(共31张PPT)
14.1
全等三角形
第14章
全等三角形
观察与思考
问题：观察下面各组图形，说说他们有什么共同特点.
导入新课
（1）
（2）
我发现它们可以完全重合
讲授新课
全等图形
一
做一做：如图是两组形状、大小完全相同的图形.
用透明纸描出每组中的一个图形，并剪下来与另一个图形放在一起，它们完全重合吗？
观察思考：每组中的两个图形有什么特点？它们是不是全等图形？为什么？与同伴进行交流.
（1）
（2）
（3）
形状相同
大小不相同
大小相同
形状不相同
全等图形
归纳总结
全等形定义：
能够完全重合的两个图形叫做全等形.
全等形性质：
如果两个图形全等，它们的形状相同，大小相等
！
下面哪些图形是全等形？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
大小、形状完全相同
一个图形经过平移、旋转、翻折后得到的图形一定与原图形全等.
思考1：下列同一类的两个图形是怎样由一个图形得到另一个图形的？它们一定全等吗？
A
A
C
B
D
E
A
B
D
C
A
B
C
D
B
C
N
M
F
E
思考2：把一个三角形平移、旋转、翻折，变换前后的两个三角形全等吗？
全等三角形的定义
一个图形经过平移、旋转、轴反射后,_______
变化了,但＿＿＿和＿＿＿都没有改变,即平移、旋转、轴反射前后的两个图形＿_＿.
形状
大小
全等
位置
归纳总结
全等变化
能完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
全等三角形的对应元素
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，
重合的角叫做对应角.
重合的边叫做对应边，
其中点A和
，点B和
，点C和_
_是对应顶点.
AB和
，BC和
，AC和
是对应边.
∠A和
，∠B和
，
∠C和
是对应角.
B
C
A
E
F
D
点D
点E
点F
DE
EF
DF
∠D
∠E
∠F
△ABC≌△FDE
A
B
C
E
D
F
注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
全等的表示方法
“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”.
例1
如图，△ABC≌△
CED，
∠B和∠
DEC是对应角，BC与ED是对应边，说出另两组对应角和对应边.
A
B
C
E
D
解：
∠
A和∠
DCE是对应角,
∠
D和∠
ACB是对应角;
AC和CD是对应边，AB和CE是对应边.
典例精析
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
1.有公共边
寻找对应边、对应角有什么规律?
探究归纳
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
A
B
D
C
E
2.有公共点
寻找对应元素的规律
1.
有公共边的，公共边是对应边；
2.
有公共角的，公共角是对应角；
3.
有对顶角的，对顶角是对应角；
4.
两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边；
5.
两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角.
方法总结
A
D
F
C
E
B
1
2
A
B
D
C
1
4
2
3
E
A
B
C
F
1
2
3
4
找一找下列全等图形的对应元素？
A
B
C
D
F
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
我们知道，能够完全重合的两条线段是相等的，能够完全重合的两个角是相等的，由此得到：
全等三角形的性质
二
∵△ABC≌△FDE
∴A
B=F
D，A
C=F
E，B
C=D
E（全等三角形对应边相等）
∠A=∠F，∠B=∠D，∠C=∠E（全等三角形对应角相等）
A
B
C
E
D
F
全等三角形的性质的几何语言
例2
如图，已知△ABC≌△DCB，AB=3，DB=4，∠A=60°.
（1）写出△ABC和△DCB的对应边和对应角；
（2）求AC，DC的长及∠D的度数.
解：（1）AB与DC，AC与DB，
BC与CB是对应边；
∠A与∠D，∠ABC与∠DCB，
∠ACB与∠DBC是对应角；
∴
AC
=
DB
=
4，DC
=
AB
=
3，∠D
=∠A
=
60°.
（2）∵
△ABC≌△DCB，
例3
如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．
分析：根据全等三角形对应边、对应角相等求∠DEF的度数和CF的长．
解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°，
∠B＝50°，BF＝4，EF＝7，
∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7，
∴CF＝BC－BF＝7－4＝3.
例4
如图，△EFG≌△NMH，EF=2.1cm，EH=1.1cm，NH=3.3cm.
（1）试写出两三角形的对应边、对应角；
（2）求线段NM及HG的长度；
（3）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出一个正确的结论并证明.
解：（1）对应边有EF和NM，FG和MH，EG和NH；
对应角有∠E和∠N，
∠F和∠M，
∠EGF和∠NHM.
（2）求线段NM及HG的长度；
（3）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出一个正确的结论并证明.
解：∵
△EFG≌△NMH，
∴NM=EF=2.1cm，
EG=NH=3.3cm.
∴HG=EG
–EH=3.3-1.1=2.2（cm）.
解：结论：EF∥NM
证明：
∵
△EFG≌△NMH，
∴
∠E=∠N.
∴
EF∥NM.
想一想：你还能得出
其他结论吗？
1.如图，△ABC≌△BAD，如果AB=5cm,
BD=
4cm，AD=6cm，那么BC的长是
（
）
A.6cm
B.5cm
C.4cm
D.无法确定
2.在上题中，∠CAB的对应角是
（
）
A.∠DAB
B.∠DBA
C.∠DBC
D.∠CAD
A
O
C
D
B
A
B
当堂练习
∠D
∠BAD
∠ABD
AD
BD
BA
B
C
D
A
角
角
角
边
边
边
AB=
AC=
BC=
∠BAC=
∠ABC=
∠C=
3.如图，已知△ABC≌△BAD请指出图中的对应边和对应角.
有公共边的，公共边一定是对应边.
归纳
B
C
D
A
E
F
如图：平移后△ABC≌△
EFD,若AB＝6，AE＝2.你能说出AF的长吗？说说你的理由.
解：∵△
_____≌△_____
，
∴AB＝____＝__
，
∴
AB－_____
＝EF－____.
∴
AF=EB=_____.
变式：
ABC
EFD
EF
6
AE
AE
6-2=4
∠ADE
∠E
∠A
ED
AD
AE
A
B
C
E
D
角
角
角
边
边
边
AB=
AC=
BC=
∠A=
∠B=
∠ACB=
4.
