(共32张PPT)
15.3
等腰三角形
第15章
轴对称图形与等腰三角形
第2课时
等腰三角形的判定定理及推论
导入新课
情境引入
在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
A
B
C
A
思考：如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？
我测量后发现AB与AC相等.
3cm
3cm
讲授新课
等腰三角形的判定
一
A
B
C
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
互动探究
已知：如图，在△ABC中,
∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?
建立数学模型：
C
A
B
做一做：画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？
AB=AC
你能验证你的结论吗？
在△ABD与△ACD，
∠1=∠2，
∴
△ABD
≌
△ACD.
∠B=∠C，
AD=AD，
∴AB=AC.
过A作AD平分∠BAC交BC于点D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
△ABC是等腰三角形.
∴
AC=AB.
(
)
即△ABC为等腰三角形.
∵∠B=∠C，
(
)
知识要点
等腰三角形的判定方法
如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.
已知
等角对等边
在△ABC中，
应用格式：
B
C
A
(
(
这又是一个判定两条线段相等的根据之一.
A
B
C
D
2
1
∵∠1=∠2
,
∴
BD=DC
（等角对等边）.
∵∠1=∠2,
∴
DC=BC
A
B
C
D
2
1
（等角对等边）.
错，因为都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图,下列推理正确吗?
例1
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：
如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．
求证：AB=AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角对等边）．
A
B
C
E
（
（
1
2
D
例2
已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.
求证：△AED是等腰三角形.
A
B
C
D
E
证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,
∴△ABD≌△DCA(SSS),
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）,
∴AE=DE(等角对等边）,
∴
△AED是等腰三角形.
例3
已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.
求证：AB=AD
B
A
D
C
证明：∵
AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵
BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
总结：平分+平行=等腰三角形
如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，
重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
B
C
A
D
E
变式训练
是
由折叠可知，∠EBD=∠CBD.
∵AD∥BC，∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.
练一练：
1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定
△ABC是等腰三角形的是（
）
A.
∠A＝50°，∠B＝70°
B.
∠A＝70°，∠B＝40°
C.
∠A＝30°，∠B＝90°
D.
∠A＝80°，∠B＝60°
B
2.如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，则CD等于_______.
3cm
例4
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC，
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．
等腰三角形的判定定理推论
二
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
由等腰三角形的判定定理可以直接得到：
辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.
（1）
（2）
（6）
（5）
不
是
是
是
是
是
（4）
（3）
不一定
是
例6
如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC,
求证：△ADE是等边三角形.
A
C
B
D
E
典例精析
证明：
∵
△ABC是等边三角形，
∴
∠A=
∠B=
∠C.
∵
DE//BC,
∴
∠ADE=
∠B,
∠
AED=
∠C.
∴
∠A=
∠ADE=
∠
AED.
∴
△ADE是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
证明：∵ △ABC
是等边三角形，
∴ ∠A
=∠ABC
=∠ACB
=60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠ABC
=∠ADE，
∠ACB
=∠AED.
∴ ∠A
=∠ADE
=∠AED.
∴ △ADE
是等边三角形.
变式1 若点D、E
在边AB、AC
的延长线上，且
DE∥BC，结论还成立吗？
A
D
E
B
C
变式2 若点D、E
在边AB、AC
的反向延长线上，
且DE∥BC，结论依然成立吗？
证明：
∵ △ABC
是等边三角形，
∴ ∠BAC
=∠B
=∠C
=60°．
∵ DE∥BC，
∴ ∠B
=∠D，∠C
=∠E．
∴ ∠EAD
=∠D
=∠E．
∴ △ADE
是等边三角形．
A
D
E
B
C
变式3：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE,
△ADE还是等边三角形吗?试说明理由.
A
C
B
D
E
证明：
∵
△ABC是等边三角形，
∴
∠A=
∠B=
∠C.
∵
AD=AE,
∴
∠ADE=
∠B,
∠
AED=
∠C.
∴
∠A=
∠ADE=
∠
AED.
∴
△ADE是等边三角形.
例7
等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
方法总结：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
针对训练：
如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．
求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，
又∵∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=FE，
∴△DEF是一个等边三角形．
当堂练习
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有( )
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
2.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍.这个三角形是（
）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
C
A
1
3.如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
O
a
b
D
A
4.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠DBC=_____，∠BDC=_____，图中的等腰三角形有_______________________.
36°
72°
△ABC、
△DBA、
△BCD
A
B
C
D
5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为_____.
9
第4题图
第5题图
6.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（ ）
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
7.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC
=2cm,则△ADE的周长是
cm.
A
C
B
D
E
12
B
8.已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D.
求证：BC＝CD.
证明：连接BD.
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB.
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，
即∠DBC=∠BDC，
∴BC=CD.
9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证：△AEF≌△BEC．
证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=180°-90°-30°=60°，
∴∠FAE=∠EBC，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
∵
∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF≌△BEC（ASA）．
10.在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
A
B
C
3种“补出”方法：
方法1：量出∠C度数，画出∠B＝∠C，
∠B与∠C的边相交得到顶点A．
方法2：作BC边上的垂直平分线，与∠C的一边相交得到顶点A．
方法3：对折．
课堂小结
等腰三角形的判定
等角对等边
定义
注意是指同一个三角形中
有两边相等的三角形是等腰三角形
推论
1.三个角都相等的三角形是等边三角形.
2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.(共27张PPT)
15.3
等腰三角形
第15章
轴对称图形与等腰三角形
第3课时
直角三角形中30°角的性质定理
导入新课
问题引入
问题1
如图，将两个相同的含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
分离
拼接
A
C
B
问题2
将一张等边三角形纸片，沿一边上的高对折，如图所示，你有什么发现？
讲授新课
含30°角的直角三角形的性质
一
性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
B
C
D
如图，△ADC是△ABC的轴对称图形，
因此AB=AD,
∠BAD=2×30°=60°，
从而△ABD是一个等边三角形.
再由AC⊥BD,
可得BC=CD=
AB.
