2012全品高考复习方案教师手册（理）第1-12单元-人教A版ppt

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人教A版
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第65讲　算法与程序框图　
第66讲 基本算法语句及算法案例
第67讲 复数的概念与运算
第十一单元　算法初步与复数
第十一单元　算法初步与复数
知识框架
第十一单元 │ 知识框架
第十一单元 │ 知识框架
考纲要求
第十一单元 │ 考纲要求
1．算法初步
(1)算法的含义、程序框图
① 了解算法的含义，了解算法的思想．
② 理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、
循环．
(2)基本算法语句
理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、
赋值语句、条件语句、循环语句的含义．
2．数系的扩充与复数的引入
(1)复数的概念
①理解复数的基本概念．
②理解复数相等的充要条件．
③了解复数的代数表示法及其几何意义．
(2)复数的四则运算
①会进行复数代数形式的四则运算．
②了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
第十一单元 │ 考纲要求
命题趋势
　　算法初步是新课标高考独有的，已成为近几年新课标高考的必考内容，数系的引入是一个比较传统的内容，高考对本单元的考查有如下特点：
1．对算法初步的考查，试题以选择题、填空题的形式出现，主要考查算法思想和程序框图．高考对于基本算法语句的考查不多，但《考试说明》明确指出要“理解几种基本算法语句”，这个要求值得关注．
2．对复数的考查，试题会以小题的形式出现，不会考查解答题，近几年的高考对复数的考查是试题难度基本是稳定的，多为容易题，集中考查了复数的概念及代数形式的四则运算，2012高考可能会加强对复数的几何意义的考查．
第十一单元 │ 命题趋势
第十一单元 │ 使用建议
第十一单元 │ 使用建议
第十一单元 │ 使用建议
第十一单元 │ 使用建议
第65讲 │ 算法与程序框图
第65讲　算法与程序框图
知识梳理
　　 1．算法的定义
算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤，算法的基本思想就是程序化思想．
2．算法的特点
(1)__________——每一步都是确定的，能有效地执行，能得到确定的结果．
(2)__________——步骤序列是有限的．
(3)__________——求解一个问题的算法不一定只有一种，对于同一个问题可以有多种不同的算法．
第65讲 │ 知识梳理
确定性
有限性
不唯一性
　　 3．程序框图
(1)程序框图的概念：程序框图又称流程图，是一种用________、________及__________来准确、直观地表示算法的图形．
第65讲 │ 知识梳理
程序框
流程线
文字说明
　　 (2)构成程序框图的图形符号及作用
第65讲 │ 知识梳理
图形符号 名称 功能
终端框
(起止框) 表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不可少的
输入、输出框 表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置
处理框
(执行框) 赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内
判断框 判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”
流程线 连接程序框
　　 4.算法的三种基本逻辑结构和框图表示
(1)顺序结构是由若干个____________的步骤组成的．
这是任何一个算法都离不开的基本结构．
其结构形式为
第65讲 │ 知识梳理
依次执行
　　(2)条件结构是在一个算法中，经常会遇到一些条件的判断，算法的流程根据________________有不同流向的结构．
其结构形式为
第65讲 │ 知识梳理
条件是否成立
　　 (3)循环结构是指从某处开始按一定条件反复执行某些步骤．反复执行的处理步骤称为__________．循环结构又分为______和________．
其结构形式为
第65讲 │ 知识梳理
循环体
当型
直到型
　　 5.程序框图
绘制流程图的一般过程：首先，用自然语言描述流程步骤；其次，分析每一步骤是否可以直接表达，或需要借助于逻辑结构来表达；再次，分析各步骤之间的关系；最后，画出流程图表示整个流程．
鉴于用自然语言描述算法所出现的种种弊端，人们开始用流程图来表示算法，这种描述方法避免了自然语言描述算法的拖沓冗长，且能清晰准确地表述该算法的每一步骤，因而深受欢迎.
设计算法解决问题的主要步骤：第一步：用自然语言描述算法；算法可以用自然语言来描述，但为了使算法的程序或步骤表达得更为直观，我们更经常地用图形方式来表示它；第二步：画出程序框图表达算法；第三步：写出计算机相应的程序并上机实现．
第65讲 │ 知识梳理
要点探究
　探究点1　算法及其含义
第65讲 │ 要点探究
例1　一个算法如下：
第一步：S取值0，i取值1；
第二步：若i不大于10，则执行下一步；否则执行第六步；
第三步：计算S＋i且将结果代替S；
第四步：用i＋2结果代替i；
第五步：转去执行第二步；
第六步：输出S，则运行以上步骤输出的结果为______．
第65讲 │ 要点探究
　　例1　[思路]只要按照算法的含义有步骤地描述解决的过程，便可得到该题的结果．
25　[解析] 此算法用于计算1＋3＋5＋7＋9＝25.
[点评] 算法通常是指可以用计算机来解决某一类问题的程序或步骤，其基本要求有：①步骤有限步完成；②步骤确定有效；③步骤有顺序．但要注意，一类问题的算法往往不唯一．算法要体现其概括性、逻辑性、有穷性、不唯一性和普遍性．算法不仅仅能解决一些纯数学问题，还能解决很多实际问题，如下面的变式题．
第65讲 │ 要点探究
　　 求两底面半径分别为1和4，且高为4的圆台的表面积及体积，写出解决该问题的算法并画出程序框图．
第65讲 │ 要点探究
第65讲 │ 要点探究
　　程序框图如下：
　探究点2　算法的三种逻辑结构
第65讲 │ 要点探究
例2　(1)算法共有三种逻辑结构，即顺序结构，条件结构和循环结构，下列说法正确的是(　　)
A．一个算法只能含有一种逻辑结构
B．一个算法最多可以包含两种逻辑结构
C．一个算法必须含有上述三种逻辑结构
D．一个算法可以同时含有上述三种逻辑结构
第65讲 │ 要点探究
(2)在算法逻辑结构中，要进行逻辑判断，并根据结果进行不同处理的是(　　)
A．顺序结构
B．条件结构和循环结构
C．顺序结构和条件结构
D．顺序结构和循环结构
第65讲 │ 要点探究
　　例2　[思路]从三种逻辑结构的概念入手，很容易对题作出正确的选择．
(1)D　(2)B　[解析] (1)一个算法至少含有顺序结构，但不一定只含有一种逻辑结构，也不一定必须含有三种逻辑结构，故选D.
(2)条件结构和循环结构都必须进行逻辑判断，故选B.
　探究点3　程序框图
第65讲 │ 要点探究
第65讲 │ 要点探究
　　例3　[解答] 相应的算法：
第一步：输入物品重量ω；
第二步：如果ω≤50，那么 f＝0.53ω，否则，f＝50×
0.53＋(ω－50)×0.85；　
第三步：输出托运费 f.
第65讲 │ 要点探究
　　程序框图如下：
第65讲 │ 要点探究
　　[点评]解决分段函数的求值问题时，一般采用条件结构设计算法，利用条件结构解决算法问题时，要引入判断框，要根据题目的要求引入一个或多个判断框．判断框内的条件不同，对应下一框图中执行的操作要进行相应的变化．
第65讲 │ 要点探究
第65讲 │ 要点探究
规律总结
第65讲 │ 规律总结
1．三种基本逻辑结构的主要作用
顺序结构是最简单的算法结构，它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构．
条件结构主要用在一些需要依据条件进行判断的算法中，如分段函数的求值、数据的大小关系等问题．循环结构主要用在一些有规律的重复计算的算法中，如累加求和，累乘求积等问题．
第65讲 │ 规律总结
2．循环结构的程序框图的运用
(1)循环结构的循环过程是由两个变量控制，一个是计数变量，一个是累加变量．
(2)循环的结束由判断条件决定．因此，解决带有循环结构的程序框图时要注意三看：一看开始时设定的变量；二看变量的变化规律；三看循环终止的条件．
第65讲 │ 规律总结
3．给出一个问题，设计其算法时应注意
(1)认真分析问题，思考解决问题的一般的数学方法；
(2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况；
(3)借助有关变量或参数对算法加以表述；
(4)将解决问题的过程划分为若干个步骤；
(5)用简练的语言将各个步骤表述出来．
第65讲 │ 规律总结
4．画程序框图应注意的问题
(1)画程序框图之前应先对问题设计出合理的算法，然后分析算法的逻辑结构，根据逻辑结构画出相应的程序框图．
(2)画程序框图时，注意不要混淆了不同的程序框图．
(3)画程序框图时，一般按从上到下，从左到右的方法画，一般以中间一条从上到下的线为主线，有些步骤在处理完后需返回到前面某一步，这样的流程线常画在主线的两侧．
第66讲 │ 基本算法语句及算法案例
第66讲　基本算法语句及算法案例
知识梳理
　　 1．基本算法语句的格式要求
(1)任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句，它们分别是__________、__________、__________、__________、__________.
(2)输入语句的一般格式是：INPUT“提示内容”；______；输出语句的一般格式是：PRINT“提示内容”；________；赋值语句的一般格式是：______________.
第66讲 │ 知识梳理
输入语句
输出语句
赋值语句
条件语句
循环语句
变量
表达式
变量＝表达式
(3)条件语句有两种：一种是IF－THEN－ELSE语句，其格式是：
第66讲 │ 知识梳理
对应的程序框图为：
第66讲 │ 知识梳理
另一种是IF－THEN语句，其一般格式是：
第66讲 │ 知识梳理
第66讲 │ 知识梳理
对应的程序框图为：
第66讲 │ 知识梳理
(4)循环语句分WHILE语句和UNTIL语句．WHILE
语句的一般格式为：
第66讲 │ 知识梳理
对应的程序框图为：
第66讲 │ 知识梳理
UNTIL语句的一般格式为：
第66讲 │ 知识梳理
其对应的程序框图为：
　　 2．基本算法语句的含义及用法
(1)_____、__________和__________是任何算法程序必不可少的基本算法语句．
(2)当算法程序按条件进行分析、比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同处理时，需用_________来实现．
(3)当处理一些需要反复执行的运算任务，如累加求和、累乘求积等问题时，常用到循环语句，若先考虑判断，再进行循环，则使用__________________循环；若先进行循环，再判断，可使用___________________循环，_______循环语句至少执行一次循环体，而_____循环语句则可能一次也不执行循环体，二者本质上是相同的，可以相互转化．
第66讲 │ 知识梳理
输入
输出语句
赋值语句
条件语句
当型（WHILE型）
直到型（UNTIL型）
直到型
当型
　　 3．求最大公约数的常用方法
(1)辗转相除法：辗转相除法是用于求最大公约数的一种方法，这种算法由欧几里得在公元前300年左右首先提出，因而又叫______________．所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用__________除以__________．若余数不为零，则将________________构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时的________就是原来两个数的最大公约数．
(2)更相减损术：更相减损术也是求两数最大公约数的方法，其基本过程是，对于给定的两数，用 d ___________，接着把所得的______与__________比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数______为止，则这个数就是所求的最大公约数．
第66讲 │ 知识梳理
欧几里得算法
较大的数
较小的数
较小的数和余数
除数
去较小的数
较大的数减
差
较小的数
相等
　　 4．进位制间的转换方法
(1)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统．“满k进一”，就是_______，k 进制的基数是____．
(2)将s<100进制的数化为十进制数的方法是：先将k进制数写成用__________________________________的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果．
(3)将十进制数化为k进制数的方法是：除k取余法．即用k连续去除该十进制数或所得的商，直到商为零为止，然后_______________________________就是相应的k进制数．
第66讲 │ 知识梳理
k 进制
k
各位上的数字与k的幂的乘积之和
把每次所得的余数倒着排成一个数
第66讲 │ 知识梳理
第66讲 │ 知识梳理
要点探究
　探究点1　输入、输出和赋值语句
第66讲 │ 要点探究
例1　图66－9所示的算法程序，若输入6,18,32，则输
出结果是(　　)
A．6,18,32
B．18,6,32
C．18,32,18
D．32,18,6　
第66讲 │ 要点探究
　　例1　[思路] 理解赋值语句的一般格式：变量＝表达式．
C　[解析] 先把b的值18赋给a，∴a＝18；再把c的值32赋给b，∴b＝32；最后把a的值18赋给c，∴c＝18.故选C.
　探究点2　条件语句和循环语句
第66讲 │ 要点探究
例2　分析下面的程序，当输入的x值为3时，程序的输出结果为__________．
第66讲 │ 要点探究
　　例2　 [思路] 明确两种条件语句的区别，将条件语句转化为程序框图，按步骤解决问题．
第66讲 │ 要点探究
　　－8　[解析] 第一个ELSE指的是x≥－1的情况，第二个ELSE指的是x＞1的情况，那么当x＝3时，应执行第二个ELSE后的语句(如右边的程序框图)，
即y＝(－2)x＝(－2)3＝－8.
第66讲 │ 要点探究
例3　读下面两段程序语句：
对甲、乙程序和输出结果判断正确的是(　　)
A．程序不同，结果不同 　B．程序不同，结果相同
C．程序相同，结果不同 　D．程序相同，结果相同
第66讲 │ 要点探究
　　例3 [思路] 从直到型循环结构和当型循环结构入手，分析它们各自的特点，容易得出正确结论．
B　[解析] 程序甲属当型结构，计算变量i从1开始逐步递增到i＝1000时终止，累加变量从0开始，这个程序计算的是1＋2＋3＋…＋1000；程序乙属直到型结构，计算变量i从1000开始逐步递减到i＝1时终止，累加变量从0开始，这个程序计算的是1000＋999＋998＋…＋1.但这两段程序是不同的，输出的结果都是1＋2＋3＋…＋1000＝500500，故选B.
第66讲 │ 要点探究
　　[点评]同一问题可以有不同的程序，解决这类试题的关键是分析程序是用哪种算法语句编制的．根据循环语句讨论其执行结果时，首先要分清是属于直到型循环结构还是当型循环结构，通常根据循环语句所表达的意义，具体执行程序，明确程序功能，就可以得到其输出结果．一般情况下，要善于将程序语句转化成程序框图再作进一步分析．
第66讲 │ 要点探究
例4　用辗转相除法求264与168的最大公约数，并用更相减损术检验所得结果．
　探究点3　最大公约数
第66讲 │ 要点探究
　　例4 [思路] 根据辗转相除法步骤和更相减损术步骤
求得．
[解答] 用辗转相除法：
第一步，264＝1×168＋96，
第二步，168＝1×96＋72，
第三步，96＝1×72＋24，
第四步，72＝3×24＋0.
第66讲 │ 要点探究
或第一步，264÷8＝33,168÷8＝21，
第二步，33－21＝12，
第三步，21－12＝9，
第四步，12－9＝3，
第五步，9－3＝6，
第六步，6－3＝3，
故24是264与168的最大公约数．
第66讲 │ 要点探究
用更相减损术检验：
第一步，264－168＝96，
第二步，168－96＝72，
第三步，96－72＝24，
第四步，72－24＝48，
第五步，48－24＝24，
故24是264与168的最大公约数．
第66讲 │ 要点探究
　　[点评]辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少．辗转相除法是当大数被小数整除时停止除法运算，此时的小数就是两者的最大公约数，更相减损术是当大数减去小数的差等于小数时减法停止，较小的数(或与约简的数的乘积)就是最大公约数．以上两种算法要弄清运算结束的条件：辗转相除法是到达余数为0结束，更相减损术是到达减数和差相等结束．求最大公约数是算法在数学应用中非常典型的案例，在此基础上我们还可以求得最小公倍数．
第66讲 │ 要点探究
例5　用秦九韶算法求多项式
f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.16667x3＋0.04167x4＋0.00833x5在
x＝－0.2的值．
　探究点4　秦九韶算法
第66讲 │ 要点探究
　　例5 [思路] 可根据秦九韶算法原理，将所给多项式改写，然后由内到外逐次计算即可．
[解答] f(x)＝1＋x＋0.5x2＋0.16667x3＋0.04167x4＋0.00833x5
＝((((0.00833x＋0.04167)x＋0.16667)x＋0.5)x＋1)x＋1.
而x＝－0.2，所以有
v0＝a5＝0.00833，
v1＝ v0x ＋a4＝0.040004，
v2＝ v1x＋a3＝0.1586692，
v3＝ v2x＋a2＝0.46826616，
v4＝ v3x＋a1＝0.906346768，
v5＝ v4x＋a0＝0.818730646，即f (－0.2)＝0.818730646.
第66讲 │ 要点探究
　　[点评]利用秦九韶算法计算多项式值关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内到外逐次计算，由于后项计算需用到前项的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性．