如图，已知△ABC≌△AED，请指出图中对应边和对应角.
有公共角的，公共角一定是对应角.
归纳
A
B
C
E
D
如图，已知△ABC≌△AED若AB＝6，AC＝2,
∠B＝25°，你还能说出△ADE中其他角的大小和边的长度吗？
解：∵△ABC≌△AED，
∴∠E＝∠B＝25°
（全等三角形对应角相等），
AC=AD=2，AB=AE=6
（全等三角形对应边相等）.
变式：
5.如图,△ABC≌△AED,AB是△ABC的最大边，AE是△AED的最大边,
∠BAC
与∠
EAD是对应角,且∠BAC=25°，∠B=
35°,AB=3cm,BC=1cm,求出∠E,
∠
ADE的度数和线段DE,AE
的长度.
B
C
E
D
A
解:∵
△ABC≌△AED,(已知)
∴∠E=
∠B=
35°,(全等三角形对应角
相等)
∠ADE=∠ACB=180°－25°－35°
=120
°,
(全等三角形对应角相等)
DE=BC=1cm,
AE=AB=3cm.
(全等三角形对应边相等)
摆一摆：利用平移，翻折，旋转等变换所得到的三角形与原三角形组成各种各样新的图形，你还能拼出什么不同的造型吗？比一比看谁更有创意！
拼接的图形展示
课堂小结
全等
三角形
定义
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
基本性质
对应边相等
对应角相等
对应元素确定方法
对应边
对应角
长对长，短对短，中对中
公共边一定是对应边
大角对大角，小角对小角
公共角一定是对应角
对顶角一定是对应角(共20张PPT)
14.2
三角形全等的判定
第14章
全等三角形
第6课时
全等三角形的判定方法的综合运用
导入新课
回顾与思考
问题1
判定两个三角形全等除了定义以外，我们还学习了哪些方法？
(1)“SAS
”:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等；
(2)“ASA
”:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等；
(3)“SSS
”:三边对应相等的两个三角形全等；
(4)“AAS
”:两角及其一角对边对应相等的两个三角形全等；
(5)“HL
”:斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等.
问题2
全等三角形有什么性质？
(1)全等三角形对应角相等、对应边相等；
(2)全等三角形的面积、周长相等.
思考：结合全等三角形的性质及全等三角形的判定，你能说说如何证明两条线段（或角)相等？
讲授新课
灵活选用合适的方法证明三角形全等
一
例1
如图，已知BC＝EC，∠BCE＝∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为_____________________________
(答案不唯一)．
解析：根据已知可知两个三角形已
经具备有一角与一边对应相等，所
以根据全等三角形的判定方法，可
以添加一边或一角都可以得到这两个三角形全等．若根据“SAS”判定时，则可以添加AC＝DC；若根据“ASA”判定时，则可以添加∠B＝∠E；若根据AAS判定时，则可以添加∠A＝∠D.
或∠A＝∠D
AC＝DC或∠B＝∠E
（1）已知一边一角，可任意添加一个角的条件，用AAS或ASA判定全等；添加边的条件时只能添加夹这个角的边，用SAS判定全等．若添加另一边即这个角的对边，符合SSA的情形，不能判定三角形全等；
（2）添加条件时，应结合判定图形和四种方法：SSS、SAS、ASA、AAS，注意不能是SSA的情形．
方法归纳
例2
已知：如图，AB=CD
，BC=DA，E，F是AC上的两点，且AE=CF.求证：BF=DE.
多次运用三角形全等的判定
二
D
C
A
B
E
F
1
2
证明
在△ABC和△CDA中，
AB=CD,(已知)
BC=DA,(已知)
CA=AC,(公共边)
∴△ABC≌△CDA（SSS)
∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）
在△ABC和△CDA中
例2
已知：如图，AB=CD
，BC=DA，E，F是AC上的两点，且AE=CF.求证：BF=DE.
D
C
A
B
E
F
1
2
BC=DA,(已知)
∠1=∠2,(已知)
CF=AC,(已知)
∴△BCF≌△DAE（SAS)
∴BF=DE（全等三角形的对应角相等）
例3
证明：全等三角形对应边上的高相等.
已知：如图，△ABC
≌△A′B′C′
，AD、A′
D′
分别是△ABC
和△A′B′C′的高.求证：AD＝
A′D′
.
A
B
C
D
A
′
B
′
C
′
D
′
解：因为△ABC
≌△A′B′C′
，
所以AB=A'B'（全等三角形对应边相等），∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）.
因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'.
在△ABD和△A'B'D'中，
∠ADB=∠A'D'B'（已证），
∠ABD=∠A'B'D'（已证），
AB=AB（已证），
所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.
A
B
C
D
A
′
B
′
C
′
D
′
例4
如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，E为AC上的一动点(不与A重合)，在点E移动的过程中BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由．
解：相等．理由如下：
在△ABC和△ADC中，
AB＝AD，AC＝AC，BC＝DC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠DAE＝∠BAE.
在△ADE和△ABE中，
AB＝AD，∠DAE＝∠BAE，AE＝AE，
∴△ADE≌△ABE(SAS)，∴BE＝DE.
本题考查了全等三角形的判定和性质，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题要特别注意“SSA”不能作为全等三角形一种证明方法使用．
方法总结
例5
如图，已知CA=CB,AD=BD，M，N分别是CA，CB的中点，求证：DM=DN.
在△ABD与△CBD中
证明:
CA=CB
(已知）
AD=BD
（已知）
CD=CD
（公共边）
∴△ACD≌△BCD（SSS）
连接CD，如图所示；
∴∠A=∠B
又∵M，N分别是CA，CB的中点，
∴AM=BN
在△AMD与△BND中
AM=BN
(已证）
∠A=∠B
（已证）
AD=BD
（已知）
∴△AMD≌△BND（SAS）
∴DM=DN.
当堂练习
1.如图，已知AC=DB，∠ACB=∠DBC，则有△ABC≌△
，理由是
，
且有∠ABC=∠
，AB=
；
A
B
C
D
DCB
SAS
DCB
DC
2.已知：如图，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，
求证：BD=CD.
证明：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴
∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AD=AD
∴△ABD≌△ACD（SAS）.