你还能用其他方法证明吗？
证法1
证明：在△ABC
中，∵ ∠C
=90°，∠A
=30°,
∴ ∠B
=60°．
延长BC
到D，使BD
=AB，连接AD，
则△ABD
是等边三角形．
又∵AC⊥BD,
已知：如图，在Rt△ABC
中，∠C
=90°，∠A
=30°.
求证：BC
=
AB．
A
B
C
D
证明方法：倍长法
∴ BC
=
AB．
∴BC
=
BD．
E
A
B
C
证明2：
在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵
∠B=
60°
，BE=BC.
∴
△BCE是等边三角形，
∴
∠BEC=
60°，BE=EC.
∵
∠A=
30°，
∴
∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30°
=
30°.
∴
AE=EC，
∴
AE=BE=BC，
∴
AB=AE+BE=2BC.
∴ BC
=
AB．
证明方法：截半法
知识要点
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
应用格式：
∵ 在Rt△ABC
中，
∠C
=90°，∠A
=30°，
A
B
C
∴ BC
=
AB．
√
判断下列说法是否正确：
1）直角三角形中30°角所对的直角边等于另一直角边的一半．
2）三角形中30°角所对的边等于最长边的一半。
3）直角三角形中较短的直角边是斜边的一半。
4）直角三角形的斜边是30°角所对直角边的2倍．
例1
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是( )
A．3cm
B．6cm
C．9cm
D．12cm
典例精析
注意：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
D
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.
例2
如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于( )
A．3
B．2
C.1.5
D．1
解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.
E
C
方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
例3
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
解：
理由如下：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°.
∵DE是∠ADB的平分线，
∴∠ADE＝∠BDE.
又∵DE＝DE，
∴△AED≌△BED(ASA)，
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∵∠BAD＝∠CAD＝
∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
∴CD＝
AD＝
BD，即CD＝
DB.
方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
想一想： 图中BC、DE
分别是哪个直角三角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少度？
例4 如图是屋架设计图的一部分，点D
是斜梁AB
的中点，立柱BC，DE
垂直于横梁AC，AB
=7.4
cm，∠A
=30°，立柱BC、DE
要多长？
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
解：∵DE⊥AC,BC
⊥AC,
∠A=30
°，
∴BC=
AB,
DE=
AD.
∴BC=
AB=
×7.4=3.7(m).
又AD=
AB,
∴DE=
AD=
×3.7=1.85
(m).
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
例5
已知:等腰三角形的底角为15
°,腰长为20.求腰上的高.
A
C
B
D
15
°
15
°
20
解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.
∵∠B=∠ACB=15°
(已知),
∴∠DAC=
∠B+
∠ACB=
15°+15°=30°，
)
)
∴CD=
AC=
×20=10.
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高，而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利用含30°角的直角三角形的性质解决问题.
例4
一艘船从A处出发,以每小时10海里的速度向正北航行，从A处测得一礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘轮船上午8：00从A处出发，10：00到达B处，从B处测得一礁石C在北偏西60°的方向上.
（1）画出礁石C的位置；
（2）求出B处到礁石C的距离.
B
C
30°
60°
A
D
解：(1)如图,以B为顶点，向北偏西60°
作角，
这角一边与AM交于点C,
则C为礁石所在地；
M
(2)∵∠DBC=∠BAC+∠ACB，
∠BAC=30
°，
∠DBC=60°，
∴∠ACB=30°，即∠BAC=∠ACB，
∴BC=AB
，(
等角对等边)
即
BC=AB=10×2=20(海里）.
答：B处到礁石C的距离为20海里.
B
C
30°
60°
A
D
M
当堂练习
1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为(
)
A．6米
B．9米
C．12米
D．15米
2.某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要(
)
A．300a元
B．150a元
C．450a元
D．225a元
B
B
4.在△ABC中,∠A:
∠B:
∠C=1:2:3,若AB=10,则BC
=
.
5
5.如图，Rt△ABC中，∠A=
30°，AB+BC=12cm，则AB=______.
A
C
B
8
3.如图，在△ABC
中，∠ACB
=90°，CD
是高，∠A
=30°，AB
=4．则BD
=
.
A
B
C
D
1
第3题图
第5题图
6.在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．
解：连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．
∵∠C=90°，
∴AC=
AE=
BE=2.5．
7.在
△ABC中
，AB=AC，∠BAC=120°
，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.
证明：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°.
∵
D是BC的中点，∴AD⊥BC
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.
∴AB=2AD.
∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.
∴AB=4AE，∴BE=3AE.
8.如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC、AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.
拓展提升
∴△ADC≌△BEA.
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴
AC=BC=AB
,∠C=∠BAC=60°，
∵CD=AE，
∴∠CAD=∠ABE.
∵∠BAP+∠CAD=60°，∴∠ABE+∠BAP=60°.
∴∠BPQ=60°.
又∵
BQ⊥AD，
∴BP=2PQ.
∴∠PBQ=30°，
∴∠BQP=90°，
课堂小结
内容
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
使用要点
含30°角的直角三角形的性质
找准30
°的角所对的直角边，点明斜边
注意
前提条件：直角三角形中(共40张PPT)
15.3
等腰三角形
第15章
轴对称图形与等腰三角形
第1课时
等腰三角形的性质定理及推论
导入新课
情境引入
定义及相关概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
讲授新课
等腰三角形的性质1
一
剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？
互动探究
A
B
C
AB=AC
等腰三角形
折一折：△ABC
是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
C
D
B
折痕所在的直线是它的对称轴.
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段
重合的角
A
C
B
D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B
与∠C.
∠BAD
与∠CAD
∠ADB
与∠ADC
等腰三角形是轴对称图形.
猜一猜：
由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？
定理1
等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
A
B
C
D
猜想与验证
已知：△ABC
中，AB=AC,
求证：∠B=∠C
.
证法1：作底边BC边上的中线AD.
在△ABD与△ACD中：
AB=AC（已知），
BD=DC（作图），
AD=AD（公共边），
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴∠B=∠C.
应用格式：
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
证法2：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D.