规律总结
第66讲 │ 规律总结
1．输入、输出和赋值语句是任何一个算法中必不可少的语句，一个语句可以输出多个表达式．在赋值语句中，一定要注意其格式要求，如“＝”的右侧必须是表达式，左侧必须是变量；一个语句只能给一个变量赋值；变量的值始终等于最近一次赋给它的值，先前的值将被替换．
第66讲 │ 规律总结
2．条件语句的主要功能是来实现算法中的条件结构．经常需要计算机按照条件进行分析、比较、判断，并且按照判断后的不同情况进行不同的操作和处理．如果是要解决像“判断一个数的正负”、“比较数之间的大小”、“对一组数进行排序”、“求分段函数的函数值”等问题，计算机就需要用到条件语句，有时还要用到条件语句的嵌套．
第66讲 │ 规律总结
3．解决算法问题里的累加、累乘等问题，需用循环语句编写程序，注意合理设计计数变量、累积变量和判断条件．
4．求三个以上(含三个数)的数的最大公约数时，可依次通过求两个数的最大公约数与第三个数的最大公约数来求解．
第67讲 │ 复数的概念与运算
第67讲　复数的概念与运算
知识梳理
　　 1．复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a叫复数的______，b叫复数的______．全体复数所成的集合叫做________，用字母C表示．
(2)复数的分类：对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当________时，复数a＋bi(a，b∈R)是实数；当______时，复数z＝a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z＝______叫做纯虚数．
第67讲 │ 知识梳理
实部
虚部
复数集
b=0
b≠0
bi
(3)相等的复数：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a＋bi＝c＋di _________.
(4)共轭复数：如果两个复数的__________，而虚部互为_______，则这两个复数互为共轭复数，即复数z＝a＋bi(a，b∈R)的共轭复数为＝_______.
第67讲 │ 知识梳理
a=c, b=d
实部相等
相反数
a－bi
　　 2.复数的四则运算
(1)in的周期性：i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1；i4n＋1＝______，i4n＋2＝______，i4n＋3＝______，i4n＝______.(n∈Z)
(2)复数和的运算法则：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝________________.
(3)复数差的运算法则：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝_______________.
第67讲 │ 知识梳理
i
－1
－i
1
（a+c）+（b+d）i
（a-c）+（b-d）i
第67讲 │ 知识梳理
（ac-bd）+（ad+bc）i
第67讲 │ 知识梳理
实轴
虚轴
实数
纯虚数
要点探究
　探究点1　复数的有关概念
第67讲 │ 要点探究
例1　下面四个命题：
(1)i比－i大；
(2)两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；
(3)x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；
(4)如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中正确的命题个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
第67讲 │ 要点探究
　　例1　A　[解析] (1)虚数是不能比较大小的；
(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数；
(3)x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1是错误的，因为没有表明x，y是否是实数；
(4)当a＝0时，没有纯虚数和它对应．没有一个命题是正确的，故选A.
第67讲 │ 要点探究
　探究点2　复数的运算
第67讲 │ 要点探究
第67讲 │ 要点探究
第67讲 │ 要点探究
　探究点3　共轭复数及与模有关的问题
第67讲 │ 要点探究
第67讲 │ 要点探究
第67讲 │ 要点探究
第67讲 │ 要点探究
　　[高考命题者说]
【考查目标】 本题考查复数的基本概念和复数代数形式的运算．
【命制过程】 本题在设计时，一方面通过对复数代数形式的运算，考查考生对复数及其共轭复数的理解和对复数运算法则的掌握，考生应用基本的运算法则就可以解决；另一方面对试题中的复数z精心设计，并设计为求互为共轭的两个复数的积，以此来考查考生的观察能力和优化解题过程的能力，让不同能力的考生得以发挥．试题中用表示z的共轭复数的设计落实了《课程标准》的教学要求．
第67讲 │ 要点探究
　探究点4　复数的几何意义
第67讲 │ 要点探究
第67讲 │ 要点探究
规律总结
第67讲 │ 规律总结
1．当试题与复数的分类有关时，如当复数为实数、虚
数、纯虚数、零时，特别要注意使用实部和虚部的约束条件．
2．设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等和有关性质将
复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．
3．在复数代数形式的四则运算中，加减乘运算按多项
式运算法则进行，除法则需分母实数化．
4．复数的代数运算与实数有密切联系但又有区别，在
运算中要特别注意实数范围内的运算法则在复数范围内是否
适用．(共261张PPT)
人教A版
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第36讲 空间几何体的直观图和三视图
第37讲 空间几何体的表面积和体积
第38讲 空间点、直线、平面之间的位置
关系
第39讲 空间中的平行关系
第40讲 空间中的垂直关系
第41讲 空间向量及运算
第42讲 空间向量解决线面位置关系
第43讲 空间角与距离的求法
第七单元　立体几何
第七单元　立体几何
知识框架
第七单元 │ 知识框架
第七单元 │ 知识框架
考纲要求
第七单元 │ 考纲要求
1．空间几何体
(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．
(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．
(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)．
第七单元 │ 考纲要求
(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)．
2.点、直线、平面之间的位置关系
(1)理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．
公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
第七单元 │ 考纲要求
定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理．
理解以下判定定理：
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．
如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
第七单元 │ 考纲要求
理解以下性质定理，并能够证明：
如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任何一个平面与此平面的交线和该直线平行．
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．
垂直于同一个平面的两条直线平行．
如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直．
(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．
3．空间向量及其运算
(1)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意
第七单元 │ 考纲要求
义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
4．空间向量的应用
(1)理解直线的方向向量与平面的法向量．
(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．
(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．
(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
命题趋势
第七单元 │ 命题趋势
立体几何是中学数学的主干知识之一，侧重考查空间想象能力和推理计算能力，纵观近三年新课标省市的高考试题中，立体几何部分在题型、题量、分值、难度等方面，均保持相对稳定，其考查的热点内容有以下几个特点：
1．从考查形式看，一般有两个左右的选择题或填空题和一道解答题，分值为22分左右，约占总分值(150分)的15 % ；涉及立体几何内容的命题形式最为多变，填空题尝试设计成多选填空、完形填空、构造填空等题型，以及开放性问题和多选题．
2．从考查内容看，一是以客观题来考查空间几何体的概念与性质、线面关系的判定、表面积与体积、三视图与直观图等，
第七单元 │ 命题趋势
其中线面位置关系的判定又常与命题、充要条件等有关知识融合在一起进行考查，在几何体表面积与体积为载体的试题中渗透函数、方程等数学思想方法；二是解答题以空间几何体为载体，考查立体几何的综合问题．主要是位置关系的判定、空间角与距离的计算，一般都可用几何法和向量法两种方法求解．
预测2012年新课标高考，对立体几何考查的知识点及试题的难度，会继续保持稳定，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及几何体的表面积与体积的计算，应用空间向量处理空间角与空间距离；而三视图作为新课标的新增内容，主要形式是在三视图为载体的试题中融入简单几何体的表面积与体积的计算，也可能会出现在解答题中与其他知识点交汇与综合．
使用建议
　 1．编写意图
本单元内容是必修2立体几何初步和选修2－1空间向量与立体几何两部分内容的整合，在高考试题中以中、低档题的形式出现，因此，编写时主要考虑以下几方面：
(1)本单元公理、定理较多，编写时注重从文字、符号、图形这三方面进行分析，并通过典型例题达到熟练掌握及应用；
(2)空间想象能力是学习立体几何的最基本的能力要求，选择例题时注重培养学生识图、作图、理解与应用图的能力；
第七单元 │ 使用建议
(3)对本单元的重点内容是空间线面的平行与垂直、空间角的计算，第39、40讲专题讲解，还在第42讲中讲解应用空间向量解决线面位置关系，第43讲研究空间角与距离的求法．
2．教学指导
立体几何主要是培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力，本单元重点是空间的元素之间的平行与垂直关系、空间几何体的表面积与体积，并关注画图、识图、用图的能力的提高，在复习时我们要注重以下几点：
(1)立足课标，控制难度．新课标对立体几何初步的要求，改变了经典的“立体几何”把推理论证能力放在最突出的位置，
第七单元 │ 使用建议
从单纯强调几何的逻辑推理转变为合情推理与逻辑推理并重，切忌盲目拔高．
(2)注重提高空间想象能力．在复习过程中，要注重将文字语言转化为图形，明确已知元素之间的位置关系及度量关系；借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系；能从复杂图形中分析出基本图形和位置关系，并借助直观感觉展开联想与猜想，进行推理与计算．
(3)归纳总结，规范训练．复习中要抓主线，攻重点，针对重点内容加以训练，如平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心的核心；要加强数学思想方法的总结与提炼，立体几何中蕴含着丰富的思想方法，如转化与化归思想，
第七单元 │ 使用建议
熟练将空间问题转化成平面图形来解决，以及线线、线面、面面关系的相互转化；要规范例题讲解与作业训练，例题讲解要重视作、证、求三环节，符号语言表达要规范、严谨．另外，适度关注对平行、垂直的探究，关注对条件或结论不完备情景下的开放性问题的探究．
(4)在空间角和距离的求解和位置关系的判定中，体会空间向量这一工具的巨大作用．
3．课时安排
本单元共8讲和一个滚动基础训练卷，一个单元能力训练卷，每讲建议1课时完成，基础训练卷和单元能力训练卷都建议1课时完成，共需10课时．
第七单元 │ 使用建议
第36讲 │ 空间几何体的直观图和三视图
第36讲　空间几何体的直观图
和三视图
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
表示 棱柱________________________，或棱柱______ 棱锥____________，或棱锥________ 棱台________________________，或棱台________
分类 以底面多边形的边数为标准分为________、_______、________等 以底面多边形的边数为标准分为________、______、________等 以底面多边形的边数为标准分为_________、_______、_______等
知识梳理
第36讲 │ 知识梳理
BCDE－A′B′C′D′E′
AC′
S－ABCDE
S－AC
ABCDE－A′B′C′D′E′
AC′
三棱柱
四棱柱
五棱柱
三棱锥
四棱锥
五棱锥
三棱台
四棱台
五棱台
1.棱柱、棱锥、棱台的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
结构
特征 ①有两个面互相________，其余各个面都是_____________；②每相邻两个四边形的公共边都互相________ 有一个面是________，其余各面是有一个公共顶点的________的多面体 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，________和________之间的部分
侧棱 ______________ 相交于________但不一定相等 延长线交于________
侧面
展开
形状 ________________ __________ ________
第36讲 │ 知识梳理
平行
平行四边形
平行
多边形
三角形
底面
截面
平行且相等
一点
一点
平行四边形
三角形
梯形
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
表示 圆柱_______ 圆锥_______ 圆台_______ 球________
底面 平行且全等的________ ________ 相似的两个________ 无
轴线 过底面________且________于底面 过________和底面________且________于底面 过上、下底面________且________于底面 过________
第36讲 │ 知识梳理
OO′
2.圆、圆锥、圆台和球的结构特征
SO
OO′
O
圆
圆面
圆面
圆心
垂直
顶点
圆心
垂直
圆心
垂直
球心
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
母线 平行、相等且________于底面 相交于________ 延长线交于________ 无
轴截面 全等的________ 全等的______________ 全等的__________ ________
侧面
展开
图 ________ ________ ________ 无
第36讲 │ 知识梳理
垂直
一点
一点
矩形
等腰三角形
等腰梯形
大圆
矩形
扇形
扇环
第36讲 │ 知识梳理
3.三视图与直观图
三视图 (1)空间几何体的三视图是用__________得到的，在这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是___________的，即从几何体的________、________、________三个方向，观察这个几何体，得到的投影图分别称为________、________、________，即几何体的三视图．
(2)三视图的排列顺序是，先画________，俯视图放在正视图的________，且________相等；侧视图放在________的右方，且________相等；侧视图与俯视图的________相等，即“长对正，高平齐，宽相等”
正投影
完全相同
正前方
正左方
正上方
正视图
侧视图
俯视图
正视图
下方
长度
正视图
高度
宽度
第36讲 │ 知识梳理
直观图 空间几何体的直观图常用________画法来画，基本步骤是
画几何体的底面
在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝______________，它们确定的平面表示水平面；
已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成________x′轴与y′轴的线段；
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度______，平行于y轴的线段，长度为______________．
画几何体的高
在已知图形中过O点作垂直于xOy平面的z轴，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍________z′轴且长度________
斜二测
45°或135°
平行于
不变
原来的一半
平行于
不变
要点探究
　探究点1　空间几何体的结构特征
第36讲 │ 要点探究
例1　 下列是关于空间几何体的四个命题中，
①由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，
其他各面是矩形的几何体是六棱柱；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是
棱锥；
③有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体一定是棱台；
④棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥．
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
第36讲 │ 要点探究
例1 [思路] 要判断几何体的类型，应从各类几何体的结构特征入手，结合棱锥、正棱锥的概念及相关性质，逐一进行考查．
B　[解析] ①是正确的，如图1所示，该几何体满足有两个面互相平行，其余六个面都是矩形，则每相邻两个面的公共边都互相平行，故该几何体是六棱柱(如图1)；
②是错误的，有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥(如图2)；
第36讲 │ 要点探究
③是错误的，有两个面互相平行，其余各面都是梯形的几何体不一定是棱台(如图3)；
④是错误的，如图4所示，AB＝BC＝CD＝DA，AC＝BD，棱锥的侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥．故选B.
第36讲 │ 要点探究
[点评] 准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键；另外，要断定命题为假时，还可以构造反例，或借助于周围的实物判断．下面变式题复习旋转体的结构特征以及其截面的形状．
第36讲 │ 要点探究
以下有4个命题：
①用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是球；
②以三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
③以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中正确命题的个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
第36讲 │ 要点探究
[思路] 求解决平面图形绕轴旋转问题的切入点是，对原平面图形作适当的分割，再根据圆锥、圆柱、圆台、球的结构特征进行判断；解决截面问题的关键是，熟悉旋转体各个方向的截面形状．
第36讲 │ 要点探究
B　[解析] 根据球、圆柱、圆锥、圆台的概念不难判出：
①是正确的，当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面；
第36讲 │ 要点探究
②是错误的，当以直角三角形的一条直角边为轴旋转才可以得到圆锥，如图(1)、(2)所示，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；
③是错误的，只有以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转可得到圆台；
④是错误的，只有用平行于圆锥底面的平面截圆锥，才可得到一个圆锥和圆台．故选B.
第36讲 │ 要点探究
　探究点2　空间几何体的三视图
第36讲 │ 要点探究
例2 [思路]本题可由实物图画出三视图，画几何体的三视图时，可见的轮廓线和棱用实线画出，不能看见的轮廓线用虚线表示；画图时，先确定几何体中与投影面垂直或平行的线及面的位置．
D　[解析] 设AA′＝a，则BB′＝2a，CC′＝3a，先画AB及AA′、BB′的位置，可排除A、C；由△ABC是正三角形，且棱CC′被遮挡，可排除B，故选D.
第36讲 │ 要点探究
　探究点3　空间几何体的直观图
例3　已知正三角形ABC的边长为1，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为________．
例3 [思路]本题的切入点是按照斜二测画法的规则，画出正三角形的直观图，求出△A′B′C′底边上的高，再求其面积．
第36讲 │ 要点探究
第36讲 │ 要点探究
第36讲 │ 要点探究
[2010·扬州模拟] 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图36－3所示的一个正方形，则原来的图形是(　　)
第36讲 │ 要点探究
[思路]根据斜二测画法规则，将直观图还原时，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为直观图中对应线段长度的2倍，即得到原来的图形．
A　[解析] 由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为 ，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2 .
第36讲 │ 要点探究
　探究点4　三视图、直观图的综合应用
例4 [2009·广东卷] 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图36－5(a)所示．墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图36－5(b)、图36－5(c)分别
是该标识墩的正(主)视图和俯视图．
(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图；
(2)求该安全标识墩的体积．
第36讲 │ 要点探究
例4　 [思路]本题给出的空间几何体是一个正四棱锥和长方体组成的简单组合体，可由直观图得到侧视图的形状；再由已知的正视图和俯视图的数量关系知道，侧视图和正视图是完全相同的，且几何体的数量关系可知，故体积可求．
第36讲 │ 要点探究
[点评] 本题与实际问题相结合，体现了数学的应用性，作图题要规范准确，不要忘记标出有关数据．求体积时注意把不规则几何体割补成规则几何体．本题求体积时，应用“长对正，宽相等，高平齐”得出有关数据是关键．
第36讲 │ 要点探究
[2010·辽宁卷] 如图36－6所示，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．
第36讲 │ 要点探究
[思路] 本题可以利用几何体的三视图与直观图之间的关系，解题的切入点可先将三视图还原，画出直观图，再利用网格线给出的长度求解．
　 [解析] 由已知的三视图还原为直观图后的几何体是四棱锥V－ABCD(如图所示)，满足VA⊥平面ABCD；根据题目中给出的方格长度，可以求得四棱锥V－ABCD的底面是边长为2的正方形，且四棱锥的高为2，所以这个多面体最长的一条棱VC的长为 .
第36讲 │ 规律总结
规律总结
1．几类特殊的多面体及它们之间的关系
第36讲 │ 规律总结
2．柱体(圆柱与棱柱)、台体(圆台与棱台)、锥体(圆锥与棱锥)的联系
3．由几何体的三视图判断原物体的形状
由几何体的三视图来判断原物体的形状时的一般规律为：“长对正，高平齐，宽相等”，由此可见，正视图和侧视图的形状确定原几何体为柱体、锥体还是台体；俯视图确定原几何体为多面体还是旋转体．
第36讲 │ 规律总结
4．用斜二测画法画立体图形的直观图
用斜二测画法画立体图形的直观图的步骤是：一画轴，二画底，三画高，四成图；其中，关键是要根据图形的特点选取适当的坐标系，尽量把顶点或其他关键点放在轴上或与轴平行的直线上，这样可以简化作图步骤，对于图形中平行于y轴的线段画直观图时要画成原来长度的一半，对于图形中与x轴、y轴和z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决．
第37讲 │ 空间几何体的表面积和体积
第37讲　空间几何体的表面积
和体积
知识梳理
第37讲 │ 知识梳理
1．柱体、锥体、台体的表面积
(1)多面体的表面积
①我们可以把多面体展成___________，利用__________求面积的方法，求多面体的表面积；
②棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的侧面积就是各__________之和，表面积是______________之和，即________与________之和．
平面图形
平面图形
侧面面积
各个面的面积
侧面积
底面积
第37讲 │ 知识梳理
(2)旋转体的表面积公式
名称 图形 侧面积 表面积
圆柱 S圆柱侧＝________ S＝_____________
或S＝______________
圆锥 S圆锥侧＝__________ S＝_________或S＝_________
2πrl
2πr2＋2πrl
2πr(r＋l)
πrl
πr2＋πrl
πr(r＋l)
第37讲 │ 知识梳理
名称 图形 侧面积 表面积
圆台 S圆台侧＝___________
S＝____________________
球 S＝________
π(r＋r′)l
π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
4πR2
第37讲 │ 知识梳理
2.柱体、锥体、台体的体积
(1)设棱(圆)柱的底面积为S，高为h，则体积V＝________；　
(2)设棱(圆)锥的底面积为S，高为h，则体积V＝________；　
(3)设棱(圆)台的上、下底面积分别为S′、S，高为h，则体积V＝__________________；
(4)设球半径为R，则球的体积V＝________.
注：对于一些不规则几何体，常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体求体积．
Sh
要点探究
第37讲 │ 要点探究
　探究点1　空间几何体的表面积和体积的计算
例1 (1)[2010·安徽卷] 一个几何体的三视图如图37－1所示，该几何体的表面积是(　　)
A．372 B．360
C．292 D．280
第37讲 │ 要点探究
(2) 一个容器的外形是一个棱长为2的正方体，其三视图如图37－2所示，则容器的容积为(　　)
第37讲 │ 要点探究
例1　（1）[思路]解题的切入点是把三视图还原为直观图，把三视图中的条件转化为直观图的条件，根据各面的特征分别求面积，再求表面积．
B　[解析] 由三视图可知，该几何体是由两个长方体构成的组合体，上面的长方体的长为6、宽为2、高为8；下面的长方体的长为10、宽为8、高2，所以该几何体的表面积等于下面长方体的全面积与上面长方体的4个侧面积之和，即
S＝(10×8＋10×2＋8×2)×2＋(8×6＋8×2)×2＝360，故选B.
第37讲 │ 要点探究
(2)[思路] 由三视图判断容器的形状是一个倒置的圆锥，根据三视图的条件可以确定容器的半径与高，代入体积公式求解．
A [解析] 由三视图可知，几何体为正方体内倒置的圆锥(如图)，轴截面是等腰三角形，其底面的半径为1，高为2，故容器的体积为
第37讲 │ 要点探究
[点评] 在以三视图为载体的试题中融入简单几何体的表面积与体积是高考新课标卷的热点题型，解题的关键是由三视图确定直观图的形状，以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用表面积公式求解；另外，组合体的表面积的重合部分容易产生重复计算的错误．下面变式题是旋转体的表面积的计算问题：
第37讲 │ 要点探究
如图37－3所示，已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，求这个球的表面积．
第37讲 │ 要点探究
　 [思路] (1)有关球的计算的关键是求出半径，球外接于正四棱柱，正四棱柱的顶点在球面上，正四棱柱的对角线长等于球的直径．
[解答] (1)设正四棱柱的底边长为a，
则V＝Sh＝a2h＝a2·4＝16，
∴a＝2.
如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的顶点都在球面上，过相对的侧棱AA1、CC1及球心O作截面，对角线AC1就是球的直径，设球的半径为R，则
第37讲 │ 要点探究
已知某几何体的俯视图是如图37－4所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
第37讲 │ 要点探究
　 [解答] 由已知三视图的条件可得，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形(如图四棱锥P－ABCD所示)．
　探究点2　空间几何体中的最值问题
第37讲 │ 要点探究
例2 [2010·全国卷Ⅱ]
第37讲 │ 要点探究
第37讲 │ 要点探究
高考命题者说
【考查目标】 本题考查正四棱锥的概念和体积的计算，考查函数最大值的概念和求解方法，综合考查考生的运算求解能力．
【命制过程】 本题要求考生理解正四棱锥的概念，进而得到正四棱锥体积的表达式．分析求解体积的最大值问题是本题
的重点，试题的设计为考生提供了解决问题的多个切入点．