(已知），
(已证），
(已证），
∴
BD=CD.
已知：如图，AB=AC,
BD=CD，
求证：
∠
BAD=
∠
CAD.
变式1
证明：
∴
∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
AB=AC
BD=CD
AD=AD
(已知），
(公共边），
(已知），
已知：如图，AB=AC,
BD=CD，E为AD上一点，
求证：
BE=CE.
变式2
证明：
∴
∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
AB=AC
BD=CD
AD=AD
(已知），
(公共边），
(已知），
∴
BE=CE.
在△ABE和△ACE中，
AB=AC
∠BAD=∠CAD
AE=AE
(已知），
(公共边），
(已证），
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴△ABE≌△ACE（SAS）.
3.
如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.
证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°.
∵AO平分∠BAC，
∴∠1＝∠2.
在△AOD和△AOE中，
∴△AOD≌△AOE(AAS).
∴
OD=OE.
∠ADC=∠AEB
∠1＝∠2
OA=OA
∠BDC=∠CEB
∠BOD＝∠COE
OD=OE
在△BOD和△COE中，
∴△BOD≌△COE(ASA).
∴
OB=OC.
3.
如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.
判定三角形全等的思路
已知两边
课堂小结
已知一边一角
已知两角
找夹角(SAS)
找另一边(SSS)
找任一角(AAS)
边为角的对边
边为角的一边
找夹角的另一边(SAS)
找边的对角(AAS)
找夹角的另一角(ASA)
找夹边(ASA)
找除夹边外的任意一边(AAS)(共28张PPT)
14.2
三角形全等的判定
第14章
全等三角形
第5课时
两个直角三角形全等的判定
SSS
SAS
ASA
AAS
旧知回顾:我们学过的判定三角形全等的方法
导入新课
如图，Rt△ABC中，∠C
=90°，直角边是_____、_____，斜边是______.
C
B
A
AC
BC
AB
思考：
前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？
A
B
C
A′
B′
C′
1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
口答：
动脑想一想
如图，已知AC=DF，BC=EF，
∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？
我们知道，证明三角形全等不存
在SSA定理.
A
B
C
D
E
F
问题：
如果这两个三角形都是直角三
角形，即∠B=∠E=90°，
且AC=DF，BC=EF，现在能
判定△ABC≌△DEF吗？
A
B
C
D
E
F
直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）
一
讲授新课
任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A
′B
′C
′，使∠C′=90
°,B′C′=BC,A
′B
′=AB,把画好的Rt△A′B′
C′
剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？
A
B
C
作图探究
画图思路
（1）先画∠M
C′
N=90°
A
B
C
M
C′
N
画图思路
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC
M
C′
A
B
C
N
B′
M
C′
画图思路
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
画图思路
（4）连接A′B′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
知识要点
“斜边、直角边”判定方法
文字语言：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
A
B
C
A
′
B′
C
′
在Rt△ABC和Rt△
A′B′C′
中，
∴Rt△ABC
≌
Rt△
A′B′C′
(HL).
“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
AB=A′B′,
BC=B′C′,
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（
）
（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（
）
（3）一个锐角和斜边对应相等；
（
）
（4）两直角边对应相等；
（
）
（5）一条直角边和斜边对应相等．
（
）
HL
×
SAS
AAS
AAS
判一判
典例精析
例1
如图，∠BAC=∠CDB=90°，
AC﹦DB，求证：AB﹦DC.
证明：
∵∠BAC=∠CDB=90°，
∴△BAC,△CDB都是直角三角形.
AC=DB,
BC=CB
.
在
Rt△BCD
和Rt△CBA中，
∴
Rt△BCD≌Rt△CBA
(HL).
∴
AB﹦DC.
B
C
A
D
应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.
这是应用“HL”判定方法的书写格式.
利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.
变式1：
如图，
∠ACB
=∠ADB=90，要证明△ABC≌
△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.
（1）
（
）
（2）
（
）
（3）
（
）
（4）
（
）
A
B
D
C
AD=BC
∠
DAB=
∠
CBA
BD=AC
∠
DBA=
∠
CAB
HL
HL
AAS
AAS
如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分
别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.
变式2
HL
AC=BD
Rt△ABD≌Rt△BAC
如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD和BC的位置
关系.
变式3
HL
∠ADB=∠CBD
Rt△ABD≌Rt△CDB
AD∥BC
例2
如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.
求证：BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．
∴CD＝EF.
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF.
∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
AC=DF
.
∴
Rt△ABC≌Rt△DEF
(HL).
∴∠B=∠DEF
(全等三角形对应角相等).
∵
∠DEF+∠F=90°,
∴∠B+∠F=90°.
D
A
当堂练习
1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（
）
A.两条直角边对应相等
B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.两个锐角对应相等
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点
E
，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，
则
CH的长为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE
⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.
A
B
C
E
D
证明：
∵
BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90
°.
在
Rt△EBC
和Rt△DCB
中，
CE=BD,
BC=CB
.
∴
Rt△EBC≌Rt△DCB
(HL).
3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC
（填“全等”或“不全等”），根据
（用简写法）.
全等
HL
A
F
C
E
D
B
5.如图，AB=CD,
BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.
求证：BF=DE.
证明:
∵
BF⊥AC,DE⊥AC,
∴∠BFA=∠DEC=90
°.
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF.
即AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB=CD,
AF=CE.
∴
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
∴BF=DE.
如图，AB=CD,
BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BD平分EF.
A
F
C
E
D
B
G
变式训练1
AB=CD,
AF=CE.
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
BF=DE
Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).
∠BFG=∠DEG
∠BGF=∠DGE
FG=EG
BD平分EF
如图，AB=CD,
BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF吗?
变式训练2
C
AB=CD,
AF=CE.
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
BF=DE
Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).
∠BFG=∠DEG
∠BGF=∠DGE
FG=EG
BD平分EF
6.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？
【分析】本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．
解：(1)当P运动到AP＝BC时，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝BC，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，
∴AP＝BC＝5cm；
能力拓展
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝AC，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，
∴AP＝AC＝10cm，
∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．
【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
课堂小结
“斜边、直角边”
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
前提条件
在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）(共21张PPT)
小结与复习
第14章
全等三角形
B
C
E
F
能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，
重合的角叫做对应角.
