（试题2）24.3～24.4随堂练习

九年级上册24.3正多边形和圆
一、选择题
1、如图1，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则的值为（ ）
(A) （B） (C) （D）
2、正多边形的一边所对的中心角与该正多边形的一个外角的关系是（ ）
A、两角互余 B、两角互补 C、两角互余或互补 D、不能确定
3、圆的半径扩大一倍，则它的相应的内接正六边形的边长和半径的比（ ）
A、缩小了一倍 B、扩大了一倍 C、扩大了两倍 D、没有扩大也没有缩小
4、若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3，r4，r6，则r3：r4：r6等于（ ）
（A） (B) (C) (D)
二、填空题
5、一个正三角形的边长为a，则它的内切圆和外接圆的组成的圆环的面积是 。
6、已知一个正多边形的一个外角为90°，则它的边心距与半径的比为 。
7、正三角形的外接圆的半径为4，以正三角形的一边为边的正方形的外接圆的半径是 。
8、已知正六边形ABCDEF的半径为12，则这个正六边形的内切圆的面积是 。
三、解答题
9、如图2所示，△ABC是⊙O的内接正三角形，五边形ADEFG是⊙O的内接正五边形，求证：BE是⊙O的内接正十五边形。
四、拓广探索
10、如图，一个圆形的花园，有三个出口A、B、C，每两个出口之间有一条60米的道路，组成正三角形ABC，在中心点O处有一个亭子，为使亭子和原有的道路相通，再需修三条小路OD、OE、OF，使另一出口分别在△ABC的三边上，且这条小路把△ABC分成全等的多边形，已被种植不同品种的花草。
（1）请你按照以上要求设计一种方案，将你的设计方案分别画在图3上，并附简短的说明；
（2）要使三条小路把△ABC分成三个全等的等腰梯形，应怎样设计？请把方案画在图4中，并求此时三条小路的总长；
（3）请你探究出一种一般方法，使得出口D不论在什么位置，都能准确地找到另外两个出口E、F的位置，请写明这个方法；（图5供你探究）
（4）你在（3）中探究出的一般方法适用于正五边形吗？请结合图6予以说明。这种方法能推广到正n边形吗？
11、某学习小组在探索“各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形”时，进行了如下的讨论：
甲同学：这种多边形不一定是正多边形，如圆内接矩形；
乙同学：我发现边数为6时，它也不一定是正多边形，如图7，△ABC是正三角形，AD= BE= CF ，可以证明六边形ABCDEF的各内角相等，但它未必是正六边形；
丙同学：我能证明，边数为5时，它是正多边形，我想，边数是7时，它可能也是正多边形。
（1）请你说明乙同学构造的六边形各内角相等；
（2）请你证明，各内角都相等的圆内接七边形ABCDEFG是正多边形如图8（不必写已知，求证）
（3）根据以上探索过程，提出你的猜想。
24.4弧长与扇形公式
一、选择题
1、某工件的形状如图1所示，圆弧BC的度数为60°，AB=6cm，点B到C的距离等于AB，∠BAC=30°，则工件的面积等于（ ）
A、4π B、6π C、8π D、10π
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2、如图2，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图所示的一个圆锥，设圆的半径为r，扇形的半径为R，则圆的半径与扇形的半径之比为（ ）
A、R=2r B、R=r C、R=3r D、R=4r
3、如图3，王虎使一长为4，宽为3的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（ ）
A．10 B． C． D．
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4、在两个同心圆中，两条半径所截得的弧长的比一定等于（ ）
A、圆心角的度数之比 B、两圆的半径之比
C、两圆半径之比的平方 D、以上答案都不对
5、将一个半径为8cm，面积为32πcm2的扇形铁皮围成一个圆锥形容器（不计接缝），那么这个圆锥形容器的高是（ ）
A、4 B、4 C、4 D、2
二、填空题
6、图4是小明制作的一个圆锥形纸帽的示意图.围成这个纸帽
的纸的面积为 cm2(π取3.14)。
7、图5⑴、图5⑵是两种方法把6根圆形钢管用钢丝捆扎的截面
图。设图⑴、图⑵两种方法捆扎所需钢丝绳的长度是a、b(不记
接头部分），则a、b的大小关系为：a________b(填“＜”、
“＝”或“＞”）。
8、如图6，中，，AC＝2，AB＝4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 。
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9、如图7，有一个圆锥形的粮仓，从正面看是边长为6cm的正三角形ABC，母线AC的中点P外有一老鼠正在偷吃粮食，小猫从B处沿着圆锥的表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是 m。（结果不取近似数）。
10、如图8，⊙O1的半径O1A是⊙O2 的直径，⊙O1的半径Ｏ１Ｃ交⊙Ｏ２于点B，则