∵AD平分∠BAC
，
∴∠1＝∠2.
在△ABD与△ACD中，
AB＝AC（已知），
∠1＝∠2（已证），
AD＝AD（公共边），
∴
△ABD
≌
△ACD（SAS），
∴
∠B＝∠C.
A
B
C
D
(
(
1
2
证法3：作底边BC的高AD，交BC于点D.
∵AD⊥BC，
∴
∠ADB
＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
AB＝AC（已知），
AD＝AD（公共边），
∴
Rt△ABD
≌
Rt△ACD（HL），
∴
∠B＝∠C.
A
B
C
D
解
:∵AB=AC,（已知）
∴∠B=∠C，（等边对等角）
∴∠B=∠C=
×(180°－120°)=30°.
又∵BD=AD,（已知）
∴∠BAD=∠B=30°.（等边对等角）
同理，∠CAE=∠C=30°.
∴∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE
=120°-30°-30°=60°.
例1
如图，在ΔABC中，AB=AC,∠BAC=120°，
点D,
E是底边上两点，且BD=AD,CE=AE.
求∠DAE的度数.
（2）设∠A=x,请把△
ABC的内角和用含x的式子表示出来.
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
例2
如图，在△ABC中
，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
解析：（1）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？
∠BDC=
∠A+
∠ABD=2
∠A=2
∠ABD,
∠ABC=
∠C=
∠BDC=2
∠A,
∠C=
∠BDC=2
∠A.
∵
∠A+
∠ABC+
∠
C=180
°,
∴x+2x+2x=180
°,
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC=
∠A+
∠ABD=2x,
从而∠ABC=
∠C=
∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180
°
，
解得
x=36
°
，
在△ABC中，
∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.
【变式题】如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
解：∵AB=AD=DC，
∴
∠B=
∠ADB，∠C=
∠DAC.
设
∠C=x，则
∠DAC=x，
∠B=
∠ADB=
∠C+
∠DAC=2x.
在△ABC中，
根据三角形内角和定理得
2x+x+26°+x=180°，
解得x=38.5°.
∴
∠C=
x=38.5°，
∠B=2x=77°.
例3
等腰三角形的一个内角是50°，求这个三角形的底角的度数.
解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.
方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
例4
求证：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等．
已知，如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'
求证：Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
A'
A
B
C
C'
B'
本例是14.2中以学过的判定两个直角三角形全等的定理“HL”的证明
证明：在平面内移动Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使点A和A'、点C和C'重合，点B和点B'在AC两侧，如图
A'
A
B
C
C'
B'
（
）
（
）
∵∠BCB'=90°+90°=180°，（等式的性质）
∴B,C,B'三点在一条直线上.（平角的定义）
在△ABB'中，
∵AB=AB',（已知）∴∠B=∠B'.（等角对等边）
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，
∠ACB=∠A'C'B'，（已知）
∠B=∠B'，（已证）
AB=A'B'，（已知）
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.（AAS）
等腰三角形的性质2
二
建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗?
A
C
B
证明后的结论,以后可以直接运用.
总结归纳
性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
A
C
B
D
1
2
∵AB=AC,
∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC,
BD=CD
(已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC,
AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD,
∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
综上可得：如图,在△ABC中,
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
“三线合一”的操作
1.等腰三角形的顶角一定是锐角.
2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、
钝角都可以.
3.钝角三角形不可能是等腰三角形.
4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
X
X
X
X
√
√
判一判
例5
如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC.
典例精析
图②
图①
证明：(1)如图①，过A作
AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
图②
图①
G
方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
等腰三角形的性质定理的推论
三
类比探究
A
B
C
A
B
C
问题1
等边三角形的三个内角之间有什么关系？
等腰三角形
AB=AC
∠B=∠C
等边三角形
AB=AC=BC
AB=AC
∠B=∠C
AC=BC
∠A=∠B
∠A=∠B=∠C=60°
内角和为180°
推论：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一
个角都等于60°.
已知：AB=AC=BC
，
求证：∠A=
∠
B=∠C=
60°.
证明：
∵AB=AC.
∴∠B=∠C
.(等边对等角)
同理
∠A=∠C
.
∴∠A=∠B=∠C.
∵
∠A+∠B+∠C=180°,
∴
∠A=
∠B=
∠C=60
°.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
问题2
等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？
结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”.
顶角的平分线、底边的高
底边的中线
三线合一
一条对称轴
三条对称轴
例6
如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合”等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质.
变式训练：
如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．求证：BD=DE．
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．
当堂练习
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ ）
A．40°
B．30°
C．70°
D．50°
A
1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是( )
A．30°，60°
B．45°，45°
C．45°，90°
D．20°，70°
B
3.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为____
__；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为_
___
__.
75°,
30°
72°,72°或36°,108°
30°，30°
4.在△ABC中，
AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为___________．
A
B
C
A
B
C
70°或20°
注意：当题目为给定三角形的形状时，一般需分锐角三角形和钝角三角形两种情况进行分类讨论.
5.如图，在△ABC中，AB
=
AC，D是BC边上的中点，
∠B
=
30°，求
∠BAD
和
∠ADC的度数.
A
B
C
D
解：∵AB=AC，D是BC边上的中点，
∴
∠C=
∠
B=30°，
∠BAD
=
∠
DAC，∠ADC
=
90°.
∴∠
BAC
=180°
-
30°-30°
=
120°.
=
60°.
6.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.
∴∠DBC＝∠ECB.
∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF.
证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD、CE为底角的平分线，
7.
△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM
等于多少度？
解：∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
又∵BM＝CN，
∴△AMB≌△BCN(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM
＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
8.A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．
A
B
分别以A、B、C为顶角
顶点来分类讨论！
8个
这样分类就不会漏啦！
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
拓展提升：
课堂小结
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.
推论
等边三角形三个内角相等，且均等于60°(共34张PPT)
15.4
角的平分线
第15章
轴对称图形与等腰三角形
第2课时
角平分线的性质及判定
情境引入
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，
离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？
（比例尺为1︰20000）
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm
,D即为所求.