重合的边叫做对应边，
其中点A和
，点B和
，点C和_
_是对应顶点.
AB和
，BC和
，AC和
是对应边.
∠A和
，∠B和
，
∠C和
是对应角.
A
D
点D
点E
点F
DE
EF
DF
∠D
∠E
∠F
要点梳理
一、全等三角形的性质
A
B
C
D
E
F
性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
如图：∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE，BC=EF，AC=DF
（
），
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
（
）.
全等三角形的对应边相等
全等三角形的对应角相等
应用格式：
用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF.（SAS）
1.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
(可以简写成“边角边”或“SAS”).
F
E
D
C
B
A
AC=DF，
∠C=∠F，
BC=EF，
二、三角形全等的判定方法
∠A=∠D
，（已知
）
AB=DE，（已知
）
∠B=∠E，（已知
）
在△ABC和△DEF中，
∴
△ABC≌△DEF.（ASA）
2.有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）.
用符号语言表达为：
F
E
D
C
B
A
3.三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）.
A
B
C
D
E
F
在△ABC和△
DEF中，
∴
△ABC
≌△
DEF.（SSS）
AB=DE，
BC=EF，
CA=FD，
用符号语言表达为：
4.有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）.
5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边”或“HL”.
A
B
C
D
E
F
注意：①注意对应相等.
②“HL”仅适用直角三角形,
③书写格式应为:
∵在Rt△
ABC
和Rt△
DEF中
，
AB
=DE，
AC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF
(HL)
DF
DE
EF
∠D
∠E
∠F
角
角
角
边
边
边
AC=
AB=
BC=
∠A=
∠B=
∠C=
例1
如图，已知△ABC≌△DEF，请指出图中对应边和对应角.
A
B
C
F
D
E
【分析】根据“全等三角形的对应边相等，对应角相等”解题.
热点一
全等三角形的性质
考点讲练
两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角.有对顶角的，两个对顶角一定为一对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共角一定是对应角.
方法总结
A
B
C
E
D
1.如图，已知△ABC≌△AED，若AB＝6，AC＝2,
∠B＝25°，你还能说出△ADE中其他角的大小和边的长度吗？
解：∵△ABC≌△AED，
∴∠E＝∠B＝25°
（全等三角形对应角相等），
AC=AD=2，AB=AE=6
（全等三角形对应边相等）.
针对训练
例2
已知，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝
∠DBC，
求证：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知），
证明：
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA
）.
B
C
A
D
【分析】运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进行判定．
热点二
全等三角形的判定
2.已知△ABC和△DEF,下列条件中,不能保证△ABC和△DEF全等的是(
)
A.AB=DE,AC=DF,BC=EF
B.
∠A=
∠
D,
∠
B=
∠
E,AC=DF
C.AB=DE,AC=DF,
∠A=
∠D
D.AB=DE,BC=EF,
∠
C=
∠
F
D
针对训练
3.如图所示，AB与CD相交于点O,
∠A=∠B，OA=OB
添加条件
，
所以
△AOC≌△BOD
理由是
.
A
O
D
C
B
∠C=∠D
或∠AOC=∠BOD
AAS
或ASA
考点三
全等三角形的性质与判定的综合应用
例3
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CE⊥AD于点G,交AB于点E,EF∥BC交AC于点F,
求证：∠DEC=∠FEC.
A
B
C
D
F
E
G
【分析】
欲证∠DEC=∠FEC
由平行线的性质转化为证明∠DEC=∠DCE
只需要证明△DEG
≌
△DCG.
A
B
C
D
F
E
G
证明：
∵CE⊥AD,
∴
∠AGE=∠AGC=90
°.
在△AGE和△AGC中，
∠AGE=∠AGC，
AG=AG，
∠EAG=∠CAG，
∴
△AGE
≌
△AGC(ASA)，
∴
GE
=GC.
在△DGE和△DGC中，
EG=CG，
∠
EGD=
∠
CGD=90
°，
DG=DG.
∴
△DGE
≌
△DGC(SAS).
∴
∠DEG
=
∠
DCG.
∵EF//BC,
∴
∠FEC=
∠ECD，
∴
∠DEG
=
∠
FEC.
利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.
方法总结
4.如图，OB⊥AB,OC⊥AC,垂足为B,C,OB=OC，
∠BAO
=∠CAO吗？为什么？
O
C
B
A
解：
∠BAO=∠CAO，
理由：∵
OB⊥AB,OC⊥AC，
∴
∠B=∠C=90°.
在Rt△ABO和Rt△ACO中，
OB=OC，AO=AO，
∴
Rt△ABO≌Rt△ACO
，（HL）
∴
∠BAO=∠CAO.
针对训练
热点四
利用全等三角形解决实际问题
例4
如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？
A
B
C
D
【分析】将本题中的实际问题转化为数学问题就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC，AD⊥BC.
A
B
C
D
解：相等，理由如下：
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ADB和Rt△ADC中，
AD=AD，
AB=AC，
∴
Rt△ADB
≌
Rt△ADC(HL).
∴BD=CD.
利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：
（1）先明确实际问题；
（2）根据实际抽象出几何图形；
（3）经过分析，找出证明途径；
（4）书写证明过程.
方法总结
判定三角形全等的思路
已知两边
课堂小结
已知一边一角
已知两角
找夹角（SAS)
找另一边（SSS)
找任一角（AAS)
边为角的对边
边为角的一边
找夹角的另一边（SAS)
找边的对角（AAS)
找夹角的另一角（ASA)
找夹边（ASA)
找除夹边外的任意一边（AAS)(共20张PPT)
14.2
三角形全等的判定
第14章
全等三角形
第4课时
其他判定两个三角形全等的条件
导入新课
回顾与思考
如图，要证明△ACE≌
△BDF,根据给定的条件和指明的依据，将应当添设的条件填在横线上.
(1)AC∥BD，CE=DF，＿＿＿.(SAS)
(2)
AC=BD，
AC∥BD
,__________.
