寻找所需要的条件的思考过程，叫分析.
在分析的过程中，如果发现所需要的条件，都已具备或可从已知条件中推得.那么证明就很容易了.
讨论：我们如何判断一个命题的真假？
要判断一个命题是真命题需要推理论证；要判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可.
例如：相等的两个角是对顶角.
1
2
反例：符合命题条件，但不符合命题结论的例子.
例3
写出下列命题的逆命题，并判断所得的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例.
(1)内错角相等，两直线平行；
(2)如果a=0，那么ab=0.
解
：
(1)逆命题：两直线平行，内错角相等，是真命题.
(2)逆命题：如果ab=0，那么a=0，是假命题.
反例：当a=1，b=0时，ab=0.
分析：要证明AB，CD平行，就需要
同位角相等的条件，图中∠1与∠3就是同位角.
我们只要找到：能说明它俩相等的条件就行了.
从图中，我们可以发现：∠2与∠3是对顶角，所以∠3=∠2这样我们找到了∠1与∠3相等的确切条件了.
例4
如图，∠1=∠2，试说明直线AB，CD平行？
证明：因为∠2与∠3是对顶角，
所以∠3=∠2
又因为∠1=∠2，
所以∠1=∠3，
且∠1与∠3是同位角，
所以：AB与CD平行.
证明：
∵∠2与∠3是对顶角，
∴∠3=∠2
又∵∠1=∠2
∴∠1=∠3，
∴AB∥CD
例5
如图，∠1=∠2，
试说明直线AB，CD平行？
当堂练习
1.下列语句中，不是命题的是( )
A.两点之间线段最短
B.对顶角相等
C.不是对顶角不相等
D.过直线AB外一点P作直线AB的垂线
D
2.下列命题中，是真命题的是( )
A.若a·b＞0，则a＞0，b＞0
B.若a·b＜0，则a＜0，b＜0
C.
若a·b＝0，则a＝0且b＝0
D.若a·b＝0，则a＝0或b＝0
D
3.下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？
1)猪有四只脚；
2)内错角相等；
3)画一条直线；
4)四边形是正方形；
5)你的作业做完了吗？
6)内错角相等，两直线平行；
7)同垂直于一直线的两直线平行；
8)过点P画线段MN的垂线；
9)x＞2.
是
真命题
否
是
假命题
是
假命题
否
是
真命题
是
假命题
否
否
4.举反例说明下列命题是假命题．
(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；
(2)若ab＝0，则a＋b＝0.
解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不
是对顶角，但是它们相等；
(2)当a＝5，b＝0时，ab＝0，但a＋b≠0.
真命题
假命题
公理
定理
（只需举一个反例）
（不需证明）
（由推理证实）
1.命题的定义:
2.命题的组成:
3.命题的分类：
判断一件事情的句子
题设和结论
课堂小结