O
导入新课
1.
操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE
⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
2.
观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________
PD
PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
p
D
E
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的
任意一点
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质
一
讲授新课
验证猜想
已知：如图，
∠AOC=
∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.
求证：PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴
∠PDO=
∠PEO=90
°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=
∠PEO，
∠AOC=
∠BOC，
OP=
OP，
∴
△PDO
≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
性质定理：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
应用格式：
∵OP
是∠AOB的平分线，
∴PD
=
PE
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
知识要点
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
判一判：（1）∵
如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴
=
，(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD
CD
×
B
A
D
C
(2)∵
如上右图，
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）.
∴
=
,
(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD
CD
×
B
A
D
C
例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB,
DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
证明：
∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB,
DF⊥AC，
∴
DE=DF,
∠DEB=∠DFC=90
°.
在Rt△BDE
和
Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴
Rt△BDE
≌
Rt△CDF(HL).
∴
EB=FC.
典例精析
例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
A
B
C
P
变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4,
AB=14.
（1）则点P到AB的距离为_______.
D
4
温馨提示：存在一条垂线段———构造应用
A
B
C
P
变式：如图，在Rt
△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.
（2）求△APB的面积.
D
（3）求?PDB的周长.
·AB·PD=28.
由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，
=
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积
周长
条件
知识与方法
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
角平分线的判定
二
P
A
O
B
C
D
E
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
思考：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
思考：这个结论正确吗？
逆
命
题
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB
角的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO
中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD=
PE（已知
），
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（
HL）.
∴∠AOP=∠BOP
证明猜想
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵
PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P
在∠AOB的平分线上.
知识总结
例4
如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
O
N
M
A
B
O
N
M
A
B
P
方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.
解：如图所示：
活动1
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
三角形的内角平分线
三
发现：三角形的三条角平分线相交于一点
活动2
分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等
你能证明这个结论吗？
例5：已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
（1）求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
（2）连接AP，求证：AP平分∠BAC.
∵PD=PE=PF.（已证）
∴PD=PF（等量代换）
∴AP平分∠BAC.（角平分线上的点到角两边的距离相等）
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
A
B
C
P
N
M
D
E
F
M
E
N
A
B
C
P
O
D
例6：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
温馨提示：不存在垂线段———构造应用
12
解：连接OC
M
E
N
A
B
C
P
O
D
例7：如图，在直角△ABC中，∠C＝900，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4.
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
距离
面积
周长
条件
知识与方法
例8
如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
A
解析：由已知，O到三角形三边的距离
相等，所以O是内心，即三条角平分线
的交点，AO，BO，CO都是角平分线，
所以有∠CBO＝∠ABO＝
∠ABC，
∠BCO＝∠ACO＝
∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
归纳总结
角的平分线的性质
图形
已知
条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
当堂练习
2.△ABC中,
∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是
.
A
B
C
D
3
E
1.
如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，
DE
=DF，
∠EDB=
60°，则
∠EBF=
度，
BE=
.
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( )
A．6
B．5
C．4
D．3
D
B
C
E
A
D
解析：过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，
∴DF＝DE＝2，
解得AC＝3.
F
方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．
E
D
C
B
A
6
8
10
4.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：
(1)哪条线段与DE相等？为什么？
(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的长和△AED的周长.
解：(1)DC=DE.理由如下：角平分线上的点到角两边的距离相等.
（2）在Rt△CDB和Rt△EDB中，
DC=DE，DB=DB，
∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，
∴BE＝BC=8.
∴
AE＝AB-BE=2.
∴△AED的周长=AE+ED+DA=2+6=8.
5.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与
∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵
AD∥BC，
∴
MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间
的距离.
∵
AP平分∠BAD,
PM⊥AD
,
PE⊥AB，
∴
PM=
PE.
同理，
PN=
PE.
∴
PM=
PN=
PE=3.
∴
MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
6.已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN.
证明：∵OD平分线∠POQ，
∴∠AOD=∠BOD.
在△AOD与△BOD中，
∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD，
∴△AOD≌△BOD.
∴∠ADO=∠BDO.
∵CM⊥AD，CN⊥BD，
∴CM=CN.
7.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上，
FG⊥AE，
FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，
FH⊥AD，
FM⊥BC，
∴FM＝FH，
∴FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.
G
H
M
A
B
C
F
E
D
拓展思维
8.如图,
直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路,
现要建一个货物中转站,
要求它到三条公路的距离相等,
可选择的地址有几处?
画出它的位置.
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
课堂小结
角平分线的性质及判定
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
判定定理
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
重要结论
三角形的角平分线相交于内部一点(共26张PPT)
第15章
轴对称图形与等腰三角形
把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴.
把一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么这两个图关于这条直线成轴对称.
这条直线叫做对称轴.
1.轴对称图形：
2.轴对称：
要点梳理
一、轴对称图形与轴对称
3.轴对称图形和轴对称的区别与联系
轴对称图形
轴对称
区别
联系
图形
(1)轴对称图形是指(
)
具
有特殊形状的图形,
只对(
)
图形而言;
(2)对称轴(
)
只有一条
(1)轴对称是指(
)图形
的位置关系,必须涉及
(
)图形;
(2)只有(
)对称轴.
如果把轴对称图形沿对称轴
分成两部分,那么这两个图形
就关于这条直线成轴对称.
如果把两个成轴对称的图形
拼在一起看成一个整体,那
么它就是一个轴对称图形.
一个
一个
不一定
两个
两个
一条
4.轴对称的性质：
①如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线；
②如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.
1.线段中垂线的性质定理：
线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等.
2.逆定理：
到线段两端点的距离相等的点在线段的中垂线上.
二、线段的中垂线
1.性质①：
等腰三角形的两个底角相等.（等边对等角）
等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°.
2.性质②：
等腰三角形的顶角的平分线垂直平分底边.
（三线合一）.
推论：
三、等腰（边）三角形
3.等腰（边）三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质：
有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）.
三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
在直角三角形中，30°的角所对的直角边等
于斜边的一半.