(ASA)
(3)
CE=
DF，
，
.
(SSS)
C
B
A
E
F
D
AC=BD
∠A=∠B
AC=BD
AE=BF
讲授新课
利用“AAS”判定三角形全等
一
给出三个条件画三角形时，共有六种情况，我们已经研究了三种:(
)每种情况下作出的三角形都全等,剩下三种情况画出的三角形是否全等？
（4）三角相等；
（5）两边和其中一边的对角对应相等；
（6）两角和其中一角的对边对应相等.
SAS
、ASA
、
SSS
A
B
C
A′
B′
C′
探究活动1：AAA
能否判定两个三角形全等
结论:三个内角对应相等的三角形不一定全等.
想一想：如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？
B
A
C
D
△ABC和△ABD满足AB=AB
,AC=AD,
∠B=∠B,但△ABC与△ABD不全等.
探究活动2：SSA能否判定两个三角形全等
画一画：画△ABC
和△DEF，使∠B
=∠E
=30°，
AB
=DE=5
cm
，AC
=DF
=3
cm
．观察所得的两个三
角形是否全等？
?
A
B
M
C
D
A
B
C
A
B
D
有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.
结论
例1
下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是( )
典例精析
A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF
B．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF
C．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DF
D．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合.
C
方法总结
判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．
问题：若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?
60°
45°
探究活动3：AAS能否判定两个三角形全等
60°
45°
思考：这里的条件与1中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为1中的条件吗？
75°
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
简写成“角角边”或“AAS”.
归纳总结
∠A=∠A′（已知），
∠B=∠B′
（已知），
AC=A′C
′（已知），
在△ABC和△A′B′C′中，
∴
△ABC≌△
A′
B′
C′
（AAS）.
A
B
C
A
′
B
′
C
′
例2：如图,点B、F、C、D在同一条直线上，AB=ED，AB∥ED，AC∥EF.求证：
△ABC≌△EDF.
B
F
C
D
E
A
证明:∵
AB∥ED，AC∥EF(已知)，
∴∠B=∠D,∠ACB＝∠EFD．
(两直线平行，内错角相等)
在△ABC和△EDF中，
∠B＝∠D（已证）,
∠ACB＝∠EFD（已证）,
AB＝ED（已知），
∴
△ABC≌△EDF（AAS），
例3
如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.
求证：(1)△BDA≌△AEC；
证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°.
∵AB⊥AC，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∠ABD＝∠CAE.
在△BDA和△AEC中，
∠ADB=∠CEA=90°，
∠ABD＝∠CAE,
AB＝AC，
∴△BDA≌△AEC(AAS).
(2)DE＝BD＋CE.
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
证明：∵△BDA≌△AEC,
方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
当堂练习
1.如图，填空，使△AOC≌△BOD.
∠A=∠B（已知）
（已知）
∠C=∠D（已知）
∴△AOC≌△BOD（
）.
AC=BD
ASA
O
A
C
D
B
（或AO=BO）
或AAS
（或CO=DO）
或AAS
2.如图，∠ABC=∠DCB，试添加一个条件，使得△ABC≌△DCB,这个条件可以是
(ASA)
或
(AAS)
或
(SAS)
∠ACB=∠DBC
∠A=∠D
AB=DC
A
B
C
D
E
F
3.如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一个条件
，才能使△ABC≌△DEF
（写出一个即可）.
∠B=∠E
或∠A=∠D
或
AC=DF
（ASA）
（AAS）
（SAS）
AB=DE可以吗？
×
AB∥DE
4.已知：如图，
AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2,
求证：AB=AD.
A
C
D
B
1
2
证明：
∵
AB⊥BC，AD⊥DC，
∴
∠
B=∠D=90
°.
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2
（已知），
∠
B=∠D（已证），
AC=AC
（公共边），
∴
△ABC≌△ADC（AAS)，
∴AB=AD.
其他判定两个三角形全等的条件
三角形全等的“AAS”判定：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
课堂小结
“AAA”“SSA”不能作为两三角形全等判定依据(共27张PPT)
14.2
三角形全等的判定
第14章
全等三角形
第3课时
三边分别相等的两个三角形
导入新课
观察与思考
拿三根火柴棍搭三角形，你能搭出几种呢？试试看．
只能搭出唯一三角形
讲授新课
用“SSS”判定两个三角形全等
一
问题：已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm
.
它们一定全等吗？
3cm
4cm
6cm
4cm
6cm
3cm
6cm
4cm
3cm
先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′
,使A′B′=
AB
,B′C′
=BC,
A′
C′
=AC.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，他们全等吗？
A
B
C
A
′
B′
C′
想一想：作图的结果反映了什么规律？你能用文字语言和符号语言概括吗？
作法：
（1）画B′C′=BC；
（2）分别以B',C'为圆心，线段AB,AC长为半径画圆，两弧相交于点A'；
（3）连接线段A'B',A
'C
'.
文字语言：三边对应相等的两个三角形全等.
（简写为“边边边”或“SSS”）
知识要点
“边边边”判定方法
A
B
C
D
E
F
在△ABC和△
DEF中，
∴
△ABC
≌△
DEF（SSS）.
AB=DE，
BC=EF，
CA=FD，
几何语言：
例1
已知：如图，AB=CD
，BC=DA.
求证：
∠B=∠D.
证明：
在△ABC和△CDA中，
∴
△ABC≌△CDA(SSS).
AB=CD，
BC=DA，
AC=CA(公共边)，
∴
∠B
=∠D.
典例精析
例2
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E
在BC上，且AD=AE，BE=CD.
求证：△ABD≌△ACE.
证明
∵
BE
=
CD，
∴
BE-DE
=
CD-DE.
即
BD
=
CE.
在△ABD和△ACE中，
∴
△ABD≌△ACE
（SSS）.
AB
=
AC，
BD
=
CE，
AD
=
AE，
例3
已知：如图，点A、E、C、F在同一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证：AB∥DE,AC∥DF.
证明
∵
BE
=
CF,(已知)
∴
BE+CE
=
CF+EC.(等式的性质)
即
BC
=
EF.
在△ABC和△DEF中，
∴
△ABC≌△DEF（SSS）.