【解题思路】 如右图，在正四棱锥S－ABCD中，O是底面正方形ABCD的中心．
第37讲 │ 要点探究
第37讲 │ 要点探究
第37讲 │ 要点探究
[2011·宝山调研] 如图37－5，已知正四棱锥P－ABCD的全面积为2，记正四棱锥的高为h.
试用h表示底面边长，并求正四棱锥体积V的最大值．
第37讲 │ 要点探究
第37讲 │ 要点探究
　探究点3 展开与折叠问题
第37讲 │ 要点探究
例3 如图37－6所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A，求：
(1)绳子的最短长度的平方f(x)；
(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离．
第37讲 │ 要点探究
第37讲 │ 要点探究
第37讲 │ 要点探究
[2010·福州模拟] 如图37－7所示，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点A，则三棱锥A－DCE的外接球的体积为(　　)
第37讲 │ 要点探究
第37讲 │ 规律总结
规律总结
1．柱、锥、台体的侧面积和表面积都是利用展开图得到的，必须熟悉其侧面展开图的形状．
名称 侧面展开图 展开图名称
棱柱 n个平行四边形
第37讲 │ 规律总结
名称 侧面展开图 展开图名称
棱锥 n个共顶点的三角形
棱台 n个梯形
第37讲 │ 规律总结
名称 侧面展开图 展开图名称
圆柱 矩形，矩形的长是圆柱的底面周长，宽是圆柱的母线长
圆锥 扇形，扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长
第37讲 │ 规律总结
名称 侧面展开图 展开图名称
圆台 扇环，扇环的内、外弧长分别是圆台的上、下底面周长
第38讲 │ 空间点、直线、平面之间的位置关系
第38讲　空间点、直线、平面之间
的位置关系
知识梳理
第38讲 │知识梳理
1．平面的概念及其表示
(1)平面的概念
几何里所说的“平面”就是从一些物体(课桌面、海平面等)抽象出来的，平面有两个特征：①_____________，即平面是无边界且无限延展的；②_________________，即平面是无厚薄、无大小、无数个平面重叠在一起，仍然是一个平面，平面是无所谓面积的．
一个平面把空间分成两部分，平面上的一条直线把平面分成两部分．
　
　
无限延展
平的(没有厚度)
第38讲 │知识梳理
(2)平面的表示法
通常画____________________表示平面(如图38－1)，平面可用小写希腊字母表示，如________、平面β；或用表示平行四边形的顶点的大写英文字母表示，如_____________、____________________.
平行四边形
平面α
平面AC
平面ABCD
名称 内容 图形表示 数学语言表示 作用
公理1 如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线在此平面内 A∈l，B∈l且A∈α，B∈α l α ①判定直线在平面内；②判定点在平面内
公理2 过________一条直线上的________，有且只有一个平面 若A、B、C三点不同在一条直线上，则A、B、C三点确定一个平面α ①确定平面；②证明点、线共面
第38讲 │知识梳理
两点
2．平面的基本性质
不在
三点
名称 内容 图形表示 数学语言表示 作用
公理3 如果两个________的平面有______公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l ①判定两个平面是否相交；②证明点在直线上；③证明三点共线；④证明三线共点；⑤画两个相交平面的交线
第38讲 │知识梳理
不重合
一个
第38讲 │知识梳理
注：公理2有以下三个推论
名称 内容 图形 数学语言表示 作用
公理2的推论 推论1
经过______________________，有且只有一个平面 若A l，则点A和直线l确定一个平面α ①确定平面；②证明点、线共面
推论2
经过两条____________有且只有一个平面 若a∩b＝P，则a与b确定一个平面α，使a α，b α
推论3
经过两条__________有且只有一个平面 若a∥b，则a与b确定一个平面α，使a α，b α
一条直线和直线外一点
相交直线
平行直线
位置关系 图形表示 表示方法 公共点的个数
共面直线
相交
直线
a∩b＝A 有且只有________公共点
平行
直线 a∥b 在同一平面内，________公共点
异面直线 a、b是异面直线 不同在__________平面内，_________公共点
第38讲 │知识梳理
3.空间直线与直线的位置关系
一个
没有
任何一个
没有
第38讲 │知识梳理
4.平行直线
(1)公理4(平行公理)：平行于同一条直线的____________________ ．
用符号表示为：a∥b，b∥c a∥c.
由公理4可知，空间平行线具有________．公理4的结论与平面几何中的相关结论相同，是平面几何中结论的推广，是判定空间两条直线________的依据．
(2)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_____________．
5.异面直线
(1)定义： ________________________的两条直线叫做异面直线．
两条直线互相平行
传递性
平行
相等或互补
不同在任何一个平面内
第38讲 │知识梳理
(2)性质：两条异面直线既不________也不________．
(3)异面直线所成的角
已知异面直线a、b，在空间任取一点O，过O作_________
________，则a′与b′所成的________(或________)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
异面直线所成的角的范围：________.
如果两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线________．两条互相垂直的异面直线a、b，记作_______.
相交
平行
a′∥a，
锐角
直角
互相垂直
a⊥b
b′∥b
要点探究
第38讲 │要点探究
　探究点1　空间点、线、面位置关系的判定
例1 如图38－2，正方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并请说明理由．
(1)直线AC1在平面CC1B1B内；
(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分
别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D
的交线为OO1；
(3)由点A、O、C可以确定一个平面；
(4)由A、C1、B1确定的平面是ADC1B1；
(5)若直线l是平面AC内的直线，直线m是平面D1C内的直线，若l与m相交，则交点一定在直线CD上．
第38讲 │要点探究
例1　 [思路] 利用平面的基本性质进行判断．
[解答] (1)错误．若AC1 平面CC1B1B，又BC 平面CC1B1B，
则A∈平面CC1B1B，且B∈平面CC1B1B，
∴AB 平面CC1B1B，与AB 平面CC1B1B矛盾；
(2)正确．因为O、O1是两平面的两个公共点，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；
(3)错误．因为A、O、C三点共线；
(4)正确．因为A、C1、B1不共线，∴A、C1、B1三点确定一个平面α，
第38讲 │要点探究
[点评]平面的基本性质是判断线面关系的依据，在判断过程中可适当利用图形以及构造特例，如下面的变式．
又AB1C1D为平行四边形，AC1、B1D相交于O2点，而O2∈α，B1∈α，
∴B1O2 α，而D∈B1O2，∴D∈α；
(5)正确．若l与m相交，则交点是两平面的公共点，而直线CD为两平面的交线，所以交点一定在直线CD上．
第38讲 │要点探究
下列命题：
①空间中不同的三点确定一个平面；②有三个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥两组对边相等的四边形是平行四边形．
其中正确的命题是________．
　 [思路]本题可根据平面的基本性质进行判断，要注意条件的严密性，可通过举反例来判断命题的真假．①②③④可利用公理直接作出判断，⑤⑥注意与平面几何的区别．
④　[解析] 由公理2知，不共线的三点才能确定一个平面，所以知命题①②均错，②中有可能出现两平面只有一条公共线
第38讲 │要点探究
(当这三个公共点共线时)．③空间两两相交的三条直线有三个交点或一个交点，若为三个交点，则这三线共面；若只有一个交点，则可能确定一个平面或三个平面．⑤中平行四边形及梯形由公理2可得必为平面图形，而四边形有可能是空间四边形，如图①所示.
⑥如图②四边形AD′B′C中，AD′＝D′B′＝B′C＝CA，但它不是平行四边形，所以⑥也错. 正确的命题只有④.
第38讲 │要点探究
　探究点2　三点共线与三线共点问题
例2 如图38－3所示，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.求证：B、D、O三点共线．
第38讲 │要点探究
例 2　[思路] 要证明B、D、O三点共线，可用公理3证明这三点是平面ABD与平面BCD的公共点，则这三点都在这两个平面的交线上．
[解答] ∵E∈AB，H∈AD，
∴E∈平面ABD，H∈平面ABD，∴EH 平面ABD.
∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD，
同理可证O∈平面BCD，
∴O∈平面ABD∩平面BCD，即O∈BD，
所以B、D、O三点共线．
第38讲 │要点探究
[点评] 证明点共线的依据是公理3，其方法是找出这些点所在的两个平面，说明各个点都是这两个平面的公共点，则这些点必在这两个平面的交线上；另外，证明三线共点的依据也是公理3，可证明其中两直线的交点在第三条直线上，把问题归结为证明点在直线上的问题，而第三条直线是经过这两条直线的两平面的交线，两个平面的公共点必在这两个平面的交线上．下面变式题就是三线共点的问题：
第38讲 │要点探究
两个不全等的三角形ABC、A1B1C1不在同一平面内，如图38－4所示，A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA，求证：AA1、BB1、CC1交于一点．
第38讲 │要点探究
[思路] 先证明两直线的交点在两平面的交线上，而第三条直线恰好是两个相交平面的交线．
[解答] 因为A1B1∥AB，所以A1B1与AB确定平面α，
因为B1C1∥BC，所以B1C1与BC确定平面β，
因为C1A1∥CA，所以C1A1与CA确定平面γ，
又△ABC与△A1B1C1不全等，所以有两条对应边不相等，
设AB≠A1B1，
由于AA1 α，BB1 α，则AA1与BB1必相交于P点，
因为BB1 β，所以P∈β；因为AA1 γ，所以P∈γ，
于是P在β、γ的交线上，又β∩γ＝CC1，即P∈CC1，
所以C、C1、P三点共线，
因此，AA1、BB1、CC1交于一点P.
第38讲 │要点探究
　探究点3 点线共面问题
第38讲 │要点探究
第38讲 │要点探究
第38讲 │要点探究
第38讲 │要点探究
　探究点4 异面直线所成的角
例4 [2010·全国卷Ⅰ] 如图38－6所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
第38讲 │要点探究
第38讲 │要点探究
第38讲 │要点探究
高考命题者说
【考查目标】 本题考查直三棱柱的概念、异面直线所成角的概念和求解方法，综合考查考生的空间想象能力和运算求解能力．
【命制过程】 本题以直三棱柱为载体，既面向全体考生，又为考生提供多个解决问题的切入点．
【解题思路】 思路1　如图(1)，建立空间直角坐标系．设AB＝1，则有
第38讲 │要点探究
第38讲 │要点探究
思路2　如图(2)所示，将直三棱柱ABC－A1B1C1嵌入正方体中，则∠AC1E＝60°为异面直线BA1与AC1所成的角．
【试题评价】 试题以直三棱柱为载体，面向全体考生，突出对异面直线所成角的概念的理解，为多种求解方法的使用提供了操作平台，使考生灵活运用数学知识和方法解决实际问题的能力得到体现．
(引自高等教育出版社2011年大纲版的《高考文科试题分析》第95页第6题)
第38讲 │要点探究
[2010·湖南卷] 如图38－7所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值．
第38讲 │要点探究
第38讲 │ 规律总结
规律总结
1．公理的作用
公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；公理2及其3个推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据．
2．证明三点共线及三线共点的方法
证三点共线及三线共点，都要转化为证明点在直线上，而要证明点在直线上，可分别证点在两个平面内，从而在两个平面的交线上．
第38讲 │ 规律总结
3．证明点线共面的常用方法
(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．
4．求两条异面直线所成的角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．其关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交．平移直线的方法有：①直接平移；②中位线平移．
第39讲 │ 空间中的平行关系
第39讲　空间中的平行关系
知识梳理
第39讲 │知识梳理
1．空间中直线和平面的位置关系
　
　
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
直线a在平面α内 ________ 有________公共点
直线在平面外 直线a与平面α平行 ________ ________公共点
直线与平面相交 直线a与
平面α斜交 ________ 有且只有________公共点
直线a与
平面α垂直 ________
a α
无数个
a∥α
没有
a∩α＝A
a⊥α
一个
第39讲 │知识梳理
2．空间中两个平面的位置关系
　
　
位置关系 圆形表示 符号表示 公共点
两平面
平行 ________ ________公共点
两平面
相交 斜交 ________ 有一条公共________
垂直 _______且___________
α∥β
没有
α∩β＝l
α⊥β
α∩β＝a
直线
第39讲 │知识梳理
3．直线与平面平行的判定与性质
　
类别 语言表述 图形表示 符号表示 应用
判定 判定一条直线与一个平面___________，则称这条直线与这个平面平行 α∩α＝ a∥α
证明直线与平面平行
平面外的_________________
______________平行，则这条直线平行于这个平面 a α，b α，且a∥b a∥α
性质 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的______与该直线______ a∥α，a β，
α∩β＝b a∥b
没有公共点
一条直线与此平面
内的一条直线
交线
平行
第39讲 │知识梳理
4．平面与平面平行的判定与性质
　
类别 语言表述 图形表示 符号表示 应用
判定 一个平面内的两条_________与另一个平面平行，则这两个平面平行 a α，b α，a∩b＝P，a∥β，b∥β α∥β 证明平面与平面平行
如果一个平面内有两条_________分别平行于另一个平面内的______
________，那么这两个平面平行 a α，b α，a∩b＝P，a∥a′，b∥b′ α∥β
垂直于____________的两个平面平行 a⊥α，a⊥β α∥β
相交直线
相交直线
两
条直线
同一条直线
第39讲 │知识梳理
　
类别 语言表述 图形表示 符号表示 应用
性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线必______于另一个平面 α∥β，a α a∥β 证明直线
与平面平
行
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b 证明直线
与直线平
行
平行
交线
要点探究
第39讲 │要点探究
　探究点1　平行的判定
例1 [2010·福州质检] 已知三棱柱ABC－A1B1C1中，M、N分别是A1B1和BC的中点，连接MN，AM，AN.
求证：MN∥平面ACC1A1.
第39讲 │要点探究
第39讲 │要点探究
第39讲 │要点探究
第39讲 │要点探究
[2010·陕西卷] 如图39－2所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB，BP＝BC＝2，E，F分别是PB，PC的中点．
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)求三棱锥E－ABC的体积V.
第39讲 │要点探究
第39讲 │要点探究
第39讲 │要点探究
例2 如图39－3所示，正三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F、G、H分别是AB、AC、A1C1、A1B1的中点．
求证：平面A1EF∥平面BCGH.
第39讲 │要点探究
第39讲 │要点探究
　探究点2 平行的性质
第39讲 │要点探究
第39讲 │要点探究
第39讲 │要点探究
　探究点3　平行关系的综合应用
例4 三如图39－5所示，已知点P是三角形ABC所在平面外一点，且PA＝BC＝1，截面EFGH分别平行于PA、BC(点E、F、G、H分别在棱AB、AC、PC、PB上)．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形且周长为定值；
(2)设PA与BC所成的角为θ，求四边形EFGH的面积的最大值．
第39讲 │要点探究
第39讲 │要点探究
第39讲 │ 规律总结
规律总结
1．运用直线与平面平行的判定定理的关键是寻找该平面内的平行直线，证两直线平行是平面几何的问题，体现了空间问题平面化的思想；判定直线与平面平行有以下方法：一是判定定理，二是线面平行定义，三是面面平行的性质定理．
2．要能够灵活地作出辅助线或辅助平面来解题．应注意辅助线或辅助平面不能随意添加，必须以某一性质或定理为依据，并关注辅助线或辅助平面的自身性质特点．
第39讲 │ 规律总结
3．运用判定定理证明平面与平面平行时，两直线是相交直线这一条件是关键，缺少这一条件则定理不一定成立；证明面与面平行常转化为证明线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，逐步由空间转化到平面．
4．平面与平面的平行也具有传递性．
5．平行关系的相互转化
第40讲 │ 空间中的垂直关系
第40讲　空间中的垂直关系
1．直线与直线垂直
定义:两条直线所成的角为________，则称两直线垂直，包括两类:________垂直与________垂直．
2．直线与平面垂直
(1)定义:如果直线l和平面α内的______________都垂直，就称直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的________．
知识梳理
异面
相交
90°
任意一条直线
垂线
垂面
第40讲 │ 知识梳理
第40讲 │ 知识梳理
(2)直线与平面垂直的判定与性质
类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用
判定 根据定义
________ 证直线和平面垂直
一条直线与一个平面内的________________都垂直，则该直线与此平面垂直
________
如果两条平行直线中的________垂直于一个平面，那么____________也垂直于同一个平面
________
性质 如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和这个平面内的_______________都垂直
________ 证两条直线垂直
垂直于同一个平面的两条直线________
________ 证两条直线平行
两条相交直线
一条
另一条直线
任意一条直线
平行
第40讲 │ 知识梳理
3．直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的________所成的_________，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图40－1所示，∠PAO就是斜线PA和平面α所成的角．
(2)一条直线垂直于平面，则它们所成的角是________；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是______的角．
直线和平面所成的角的范围是________．
射影
锐角
直角
0°
图40－1
第40讲 │ 知识梳理
4．二面角
定义：从一条直线出发的两个________所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的________，这两个半平面叫做二面角的________．
如图40－2所示，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作________于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做________________________．
半平面
棱
面
垂直
二面角α－l－β的平面角
图40－2
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的取值范围是________，平面角是直角的二面角叫做____________．
[0，π]
直二面角
5．两个平面垂直
(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是____________，就说这两个平面互相垂直．
直二面角
第40讲 │ 知识梳理
类别 语言表述 图形表示 符号表示 应用
判定 根据定义，证明两平面所成的二面角是___________ ∠AOB是二面角α－l－β的平面角，且____________，则α⊥β 证两平面垂直
一个平面过另一个平面的________，那么这两个平面垂直
________
性质 如果两个平面垂直，那么它们所成________________是直角 α⊥β，∠AOB是二面角α－a－β的平面角，则____________ 证两条直线垂直
两个平面垂直，则一个平面内垂直于______的直线垂直于_____________
________ 证直线与平面垂直
(2)两个平面垂直的判定和性质
直二面角
垂线
二面角的平面角
交线
另一个平面
∠AOB＝90°
∠AOB＝90°
第40讲 │ 知识梳理
要点探究
　探究点1　垂直关系的判定
第40讲 │ 要点探究
例1 如图40－3所示Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
图40－3
第40讲 │ 要点探究
例1　[思路] 证明线面垂直，根据判定定理可转化为证明线线垂直，考虑题中等腰三角形的条件，可由底边上的中线和三角形中位线得到．
第40讲 │ 要点探究
[解答] (1)取AB中点E，连接SE，DE.
在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，
故DE∥BC，且DE⊥AB，
∵ SA＝SB，∴ △SAB为等腰三角形，∴ SE⊥AB.
∵ DE⊥AB，SE∩DE＝E，∴ AB⊥面SDE.
而SD 面SDE，∴ AB⊥SD.
在△SAC中，SA＝SC，
D为AC的中点，∴ SD⊥AC.
又∵ SD⊥AB，AC∩AB＝A，∴ SD⊥平面ABC.
(2)若AB＝BC，则BD⊥AC.
由(1)可知SD⊥面ABC，而BD 面ABC，∴ SD⊥BD.
∵ SD∩AC＝D，∴ BD⊥平面SAC.
[2010·北京卷] 如图40－4所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直．EF∥AC，AB＝ ，CE＝EF＝1.
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.
第40讲 │ 要点探究
图40－4
第40讲 │ 要点探究
[思路] (1)要证明AF∥平面BDE，只需构造平行四边形，证明AF与平面BDE的一条直线平行；(2)证明CF⊥平面BDE，可利用菱形的对角线垂直，以及由面面垂直转化线面垂直，又线线垂直，得到CF与平面BDE的两条相交直线垂直．
[解答] (1)设AC与BD交于点G.
因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝ AC＝1.
所以四边形AGEF为平行四边形．
所以AF∥EG.
因为EG 平面BDE，AF 平面BDE，
所以AF∥平面BDE.
(2)连接FG.
因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1，所以四边形CEFG为菱形，
所以CF⊥EG.
因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.
又因为平面ACEF⊥平面ABCD，
且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，
所以BD⊥平面ACEF.
所以CF⊥BD.
又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.
第40讲 │ 要点探究
例2 [2010·课标全国卷] 如图40－5所示，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高．
(1)求证：平面PAC⊥平面PBD；
(2)若AB＝ ，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P－ABCD的体积．
图40－5
第40讲 │ 要点探究
第40讲 │ 要点探究
[2010·山东卷] 在如图40－6所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.
(1)求证：平面EFG⊥平面PDC；
(2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．
图40－6
第40讲 │ 要点探究
　[思路] (1)利用线面垂直，得BC⊥PD，从而把证明平面EFG⊥平面PDC，转化为证明BC⊥平面PDC即可．(2)通过AD＝PD＝2MA和正方形ABCD的性质找出题中线段之间关系并分别求出三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积，最后求比值．
第40讲 │ 要点探究
第40讲 │ 要点探究
　探究点2　垂直关系的性质
例3 [2010·江苏卷] 如图40－7所示，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点A到平面PBC的距离．
图40－7
第40讲 │ 要点探究
第40讲 │ 要点探究
[2009·福建卷] 如图40－8所示，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD.
(1)求证：AB⊥DE；
(2)求三棱锥E－ABD的侧面积．
图40－8
第40讲 │ 要点探究
第40讲 │ 要点探究
第40讲 │ 要点探究
　探究点3　垂直关系的综合应用
例4 [2010·陕西卷]如图40－9所示，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2 ，E，F分别是AD，PC的中点．
(1)求证：PC⊥平面BEF；
(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．
图40－9
第40讲 │ 要点探究
第40讲 │ 要点探究
[2010·温州模拟] 如图40－10所示，直角△BCD所在的平面垂直于正三角形ABC所在的平面，PA⊥平面ABC，DC＝BC＝2PA，E、F分别为DB、CB的中点．
(1)求证：AE⊥BC；
(2)求直线PF与平面BCD所成的角．
图40－10
第40讲 │ 要点探究
第40讲 │ 要点探究
第40讲 │ 要点探究
第40讲 │ 规律总结
规律总结
1．两直线垂直包括相交垂直和异面垂直两种情况，而后者常被人忽略；线面垂直是线面相交的一种特殊情形，面面垂直是面面相交的一种特殊情形，而这两类垂直常被误以为是线面(或面面)位置关系中的一种．
2．线面垂直判定定理可以简单地记为“线线垂直 线面垂直”，是证明线面垂直的常用方法，证明线面垂直的方法有：①线面垂直的定义；②线面垂直的判定定理；③两条互相平行的直线的性质．
第40讲 │ 规律总结
3．证明两个平面垂直，首先要考虑直线与平面的垂直，也可简单地记为“证面面垂直，找线面垂直”，是化归思想的体现，这种思想方法，与空间中的平行关系的证明非常类似，这种转化方法是本讲内容的显著特征，掌握化归与转化的思想方法是解决这类问题的关键．
第40讲 │ 规律总结
4．空间垂直关系之间的转化——这也是立体几何中证明垂直关系常用的思路，三种垂直关系的转化可结合下图记忆．
第41讲 │ 空间向量及运算
第41讲　空间向量及运算
知识梳理
第41讲 │ 知识梳理
两两垂直
1．空间直角坐标系及有关概念
(1)如图41－1, OABC－D1A1B1C1是单位正方体，以O为原点，分别以OA，OC，OD1的长为单位长度，建立三条____________的数轴：x轴，y轴，z轴，则称建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做____________，x轴，y轴，z轴叫做________，通过每两个坐标轴的平面叫做___________．
坐标原点
坐标轴
坐标平面
(2)空间一点M在空间直角坐标系中的坐标可以用有序实数组(x，y，z)表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的________，y叫做点M的________，z叫做点M的________．
横坐标
纵坐标
竖坐标
第41讲 │ 知识梳理
2．空间向量的概念及运算
空间向量的概念及运算同平面向量基本相同．加减运算遵循_____________________________，数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算相同；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标．
3．空间向量的数量积及运算律
(1)定义
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作______．
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的________，记作a·b.即______＝|a||b|cos〈a，b〉．
三角形法则或平行四边形法则