判定定理：
推论①：
推论②：
定理
1.性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
2.判定定理：
到角两边距离相等的点在角的平分线.
四、角平分线的性质与判定
考点一
轴对称图形与轴对称
例1
如图所示，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A″B″C″和△A′B′C′关于直线EF对称.
(1)画直线EF;
(2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB′与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系.
A
B
C
A′
B′
C′
A″
B″
C″
M
N
考点讲练
【分析】连接△A′B′C′和△A″B″C″中的任意一对对应点，作所得线段的垂直平分线即为直线EF，根据轴对称的性质可求角的数量关系.
A
B
C
A′
B′
C′
A″
B″
C″
解：（1）如图所示，连接B
′
B
″,作线段B
′
B
″的垂直平分线EF,则直线EF是△A
′
B
′
C
′和△A
″
B
″
C
″的对称轴；
（2）连接B″O,B′O,BO,
∵
△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，
∴
∠BOM
=∠B
′
OM.
∵
△A″B″C″和△A′B′C′关于直线EF对称，
∴
∠B
′
OE
=
∠B
″
OE.
∴
∠B
′
OB
″
=
2(∠B
′
OM+
∠B
′
OE)
=2
α.
E
F
O
M
N
轴对称和轴对称图形的概念是本章的重点，通过观察日常生活中的轴对称现象，理解轴对称图形和轴对称的概念的区别与联系；学习轴对称变换，不但要会画一个图形关于某直线的对称图形，还要会通过简单的图案设计确定最短路线等.
方法总结
1.下面的图形是轴对称图形吗?如果是,你能指出它的对称轴吗?
针对训练
2.如图所示，作出△ABC关于直线x=1的对称图形．
x
y
O
x=1
A
B
C
A
′
B
′
C
′
解：△A
′
B
′
C
′
就是所求作的图形.
解：∵
AD
是BC
的垂直平分线，
∴ AB
=AC，BD=CD.
∵ 点C
在AE
的垂直平分线上，
∴ AC
=CE,∴AB=AC=CE,
∴
AB+BD=DE.
例2
如图，AD是BC的垂直平分线，点C
在AE
的垂直平分线上，AB，AC，CE
的长度有什么关系？AB+BD与DE
有什么关系？
A
B
C
D
E
考点二
线段的垂直平分线
【分析】运用线段的垂直平分线的性质进行线段之间的转化即可.
3.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD的周长等于13厘米，则△ABC的周长是
.
A
B
D
E
C
18厘米
常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段之间的转换来求线段之间的关系及周长的和差等,有时候与等腰三角形的”三线合一”结合起来考查.
方法总结
针对训练
4.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有
（填序号）.
①
②
③
考点三
等腰（等边）三角形的性质与判定
例3
如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.求证：
∠BAC
=
2∠DBC.
A
B
C
D
)
)
1
2
E
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角∠BAC的平分线，来获取角的数量关系.
A
B
C
D
)
)
1
2
E
证明：作∠BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示，则
∵AB=AC,
∴AE⊥BC.
∴
∠
2+
∠ACB=90
°.
∵BD⊥AC,
∴
∠DBC+
∠ACB=90
°.
∴
∠
2=
∠DBC.
∴
∠BAC=
2∠DBC.
等腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的特殊情形—等边三角形的性质与判定应用也很广泛，有一个角是30°的直角三角形的性质是证明线段之间的倍分关系的重要手段.
方法总结
5.
如图，在△ABC中，AB=AC时，
(1)∵AD⊥BC，
∴∠
____=
∠_____;____=____.
(2)
∵AD是中线，
∴____⊥____;
∠_____=
∠_____.
(3)
∵
AD是角平分线，
∴____
⊥____;_____=____.
B
A
C
D
BAD
CAD
BD
CD
AD
BC
BAD
CAD
AD
BC
BD
CD
针对训练
例4
如图，在△ABC中，AD是角平分线，且BD
=
CD,
DE⊥AB,
DF⊥AC.垂足分别为E
,
F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
【分析】先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE
≌
Rt△CDF.
考点四
角平分线的性质与判定
A
B
C
D
E
F
证明：
∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB,
DF⊥AC，
∴
DE=DF,
∠DEB=∠DFC=90
°.
在Rt△BDE
和
Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴
Rt△BDE
≌
Rt△CDF(HL).
∴
EB=FC.
7.△ABC中,
∠C=90°,
AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是
.
A
B
C
D
3
E
6.
如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，
DE
=DF，
∠EDB=
60°，则
∠EBF=
度，BE=
.
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
针对训练
8.
如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
线段的垂
直平分线
轴
对
称
角平分线
等腰三角形
轴
对
称
图
形
线段
角
性
质
及
判
定
课堂小结
等腰三角形
等腰三角形的判定：等角对等边.
等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.(共16张PPT)
15.4
角的平分线
第15章
轴对称图形与等腰三角形
第1课时
角平分线的尺规作图
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分
线吗？
导入新课
用量角器度量，也可用折纸的方法．
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=
DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
A
B
C
(E)
D
其依据是SSS，两全等三角形的
对应角相等.
问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？
A
B
O
尺规作角平分线
一
做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系.
提示：
(1)已知什么？求作什么？
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？
(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
作法：
1.以____为圆心，______长为半径作圆弧，与角的两边分别交于M、N两点；
2.分别以
_____
为圆心，
__________的长为半径作弧，两条圆弧交于
∠AOB内一点____；
3.作射线_____；
_____就是所求作∠AOB的平分线.
点O
任意
M、N
大于
P
OP
OP
尺规作图
A
B
N
M
P
Ｏ
想一想：为什么OP是角平分线呢？
B
A
N
M
P
Ｏ
已知：OM=ON，MP=NP.
求证：OP平分∠AOB.
证明：在△OMP和△ONP中，
OM=ON，
MP=NP，
OP=OP，
∴
△OMP≌
△ONP,（SSS）
∴∠MOP=∠NOP,
即OP平分∠AOB.
如何过一点P作已知直线l的垂线呢？
由于两点确定一条直线，
因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.