AB
=
DE，（已知）
AC
=
DF，（已知）
BC
=
EF，（已证）
A
D
B
E
C
F
例3
已知：如图，点A、E、C、F在同一条直线上，AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证：AB∥DE,AC∥DF.
∴
∠B
=
∠DEF，∠ABC=∠F.（全等三角形对应角相等）
∴
AB∥DE
,
CA∥DF.（同位角相等，两直线平行）
A
D
B
E
C
F
如图,
C是BF的中点，AB
=DC,AC=DF.
求证:△ABC
≌
△DCF.
在△ABC
和△DCF中
AB
=
DC
∴
△ABC
≌
△DCF
(已知)
(已证)
AC
=
DF
BC
=
CF
证明：∵C是BF中点
∴
BC=CF
(已知)
(SSS)
已知:
如图,点B、E、C、F在同一直线上
,
AB
=
DE
,
AC
=
DF
,BE
=
CF
.
求证:
（1）△ABC
≌
△DEF
（2）∠A=∠D.
证明:
∴
△ABC
≌
△DEF
(
SSS
)
在△ABC
和△DEF中
AB
=
DE
AC
=
DF
BC
=
EF
(已知)
(已知)
(已证)
∵
BE
=
CF
∴
BC
=
EF
∴
BE+EC
=
CF+CE
（1）
（2）∵
△ABC
≌
△DEF（已证）
∴
∠A=∠D（全等三角形对应角相等）
E
三角形的稳定性
二
(1)将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，你能发现什么？
实验探究
(2)将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，你能发现什么？
(3)在四边形木架上再钉上一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，看看有什么变化？
四边形木架会变形，但三角形的木架能固定住.
三角形这个性质的叫作三角形的稳定性.
你能说出它的原理吗？
SSS
你能举出一些现实生活中的应用了三角形稳定性的例子吗?
观察上面这些图片，你发现了什么？
讨论
这说明三角形有它所独有的性质，是什么呢？我们通过实验来探讨三角形的特性.
发现这些物体都用到了三角形，为什么呢？
具有稳定性
不具有稳定性
不具有稳定性
具有稳定性
具有稳定性
不具有稳定性
练一练
1.下列图形中哪些具有稳定性.
2.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定门框ABCD，使其不变形，这种做法的根据是(
)
A.两点之间线段最短
B.三角形两边之和大于第三边
C.长方形的四个角都是直角
D.三角形的稳定性
D
B
A
E
F
C
D
1.如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，
要使△ABF≌△ECD
，还需要条件
___
.
BF=CD
或
BD=CF
A
E
=
=
×
×
B
D
F
C
当堂练习
2.如图，AB＝CD，AD＝BC,
则下列结论：
①△ABC≌△CDB；②△ABC≌△CDA；③△ABD
≌△CDB；④BA∥DC.
正确的个数是
(
)
A
.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
O
A
B
C
D
C
=
=
×
×
3.如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了
(
)
A.节省材料,节约成本
B.保持对称
C.利用三角形的稳定性
D美观漂亮
C
4.已知：如图
，AC=FE，AD=FB,BC=DE.
求证：(1)△ABC≌△FDE;
(2)
∠C=
∠E.
证明：(1)∵
AD=FB，
∴AB=FD（等式性质）.
在△ABC和△FDE
中，
AC=FE（已知），
BC=DE（已知），
AB=FD（已证），
∴△ABC≌△FDE（SSS）；
A
C
E
D
B
F
=
=
?
?
。
。
（2）∵
△ABC≌△FDE（已证）.
∴
∠C=∠E（全等三角形的对应角相等）.
5.如图,AD＝BC,AC＝BD.求证:∠C＝∠D
.(提示:
连结AB)
证明：连结AB两点,
∴△ABD≌△BAC(SSS)
AD=BC，
BD=AC，
AB=BA，
在△ABD和△BAC中
∴∠D=∠C.
思维拓展
6.如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？
H
D
C
B
A
△ABD≌△ACD(SSS)
AB=AC，
BD=CD，
AD=AD，
△ABH≌△ACH(SSS)
AB=AC，
BH=CH，
AH=AH，
△BDH≌△CDH(SSS)
BH=CH，
BD=CD，
DH=DH，
三边分别相等的两个三角形
三角形全等的“SSS”判定：三边分别相等的两个三角形全等.
课堂小结
三角形的稳定性：三角形三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了.(共19张PPT)
14.2
三角形全等的判定
第14章
全等三角形
第2课时
两角及其夹边分别相等的两个三角形
导入新课
如图,小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗?
如果可以,带哪块去合适?
情境引入
3
2
1
Ⅰ
Ⅱ
思考：观察上面图形变换，你认为应该带哪块去，猜想下这是为什么？
讲授新课
用“ASA”判定两个三角形全等
一
问题：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
A
B
C
A
B
C
图一
图二
“两角及夹边”
“两角和其中一角的对边”
它们能判定两个三角形全等吗？
作图探究
先任意画出一个△ABC，再画一个△A
′
B
′
C
′
，
使A
′
B
′
=AB，
∠A
′
=∠A，
∠B
′
=∠B
(即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A
′
B
′
C
′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
A
C
B
A
C
B
A′
B′
C′
E
D
作法：
（1）画A'B'=AB;
（2）在A'B'的同旁画∠DA'B
'=∠A，∠EB'A
'=∠B，A'D，B'E相交于点C'.
想一想：从中你能发现什么规律？
知识要点
“角边角”判定方法
文字语言：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.
几何语言：
∠A=∠A′
（已知），
AB=A′
B′
（已知），
∠B=∠B′
（已知），
在△ABC和△A′
B′
C′中，
∴
△ABC≌△
A′
B′
C′
（ASA）.
A
B
C
A
′
B
′
C
′
例1
已知：如图，点A，F，E，C在同一条直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D.
求证：△ABE≌△CDF.
证明：
∵
AB∥DC，
∴
∠A=∠C.
在△ABE和△CDF中，
∴
△ABE≌△CDF
（ASA）.
∠A=∠C，
AB
=
CD，
∠B=∠D，
典例精析
已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝
∠DBC，
求证：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知），
证明：
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA
）.