数量积
a·b
第41讲 │ 知识梳理
p=xa+yb+zc
基底
基向量
第41讲 │ 知识梳理
(2)空间向量的正交分解
如果i，j，k是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量p，存在一个有序实数组{x，y，z}，使得p＝xi＋yj＋zk.我们称xi，yj，zk为向量p在i，j，k上的________．
(3)空间向量的坐标
设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为单位正交基底)，对于空间任一向量p，存在有序数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.我们把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作____________．此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz中的坐标________．
分向量
p=(x,y,z)
(x,y,z)
第41讲 │ 知识梳理
5．空间向量的坐标表示及应用
(1)空间向量运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)，
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.
(2)重要结论
a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)；
第41讲 │ 知识梳理
第41讲 │ 知识梳理
要点探究
　探究点1　空间向量的线性运算
第41讲 │ 要点探究
图41－2
第41讲 │ 要点探究
第41讲 │ 要点探究
[点评] 本题要解决的是空间问题，但所用的则是平面向量的知识，将空间问题分解为几个平面问题，并在各个平面内分别使用平面向量知识，综合起来达到解决问题的目的，这是用向量知识解决空间问题的基本思路之一．另外，注意到用一组基向量表示空间向量的唯一性，可利用其确定未知参数，如下面的变式题：
第41讲 │ 要点探究
第41讲 │ 要点探究
图41－3
第41讲 │ 要点探究
第41讲 │ 要点探究
第41讲 │ 要点探究
　探究点2　空间直角坐标系的建立
例2 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求|MN|.
第41讲 │ 要点探究
第41讲 │ 要点探究
如图41－4所示，在正四棱锥P－ABCD中，底面边长和侧棱长都为2，点E在侧棱PC上，点F在底面ABCD的对角线BD上，试求E、F两点间的最短距离．
图41－4
第41讲 │ 要点探究
第41讲 │ 要点探究
第41讲 │ 要点探究
　探究点3　空间向量的坐标运算
例3 (1)已知向量a＝(2，－1,3)，求向量b，使得b∥a，且|b|＝3|a|；
(2)已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－1,2,1)，若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
第41讲 │ 要点探究
第41讲 │ 要点探究
第41讲 │ 要点探究
第41讲 │ 要点探究
　探究点4　空间向量的数量积
图41－5
第41讲 │ 要点探究
第41讲 │ 要点探究
第41讲 │ 规律总结
规律总结
1．空间向量的概念及其运算是从平面向量中延伸过来的，要通过类比的方法来掌握．在进行空间向量的线性运算时可以沿用平面向量线性运算的方法；空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算相似，只是多出一个坐标，与平面向量的坐标运算作一些对比，可以较容易地掌握空间向量的坐标运算问题．
2．用已知向量表示未知向量，以及进行向量表达式的化简时，一定要注意结合实际图形，以图形为指导是解题的关键，同时注意首尾相接的向量和向量的化简方法，以及从同一个点出发的两个向量的差向量的运算法则，避免出现方向错误．
第41讲 │ 规律总结
3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为用向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．在这里，恰当地选取基底可使向量运算简捷，或者是建立空间直角坐标系，使立体几何问题成为代数问题，在这里，熟练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基础．
4．用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量的共线定理；解决两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；求异面直线的夹角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，应注意转化；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零．
第41讲 │ 规律总结
5．空间中的两个向量的数量积是平面向量中两向量的数量积的延伸和推广，工具性特别强，可借助向量的数量积解决两直线的平行与垂直问题，求解空间角和空间的距离问题；向量的数量积的坐标表示即数量积的代数化，可以将数量积的运算转化为代数运算，使运算简化．
第42讲 │ 空间向量解决线面位置关系
第42讲　空间向量解决线面位
置关系
知识梳理
第42讲 │ 知识梳理
1.空间点、线、面位置的向量表示
位置向量
第42讲 │ 知识梳理
定理 内容
共线向量
概念 　如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相_____________，则这些向量叫做共线向量或平行向量
定理 　共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得________
推论 如图所示，点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使_________________， ①其中向量a叫做直线l的__________
　
第42讲 │ 知识梳理
平行或重合
2．空间向量共线与共面的有关定理
a＝λb
方向向量
共面向量
概念 　平行于同一个______的向量，叫做共面向量
定理 　共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量c与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使得c＝________
推论 空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使_______________，或对空间任一定点O，有____________________
第42讲 │ 知识梳理
平面
xa＋yb
3．空间向量与空间线面关系的判定
方向向量
法向量
方向
第42讲 │ 知识梳理
直线、平面 平行 垂直
l1与l2 l1∥l2 ___________ ___________ l1⊥l2 ___________ ___________
l1与α l1∥α ____________ u1·v1＝0 l1⊥α ___________ ___________
α与β α∥β ____________ v1＝λv2 α⊥β __________ ____________
根据上面的结论，空间的线面平行或垂直问题，可转化为直线的方向向量与平面的法向量的平行或垂直问题．
u1∥u2
U1=λu2
u1⊥u2
u1·u2＝0
u1⊥v1
u1∥v1
u1=λv1
v1∥v2
v1⊥v2
v1·v2＝0
要点探究
　探究点1　空间中的点共线、点共面问题
第42讲 │ 要点探究
第42讲 │ 要点探究
第42讲 │ 要点探究
第42讲 │ 要点探究
第42讲 │ 要点探究
求证：四面体中连接对棱中点的三条线段交于一点且互相平分．(此点称为四面体的重心)
第42讲 │ 要点探究
第42讲 │ 要点探究
　探究点2　证明平行关系
例2 [2011·湖南卷] 如图42－2所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值；
(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
图42－2
第42讲 │ 要点探究
第42讲 │ 要点探究
第42讲 │ 要点探究
第42讲 │ 要点探究
图42－3
第42讲 │ 要点探究
第42讲 │ 要点探究
第42讲 │ 要点探究
　探究点3　证明垂直关系
例3　 [2010·龙岩模拟] 在正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面上叠放三棱柱A1D1M－B1C1N，该几何体的正视图与侧视图如图42－4所示．
(1)若DB1⊥A1M，求实数a的值；
(2)在(1)的基础上，求证：A1C⊥平面NB1D1.
图42－4
第42讲 │ 要点探究
第42讲 │ 要点探究
如图42－5，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面为正方形，O1、O分别为上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影为O，
(1)求证：平面O1DC⊥平面ABCD；
(2)若点E、F分别在棱AA1、BC上，且AE＝2EA1，问点F在何处时，EF⊥AD
图42－5
第42讲 │ 要点探究
第42讲 │ 要点探究
第42讲 │ 要点探究
第42讲 │ 规律总结
规律总结
1．用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：基向量法和坐标法，共分三步：(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题．
2．点共线、点共面、线共面可转化为向量共面问题，应用共线向量定理、共面向量定理证明.
第42讲 │ 规律总结
3．向量法证明线面平行问题，有以下两种方法：(1)利用共面向量基定理，证明向量p与两个不共线的向量a，b共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使得p＝xa＋yb；(2)设n为平面α的一个法向量，要证明直线a∥平面α，只需要证明a·n＝0(a为直线a的方向向量)即可．
4．证明线面垂直的方法：可证明直线的方向向量与平面的法向量共线，也可以证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直；证明面面垂直也可转化为两平面的法向量垂直．
5．平面的法向量的求法主要有两种：
(1)直接法：如果图形比较特殊，借助几何知识易证明直线
第42讲 │ 规律总结
与平面垂直，则直线的方向向量就是平面的法向量；
(2)坐标法：利用向量的坐标求一个平面的法向量的坐标，要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，它的主要步骤是：①建立适当的空间直角坐标系；②假设法向量为n＝(x，y，z)，求出平面内的两个不共线的向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，并列出关系式n·a＝0，n·b＝0；③将n·a＝0，n·b＝0转化为代数方程组，求出x、y、z，并将其中的一个字母赋予特殊值，解得平面的一个法向量．
第43讲 │ 空间角与距离的求法
第43讲　空间角与距离的求法
知识梳理
第43讲 │ 知识梳理
α＝α1
α＝π－α1
相等或互补
第43讲 │ 知识梳理
第43讲 │ 知识梳理
②设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个面α、β的法向量，则
cos〈n1，n2〉＝__________.
而〈n1，n2〉的大小或补角即为二面角的大小，如图43－2所示．
2．利用空间向量求空间距离
(1)空间两点A、B之间的距离，可利用公式__________，转化为求向量 的__________．
第43讲 │ 知识梳理
第43讲 │ 知识梳理
(4)线与面、面与面的距离都可以化为__________的距离求解．
(5)利用向量求两异面直线的距离
如图43－4所示，l1、l2是两条异面直线，n是l1与l2的公垂线段AC的方向向量，B、D分别是l1、l2上的任意两点，则l1与l2的
距离是d＝__________.
第43讲 │ 知识梳理
点到平面
要点探究
　探究点1　异面直线所成的角
第43讲 │ 要点探究
例1 一个正方体的展开图如图43－5所示，B，C，D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点．在原来的正方体中，求CD与AB所成角的余弦值．
第43讲 │ 要点探究
[解答] 把正方体的展开图还原为正方体，以B为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则C(2,2,2)，D(0,0,2)，A(0,1,2)，B(0,0,0)．
[思路] 本题把展开图还原为正方体后，可以利用直线的方向向量，把两异面直线的问题转化为两方向向量的夹角，通过向量的夹角公式求得结果．由于题目所给的载体是正方体，容易建立空间直角坐标系．
第43讲 │ 要点探究
第43讲 │ 要点探究
第43讲 │ 要点探究
[2011·扬州调研] 如图43－6，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，P为A1B上的点， ＝ λ，且PC⊥AB.
(1)求λ的值；
(2)求异面直线PC与AC1所成角的余弦值．
第43讲 │ 要点探究
第43讲 │ 要点探究
　探究点2　直线和平面所成的角
第43讲 │ 要点探究
例2 [2010·课标全国卷] 如图43－7所示，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．
(1)证明：PE⊥BC；
(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．
第43讲 │ 要点探究
第43讲 │ 要点探究
第43讲 │ 要点探究
[2010·福州质检] 已知几何体EFG－ABCD如图43－8所示，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在边DG上．
(1)求证：BM⊥EF；
(2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°，若存在，试求点M的位置；若不存在，请说明理由．
第43讲 │ 要点探究
第43讲 │ 要点探究
第43讲 │ 要点探究
　探究点3　二面角
第43讲 │ 要点探究
第43讲 │ 要点探究
第43讲 │ 要点探究
第43讲 │ 要点探究
第43讲 │ 要点探究
[2010·福建质检] 如图43－10所示，l1、l2是两条互相垂直的异面直线，点P、C在直线l1上，点A、B在直线l2上，M、N分别是线段AB、AP的中点，且PC＝AC＝a，PA＝a.
(1)证明：PC⊥平面ABC；
(2)设平面MNC与平面PBC所成的角为θ(0°<θ≤90°)．现给出下列四个条件：
①CM＝AB；②AB＝a；③CM⊥AB；
④BC⊥AC.
请你从中再选择两个条件以确定cos θ
的值，并求之.
第43讲 │ 要点探究
第43讲 │ 要点探究
第43讲 │ 要点探究
例4 把长、宽分别为2、2的长方形ABCD沿对角线AC折成60°的二面角，求顶点B和D的距离．
　探究点4　两点间的距离
第43讲 │ 要点探究
第43讲 │ 要点探究
第43讲 │ 要点探究
第43讲 │ 要点探究
第43讲 │ 规律总结
规律总结
1．用空间向量解决立体几何问题的思路与步骤
(1)用空间向量解决立体几何问题，有两种基本思路：一种是利用空间向量表示几何量，利用向量的运算进行判断，此种方法不需要建立坐标系；另一种是用空间向量的坐标表示几何量，利用向量的坐标运算进行判断，此种方法需要建立坐标系．
(2)用空间向量解决立体几何问题的一般步骤是：
①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
第43讲 │ 规律总结
②通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题．
③把向量运算的结果“翻译”成相应的几何意义，即回归到图形问题．
2．求空间角(异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角)一直是高考的热点，空间中的各类角都可以转化为向量之间的角；而用向量法求解时，只需利用公式，通过简单的向量运算即可解决．求解时，应注意下面几点：
第43讲 │ 规律总结
(1)设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则
(2)在求直线和平面所成的角时，误认为直线的方向向量和平面的法向量的夹角θ就是直线和平面所成的角φ，当θ是钝角，φ＝θ－90°；当θ是锐角时，φ＝90°－θ.
第43讲 │ 规律总结
(3)要注意二面角与它的两个面的法向量所成的角的关系：
设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个面α、β的法向量，
①若n1，n2与α、β的关系如图43－13(1)(2)所示，则二面角的平面角与两个法向量的夹角互补;
第43讲 │ 规律总结
②若n1，n2与α、β的关系如图43－13(3)(4)所示，则二面角的平面角与两个法向量的夹角相等．
3．空间中点到平面的距离的计算是立体几何中的一个难点，也是高考中的命题热点，求点到平面的距离，用向量法求解一般有以下方法：
(1)求出点在平面内的射影的坐标，转化为两点的距离问题；
(2)求出平面的法向量，通过向量在单位法向量上的射影的长度求解．(共101张PPT)
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第六单元　平面向量
第33讲 平面向量的概念及其线性运算
第34讲 平面向量的基本定理及坐标运算
第35讲 平面向量的数量积及应用
第六单元　平面向量
知识框架
第六单元 │ 知识框架
考纲要求
第六单元 │ 考纲要求
第六单元 │ 考纲要求
第六单元 │ 考纲要求
命题趋势
第六单元 │ 命题趋势
第六单元 │ 命题趋势
使用建议
第六单元 │ 使用建议
第六单元 │ 使用建议
第六单元 │ 使用建议
第33讲 │ 平面向量的概念及其线性运算
第33讲　平面向量的概念
及其线性运算
知识梳理
第33讲 │ 知识梳理
大小
方向
大小
长度
长度
相同
长度
相反
1
1
0
0
1．向量的有关概念及表示
名称 定义 表示
向量 在平面中，既有______又有______的量 用a,b,c,…,或A，B,…表示
向量的模 向量a的______，也就是表示向量
a的有向线段AB的______(或称模) ______或______
平行向量 方向相同或相反的非零向量 a∥b
相等向量 ______相等且方向______的向量 a＝b
相反向量 ______相等，方向______的向量 向量a的相反向量是______
单位向量 长度等于______个单位的向量 用e表示，|e|＝________
零向量 长度为______的向量 用______表示
第33讲 │ 知识梳理
不确定的
平行
第33讲 │ 知识梳理
2．向量的线性运算
和
三角形
平行四边形
第33讲 │ 知识梳理
相反向量
三角形
第33讲 │ 知识梳理
向量
数乘
相同
相反
0
要点探究
　探究点1　向量的有关概念的应用
第33讲 │ 要点探究
第33讲 │ 要点探究
第33讲 │ 要点探究
第33讲 │ 要点探究
[点评] 大小和方向是向量的两个基本要素，判断两个向量之间的关系时，
一定要抓住这两个要素，要分清、理解各概念的实质，注意区分平行向量、
同向向量等概念，注意零向量与任何向量共线．
下面变式题主要从向量的模与方向，复习巩固向量与单位向量的概念、向量的共线与平行．
第33讲 │ 要点探究
第33讲 │ 要点探究
　探究点2　向量的线性运算
第33讲 │ 要点探究
第33讲 │ 要点探究
第33讲 │ 要点探究
第33讲 │ 要点探究
　探究点3　共线向量定理的应用
第33讲 │ 要点探究
第33讲 │ 要点探究
第33讲 │ 要点探究
第33讲 │ 要点探究
　探究点4　向量线性运算的综合问题
第33讲 │ 要点探究
第33讲 │ 要点探究
第33讲 │ 要点探究
第33讲 │ 要点探究
第33讲 │ 要点探究
第33讲 │ 要点探究
规律总结
　　
第33讲 │ 规律总结
第33讲 │ 规律总结
第33讲 │ 规律总结
第34讲 │ 平面向量的基本定理及坐标运算
第34讲　平面向量的基本
定理及坐标运算
知识梳理
第34讲 │ 知识梳理
第34讲 │ 知识梳理
第34讲 │ 知识梳理
第34讲 │ 知识梳理
第34讲 │ 知识梳理
第34讲 │ 知识梳理
要点探究
　探究点1　平面向量基本定理的应用
第34讲 │ 要点探究
第34讲 │ 要点探究
第34讲 │ 要点探究
第34讲 │ 要点探究
第34讲 │ 要点探究
第34讲 │ 要点探究
　探究点2　平面向量的坐标运算的应用
第34讲 │ 要点探究
第34讲 │ 要点探究
第34讲 │ 要点探究
第34讲 │ 要点探究
第34讲 │ 要点探究
第34讲 │ 要点探究
第34讲 │ 要点探究
第34讲 │ 要点探究
第34讲 │ 要点探究
第34讲 │ 要点探究
　探究点4　向量坐标运算的综合应用
第34讲 │ 要点探究
第34讲 │ 要点探究
第34讲 │ 要点探究
第34讲 │ 要点探究
第34讲 │ 要点探究
第34讲 │ 要点探究
第34讲 │ 要点探究
规律总结
　　
第34讲 │ 规律总结
第34讲 │ 规律总结
第35讲 │ 平面向量的数量积及应用
第35讲　平面向量的数
量积及应用
知识梳理
第35讲 │ 知识梳理
第35讲 │ 知识梳理
第35讲 │ 知识梳理
第35讲 │ 知识梳理
第35讲 │ 知识梳理
要点探究
　探究点1　平面向量的数量积的概念
第35讲 │ 要点探究
第35讲 │ 要点探究
第35讲 │ 要点探究
第35讲 │ 要点探究
第35讲 │ 要点探究
　探究点2　利用平面向量的数量积解决向量夹角问题
第35讲 │ 要点探究
第35讲 │ 要点探究
第35讲 │ 要点探究
第35讲 │ 要点探究
第35讲 │ 要点探究
第35讲 │ 要点探究
　探究点3　平面向量垂直、平行问题
第35讲 │ 要点探究
第35讲 │ 要点探究
第35讲 │ 要点探究
第35讲 │ 要点探究
　探究点4　平面向量的数量积的综合问题
第35讲 │ 要点探究
第35讲 │ 要点探究
第35讲 │ 要点探究
第35讲 │ 要点探究
规律总结
　　
第35讲 │ 规律总结
第35讲 │ 规律总结(共238张PPT)
第44讲　直线的倾斜角与斜率、直线的方程
第45讲 两直线的位置关系与点到直线的距离
第46讲 圆的方程
第47讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
第48讲 椭圆
第49讲 双曲线
第50讲 抛物线
第51讲 直线与圆锥曲线的位置关系
第52讲 曲线与方程
第八单元　解析几何
人教A版
第八单元　解析几何
知识框架
第八单元 │ 知识框架
考纲要求
第八单元 │ 考纲要求
1．直线与方程
(1)在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素．
(2)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．
(3)能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直．
(4)掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．
(5)能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．
(6)掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行线间的距离．
第八单元 │ 考纲要求
2．圆与方程
(1)掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．
(2)能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．
(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．
(4)初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
3．圆锥曲线
(1)了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
第八单元 │ 考纲要求
(2)掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．
(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．
(4)了解圆锥曲线的简单应用．
(5)理解数形结合的思想．
4．曲线与方程
了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．
命题趋势
第八单元 │ 命题趋势
1．从近几年新课标省份对本单元内容的考查情况来看，本单元的命题有以下特点：考查以中低档题为主，形式上多为一大一小，小题主要考查直线、圆、圆锥曲线的定义及基本性质，如两直线的平行与垂直，直线与圆的位置关系、椭圆或双曲线的离心率等；大题主要考查直线与圆、直线与圆锥曲线的综合问题，往往运算量较大、思维较复杂．
2．预测2012年对本单元内容的考查，会沿袭往年的考查方式，用小题考查直线、圆、圆锥曲线的基本概念和基本性质；在大题中，以直线与圆、直线与圆锥曲线的关系为切入点，综合函数、不等式等知识以及数形结合、分类讨论等思想进行考查．
使用建议
　 1．编写意图
本单元是高考的必考内容，在研究了近三年新课标省份对本单元内容考查的基础上，在编写中注意到如下的几个问题：
(1)控制难度，加强基础知识和基本方法的讲解和训练；
(2)突出重点，直线与圆的位置关系、椭圆、抛物线的定义和几何性质是考查的重点，对这部分内容的例题和训练题进行了精心的编排和设计；
(3)加强综合训练，本单元思维量较大，运算较复杂，方法灵活多样，是多数学生感觉较为难学的部分，因此，在例
第八单元 │ 使用建议
题和训练题中，设计了一定量的综合题以提高学生的运算能力和综合解题能力．
2．教学指导
复习过程中建议重点关注以下几个问题：
(1)要求学生熟练掌握直线方程的几种形式，能熟练解决直线的位置关系问题，熟练掌握圆的方程，能用代数和几何两种方法解决直线与圆的位置关系问题，熟记椭圆和抛物线的定义与几何性质，这是客观题得分的重要保证．
(2)重视数学思想方法的应用．分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想、函数与方程思想以及解析法、待定系数法等在各种题型中均有体现．要牢牢抓住圆的几何特征，圆锥曲线的定义，利用直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系，寻求合理的等量关系，尽量使运算过程简化．
第八单元 │ 使用建议
(3)复习过程中以中、低档题目的训练为主，适当训练一些综合题，以提高学生的运算能力和综合解题能力，不要选用运算过于复杂的题目，主要训练运算推理能力和画图用图能力．
3．课时安排
本单元共9讲，预计除51讲为2课时外，其余每讲建议1课时完成，滚动基础训练卷和单元能力训练卷各占1课时，共需12课时．
第八单元 │ 使用建议
第44讲 │ 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
第44讲　直线的倾斜角与斜 率、直线的方程
知识梳理
　 1．当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的____________．当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为______．因此，直线的倾斜角α的取值范围为____________．　
2．我们把一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝______.倾斜角是________的直线没有斜率，倾斜角α不是90°的直线都有斜率．倾斜角不同，直线的斜率也不同，因此，我们可以用______表示直线的倾斜程度．
第44讲 │ 知识梳理
倾斜角
0°
0°≤α＜180°
正切值
tan α
90°
斜率
3．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率
公式k＝______________.
4．直线方程的三种形式
(1)点斜式：y－y1＝k(x－x1)表示经过点________且斜率为____的直线．特例：y＝kx＋b表示过点______且斜率为____的直线．其中b表示直线在y轴上的______．该方程叫直线方程的___________．
　
第44讲 │ 知识梳理
(x1,y1)
k
(0,b)
k
截距
斜截式方程
第44讲 │知识梳理
(x1,y1)
(x2,y2)
要点探究
　探究点1　直线的倾斜角和斜率
第44讲 │ 要点探究
例1　 经过两点A(2,1)和B(a，a＋1)的直线l的倾斜角θ∈(0°，45°]，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<0或a>2 B．0C．a<0 D．a>2
例1 [思路] 利用斜率公式k＝ ，用a表示k，再由倾斜角的范围得0第44讲 │ 要点探究
第44讲 │ 要点探究
第44讲 │ 要点探究
[思路] 射影长度与线段长度的比值即是直线倾斜角的余弦值的绝对值．
长度为2的线段AB在x轴上的射影长的范围是
,则线段AB所在的直线l的倾斜角的取值范围是________．
第44讲 │ 要点探究
　探究点2　求直线的方程
第44讲 │ 要点探究
第44讲 │ 要点探究
第44讲 │ 要点探究
第44讲 │ 要点探究
[点评] 求直线方程时，要依据条件灵活地选择方程的形式．一般地，与倾斜角有关的题设为点斜式或斜截式，如例(1)；如与截距有关的题设为截距式，如例(2). 例(3)设为点斜式，以斜率k表示A、B点的坐标，再将|MA|·|MB|表示为k的函数，然后用不等式求解，这里用到了函数思想和不等式方法，这是解决问题的重要方法，要仔细体会．
对于直线方程各种形式，要注意它们的使用范围，即对方程中的参数要分类讨论，如下面变式题：
第44讲 │要点探究
第44讲 │ 要点探究
直线l过点M(1,2)．
(1)若直线l经过第三、第四象限，求斜率k的取值范围；
(2)若直线l与x轴、y轴正方向交于A、B两点，O为原点，当△AOB面积取得最小值时，求直线l的方程．
第44讲 │ 要点探究
第44讲 │ 要点探究
　探究点3　综合应用
第44讲 │ 要点探究
第44讲 │ 要点探究
第44讲 │ 要点探究
第44讲 │ 规律总结
规律总结
第44讲 │ 规律总结
第45讲 │ 两直线的位置关系与点到直线的距离
第45讲　两直线的位置关系与
点到直线的距离
知识梳理
1．两直线平行与垂直的判定
(1)两条直线的平行
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2 ________；当l1和l2的斜率都不存在时，l1与l2也是平行关系；当两条直线的方向向量平行时，这两条直线也互相平行．
(2)两条直线的垂直
如果两直线l1，l2的斜率存在，设为k1和k2，有l1⊥l2
________；当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，这两条直线也互相垂直；当两条直线的方向向量垂直时，这两条直线也互相垂直．
第45讲 │ 知识梳理
k1=k2
k1k2=-1
第45讲 │ 知识梳理
(-2,2)
2．求两条直线的交点
如果两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交，由于交点同时在两条直线上，交点的坐标一定是两个方程的唯一公共解；反过来，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必定是直线l1和l2的交点，因此两直线l1与l2相交
方程组 有唯一解．
如：下列两条直线l1：3x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0的交点是________．
3．两种距离
(1)点到直线的距离
P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝___________.
这个式子对A＝0或B＝0时的特殊情况下的直线仍然成立，此时可以直接画出图形，观察即可得出．如：点P(－1,2)到直线y＝4的距离为d＝________.
(2)两平行线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0和l2：Ax＋By＋C2＝0的距
离为d＝________.
第45讲 │ 知识梳理
2
要点探究
　探究点1　两直线的位置关系
第45讲 │ 要点探究
例1　 已知直线l1：mx＋y－1＝0，l2：2x－(1－m)y＋2＝0.
(1)m为何值时，l1∥l2
(2)m为何值时，l1⊥l2
(3)当l1⊥l2时，求l1、l2与x轴围成的三角形的面积.
例1 [思路] 将直线方程化为斜截式求出斜率，再利用两直线平行或垂直的条件进行判断．
第45讲 │ 要点探究
第45讲 │ 要点探究
第45讲 │ 要点探究
过点P(3,2)的直线l与两平行线l1：y＝2x和l2：y＝2x－2分别相交于A、B两点，若|AB|＝2，求直线l的方程．
第45讲 │ 要点探究
　探究点2　距离问题
第45讲 │ 要点探究
例2 [思路] (1)直接使用平行线间的公式求出a的值；(2)分别求出点P到直线l1、l2的距离，利用平面几何构造相似三角形，得出结论．
第45讲 │ 要点探究
第45讲 │ 要点探究
第45讲 │ 要点探究
直线l经过点P(2，－5)，且与点A(3，－2)和B(－1,6)距离之比为1∶2.求直线l的方程．
第45讲 │ 要点探究
　探究点3　直线过定点问题
第45讲 │ 要点探究
第45讲 │ 要点探究
　探究点4　对称问题
第45讲 │ 要点探究
第45讲 │ 要点探究
第45讲 │ 要点探究
第45讲 │ 要点探究
已知点P(2,1)，直线l1：2x－y＋1＝0和直线l2.
(1)若l1与l2关于P(2,1)对称，求直线l2的方程；
(2)在(1)的条件下，若l1与l2也关于点Q(－1，b)对称，求b的值．
第45讲 │ 要点探究
第45讲 │ 规律总结
规律总结
第45讲 │ 规律总结
第45讲 │ 要点探究
对称问题是高考的热点和难点，点对称(即中心对称)要用到中点公式，轴对称要用到垂直平分．光线反射问题、角平分线问题、折叠问题都是对称问题．关于对称问题，有如下规律：
对称 解决办法
关于点对称 用中点公式
关于x轴对称 x不变，y换成－y
关于y轴对称 y不变，x换成－x
关于直线y＝x对称 x换成y，y换成x
关于直线y＝－x对称 x换成－y，y换成－x
关于直线y＝x＋a对称 x换成y－a，y换成x＋a
关于直线y＝－x＋a对称 x换成a－y，y换成a－x
轴对称 斜率之积等于－1，中点在对称轴上
第46讲 │ 圆的方程
第46讲　圆的方程
知识梳理
1．圆的标准方程
设圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r(其中a、b、r都是常数，r>0)．设M(x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是P＝{M||MA|＝r}，由两点间的距离公式写出点M的坐标适合的条件为____________________________，化简可得圆的标准方程：________________________.
特别地，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为_____________．
第46讲 │ 知识梳理
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＝r2
2．点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有三种：即点在______，点在________，点在________．
(1)若点M1(x1，y1)在圆C上，则点M1到圆心C(a，b)的距离等于半径，所以有____________________________；
(2)若点M1(x1，y1)在圆C上，则点M1到圆心C(a，b)的距离大于半径，所以有____________________________；
(3)若点M1(x1，y1)在圆C上，则点M1到圆心C(a，b)的距离小于半径，所以有____________________________．
判断点与圆的位置关系，就是判断点与圆心的距离d和半径r的大小关系
第46讲 │ 知识梳理
圆上
圆内
圆外
(x1－a)2＋(y1－b)2＝r2
(x1－a)2＋(y1－b)2 >r2
(x1－a)2＋(y1－b)2 第46讲 │ 知识梳理
D2＋E2－4F＞0
D2＋E2－4F <0
第46讲 │ 知识梳理
要点探究
　探究点1　两直线的位置关系
第46讲 │ 要点探究
例1　 根据下列条件，求圆的方程：
(1)经过点O(0,0)和点P(1,1)，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上；