问题引导
过一点作已知直线的垂线
二
①在直线l
上点P
的两旁分别截
取线段PA，
PB，使PA=
PB；
(1)当点P在直线l上.
②分别以A，B
为圆心
以大于
AB
的长为半径画弧，
两弧相交于点C；
③过点C，
P作直线CP，
则直线CP为所求作的直线.
·
P
A
B
C
l
这一步的目的是什么？
(2)
当点P在直线l外.
①以点P
为圆心，
以大于点P
到直线l的距离的线段长为半径画弧，
交直线l于点A，B；
②分别以A，B
为圆心
以大于
AB
的长为半径画弧，
两弧相交于点C；
③过点C,P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.
·
P
A
B
C
l
第一步的目的是什么？画弧的半径为什么要大于P到l的距离？
例
利用直尺和圆规作一个等于45°的角.
作法:
1.作直线AB；
2.过点A作直线AB的垂线AC；
3.作∠CAB的平分线AD.
∠DAB就是所要求作的角.
当堂练习
1.如图所示的作图痕迹作的是
（
）
A.线段的垂直平分线
B.过一点作已知直线的垂线
C.一个角的平分线
D.作一个角等于已知角
B
2.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（
）
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
B
M
N
C
O
A
3.请在图中作出线段AD,使其平分∠BAC且长度等于m．
C
B
A
m
C
N
M
P
A
B
D
解：
角平分线的尺规作图
①已知：根据文字语言用数学语言写出题目中的条件
课堂小结
②求作：根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件
③作法：根据作图的过程写出每一步的操作过程(共37张PPT)
15.1
轴对称图形
第15章
轴对称图形与等腰三角形
第1课时
轴对称图形与轴对称
导入新课
情境引入
它们有什么共同的特点？
讲授新课
轴对称和轴对称图形
一
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
轴对称图形
对称轴
a
m
做一做
下列哪些是属于轴对称图形？
A
B
C
你能举出一些轴对称图形的例子吗？
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
游戏规则:
每人轮流按顺序报一个字母.如果你认为你所报的字母的形状是一个轴对称图形，你就迅速站起来报出,并说出它有几条对称轴；如果你认为你报的字母的形状不是轴对称图形，那么，你只需坐在座位上报就可以了.其他同学认真听，如果报错了，及时提醒.
全班总动员
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
做一做:找出下列各图形中的对称轴，并说明哪一个图形的对称轴最多.
想一想：下面的每对图形有什么共同特点？
A′
A
B
C
B′
C′
对称轴
对称轴
如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线就是它的对称轴.
例
下列四组图片中有哪几组图形成轴对称？
B
D
C
A
典例精析
知识要点
比较归纳
轴对称图形
两个图形成轴对称
图形
区别
联系
一个图形具有的特殊形状
两个全等图形的特殊的位置关系
1.都是沿着某条直线折叠后能重合.
2.可以互相转化.
这是轴对称图形还是两个图形成轴对称？
观察与思考
1.动画（1）中的两个三角形有什么关系？
2.动画（2）中的三角形是个什么图形？
（1）
（2）
轴对称的性质
二
思考：如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对称点，线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？
A
B
C
A′
B′
C′
N
M
AA′⊥MN，
BB′⊥MN，
CC′⊥MN.
如图，MN⊥AA′，
AP=A′P.
直线MN是线段AA
′的垂直平分线.
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
知识要点
线段垂直平分线的定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
图形轴对称的性质
一个轴对称图形的对称轴是否也具有上述性质呢？请你自己找一些轴对称图形来检验吧！
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线.
知识要点
轴对称图形的性质
A
B
A
′
B
′
M
N
如图，MN垂直平分AA
′,
MN垂直平分BB
′.
例1
如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是( )
A．130°
B．150°
C．40°
D．65°
典例精析
方法归纳：轴对称是一种全等变换，在轴对称图形中求角度时，一般先根据轴对称的性质及已知条件，得出相关角的度数，然后再结合多边形的内角和或三角形外角的性质求解.
A
例2
如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为( )
A．4cm2
B．8cm2
C．12cm2
D．16cm2
解析：根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积等于正方形ABCD面积的一半，∵正方形ABCD的边长为4cm，∴S阴影＝42÷2＝8(cm2).故选B.
B
方法归纳：正方形是轴对称图形，在轴对称图形中求不规则的阴影部分的面积时，一般可以利用轴对称变换，将其转换为规则图形后再进行计算.
作轴对称图形
三
问题1：如何画一个点的对称图形？
画出点A关于直线l的对称点A′.
﹒
l
A
﹒
A′
O
作法：
（1）过点A作l的垂线，垂足为点O.
（2）在垂线上截取OA′＝OA.
点A′就是点A关于直线l的对称点.
互动探究
问题2：如何画一条线段的对称图形？
已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段.
A
B
(图1)
(图2)
(图3)
A
B
l
l
A
B
l
A
′
A
′
A
′
B
′
(B
′)
B
′
想一想：如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？
例3
如图，已知△ABC和直线l，作出与△ABC关于直线l对称的图形.
A
B
C
分析：△ABC可以由三个顶点的位置确定，只要能分别画出这三个顶点关于直线l的对称点，连接这些对称点，就能得到要画的图形.
作法：（1）过点A画直线l的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA，A′就是点A关于直线l的对称点.
（3）连接A′B′，B′C′，C′A′，得到△
A′B′C′
即为所求.
（2）同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B′，C′
.
A
B
C
A′
B′
C′
O
方法归纳
作轴对称图形的方法
几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
例4
在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
(F)
(D)
E
(E)
F
D
(F)
D
E
(D)
(E)
F
方法归纳：作一个图形关于一条已知直线的对称图形，关键是作出图形上一些点关于这条直线的对称点，然后再根据已知图形将这些点连接起来．
1.下列表情图中，属于轴对称图形的是（
）
D
当堂练习
2.下列图形，对称轴最多的是（
）
A.长方形
B.正方形
C.角
D.圆
D
3.如图，△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则以下结论中错误的是（ ）
A．AB∥DF
B．∠B=∠E
C．AB=DE
D．AD的连线被MN垂直平分
A
4.如图，Rt△ABC中，∠ACB=
90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为_______.