练一练
B
C
A
D
如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别图中的两个三角形是否全等，并说明理由.
不全等，因为BC虽然是公共边，但不是对应边.
A
B
C
D
议一议
易错点：判定全等的条件中，必须是对应边相等，
对应角相等，否则不能判定.
例2
如图，
∠1＝
∠2，∠
3＝
∠4，
求证：DB=CB.
证明：
∵
∠DBA与∠3互为邻补角，
∠ABC与∠4互为邻补角，(已知）
又∵∠
3＝
∠4，
∴
∠ABD＝∠ABC，(等角的补角相等)
在△ABD和△ABC中，
∠1＝
∠2
，（已知）
AB=AB，（公共边）
∠ABD＝∠ABC，（已证）
∴
△ABD
≌
△ABC（ASA），
∴
DB=CB
.
“ASA”的判定与性质的综合运用
二
1
3
4
2
例3
如图，为测量河宽AB，小军从河岸的A点沿着和
AB垂直的方向走到C点，并在AC的中点E处立一根标杆，然后从C点沿着与AC垂直的方向走到D点，使D，E，B恰好在一条直线上.
于是小军说：“CD的长就是河的宽.”你能说出这个道理吗？
A
B
E
C
D
解：
在△AEB和△CED中，
∠A
=∠C
=
90°，
AE
=
CE，
∠AEB
=∠CED
(对顶角相等)，
∴
△AEB≌△CED（ASA）.
∴
AB=CD
(全等三角形的对应边相等).
因此，CD的长就是河的宽度.
A
B
C
D
E
F
1.如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一个条件
，才能使△ABC≌△DEF
（写出一个
即可）.
∠B=∠E
当堂练习
证明：在△ACD和△ABE中，
∠A=___（
），
_______
(
)，
∠C=___(
)，
∴△ACD≌△ABE(
)，
∴AD=AE（
）.
分析：只要找出
≌
，得AD=AE.
△ACD
△ABE
∠A
公共角
AB=AC
∠B
ASA
全等三角形的对应边相等
2.如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.
求证：AD=AE.
已知
已知
A
D
B
C
O
E
∵
3.
已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，CF，C′F′分别是∠ACB和∠A′C′B′的平分线.
求证：CF=C′F′.
证明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∠A
=∠A′
,
∠ACB
=∠A′C′B′.
∴
AC=A′C′，
∴
CF=C′F′.
又∵CF，C′F′分别是∠ACB和∠A′C′B′的平分线，
∴
∠ACF=∠A′C′F′.
∴
△ACF≌△A′C′F′
4.如图,已知AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E,
求证：BC=ED.
证明：∵∠1=∠2，
∴
∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
即∠EAD=∠BAC.
在△AED和△ABC中，
∠E=∠B，
AE=AB，
∠EAD=∠BAC，
∴△AED≌△ABC(ASA)，
∴BC=ED.
∵
A
B
E
C
D
1
2
两角及其夹边分别相等的两个三角形
应用：证明角相等，边相等
课堂小结
三角形全等的“ASA”判定：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.(共30张PPT)
14.2
三角形全等的判定
第14章
全等三角形
第1课时
两边及其夹角分别相等的两个三角形
导入新课
为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制作三角形彩旗（如图），那么，老师应提供多少个数据才能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等呢？一定要知道所有的边长和所有的角度吗？
A
B
C
D
E
F
1.
什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫
全等三角形.
3.已知△ABC
≌△DEF，找出其中相等的边与角.
①AB=DE
③
CA=FD
②
BC=EF
④
∠A=
∠D
⑤
∠B=∠E
⑥
∠C=
∠F
2.
全等三角形有什么性质？
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
知识回顾
如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC≌△DEF吗?
想一想：
即：三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等．
探究活动1：一个条件可以吗？
（1）有一条边相等的两个三角形
不一定全等
（2）有一个角相等的两个三角形
不一定全等
结论：
有一个条件相等不能保证两个三角形全等.
利用“SAS”判定三角形全等
一
讲授新课
6cm
300
有两个条件对应相等不能保证三角形全等.
60o
300
不一定全等
探究活动2：两个条件可以吗？
3cm
4cm
不一定全等
300
60o
3cm
4cm
不一定全等
30o
6cm
结论：
（1）有两个角对应相等的两个三角形
（2）有两条边对应相等的两个三角形
（3）有一个角和一条边对应相等的两个三角形
每位同学在纸上的两个不同位置分别画一个三角形，它的一个角为50°，夹这个角的两边分别为2cm，2.5cm.
将这两个三角形叠在一起，它们完全重合吗？由此你能得到什么结论？
50°
2cm
2.5cm
50°
2cm
2.5cm
探究活动3：已知两边及其夹角可以吗？
下面，我们从以下这几种情形来探讨这个猜测是否为真.
设在△ABC
和△A′B′C′中，∠ABC
=∠A′B′C′，
我发现它们完全重合，我猜测：有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.
A
B
C
（1）△ABC
和△A′B′C′的位置关系如图.
将△ABC作平移，使BC的像B′′C′′
与B′C′
重合，△ABC在平移下的像为△A′′B′′C′′
.
由于平移不改变图形的形状和大小，因此△ABC≌△A′′B′′C′′
A
B
C
所以△A′′B′′C′′与△A′B′C′重合，
因为=∠ABC=∠A′′B′′C′′=∠A′B′C′
，AB=A′B′=A′′B′′.
所以线段A″B″与A′B′重合，
因此点A′′与点A′重合，
那么A′′C′′与A′C′重合，
因此△A′′B′′C′′
≌△A′B′C′，
从而△ABC
≌△A′B′C′.
A
B
C
（2）△ABC和△A′B′C′的位置关系如图（顶点B
与顶点B′重合）.
因为BC=B′C′，
将△ABC作绕点B的旋转，旋转角等∠C′BC，
所以线段BC的像与线段B′C′重合.
因为∠ABC=∠A′B′C′，
所以∠C′BC=∠A′BA.