(2)已知一圆过M(4，－2)、N(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4 求圆的方程．



第45讲 │ 要点探究
例1 [思路] (1)圆心是线段OP的垂直平分线与直线2x＋3y＋1＝0的交点，求得圆心，即可求出半径；(2)设圆的方程为一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，依据条件，可得出关于D、E、F的三个方程.
第46讲 │ 要点探究
第46讲 │ 要点探究
[点评] 求圆的方程时，要根据已知条件选择合适的形式，一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都是确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．另外，充分利用圆的有关几何性质，也可以求得圆的方程中的三个参数．常用的性质有：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．下面的变式题用到圆的有关性质：



第46讲 │ 要点探究
1 [2010·金华模拟] 圆C的半径为1，圆心在第一象限，与y轴相切，与x轴相交于点A、B，若|AB|＝ ，则该圆的标准方程是________．
第46讲 │ 要点探究
第46讲 │ 要点探究
2 △ABC三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，求其外接圆的方程．
第46讲 │ 要点探究
　探究点2　与圆有关的最值问题
第46讲 │ 要点探究
例2　 有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同．某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地的运费的3倍．已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．



第46讲 │ 要点探究
第46讲 │ 要点探究
第46讲 │ 要点探究
第46讲 │ 要点探究
　探究点3　与圆有关的最值问题
第46讲 │ 要点探究
第46讲 │ 要点探究
第46讲 │ 要点探究
第46讲 │ 要点探究
第46讲 │ 规律总结
规律总结
第46讲 │ 规律总结
第47讲 │ 直线与圆、圆与圆的位置关系
第47讲　直线与圆、圆与圆
的位置关系
知识梳理
1．直线与圆的位置关系
设圆C的半径为r(r>0)，圆心到直线l的距离为d，则直线与圆的位置关系可用下表表示：
　
第47讲 │ 知识梳理
d位置关系 几何特征 代数特征(方程联立)
相交
____________
________________________________________________
相切
____________
________________________________________________
相离
____________
________________________________________________
d＝r
d > r
两组实数解(Δ>0)
两组实数解(Δ=0)
两组实数解(Δ<0)
2.圆的切线方程　
求圆的切线方程，常用两种方程：
(1)代数法：将直线方程代入圆的方程中，消去一个未知数(x或y)，由一元二次方程的判别式等于0，求出相关参数；
(2)几何法：设圆的切线方程为一般式，根据圆心到直线的距离等于半径，求出相关参数．　
第47讲 │ 知识梳理
3.两圆的位置关系
第47讲 │ 知识梳理
d>R＋r
位置关系 几何特征 代数特征(方程联立)
相离
___________ 无实数解(Δ<0)
外切 d＝R＋r
________________________________
相交 R－r________________________________
内切
___________ 一组实数解(Δ＝0)
内含 d________________________________
一组实数解(Δ＝0)
两组实数解(Δ>0)
d＝R－r
无实数解(Δ < 0)
　 4.圆系方程
(1)过圆P：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和直线l：Ax＋By＋C＝0交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.①
这些圆的圆心在过圆P的圆心与直线l垂直的直线上．
(2)过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程是x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．②
这些圆的圆心在两已知圆的圆心连线上，这些圆中不包括圆C2.特别地，当λ＝－1时，方程②表示两圆交点弦所在的直线方程；当两圆相切时，方程②表示两圆的公共切线．
第47讲 │ 知识梳理
要点探究
　探究点1　直线与圆的位置关系
第47讲 │ 要点探究
例1 已知圆C1：(x－4)2＋(y－2)2＝4和圆C2：(x＋3)2＋y2＝4.
(1)若过原点的直线l被圆C2截得的弦长为2，求直线l的方程；
(2)若过原点的直线l1、l2分别与圆C1、C2相交，且l1⊥l2，求直线l1的斜率k的取值范围．



例1 [思路] (1)由垂径定理根据弦长可求得弦心距，从而求得直线l的斜率．(2)根据l1⊥l2，设出两直线的方程，将两直线方程分别代入两圆的方程中，由判别式可求得k的取值范围．
第47讲 │ 要点探究
第47讲 │ 要点探究
第47讲 │ 要点探究
第47讲 │ 要点探究
第47讲 │ 要点探究
　探究点2　圆与圆的位置关系
第47讲 │ 要点探究
例2 已知两圆C1：x2＋y2＋2kx＋k2－1＝0，C2：x2＋y2＋2(k＋1)y＋k2＋2k＝0.
(1)当k＝1时，判断两圆的位置关系；
(2)求两圆的圆心距的最小值；
(3)设两圆的交点为A、B，若∠AC1B＝60°，求两圆公共弦所在的直线方程．