10°
5.如图，把下列图形补成关于直线l的对称图形.
6.（1）整个图形是轴对称图形吗？对称轴是什么？
（2）图中红色的三角形与哪些三角形成轴对称？
（3）图形可以看作某两个图形成轴对称吗？
课堂小结
轴对称
轴对称
轴对称图形
定义
性质
定义
性质
画轴对称图形
原理
方法
线段的垂直平分线
对称轴是对称点连线段的垂直平分线.
(1)找特征点；(2)作垂线；
(3)截取等长；(4）依次连线.(共28张PPT)
15.2
线段的垂直平分线
第15章
轴对称图形与等腰三角形
导入新课
情境引入
市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处才能使得它到三个小区的距离相等?
A
B
C
讲授新课
线段垂直平分线的尺规作图
一
问题：怎样作出线段的垂直平分线？
做一做：
在半透明纸上画一条线段AB，折纸使A与B重合，得到的折痕l就是线段AB的垂直平分线.
想一想：
这样折纸怎么就是垂直平分线呢？
A
B
A(B)
A
B
l
O
l
C
O
A
B
C
D
作法：
（1）分别以点A，B为圆心，以大于
AB的长为半径作弧，两弧交于C，D两点.
（2）作直线CD.
CD即为所求.
特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.
线段垂直平分线的性质
二
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l
上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么，请猜想点P1，P2，P3，…
到点A
与点B
的距离之间的数量关系．
A
B
l
P1
P2
P3
探究发现
P1A
____P1B
P2A
____
P2B
P3A
____
P3B
＝
＝
＝
猜想：
点P1，P2，P3，…
到点A
与点B
的距离分别相等．
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能验证这一结论吗？
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC
=CB，点P
在l
上．求证：PA
=PB．
证明：∵ l⊥AB，
∴
∠PCA
=∠PCB．
又
AC
=CB，PC
=PC，
∴
△PCA
≌△PCB（SAS）．
∴
PA
=PB．
P
A
B
l
C
验证结论
例1
如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( )
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．17.5cm
典例精析
C
解析：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，
∴BC＝35－20＝15(cm).故选C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（
）
A.
6
B.
5
C.
4
D.
3
2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E,
△BCE的周长等于18cm,则AC的长是
.
B
10cm
P
A
B
C
D
图①
A
B
C
D
E
图②
例2
如图，已知点A、点B以及直线l.
(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；
(2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.
M
N
A
B
l
解：(1)如图所示：
(2)在△AMP和△BNP中，
∵AM=PN，AP＝BP，PM＝BN，
∴△AMP≌△PNB(SSS)，
∴∠MAP＝∠NPB.
M
N
A
B
l
P
例3
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．
(2)根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.
∵E是CD的中点，∴DE＝EC.
又∵∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△FCE，
∴FC＝AD.
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF.
∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC＋CF.
∵AD＝CF，
∴AB＝BC＋AD.
定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
逆
命
题
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？你能证明吗？
线段垂直平分线的判定
三
已知：PA=PB，
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：作PC⊥AB,垂足为C.
∴∠ACP=∠BCP=90°.
在Rt△ACP和Rt△BCP中，
∴Rt△ACP≌Rt△BCP（HL），
∴AC=BC，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
PA=PB，
PC=PC，
l
C
A
B
P
知识要点
线段垂直平分线的判定
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
应用格式：
∵ PA
=PB，
∴ 点P
在AB
的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
例4
如图,已知△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P.
求证:点P在BC的垂直平分线上.
B
C
A
P
证明：连接PA，PB，PC.
∵点P在AB，AC的垂直平分线上，
∴PA=PB，PA=PC，
（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）
∴PB=PC，（等式性质）
∴点P在BC的垂直平分线上.
(与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）
总结归纳
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.
现在你能回答讲课前提出的问题吗？
你知道购物中心应该建在何处了吗？
例5
已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
A
B
O
E
D
C
证明：
∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE.
∴
OE是CD的垂直平分线.
又∵OE=OE，
∴Rt△OED≌Rt△OEC.
∴DO=CO.
1.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于
AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（ ）
A．∠A的平分线
B．AC边的中线
C．BC边的高线
D．AB边的垂直平分线
D
当堂练习
2.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,
则点P是△ABC
(
)
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
D
4.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有
（填序号）.
①
②
③
3.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共
有 种.
无数
5.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是
cm.
A
B
C
D
E
16
6.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC
=BC，
AD=BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO=BO.
证明：
∵
AC
=BC，AD=BD，
∴
点C和点D在线段AB的垂直平分线上，
∴
CD为线段AB的垂直平分线.
又
∵AB与CD相交于点O，
∴
AO=BO.
7.如图，有A，B，C三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.
B
C
学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.
A
8.如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．
解：AD垂直平分EF.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.
又∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF，
∴AE＝AF，DE＝DF.
∴A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF.
A
B
C
D
E
F
课堂小结
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上(共24张PPT)
15.1
轴对称图形
第15章
轴对称图形与等腰三角形
第2课时
平面直角坐标系中的轴对称
导入新课
一位外国游客在天安门广场问小明询问西直门的位置，但他只知道东直门的位置，聪明的小明想了想，就准确的告诉了他，你能猜到小明是怎么做的吗？
如图，是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的.如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系.根据如图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？
讲授新课
用坐标表示轴对称
一
问题1：已知点A和一条直线MN，你能画出这个点关于已知直线的对称点吗?
互动探究
A
A′
M
N
∴A′就是点A关于直线MN的对称点.
O
（2）延长AO至A′,使OA′=AO.
（1）过点A作AO⊥MN，
垂足为点O，
x
y
O
问题2：如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于x轴的对称点吗?
A
(2,3)
A′(2,-3)
你能说出点A与点A'坐标的关系吗？
x
y
O
做一做：在平面直角坐标系中画出下列各点关于x轴的对称点.