(A)
B
(C)
由于旋转不改变图形的形状和大小，
又因为BA=B′A′，
所以在上述旋转下，BA的像与B′A重合，
从而AC的像就与A′C′
重合，
于是△ABC的像就是△A′B′C′
.
因此△ABC
≌△A′B′C′.
(A)
B
(C)
（3）△ABC和△A′B′C′的位置关系如图.
根据情形(1)(2)的结论得△A′′B′′C′′
≌△A′B′C′.
将△ABC作平移，使顶点B的像B′′和顶点B′重合，
因此△ABC
≌△A′B′C′.
（4）△ABC
和△A′B′C′的位置关系如图.
将△ABC作关于直线BC的轴反射，
△ABC在轴反射下的像为△A′′BC.
由于轴反射不改变图形的形状和大小，
得△ABC≌△A′′BC.
根据情形（3）的结论得△A′′BC≌△A′B′C′.
因此△ABC
≌△A′B′C′.
在△ABC
和△
DEF中，
∴ △ABC
≌△
DEF（SAS）．
文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
（简写成“边角边”或“SAS
”）．
知识要点
“边角边”判定方法
几何语言：
AB
=
DE，
∠A
=∠D，
AC
=AF
，
A
B
C
D
E
F
必须是两边“夹角”
例1
如图，AB和CD相交于O，且AO=BO，CO=DO.
求证：△
ACO
≌△
BDO
.
分析:
△
ACO
≌△
BDO.
边:
角:
边:
AO=BO(已知)，
∠AOC=
∠BOD(对顶角)，
(SAS)
CO=DO(已知).
？
典例精析
证明：
在△ACO和△BDO中，
∴
△ACO≌△BDO（SAS）.
AO
=
BO，
∠AOC
=∠BOD
(对顶角相等)，
CO
=
DO，
方法小结：证明三角形全等时，如果题目所给条件不充足，我们要充分挖掘图形中所隐藏的条件.如对顶角相等、公共角（边）相等等.
例2
：如果AB=CB
，∠
ABD=
∠
CBD，那么
△
ABD
和△
CBD
全等吗？
分析:
△
ABD
≌△
CBD.
边:角:边:
AB=CB(已知)，
∠ABD=
∠CBD(已知)，
？
A
B
C
D
(SAS)
BD=BD(公共边).
证明：
在△ABD
和△
CBD中，
AB=CB(已知)，
∠ABD=
∠CBD(已知)，
∴
△
ABD
≌△
CBD
(
SAS).
BD=BD(公共边)，
变式1:
已知：如图,AB=CB,∠1=
∠2.
求证:(1)
AD=CD；
(2)
DB
平分∠
ADC.
A
D
B
C
1
2
4
3
在△ABD与△CBD中
证明:
∴△ABD≌△CBD（SAS）
AB=CB
(已知）
∠1=∠2
（已知）
BD=BD
（公共边）
∴AD=CD，∠3=∠4
∴DB
平分∠
ADC.
A
B
C
D
变式2:
已知:AD=CD，DB平分∠ADC
，求证:∠A=∠C.
1
2
在△ABD与△CBD中
证明:
∴△ABD≌△CBD（SAS）
AD=CD
(已知）
∠1=∠2
（已证）
BD=BD
（公共边）
∴∠A=∠C.
∵DB
平分∠
ADC.
∴∠1=∠2
例3
：已知，如图，AD∥CB
，
AD=
∠
CB，求证
△
ABD
≌△
CBD
.
证明：∵AD∥CB
在△ADC
和△
CBA中，
AD=CB(已知)，
∠DAC=∠BAC(已证)，
∴
△
ADC
≌△
CBA.
(
SAS)
AC=CA(公共边)，
A
B
C
D
∴∠DAC=∠BAC.(两直线平行，
内错角相等）
例4：如图，在湖泊的岸边有A、B，难以直接量出A,B两点间的距离，你能设计一种量出A,B间距的方案吗？说明你这样设计的理由.
C
·
A
E
D
B
解：要测A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离?
例3：如图，在湖泊的岸边有A、B，难以直接量出A,B两点间的距离，你能设计一种量出A,B间距的方案吗？说明你这样设计的理由.
C
·
A
E
D
B
证明：在△ABC
和△DEC
中，
∴△ABC
≌△DEC（SAS）.
∴AB
=DE
（全等三角形的对应边相等）.
AC
=
DC（已知），
∠ACB
=∠DCE
（对顶角相等），
CB=EC（已知）
，
证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.
归纳
当堂练习
1.在下列图中找出全等三角形进行连线.
Ⅰ
?
30?
8
cm
9
cm
Ⅵ
?
30?
8
cm
8
cm
Ⅳ
Ⅳ
8
cm
5
cm
Ⅱ
30?
?
8
cm
5
cm
Ⅴ
30?
8
cm
?
5
cm
Ⅷ
8
cm
5
cm
?
30?
8
cm
9
cm
Ⅶ
Ⅲ
?
30?
8
cm
8
cm
Ⅲ
2.如图，点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF.
求证：△AFD≌△CEB.
F
A
B
D
C
E
证明：
∵AD//BC，
∴
∠A=∠C，
∵AE=CF，
在△AFD和△CEB中，
AD=CB
∠A=∠C
AF=CE
∴△AFD≌△CEB（SAS）.
∴AE+EF=CF+EF，
即
AF=CE.
(已知），
(已证），
(已证），
3.如图，AC=BD，∠CAB=
∠DBA，求证：BC=AD.
A
B
C
D
证明:在△ABC与△BAD中
AC=BD，
∠CAB=∠DBA，
AB=BA，
∴△ABC≌△BAD（SAS），
(已知)
(已知)
(公共边)
∴BC=AD
（全等三角形的对应边相等）.
4.小兰做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH,
ED=FD
，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同桌进行交流.
E
F
D
H
解：能.在△EDH和△FDH中
，
ED=FD，（已知）
∠EDH=∠FDH，（已知）
DH＝DH，（公共边）
∴△EDH≌△FDH（SAS），
∴EH=FH.(全等三角形对应边相等）
课堂小结
边角边
内容
有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成
“SAS”)
应用
为证明线段和角相等提供了新的证法
注意
1.已知两边，必须找“夹角”
2.
已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边