第47讲 │ 要点探究
第47讲 │ 要点探究
第47讲 │ 要点探究
第47讲 │ 要点探究
　探究点3　圆的切线问题
第47讲 │ 要点探究
第47讲 │ 要点探究
第47讲 │ 要点探究
第47讲 │ 要点探究
第47讲 │ 要点探究
　探究点4　直线与圆位置关系的综合应用
第47讲 │ 要点探究
第47讲 │ 要点探究
第47讲 │ 要点探究
第47讲 │ 要点探究
第47讲 │ 规律总结
规律总结
第48讲 │ 椭圆
第48讲　椭圆
知识梳理
第48讲 │ 知识梳理
椭圆
　 1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做________．这两个定点F1，F2叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．
椭圆的定义用符号语言表示：
2．椭圆的标准方程
(1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程：_________(a>b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)．
(2) 焦点在y轴上的椭圆的标准方程：_________(a>b>0)，焦点F1 (0，－c)，F2(0，c)．
其中a，b，c几何意义：a表示长轴长的一半，b表示短轴长的一半，c表示焦距长的一半．并且有a2＝b2＋c2.
　
焦点
焦距
第48讲 │ 知识梳理
|x|≤a，|y|≤b
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0,-b)，B2(0,b)
要点探究
　探究点1　椭圆定义的应用
第48讲 │ 要点探究
例1 如图48－2所示，已知两圆A：(x＋1)2＋y2＝1，B：(x－1)2＋y2＝25，动圆M与圆A外切，与圆B内切，求动圆M的圆心M的轨迹方程．



第48讲 │ 要点探究
第48讲 │ 要点探究
第48讲 │ 要点探究
第48讲 │ 要点探究
[思路] 由于距离与椭圆的焦点有关，可以考虑用椭圆定义求解．
第48讲 │ 要点探究
　探究点2　椭圆的标准方程
例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P(3,0)，求椭圆的方程；





(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 ，求椭圆的方程．




第48讲 │ 要点探究
第48讲 │ 要点探究
第48讲 │ 要点探究
第48讲 │ 要点探究
　探究点3　椭圆的几何性质
第48讲 │ 要点探究
[思路] 正确理解和掌握椭圆的几何性质是解决问题的关键．先把上述性质转化为a，b，c三个量之间的关系，然后从中找出一组与其它四组矛盾的关系式即可．
第48讲 │ 要点探究
第48讲 │ 要点探究
[思路] 面积最大时，三角形在椭圆上的点为短轴的端点，由此利用不等式求出a，再利用不等式中等号成立的条件即可求出b.
第48讲 │ 要点探究
　探究点4　椭圆的综合应用
第48讲 │ 要点探究
第48讲 │ 要点探究
第48讲 │ 要点探究
第48讲 │ 规律总结
规律总结
第48讲 │ 规律总结
第49讲 │ 双曲线
第49讲　双曲线
知识梳理
第49讲 │ 知识梳理
双曲线
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹叫做________．这两个定点F1，F2叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．
双曲线的定义用符号语言表示：_______________________.
2．双曲线的标准方程
(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程：____________(a>0，b>0)，焦点F1(－c,0)，F2(c,0)．
(2) 焦点在y轴上的双曲线的标准方程：____________(a>0，b>0)，焦点F1 (0，－c)，F2(0，c)．
其中a，b，c几何意义：a表示实轴长的一半，b表示虚轴长的一半，c表示焦距长的一半．并且有c2＝a2＋b2.
焦点
焦距
第49讲 │ 知识梳理
A1(－a,0)，A2(a,0)
小
扁
开阔
要点探究
　探究点1　双曲线的定义
第49讲 │ 要点探究
例1 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点所听到的时间比其他两个观测点晚4 s．已知各观测点到该中心的距离都是1020 m，试确定该巨响发生的位置．　　
(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上)．




第49讲 │ 要点探究
第49讲 │ 要点探究
第49讲 │ 要点探究
第49讲 │ 要点探究
第49讲 │ 要点探究
[思路] 利用渐近线方程求出a，再根据双曲线定义求解．
　探究点2　双曲线的标准方程
第49讲 │ 要点探究
例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)两焦点分别为F1(－10,0)，F2(10,0)，点P(8,0)在双曲线上；