AC和 AB 的长度的大小关系是 。
三、拓广探索
11、如图9，有一跑道如图所示，（尺寸单位是：m），若起点设在A处，一同学沿着图中的虚线跑3000米，估算终点落在A、B、C、D的哪一点？
12、国际奥运会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组在一起，如图10所示，其中每个圆环上内外圆直径分别为8 和10，图中两两相交成的小曲边四边形的面积相等，已知五个圆环覆盖的面积是122.5 平方单位，请计算出每个小曲边四边形的面积（π取3.14）。
13、AB是⊙Ｏ的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB=a，那么⊙O的周长 L=πa，计算：
（1）如图11甲，把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长l2= ；
（2）如图11乙，把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3= ；
（3）如图11丙，把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4= ；
（4）如图11丁，把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长ln= ；
结论：把大圆的直径分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆的周长的 ；
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请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系。
参考答案：
24.3
一、
1、A。2、B．3、D。4、A。
二、5、a2。6、1：。7、4。8、108π。
三、
9、连结OB、OE，∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴ AB 的度数为×360°=120°，∵正五边形ADEFG是⊙O的内接正五边形，∴AD 和DE 的度数都等于×360°=72°，∴AE 的度数为144°，BE 的度数为144°-120°=24°， ∴∠BOE=24°，∵正十五边形的中心角是24°，∴∠BOE就是⊙O的正十五边形的中心角，则BE即是正十五边形的边长。
10、解：（1）方案如图3，OE、OF、OG分别与AB、BC、AC垂直于D、E、F，得到OD、OE、OF三条小路。
（2）如图4，三条小路OD、OE、OF分别和AB、BC、AC平行，得到三个全等的等腰梯形。作OM⊥BC于点M，连结BO，∵△ABC是等边三角形，∴BM=BC=30，且∠OBM=30°，在Rt△OBM中，则OB=2OM，则由勾股定理可得OM=10，在Rt△OME中，∵OE∥AB，∠OEM=∠ABC=30°，同样利用勾股定理可得OE=20，又因OE=OF=OD，∴OE+OF+OD=3OE=60。即此时这三条路的总长为60米。
（3）如图5，在BC、CA、AB上分别截取BE=CF=AD，连结OD、OE、OF，即得3条小路。
（4）如图6，设M1，为A1A2边上的任意一点，如图6，在各边上分别截取A2M2=A3M3=A4M4=A5M5=A1M1，连结OM1、OM2、OM3、OM4、OM5，即可得到5条小路。因此可知能推广到正n边形。
四、
11、由图7可知 ∠AFC对ABC，因为 AD= CF，而∠DAF对的DEF=DBC+CF=AD+DBC=ABC，所以∠AFC=∠DAF，同理可证其余各角相等，所以图6中的六边形各内角相等。
（2）因为∠A对 BEG，∠B对CEA，且∠A=∠B，所以 BEG= CEA，所以BC=AG，同理可得
AB= CD= EF= AG= BC= DE =FG，所以其边形ABCDEFG是正七边形。
（3）猜想：当边数为奇数时，各内角相等的圆内接多边形是正多边形。
24.4答案：
一、
1、B。2、D。3、C。4、B。5、B。
二、
6、942。7、=。8、2π－2。9、3。10、相等。
三、
11、解：由题意知弯道长：LBC=LAD=2× HYPERLINK "http://www./Index.html" EMBED Equation.3 +≈101.4（m）,所以跑到全长L=2AB+2LAB≈400（m）,∴跑完3000米应是7圈零200米，而AB+LBC=200米固执终点应在C处。
12、解：五个圆环的覆盖部分的面积S5=5×[π（）2－π（）2]=45π=45×3.14=141.3。所以重叠在五个圆环上的8个小曲四边形的面积之和为S8=S5－122.5=18.8，即每个小曲四边形的面积是Ｓ8=2.35（平方单位）。
13、解：（1）=；==；==；==。
结论：每个小圆周长是大圆周长的。
设⊙O的面积为S，则S=π×（）2=πa2，把AB分成两条相等的线段，每个小圆的面积S2=π×（）2=πa2=S；把AB分成三条相等的线段，每个小圆的面积是Ｓ3=π×（×）2=πa2=S；把AB分成四条相等的线段，每个小圆的面积是Ｓ4=π×（×）2=πa2=S；把AB分成n条相等的线段，每个小圆的面积是Ｓn=π×（×）2=S；即每个小圆的面积是大圆的面积的。
20cm
30cm
图4