C
(3,-4)
C
'(3,4)
B(-4,2)
B
'(-4,-2)
(x
,
y)
关于
x
轴
对称
(
,
)
x
-y
知识归纳
关于x轴对称的点的坐标的特点是:
横坐标相等,纵坐标互为相反数.
（简称：横轴横相等）
练一练:
1.点P(-5,
6)与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标为__________.
2.点M(a,
-5)与点N(-2,
b)关于x轴对称，则a=_____,
b
=_____.
(-
5
,
-6
)
-2
5
问题3：如图，在平面直角坐标系中你能画出点A关于x轴的对称点吗?
x
y
O
A
(2,3)
A′(-2,3)
你能说出点A与点A'坐标的关系吗？
x
y
O
做一做：在平面直角坐标系中画出下列各点关于x轴的对称点.
C
(3,-4)
C
'(-3,-4)
B(-4,2)
B
'(4,2)
(x
,
y)
关于
y轴
对称
(
,
)
-x
y
知识归纳
关于y轴对称的点的坐标的特点是:
横坐标互为相反数,纵坐标相等.
（简称：纵轴纵相等）
练一练:
1.点P(-5,
6)与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为__________.
2.点M(a,
-5)与点N(-2,
b)关于y轴对称，则a=_____,
b
=_____.
(5
,
6
)
2
-5
例1
如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5,1),B(-2,1),
C(-2,5),D(-5,4),分别画出与四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形.
x
y
A
B
C
D
A
′
B
′
C
′
D
′
A
′
B
′
C
′
D
′
O
对于这类问题,只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对应点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形的轴对称图形.
知识要点
在坐标系中作已知图形的对称图形
(一找二描三连）
平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0,4），B（2,4），C（3，－1）.
（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；
（2）若△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，画出△A'B'C'，并写出A'、B'、C'的坐标.
针对训练：
x
y
O
A
(0,4)
B
(2,4)
C
(3,-1)
A'
(0,-4)
B'
(2,-4)
C'
(3,1)
解：如图所示：
例2
已知点A(2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b)．
(1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；
(2)若A、B关于y轴对称，求(4a＋b)2018的值．
解：(1)∵点A、B关于x轴对称，
∴2a－b＝2b－1，5＋a－a＋b＝0，
解得a＝－8，b＝－5；
(2)∵A、B关于y轴对称，
∴2a－b＋2b－1＝0，5＋a＝－a＋b，
解得a＝－1，b＝3，
∴(4a＋b)2018＝1.
解决此类题可根据关于x轴、y轴对称的点的特征列方程(组)求解．
例3
已知点P(a＋1，2a－1)关于x轴的对称点在第一象限，求a的取值范围．
解：依题意得P点在第四象限，
解得
即a的取值范围是
方法总结：解决此类题，一般先根据点的坐标关于坐标轴对称，判断出点或对称点所在的象限，再由各象限内坐标的符号，列不等式(组)求解．
当堂练习
1.平面直角坐标系内的点A（-1，2）与点B（-1，-2）关于（ ）
A．y轴对称
B．x轴对称
C．原点对称
D．直线y=x对称
2.在平面直角坐标系中，将点A（-1，2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点C的坐标是（ ）
A．（-4，-2）
B．（2，2）
C．（-2，2）
D．（2，-2）
D
B
3.设点M（x，y）在第二象限，且|x|=2，|y|=3，则点M关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A．（2，3）
B．（-2，3）
C．（-3，2）
D．（-3，-2）
A
4.如图，在平面直角坐标系中，点P（-1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（ ）
A．（1，2）
B．（2，2）
C．（3，2）
D．（4，2）
C
5.已知点P(2a+b,-3a)与点P′（8,b+2).
若点P与点P′关于x轴对称，则a=_____，
b=_______.
若点P与点P′关于y轴对称，则a=_____
，b=_______.
2
4
6
-20
6.若|a-2|+(b-5)2=0，则点P
(a，b)关于x轴对称的点的坐标为________.
(2,-5)
7.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3，5),B(-
4，1),
C(-1，3)，作出△ABC关于y轴对称的图形.
解：点A(-3,5),B(-4,1),C(-1,3)，
关于y轴的对称点分别为
A′(3,5),B′(4,1),C′(1,3).
依次连接A′B′,B′C′,C′A′,
就得到△ABC关于y轴对称的
△A′B′C′.
3
1
4
2
5
-2
-4
-1
-3
O
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
A
C
B
B
′
A′
C
′
x
y
8.已知点A（2a+b，-4），B（3，a-2b）关于x轴对称，求点C（a，b）在第几象限？
解：∵点A（2a+b，-4），B（3，a-2b）关于x轴对称，
∴2a+b=3，a-2b=4，
解得a=2，b=-1．
∴点C（2，-1）在第四象限．
拓展提升
9.在平面直角坐标系中，规定把一个正方形先沿着x轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变换．如图，已知正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别是（-1，-1）、（-3，-1），把正方形ABCD经过连续7次这样的变换得到正方形A′B′C′D′，求B的对应点B′的坐标.
解：∵正方形ABCD，点A、B的坐标分别是(-1，-1)、(-3，-1)，
∴根据题意，得第1次变换后的点B的对应点的坐标为(-3+2，1)，即(-1，1)，
第2次变换后的点B的对应点的坐标为(-1+2，-1)，即(1，-1)，
第3次变换后的点B的对应点的坐标为(1+2，1)，即(3，1)，
第n次变换后的点B的对应点的为：当n为奇数时为(2n-3，1)，当n为偶数时为(2n-3，-1)，
∴把正方形ABCD经过连续7次这样的变换得到正方形A′B′C′D′，则点B的对应点B′的坐标是(11，1)．
课堂小结
用坐标表示轴对称
关于坐标轴对称的点的坐标特征
在坐标系中作已知图形的对称图形
关于x轴对称，横同纵反；关于y轴对称，横反纵同
关键要明确点关于x轴、y轴对称点的坐标变化规律，然后正确描出对称点的位置