(2)已知双曲线过A(－6，－7)，B(3,2)两点，焦点在y轴上．




第49讲 │ 要点探究
第49讲 │ 要点探究
第49讲 │ 要点探究
第49讲 │ 要点探究
第49讲 │ 要点探究
第49讲 │ 要点探究
第49讲 │ 要点探究
　探究点3　双曲线的几何性质
第49讲 │ 要点探究
第49讲 │ 要点探究
第49讲 │ 要点探究
第49讲 │ 要点探究
　探究点4　双曲线的综合应用
第49讲 │ 要点探究
第49讲 │ 要点探究
第49讲 │ 要点探究
第49讲 │ 规律总结
规律总结
第49讲 │ 规律总结
第50讲 │ 抛物线
第50讲　抛物线
知识梳理
第50讲 │ 知识梳理
1．定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离______的点的轨迹叫做抛物线，其中定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线(定点F不在直线上)．
2．抛物线标准方程的四种形式y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py，(p＞0)分别表示焦点在x轴上，开口向右、开口向左，和焦点在y轴上，开口向上、开口向下的抛物线．
3．抛物线方程中p的几何意义是__________________．
　相等
　焦点到准线的距离
第50讲 │ 知识梳理
4.抛物线的标准方程和几何性质：
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0)
图
形
性质 范围 ______________ ______________
准线
方程
x ＝____
x ＝ _____
焦点
F ______
F_______
对称性 关于_____对称
顶点 ______________
离心率 e ＝____
焦半径
|MF|＝_________
|MF|＝______________
　x≥0，y∈R
　x≤0，y∈R
　x轴
　（0，0）
　1
第50讲 │ 知识梳理
标准方程 x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图
形
性质 范围 ______________ ______________
准线
方程
y ＝____
y ＝ _____
焦点
F ______
F_______
对称性 关于_____对称
顶点 ______________
离心率 e ＝____
焦半径
|MF|＝_________
|MF|＝______________
　y≥0，x∈R
　y≤0，x∈R
　y轴
　（0，0）
　1
要点探究
　探究点1　抛物线的定义
第50讲 │ 要点探究
例1 [2010·辽宁卷] 设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为- ，那么|PF|＝(　　)
A．4 B．8
C．8 D．16
例1[思路]如图，可以推得∠AFB＝60°，再利用抛物线定义得出△PAF为等边三角形，即可求出|PF|的长．
第50讲 │ 要点探究
B　[解析] 如图，设准线l与x轴交于点B，连接AF、PF，则|BF|＝p＝4.∵直线AF的斜率为－ ，∴∠AFB＝60°.在Rt△ABF中，|AF| ＝ ＝8，又根据抛物线的定义，得|PA|＝|PF|，PA∥BF，∴∠PAF＝60°，∴△PAF为等边三角形，故|PF|＝|AF|＝8，选B.
[点评]抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点与焦点的距离、抛物线上的点与准线的距离)进行等量转化，本题利用了这一关系就轻易得出所求长度．如果问题中涉及了抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．
第50讲 │ 要点探究
已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有　(　　)
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|
B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|
D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
第50讲 │ 要点探究
[思路] 根据抛物线定义，将坐标等式转化为距离关系，即可得解．
第50讲 │ 要点探究
　探究点2　抛物线的标准方程
例2 求适合下列条件的抛物线的标准方程．
(1)求过点A(3,2)的抛物线的标准方程；
(2)抛物线的顶点在原点，开口向左．过抛物线焦点的直线m和准线l以及x轴构成的等腰直角三角形的面积为8.
例2[思路] (1)根据不同开口方向，设不同的方程形式；(2)方程可设为y2＝－2px(p>0)，再根据面积求参数p的值．
[解答] (1)因为A(3,2)在第一象限，所以抛物线的开口向右或向上．
当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则有4＝6p，
∴p＝ ，抛物线方程为y2＝ x.
第50讲 │ 要点探究
当开口向上时，设抛物线方程为x2＝2py(p>0)，则有9＝4p，∴p＝ ，抛物线方程为x2＝ y.
(2)依题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)，焦点为F .
∵过抛物线焦点的直线m和准线l以及x轴构成的是等腰直角三角形，
∴直线m的斜率为1.
设直线m与准线l交于点A，
准线l与x轴交于点P，
如图，可得各点的坐标为
第50讲 │ 要点探究
∴抛物线方程为y2＝－8x.
[点评] 求抛物线的标准方程，只需确定一个待定参数．具体求解时，要确定参数p的值和开口方向两个条件，必要时要进行讨论．
第50讲 │ 要点探究
已知以坐标原点为顶点的抛物线C，焦点在x轴上，直线x－y＝0与抛物线C交于A、B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________________．
y2＝4x　[解析] 由题意知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，所以可设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)．
第50讲 │ 要点探究
　探究点3　抛物线的几何性质
例3　[解答] ∵∠AFB＝90°，
∴∠FAB＋∠FBA＝90°.
又∵PA⊥AB，QB⊥AB，∴∠PAF＝90°－∠FAB，
∠QBF＝90°－∠FBA，
∴∠PAF＋∠QBF＝90°.
例3 如图50－1，过抛物线x2＝4y的焦点F作两互相垂直的直线分别交准线于A、B两点，过A、B分别作准线的垂线交抛物线于P、Q两点，求证：P、F、Q三点共线．
第50讲 │ 要点探究
∵P、Q在抛物线上，
∴|PA|＝|PF|，|QB|＝|QF|，
∴△PAF、△QBF是等腰三角形，
∴∠PFA＋∠QFB＝∠PAF＋∠QBF＝90°，
∴∠PFA＋∠QFB＋∠AFB＝180°，
∴P、F、Q三点共线．
第50讲 │ 要点探究
已知抛物线y2＝4ax(a>0)的焦点为F，以B(4＋a,0)为圆心，|BF|为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点M、N，P为线段MN的中点．
(1)求|FM|＋|FN|的值；
(2)是否存在这样的a，使|FM|、|FP|、|FN|成等差数列，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
[解答] (1)设M、N、P在抛物线的准线上的射影分别为M′、N′、P′，则由抛物线定义得|FM|＋|FN|＝|MM′|＋|NN′|＝xM＋xN＋2a.
又圆的方程为(x－a－4)2＋y2＝16，
第50讲 │ 要点探究
将y2＝4ax代入圆的方程得x2－2(4－a)x＋a2＋8a＝0，
∴xM＋xN＝2(4－a), ∴|FM|＋|FN|＝8.
(2)假设存在这样的a，使得2|FP|＝|FM|＋|FN|，
∴|FM|＋|FN|＝|MM′|＋|NN′|＝2|PP′|，
∴|FP|＝|PP′|，
由定义知点P必在抛物线上，这与点P是弦MN的中点矛盾，
所以这样的a不存在．
第50讲 │ 要点探究
　探究点4　抛物线的综合应用
例4 一水渠的横截面积如图50－2所示，它的横截面边界AOB是抛物线的一段，已知渠宽AB为2 m，渠深OC为1.5 m，水面EF距AB为0.5 m.
(1)求水面EF的宽度；
(2)如果把此水渠改造为横截面是等腰梯形，要求渠深不变，不准往回填土，只准挖土，试求截面梯形的下底边长为多大时，才能使所挖的土最少？
第50讲 │ 要点探究
例4　[解答] (1)建立如图所示的直角坐标系，则A(－1,1.5)，B(1,1.5)，C(0,1.5)．
第50讲 │ 要点探究
第50讲 │ 规律总结
规律总结
1．抓住抛物线的定义与几何性质，结合问题熟练运用坐标法、待定系数法、方程思想、数形结合思想等数学思想和方法，分析清楚题中所给几何图形的性质，选择适当方法简捷求解．
2．明确p的几何意义：焦点F到准线的距离，抛物线y2＝2px上的点常设为 .
3．有关抛物线的焦半径、焦点弦问题，常转化为点到准线的距离．有关直线与抛物线的位置关系问题，常用方程组思想、消元法，结合根与系数的关系求解．
第50讲 │ 规律总结
4．抛物线方程的四种标准形式，可以合并为两个：y2＝mx，x2＝my(m≠0)．
5．抛物线的几何特征很独特，如图50－3，抛物线y2＝2px，准线为CD，AB为过焦点F的弦，M、N为线段AB、CD的中点，则有如下几个结论：
(1)AN⊥BN；
(2)DF⊥CF；
(3)NF⊥BF；
第51讲 │ 直线与圆锥曲线的位置关系
第51讲　直线与圆锥曲线的
位置关系
知识梳理
第51讲 │ 知识梳理
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)一般地，直线与圆锥曲线相交，有________交点(特殊情况除外)；相切时有________交点．
(2)判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，转化为关于x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0的形式．
若a＝0，则直线与圆锥曲线有一个交点，此时，若圆锥曲线为 抛物线，则直线与抛物线的_______平行；若圆锥曲线为双曲线，则直线与双曲线的________平行．
若a≠0，当判别式_______时，直线与圆锥曲线相交；
两个
一个
对称轴
渐近线
第51讲 │ 知识梳理
当判别式________时，直线与圆锥曲线相切；
当判别式________时，直线与圆锥曲线相离．
(3)直线与圆锥曲线的位置关系的讨论，还可以利用数形结合的方法解决．
2．圆锥曲线的弦长
设斜率为k的直线l与圆锥曲线C的两个交点为
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝_______________________________________或|AB|＝
_______________________________________；
斜率不存在时，|AB|＝________.
| y1－y2|　
第51讲 │ 知识梳理
若圆锥曲线C是抛物线y2＝2px(p>0)，则|AB|＝__________，若直线l过抛物线的焦点且垂直于抛物线的对称轴，则|AB|称为通径，其长度为____，抛物线的焦点弦中，通径最短．
3．中点弦问题
第51讲 │ 知识梳理
(2)解决中点弦问题常使用韦达定理与中点公式，也可以使用点差法：即若弦AB的中点坐标为(x0，y0)，先设两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入圆锥曲线的方程，得
f(x1，y1)＝0，f(x2，y2)＝0，两式相减、分解因式，再将x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0代入其中，即可求出直线的斜率．用点差法求直线的斜率或直线的方程后要注意检验是否合乎题意．
4．与圆锥曲线有关的最值和范围的讨论常用方法
(1)结合圆锥曲线的定义利用图形中几何量之间的大小关系；
(2)不等式(组)求解法，根据题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式组得出参数的变化范围；
第51讲 │ 知识梳理
(3)函数值域求解法，把所讨论的参数作为一个函数，一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围；
(4)构造一个二次函数，利用判别式求解；
(5)利用不等式，若能将问题转化为“和为定值”或“积为定值”，则可以用基本不等式求解．
5．过定点问题
若曲线：f(x，y)＝0与曲线：g(x，y)＝0有公共点M，则曲线系λf(x，y)＋μg(x，y)＝0(λ∈R，μ∈R)恒过定点M.
要点探究
第51讲 │ 要点探究
　探究点1　直线与圆锥曲线相切问题
例1 [2010·丹东模拟] 抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点P(m,4)到其焦点的距离为5.
(1)求p与m的值；
(2)若直线l：y＝kx－1与抛物线C相交于A、B两点，l1、l2分别是该抛物线在A、B两点处的切线，M、N分别是l1、l2与该抛物线的准线交点，求证：
第51讲 │ 要点探究
例1　(1)由抛物线的定义求解；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由导数求出在A、B两点处的切线的斜率，写出切线方程，令y＝0，可得点M、N的坐标，再结合韦达定理，可以将
用k表示出来．
第51讲 │ 要点探究
第51讲 │ 要点探究
第51讲 │ 要点探究
[点评] 直线与圆锥曲线相切的问题，常见的有以下两种：(1)已知某直线与圆锥曲线相切，将直线方程代入圆锥曲线方程，利用判别式等于零求出相关参数；(2)求过某点的圆锥曲线的方程，设出切线方程，将问题转化为(1)的问题解决；若是过抛物线y＝ax2上的点的切线，则可以用抛物线在该点的导数表示切线的斜率.
第51讲 │ 要点探究
　探究点2　圆锥曲线的弦长问题
例2 斜率为2的直线l经过抛物线y2＝8x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长．
例2　 [思路] 方法一：直接求两交点坐标，用两点间距离公式计算弦长；方法二：设而不求，运用弦长公式和韦达定理计算弦长；方法三：设而不求，数形结合，活用定义，运用韦达定理，计算弦长．
[解答] 抛物线y2＝8x的焦点坐标为F(2,0)．
方法一：设l方程为y＝2(x－2)，即y＝2x－4，
代入抛物线方程，得(2x－4)2＝8x，
第51讲 │ 要点探究
第51讲 │ 要点探究
[点评] 方法一和方法二是解决直线被圆锥曲线截得的弦长的一般方法．若能具体求出交点坐标，则用方法一计算弦长；若是交点坐标不易求出，或问题中含有参数，则用方法二，方法三利用抛物线的定义求解，若弦不经过焦点，则不能使用此法．如下面的变式题，就是用方法二求解的：
第51讲 │ 要点探究
若斜率为2的动直线l与抛物线x2＝4y相交于不同的两点A、B，O为坐标原点．
　 [解答] (1)设l的方程为y＝2x＋b，l与x2＝4y的交点坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)，点P(x0，y0)．
第51讲 │ 要点探究
第51讲 │ 要点探究
第51讲 │ 要点探究
　探究点3　与圆锥曲线有关的最值问题
例3 [2010·唐山模拟] 已知A、B是抛物线y2＝4x上的两点，O是抛物线的顶点，OA⊥OB.
(1)求证：直线AB过定点M(4,0)；
(2)设弦AB的中点为P，求点P到直线x－y＝0的距离的最小值．
例3　[解答] (1)证明：设直线AB方程为x＝my＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将直线AB方程代入抛物线方程y2＝4x，
得y2－4my－4b＝0，
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4b，
第51讲 │ 要点探究
第51讲 │ 要点探究
第51讲 │ 要点探究
第51讲 │ 要点探究
第51讲 │ 要点探究
第51讲 │ 要点探究
第51讲 │ 要点探究
　探究点4　直线与圆锥曲线关系的综合问题
第51讲 │ 要点探究
例4　 [解答] (1)由题意知F(2,0)，B(3,0)，设P(x，y)，则
PF2＝(x－2)2＋y2，PB2＝(x－3)2＋y2，
由PF2－PB2＝4，得(x－2)2＋y2－(x－3)2－y2＝4，
第51讲 │ 要点探究
第51讲 │ 要点探究
第51讲 │ 要点探究
第51讲 │ 要点探究
第51讲 │ 要点探究
第51讲 │ 要点探究
第51讲 │ 要点探究
第51讲 │ 规律总结
规律总结
1．直线与圆锥曲线的公共点的个数与它们的方程组成的方程组的解是一一对应的．因此可以通过研究方程组的解来判断直线与圆锥曲线的位置关系，但得到的方程中要注意对二次项的系数是否为零进行讨论，只有二次方程才可以用判别式来判断解的个数，对于二次项系数为零的情况要结合图形来分析判断．
第51讲 │ 规律总结
第51讲 │ 规律总结
第51讲 │ 规律总结
(3)面积型：面积型的最值，即是求两个量的乘积的最值，可以考虑能否使用不等式求解，或者转化为某个参数的函数关系，用函数方法求最值．
6．定点和定值问题的求解：
定点问题一般是与圆锥曲线有关的直线过定点的问题，定值问题一般是圆锥曲线中的一些内在规律，是与某些参数无关的常量．
(1)客观题中的定点和定值问题，可以考虑使用特殊值法(特殊点、特殊图形、特殊函数、特殊位置、特殊角等)求解，即将问题的条件特殊化，以达到简化求解过程的目的；
(2)对于解答题，将要证明过定点的直线方程表示为某参数的直线系方程的形式，再由直线系方程求出定点，将要求解的定值表示为某参数的函数关系，再化简这个函数式，得到定值．
第52讲 │ 曲线与方程
第52讲　曲线与方程
知识梳理
第52讲 │知识梳理
1．一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
2．求曲线的方程，一般有下面几个步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；
　
　
第52讲 │知识梳理
(2)写出适合条件P的点M的集合：P＝{M|P(M)}；
(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0；
(4)化方程f(x，y)＝0为最简单形式；
(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．
一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明．
3．几种常见求轨迹方程的方法
(1)直接法
由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．
　
　
第52讲 │知识梳理
(2)定义法
利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．
(3)相关点法
若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变化而变化，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．
　
　
第52讲 │知识梳理
(4)参数法
如果轨迹动点P(x，y)的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，参数法中常选角、斜率等为参数．
(5)待定系数法
若已知是何种曲线，再求曲线方程，一般采用待定系数法．求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程时常用待定系数法．
　
　
要点探究
第52讲 │要点探究
　探究点1　用直接法求轨迹方程
例1 平面直角坐标系xOy中，动点P到y轴的距离记为d1，到原点的距离记为d2，到直线x＝6的距离记为d3，若d1，d2，d3成等差数列，求动点P的轨迹方程．
例1　[思路] 设P(x，y)，直接代入已知条件的等式中，化简讨论得出轨迹方程．
第52讲 │要点探究
第52讲 │要点探究
第52讲 │要点探究
[点评] 用直接法求动点轨迹时要注意它的完备性和纯粹性，如果化简变形过程不是等价变形，则要补充遗漏的点和删除多余的点．当题目中含有变量时要对不同情况进行讨论．
第52讲 │要点探究
第52讲 │要点探究
第52讲 │要点探究
　探究点2　用定义法求轨迹方程
例2 如图52－2，已知A、B、C是直线l上的三点，且|AB|＝|BC|＝6，⊙O′切直线l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程．
例2　 [思路] 利用圆的切线长定理，证明|PB|＋|PC|是常数．
[解答] 如图，设过B、C异于直线l的两切线分别切⊙O′于D、E两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|＝|BD|，|PD|＝|PE|，|CA|＝|CE|，
第52讲 │要点探究
故|PB|＋|PC|＝|BD|＋|PD|＋|PC|＝|BA|＋|PE|＋|PC|＝|BA|＋|CE|＝|AB|＋|CA|＝6＋12＝18＞6＝|BC|，
故由椭圆定义知，点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，
第52讲 │要点探究
第52讲 │要点探究
若动圆与圆C：x2＋(y－3)2＝1外切且与直线l：y＝－2相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)
A．y2＝12x B．x2＝12y
C．y2＝8x D．x2＝8y
　 B　[解析] 如图，设动圆圆心为M，由题意，动点M到定圆圆心C(0,3)的距离等于它到定直线y＝－3的距离，故所求轨迹是以(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，并且p＝6，顶点在原点，开口向上，所以方程是x2＝12y.
第52讲 │要点探究
　探究点3　用相关点法(代入法)求轨迹方程
第52讲 │要点探究
第52讲 │要点探究
第52讲 │要点探究
第52讲 │要点探究
第52讲 │要点探究
　探究点4 用参数法求轨迹方程
例4 过点A(－1,0)，斜率为k的直线l与抛物线C：y2＝4x交于P、Q两点．若曲线C的焦点F与P、Q、R三点按如图52－3顺序构成平行四边形PFQR，求点R的轨迹方程．
第52讲 │要点探究
第52讲 │要点探究
第52讲 │要点探究
第52讲 │ 规律总结
规律总结
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．
求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、相关点法、参数法．
(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．
(2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求．
第52讲 │ 规律总结
(3)相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．
(4)参数法：若动点的坐标(x，y)中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程．
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性．要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念．(共115张PPT)
人教A版
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第五单元　不等式
第29讲 不等关系与不等式
第30讲 一元二次不等式的解法
第31讲 二元一次不等式（组）与简单的线性
规划问题
人教A版
第五单元　不等式
知识框架
第五单元 │ 知识框架
考纲要求
第五单元 │ 考纲要求
第五单元 │ 考纲要求
命题趋势
第五单元 │ 命题趋势
第五单元 │ 命题趋势
使用建议
第五单元 │ 使用建议
第五单元 │ 使用建议
第五单元 │ 使用建议
第五单元 │ 使用建议
第29讲 │ 不等关系与不等式
第29讲　不等关系与不等式
知识梳理
第29讲 │ 知识梳理
第29讲 │ 知识梳理
要点探究
　探究点1　不等关系
第29讲 │ 要点探究
第29讲 │ 要点探究
　探究点2　比较大小
第29讲 │ 要点探究
第29讲 │ 要点探究
第29讲 │ 要点探究
第29讲 │ 要点探究
　探究点3　不等式的性质
第29讲 │ 要点探究
第29讲 │ 要点探究
第29讲 │ 要点探究
　探究点4　与不等式性质有关的函数值范围问题
第29讲 │ 要点探究
第29讲 │ 要点探究
规律总结
　　
第29讲 │ 规律总结
第29讲 │ 规律总结
第30讲 │ 一元二次不等式的解法
第30讲　一元二次不等式
的解法
知识梳理
第30讲 │ 知识梳理
第30讲 │ 知识梳理
第30讲 │ 知识梳理
要点探究
　探究点1　解一元二次不等式
第30讲 │ 要点探究
第30讲 │ 要点探究
第30讲 │ 要点探究
第30讲 │ 要点探究
　探究点2　一元二次不等式恒成立问题
第30讲 │ 要点探究
第30讲 │ 要点探究
第30讲 │ 要点探究
第30讲 │ 要点探究
第30讲 │ 要点探究
第30讲 │ 要点探究
　探究点3　含有参数的一元二次不等式的解法
第30讲 │ 要点探究
第30讲 │ 要点探究
第30讲 │ 要点探究
第30讲 │ 要点探究
第30讲 │ 要点探究
第30讲 │ 要点探究
第30讲 │ 要点探究
第30讲 │ 要点探究
　探究点4　一元二次不等式的实际用
第30讲 │ 要点探究
第30讲 │ 要点探究
第30讲 │ 要点探究
第30讲 │ 要点探究
第30讲 │ 要点探究
第30讲 │ 要点探究
第30讲 │ 要点探究
规律总结
　　
第30讲 │ 规律总结
第30讲 │ 规律总结
第30讲 │ 规律总结
第31讲 │ 简单的线性规划问题
第31讲　简单的线性规划问题
知识梳理
第31讲 │ 知识梳理
第31讲 │ 知识梳理
所在的这一侧
另一侧
第31讲 │ 知识梳理
第31讲 │ 知识梳理
要点探究
　探究点1　二元一次不等式（组）所表示的平面域
第31讲 │ 要点探究
图31－1
第31讲 │ 要点探究
第31讲 │ 要点探究
第31讲 │ 要点探究
第31讲 │ 要点探究
　探究点2　平面区域和解析几何、函数问题的综合
第31讲 │ 要点探究
第31讲 │ 要点探究
第31讲 │ 要点探究
第31讲 │ 要点探究
第31讲 │ 要点探究
第31讲 │ 要点探究
第31讲 │ 要点探究
第31讲 │ 要点探究
第31讲 │ 要点探究
　探究点3　不含实际背景的线性规划问题
第31讲 │ 要点探究
第31讲 │ 要点探究
第31讲 │ 要点探究
第31讲 │ 要点探究
第31讲 │ 要点探究
第31讲 │ 要点探究
　探究点4　含有实际背景的线性规划问题
第31讲 │ 要点探究
第31讲 │ 要点探究
第31讲 │ 要点探究
第31讲 │ 要点探究
第31讲 │ 要点探究
第31讲 │ 要点探究
第31讲 │ 要点探究
规律总结
　　
第31讲 │ 规律总结
第31讲 │ 规律总结
　　
第31讲 │ 规律总结
第32讲 │
第32讲　
知识梳理
第32讲 │ 知识梳理
第32讲 │ 知识梳理
要点探究
　探究点1　利用基本不等式求最值
第32讲 │ 要点探究
第32讲 │ 要点探究
第32讲 │ 要点探究
第32讲 │ 要点探究
第32讲 │ 要点探究
第32讲 │ 要点探究
　探究点2　利用基本不等式证明不等式
第32讲 │ 要点探究
第32讲 │ 要点探究
第32讲 │ 要点探究
第32讲 │ 要点探究
第32讲 │ 要点探究
　探究点3　利用基本不等式解决实际应用题
第32讲 │ 要点探究
第32讲 │ 要点探究
第32讲 │ 要点探究
规律总结
　　
第32讲 │ 规律总结
　　
第32讲 │ 规律总结(共205张PPT)
人教A版
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第56讲　基本计数原理　
第57讲 排列、组合
第58讲 二项式定理
　第59讲　随机事件的概率
　第60讲　古典概型
　第61讲　几何概型
　第62讲　离散型随机变量及其分布型
　第63讲　二项分布及其应用
　第64讲　离散型随机变量的均值与方差、
　　　　　正态分布
第十单元　计数原理、概率、
　　随机变量及其分布
第十单元　计数原理、概率、
　　随机变量及其分布
第十单元 │ 知识框架
知识框架
第十单元 │ 知识框架
考纲要求
第十单元 │ 考纲要求
1．计数原理
(1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理
①理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．
(2)排列与组合
①理解排列、组合的概念．
②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．
③能解决简单的实际问题．
(3)二项式定理
①能用计数原理证明二项式定理．
②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
第十单元 │ 考纲要求
2．概率
(1)事件与概率
①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．
②了解两个互斥事件的概率加法公式．
(2)古典概型
①理解古典概型及其概率计算公式．
②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
(3)随机数与几何概型
①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．
②了解几何概型的意义．
第十单元 │ 考纲要求
3．随机变量及其分布
(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念；了解分布列对于刻画随机现象的重要性．
(2)理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．
(3)了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．
(4)理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．
(5)利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
命题趋势
　　本单元是考查学生应用意识的重要载体，已成为近几年新课标高考的一大亮点和热点，高考对本单元的考查有如下特点：
1．以计数原理为基础，考查概率计算，往往和实际问题相结合，考查学生的应用意识．
2．概率与其他知识融合、渗透，情境新颖，常常在知识的交汇处设计试题．
3．高考试卷中一般是以选择或填空题的形式考查古典概型或几何概型的计算，在解答题中考查互斥事件、相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量的分布列及数学期望和方差的计算与应用．概率与统计结合是近年来概率解答题的一大趋势．
预计2012年高考在延续对概率传统考查的基础上，会重点考查利用排列组合知识求概率，综合统计知识考查离散型随机变量的分布列及数学期望．
第十单元 │ 命题趋势
1．编写意图
新课标中的计数原理与离散型随机变量的分布列及数学期望和方差等内容与大纲版中的相关内容没有多大的区别，但古典概型与几何概型是新课标增加的内容，是高考经常考查的一个知识点，也是对学生的应用意识进行考查的重要载体，根据上述特点，在编写中强化了如下几个问题：
(1)把握基本题型．对各种基本题型进行了详细阐述，目的是帮助学生构建知识体系，能针对不同的计数类型及概率类型灵活选择相应的方法和公式．
(2)突出应用意识．所选试题大多以实际问题为背景，培养学生用排列组合等计数方法和概率的知识解决实际问题的能力．
(3)为了体现概率与统计结合是近年来概率解答题的一大趋势，多个方设计了概率与统计综合题，培养学生解答综合题的能力．
第十单元 │使用建议
第十单元 │ 使用建议
2．教学指导
尽管本单元内容突出了对学生应用能力的考查，但教学中仍然要以掌握基础知识，基本方法为出发点，切不可盲目加大难度．教学时要做好以下几点：
(1)强化双基训练．本单元概念多，计算多，基本方法多，教学中要强化概念教学，特别是在例题讲解中要结合具体问题，辨析各个概念．如两个计数原理、排列与组合、互斥事件、对立事件、概率、分布列、期望与方差等核心概念，它贯穿概率问题的始终，在教学中一定要通过各种措施使学生掌握好这些概念．
(2)把握基本题型．对于常见的排列组合基本题型、求概率问题的基本题型要牢固掌握，排列组合公式、求概率公式要求记忆准确，针对不同类型灵活选择相应的方法和公式．
第十单元 │ 使用建议
(3)强化方法选择．对基本题型能达到举一反三的程度，如什么时候用排列数公式，什么情况下用组合数公式；什么时候用古典概型计算公式，什么情况下用几何概型公式等．注意解题后的反思，形成良好的认知结构，使所学知识条理化、有序化，形成一个有机的整体．
(4)在复习中要重点关注概率与统计相结合的解答题．
3．课时安排
本单元包含9讲和1个滚动基础训练卷(六)，1个单元能力训练卷(十)，建议每讲1课时，滚动基础训练卷、单元能力训练卷各1课时，本单元共需11课时．
第56讲 │ 基本计数原理
第56讲　基本计数原理
知识梳理
第56讲 │ 知识梳理
1．分类计数原理
完成一件事，如果有n类办法，在第一类办法中有m1种不同方法，在第二类办法中有m2种不同方法，…，在第n类办法中有mn种不同方法．那么完成这件事共有N＝____________________种不同方法．
2．分步计数原理
完成一件事需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同方法，做第二步有m2种不同方法，…，做第n步有mn种不同方法．那么完成这件事共有N＝______________种不同方法．
m1＋m2＋m3＋…＋mn
m1· m2·…· mn
第56讲 │ 知识梳理
3．分类和分步的区别
(1)分类：完成一件事同时存在n类方法，每一类方法都能独立完成这件事，各类互不相关．
分步：完成一件事需按先后顺序分n步进行，每一步缺一不可．只有当所有步骤完成，这件事才完成．
(2)分类时要做到“不重不漏”．分类后再对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理，把每一类的方法数相加，得到总数．
分步要做到步骤完整，完成了所有步骤，恰好完成任务，步与步之间要相互独立．分步后再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．
要点探究
　探究点1　分数计数理
第56讲 │ 要点探究
例1　在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的两位数共有多少个？
第56讲 │ 要点探究
例1　[思路] 采用列举分类，先确定个位数字，再考虑十位数字的所有可能．然后用分类计数原理．
[解答] 方法一： 一个两位数由十位数字和个位数字构成，考虑一个满足条件的两位数，可先确定个位数字后再考虑十位数字有几种可能．
一个两位数的个位数字可以是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.把这样的两位数分成10类．
(1)当个位数字为0时，十位数字可以是1,2,3,4,5,6,7,8,9，有9个满足条件的两位数；
(2)当个位数字为1时，十位数字可以是2,3,4,5,6,7,8,9，有8个满足条件的两位数；
第56讲 │ 要点探究
(3)当个位数字为2时，十位数字可以是3,4,5,6,7,8,9，有7个满足条件的两位数；
以此类推，当个位数字分别是3,4,5,6,7,8,9时，满足条件的两位数分别有6,5,4,3,2,1,0个．由分类加法计数原理，满足条件的两位数的个数为9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＋0＝45个．
方法二： 考虑两位数“ab”与“ba”中，个位数字与十位数字的大小关系，利用对应思想计算．
第56讲 │ 要点探究
所有90个两位数中，个位数字等于十位数字的两位数为11,22,33，…，99共9个；另有10,20,30，…，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置；其余90－18＝72个两位数，按“ab”与“ba”进行一一对应，则每一个“个位数字小于十位数字的两位数”就与另一个“十位数字小于个位数字的两位数”对应，故其中“个位数字小于十位数字的两位数”有72÷2＝36个. 故满足条件的两位数的个数为9＋36＝45个．
第56讲 │ 要点探究
[点评] 合理分类是解决计数问题的基本思想，方法一从两位数的个位数字着手，确立分类标准，使计数过程一目了然；方法二巧妙地应用了“一一对应”的思想，简化了计数过程，这种思想方法在排列、组合计数问题中也经常使用．
第56讲 │ 要点探究
　　　　　　某同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有30张英语单词卡片，右边口袋装有20张英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，问从两个口袋里任取一张英语单词卡片，有________种不同的取法．
第56讲 │ 要点探究
[思路] 每一张英语单词卡片独立抽取，分类计数．
50　[解析] 从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类， 第一类：从左边口袋取一张英语单词卡片有30种不同的取法；第二类：从右边口袋取一张英语单词卡片有20种不同的取法．
上述的其中任何一种取法都能独立完成取一张英语单词卡片这件事，应用分类加法计数原理来解题，所以从中任取一张英语单词卡片的方法种数为30＋20＝50种．
　探究点2　分步计数原理的应用
第56讲 │ 要点探究
例2 [2009·浙江卷] 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________．(用数字作答)
第56讲 │ 要点探究
　　例2　[思路] 甲、乙、丙各有7种站法，根据分步乘法计数原理计数，除去一个台阶上占三人的情况．
336　[解析] 甲有7种站法，乙也有7种站法，丙也有7种站法，故不考虑限制共有7×7×7＝343种站法，其中三个人站在同一台阶上有7种站法，故符合本题要求的不同站法有343－7＝336种
第56讲 │ 要点探究
　　　　　　已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面上的点(a，b∈M)，问：
(1)P可表示平面上多少个不同的点？
(2)P可表示平面上多少个第二象限的点？
(3)P可表示多少个不在直线y＝x上的点？
第56讲 │ 要点探究
[思路] 完成“确定点P”这件事需依次确定横、纵坐标，应用分步计数原理．
[解答] (1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第一步确定a的值，共有6种确定方法；第二步确定b的值，也有6种确定方法．根据分步计数原理，得到平面上的点数是6×6＝36个．
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a<0，所以有3种确定方法；第二步确定b，由于b>0，所以有2种确定方法．由分步计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6个．
(3)点P(a，b)在直线y＝x上的充要条件是a＝b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y＝x上的点有6个．由(1)得不在直线y＝x上的点共有36－6＝30个．
　探究点3　两个原理的综合应用
第56讲 │ 要点探究
例３两个原理的综合应用3 用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数．
例３[思路] 先根据条件把“比2000大的四位偶数”分成3类，在每一类中又分三步：选取千位上的数字、选取百位上的数字、选取十位上的数字．
第56讲 │ 要点探究
[解答] 完成这件事有3类方法：
第一类：用0做结尾的比2000大的四位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法；第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．依据分步乘法计数原理，这类数的个数有4×4×3＝48个；
第二类：用2做结尾的比2000大的四位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0，只有3个数字可以选择，有3种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有4个数字可供选择，有4种选法；第三步，选取十位上的数字，还有3种选法．依据分步计数原理，这类数的个数有3×4×3＝36个；
第56讲 │ 要点探究
第三类：用4做结尾的比2000大的四位偶数，其步骤同第二类．
对以上三类结论用分类计数原理，可得所求无重复数字的比2000大的四位偶数有4×4×3＋3×4×3＋3×4×3＝120个．
三条直线两两异面，则称为一组“Г型线”，任选正方体12条面对角线中的三条，“Г型线”的组数为________．
第56讲 │ 要点探究
[思路] 在正方体12条面对角线中，一组“Γ型线”必有2条在相对的两个面上，由此进行正确分类与计数．
第56讲 │ 要点探究
24　[解析] 如图，任选正方体12条面对角线中的三条，组成一组“Γ型线”，则必有2条分别在相对的2个面上．以选出面对角线AC，B′D′为例，可得出“AC，B′D′，A′D”、“AC，B′D′，BC′”、“AC，B′D′，A′B”、“AC，B′D′，DC′”这4组“Γ型线”，即出现面对角线AC，B′D′的“Γ型线”的组数为4；同理，出现面对角线A′C′，BD的“Γ型线”的组数也为4；出现面对角线A′D，BC′的“Γ型线”的组数也为4；出现面对角线AD′，B′C的“Γ型线”的组数也为4；出现面对角线A′B，DC′的“Γ型线”的组数也为4；出现面对角线AB′，D′C的“Γ型线”的组数也为4.故任选正方体12条面对角线中的三条，“Γ型线”的组数为6×4＝24.
第56讲 │ 要点探究
例4如图56－1所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种．(以数字作答)
第56讲 │ 要点探究
[思路] 按照颜色的种数或是按照区域进行操作，根据分步乘法和分类加法计数原理解答．
72　[解析] 方法一：按选用颜色种数进行分类．依题意至少要选用3种颜色．当选用3种颜色时，区域B与D必须同色，区域C与E也必须同色，此时着色方法有A种；当选用4种颜色时，区域B与D和区域C与E中有且仅有一个同色，此时着色方法有2A种．由分类计数原理可知，满足题意的着色方法共有A＋2A＝24＋2×24＝72种．
方法二：按区域分步着色．第一步：给区域A着色有C种方法；第二步：给区域B着色有C种方法；第三步：给区域C着色有C种方法；第四步：给区域D与E着色，因区域D和区域B可着同色，也可着异色，当着同色时区域E有2种着色方法，当着异色时区域E有1种着色方法，所以给区域D与E着色共有2＋1＝3种方法．由分步计数原理，满足题意的着色方法共有C·C·C·(2＋1)＝72种．
规律总结
第56讲 │ 规律总结
1．分类和分步计数原理的联系与区别
分类和分步计数原理回答的都是完成一件事有多少种不同的方法或种数的问题，其区别在于：分类计数原理针对“分类”问题，其中类与类之间各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以独立做完这件事；分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
2．使用计数原理的注意事项
(1)混合问题一般是先分类再分步，看这个事件是如何完成的，先看可以分几个大类，再看在每类中完成事件要分几个步骤，这些问题都弄清了，就可以根据两个基本原理解决问题；
第56讲 │ 规律总结
(2)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏；
(3)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．
(4)解题时要特别关注事件有无特殊条件的限制，分类时要检验是否有重漏．
3．解答日常生活中的计数方法问题的总体思路
根据完成事件所需的过程，对事件进行整体分类，确定可分为几大类，整体分类以后，再确定在每类中完成事件要分几个步骤，这些问题都弄清了，就可以根据两个基本原理解决问题；此外，还要掌握一些非常规计数方法，如：
(1)枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于计数种数较少的情况；
(2)转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问题；
(3)间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，则利用正难则反的策略，采用间接法使问题化难为易，化繁为简．
第57讲 │ 排列、组合
第57讲　排列、组合
知识梳理
第57讲 │ 知识梳理
按照一定的顺序排成一列
排列与排列数 组合与组合数
定义 1.排列的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2．排列数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__________________________叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号____表示． 1.组合的概念:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素_________,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
　　2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的_____________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号____表示．
所有不同排列的个数
A
m
n
并成一组
所有不同组合的个数
C
m
n
第57讲 │ 知识梳理
n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
n·(n－1)·(n－2)…3×2×1
要点探究
　探究点1　排列数、组合数公式的应用
第57讲 │ 要点探究
第57讲 │ 要点探究
第57讲 │ 要点探究
　探究点2　排列问题
第57讲 │ 要点探究
例2　有3名男生、4名女生．
(1)选其中5人排成一排，有______种排列方法；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人，有______种排列方法；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾，有______种排列方法；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起，有______种排列方法；
(5)全体排成一排，男生互不相邻，有______种排列方法；
(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人，有______种排列方法．
第57讲 │ 要点探究
　　例2　 (1)2520　(2)5040　(3)3600　(4)576
(5)1440　(6)720
[解析] (1)从7个人中选5个人来排列，有A＝7×6×5×4×3＝2520种．
(2)分两步完成，先选3人排在前排，有A种方法，余下4人排在后排，有A种方法，故共有AA＝5040种．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件．
(3)(优先法)
甲为特殊元素．先排甲，有5种方法；其余6人有A种方法，故共有5×A＝3600种．
第57讲 │ 要点探究
第57讲 │ 要点探究
由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是(　　)
A．72 B．96 C．108 D．144
第57讲 │ 要点探究
例３男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人．选派5人外出比赛．
(1)选派男运动员3名，女运动员2名，有______种选派方法；
(2)至少有1名女运动员，有______种选派方法；
(3)队长中至少有1人参加，有______种选派方法；
(4)既有队长，又有女运动员，有______种选派方法．
　探究点3　组合问题　
第57讲 │ 要点探究
第57讲 │ 要点探究
第57讲 │ 要点探究
某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日(端午节假期)值班，每天安排2人，每人值班1天．若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有(　　)
A．30种 B．36种 C．42种 D．48种
第57讲 │ 要点探究
例4　 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．
(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？
(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？
(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？
第57讲 │ 要点探究
第57讲 │ 要点探究
现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是(　　)
A．152 B．126 C．90 D．54
第57讲 │ 要点探究
规律总结
第57讲 │ 规律总结
1．解排列、组合混合题一般是先选元素、后排元素或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本原理作最后处理．
2．对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏；对于选择题常采用排除法分析答案的形式，错误的答案都是犯有重复或遗漏的错误；对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．
第57讲 │ 规律总结
3．解排列组合题的“16字方针，12个技巧”：
(1)“16字方针”是解排列组合题的基本规律，即分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合．
(2)“12个技巧”是速解排列组合题的捷径，即①相邻问题捆绑法；②不相邻问题插空法；③多排问题单排法；④定序问题倍缩法；⑤定位问题优先法；⑥有序分配问题分步法；⑦多元问题分类法；⑧交叉问题集合法；⑨至少(或至多)问题间接法；⑩选排问题先取后排法； 局部与整体问题排除法； 复杂问题转化法．
第58讲 │ 二项式定理
第58讲　二项式定理
知识梳理
第58讲 │ 知识梳理
二项式系数
n＋1
第58讲 │ 知识梳理
第58讲 │ 知识梳理
2n　
等于
要点探究
　探究点1　求二项展开式中的特定项或特定项的系数
第58讲 │ 要点探究
第58讲 │ 要点探究
第58讲 │ 要点探究
第58讲 │ 要点探究
(1)[2010·陕西卷] 5(x∈R)展开式中x3的系数为10，则实数a等于(　　)
A．－1 B. C．1 D．2
(2)[2010·湖北卷] 在(x＋ y)20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．
第58讲 │ 要点探究
　探究点2　二项式系数与项的系数问题
第58讲 │ 要点探究
第58讲 │ 要点探究
　探究点3　赋值法的应用
第58讲 │ 要点探究
第58讲 │ 要点探究
第58讲 │ 要点探究
规律总结
第58讲 │ 规律总结
1．通项公式最常用，是解题的基础．对三项或三项以上的展开式问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，求展开式的特定项的关键是抓住其通项公式，所谓特定项是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值等特殊的项，求解时，先准确写出通项公式，再把系数和字母分开来，应注意符号，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程和不等式求解即可．
2．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性．
规律总结
第58讲 │ 规律总结
3．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．
4．二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数是指C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的．对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用．
第59讲 │ 随机事件的概率
第59讲　随机事件的概率
知识梳理
第59讲 │ 知识梳理
1．随机事件和确定事件
(1)在条件S下，________发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称____________．
(2)在条件S下，____________发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称______________．
(3)____________和______________统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件．
(4)在条件S下，________________________的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称____________．
一定会
必然事件
一定不会
不可能事件
必然事件
不可能事件
可能发生也可能不发生
随机事件
第59讲 │ 知识梳理
2．频率
在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的_________，称事件A出现的比例fn(A)＝________为事件A出现的频率．
3．概率
对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在__________上，把这个______记作______，称为事件A的概率，简称为A的概率．
4．事件的关系与运算
频数
某个常数
常数
P(A)
第59讲 │ 知识梳理
定义 符号表示
包含关系 如果事件A______，则事件B_____________，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) ______(或______)
相等关系 若B A且________，那么称事件A与事件B相等 ________
并事件(
和事件) 若某事件发生_____________________________________，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) ______(或______)
发生
一定发生
B A
A B
A B
A=B
当且仅当事件A发生或
事件B发生
A∪B
A＋B
第59讲 │ 知识梳理
当且仅当事件A发生且
定义 符号表示
交事件(
积事件) 若某事件发生_________________________________，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) ______(或______)
互斥事件 若A∩B为________事件，那么事件A与事件B互斥 A∩B＝
对立事件 若A∩B为________事件，A∪B为____________，那么称事件A与事件B互为对立事件
事件B发生
A∩B
AB
不可能
不可能
必然事件
第59讲 │ 知识梳理
5.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围为__________ ．
(2)必然事件的概率为___．
(3)不可能事件的概率为____．
(4)互斥事件概率的加法公式：
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝______________.
特别地，若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝___________.
0≤P(A)≤1
1
0
P(A)＋P(B)
1－P(B)
要点探究
　探究点1　事件的概念及其判断
第59讲 │ 要点探究
例1 12件同类产品中，有10件正品，2件次品，从中任意抽出3件．
(1)“取出的3件都是正品”是什么事件？
(2)“取出的3件中至少有1件是次品”是什么事件？
(3)“取出的3件都是次品”是什么事件，它的概率是多少？
(4)“取出的3件中至少有1件是正品”是什么事件，它的概率是多少？
第59讲 │ 要点探究
[思路] 判断事件的随机性或确定性，主要是根据定义来进行：确定不发生的就是不可能事件；确定要发生的就是必然事件；可能发生也可能不发生的就是随机事件．
[解答] (1)取出的3件可能都是正品，也可能不都是，故“取出的3件都是正品”是随机事件．
(2)取出的3件可能有次品，也可能没有，故“取出的3件中至少有1件是次品”是随机事件．
(3)12件同类产品中，只有2件次品，从中任意抽出3件，不可能都是次品，故“取出的3件都是次品”是不可能事件，其概率为0.
(4)12件同类产品中，只有2件次品，从中任意抽出3件，必有1件是正品，故“取出的3件中至少有1件是正品”是必然事件，其概率为1.
第59讲 │ 要点探究
[点评] 要判断事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，最后作出结论．
第59讲 │ 要点探究
给出下列事件：
①同学甲竞选班长成功；
②两队球赛，强队胜利了；
③一所学校共有998名学生，至少有三名学生的生日相同；
④若集合A，B，C，满足A B，B C，则A C；
⑤古代有一个国王想治罪一位画师，背地里在2张签上都写上“罪”字，再让画师抽“罪”和“无罪”签，画师抽到“罪”签；
⑥12月天下雪；
⑦从1,3,9中任选两数相加，其和为偶数；
⑧骑车通过10个十字路口，均遇红灯．
其中属于随机事件的有(　　)
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
第59讲 │ 要点探究
[思路] 按照随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的定义逐个作出判断．本题考查随机事件的概念，在判断一个事件是不是随机事件的时候，要根据问题的实际意义和随机事件的概念认真进行分析，且不可盲目作出结论．
B　[解析] ①②⑥⑧为随机事件．
　探究点2　互斥事件与对立事件的关系
第59讲 │ 要点探究
例2 某中学数学兴趣小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学联赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)恰有1名男生与恰有2名男生；
(2)至少1名男生与全是男生；
(3)至少1名男生与全是女生；
(4)至少1名男生与至少1名女生．
第59讲 │ 要点探究
[思路] 本题主要考查互斥事件与对立事件的概念，只要从互斥事件与对立事件的定义入手，就容易得出正确答案．
[解答] 从3名男生和2名女生中任选2名同学有3类不同的结果：2男或2女或1男1女．
(1)因为恰有1名男生与恰有2名男生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时，它们都没有发生，所以它们不是对立事件．
(2)当恰有2名男生时，至少1名男生与全是男生同时发生，所以它们不是互斥事件．
(3)至少1名男生与全是女生不可能同时发生，所以它们是互斥事件；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．
(4)当选出的是1男1女时，至少1名男生与至少1名女生同时发生，所以它们不是互斥事件．
第59讲 │ 要点探究
[点评] 对立事件是互斥事件的特殊情况，两个事件对立一定互斥，但互斥的两个事件不一定对立，从集合的观点说，事件A，B互斥是集合A∩B＝ ，但不一定A∪B＝Ω，但事件A，B对立必须满足A∩B＝ ，A∪B＝Ω( 为不可能事件、Ω为必然事件)．
第59讲 │ 要点探究
从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(　　)
A．至少有1个白球；都是白球
B．至少有1个白球；至少有1个红球
C．恰有1个白球；恰有2个白球
D．至少有1个白球；都是红球
[思路] 根据事件的互斥与对立的关系解答．
C　[解析] 恰有1个白球，便不再可能恰有2个白球，且恰有1个白球与恰有2个白球的事件不可能必有一个发生，故选C.
　探究点3　互斥事件与对立事件的概率
第59讲 │ 要点探究
上海世博会期间，经统计，在某展览馆处排队等候验证的人数及其概率如下表：
排队人数 0 1 2 3 4 5
概率 0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 0.04
(1)求至多2人排队的概率；
(2)求至少1人排队的概率．
第59讲 │ 要点探究
[思路] 利用概率的加法公式和对立事件的概率求解．(1)至多2人排队包含没有人或恰有1人或恰有2人排队；(2)至少1人排队的对立事件是没有人排队．
[解答] 设没有人排队为事件A，恰有1人排队为事件B，恰有2人排队为事件C，至多2人排队为事件D，至少1人排队为事件E，则事件A，B，C两两互斥，事件A和E是对立事件，并且D＝A＋B＋C.
由表格中的数据得P(A)＝0.10，P(B)＝0.16，P(C)＝0.30.
(1)至多2人排队的概率为P(D)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.10＋0.16＋0.30＝0.56.　
(2)至少1人排队的概率为P(E)＝1－P(A)＝1－0.10＝0.90.
[点评] 求事件的概率常转化为求互斥事件的概率和,当直接计算事件概率比较复杂时,通常是转化为利用其对立事件的概率来计算.
第59讲 │ 要点探究
第59讲 │ 要点探究
规律总结
第58讲 │ 规律总结
1．频率与概率的区别与联系
在大量重复试验中概率是个定值，它不随试验次数的变化而变化，而频率在不同的试验中的数值可以不同，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
2．互斥事件与对立事件的区别与联系
两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况：
(1)若事件A发生，则事件B就不发生；
(2)若事件B发生，则事件A就不发生；
(3)事件A，B都不发生．
两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况，因此，互斥未必对立，但对立一定互斥．
第59讲 │ 规律总结
3．互斥事件概率的加法公式
(1)只有事件A，B互斥时，才有公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，否则公式不成立．
(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件概率加法公式进行计算；二是间接求解法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求解．特别是“至多”“至少”型题目，方法二显得更简便．
第60讲 │ 古典概型
第60讲　古典概型
知识梳理
第60讲 │ 知识梳理
1．基本事件的两个特点
一次试验连同其中可能出现的_______________称为一个基本事件．基本事件有如下两个特点：
(1)任何两个基本事件都是____________；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成________________．
2．古典概型的两大特点
(1)有限性，即试验中所有可能出现的基本事件只有__________，即样本空间Ω中的元素个数是__________；
(2)等可能性，即每个基本事件出现的_____________．
第一个结果
互斥的
基本事件的和
有限个
有限的
可能性相等
第60讲 │ 知识梳理
3．古典概型的概率公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A含m个结果，那么事件A的概率P(A)＝________.
4．古典概型的概率计算步骤
(1)计算一次试验的基本事件总数n；
(2)设所求事件为A，计算事件A包含的基本事件的个数m；
(3)依据公式P(A)＝ 求值．
要点探究
　探究点1　古典概型
第60讲 │ 要点探究
例1判断下列命题正确与否：
(1)先后掷两枚硬币，可能出现“两个正面”，“两个反面”，“一正一反”3种等可能的结果；
(2)某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；
(3)从－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0和不小于0的可能性相同；
(4)分别从3名男同学，4名女同学中各选一名做代表，那么每个同学当选的可能性相同；
(5)5人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某中奖签的可能性肯定不同．
第60讲 │ 要点探究
第60讲 │ 要点探究
[点评] 弄清每一个试验的意义及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的重要方面，判断一个试验中的基本事件，一定要从其可能性入手，加以区分，而一个试验是否是古典概型要看其是否满足有限性和等可能性．
　探究点2　简单的古典概型的概率问题
第60讲 │ 要点探究
例2 [2010·江苏卷] 盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是________．
例2　[思路] 思路一：列举基本事件，计算基本事件的总数和随机事件所包含的基本事件的个数，代入古典概型的概率公式进行计算．
第60讲 │ 要点探究
第60讲 │ 要点探究
[点评] 一个试验是不是古典概型要看其是否满足有限性和等可能性．计算古典概型的概率，其主要方法有两种：一是列举基本事件的个数，在列举时要全面考虑问题，要做到不重复也不遗漏；二是排列组合法，对于比较复杂的问题，用排列组合知识计数往往比列举法简单，要注意何时用“排列”，何时用“组合”，何时用“两个计数原理”．
第60讲 │ 要点探究
一笼里有3只白兔和2只灰兔，现让它们一一出笼，假设每一只跑出笼的概率相同，求先出笼的两只中一只是白兔，而另一只是灰兔的概率．
[思路] 思路一：列举基本事件，由于基本事件数较大，此法很繁琐；思路二：用排列组合知识计算基本事件数，先出笼的两只中一只是白兔，而另一只是灰兔应分两类：一类是第一只是白兔，第二只是灰兔；另一类是第一只是灰兔，第二只是白兔．
第60讲 │ 要点探究
　探究点3　复杂的古典型的概率问题
第60讲 │ 要点探究
例３　在一次口试中，要从20道题中随机抽出6道题进行回答，答对其中的5道题就获得优秀，答对其中的4道题就获得及格．某考生会回答20道题中的8道题，试求：
(1)他获得优秀的概率是多少？
(2)他获得及格与及格以上的概率有多大？
例３　[思路] 用排列、组合的知识正确求出答对5道题、4道题的可能种数是解答本题的关键．在计算过程中，始终要记住是从20道题中随机选了6道题，不管他需要答对几道题．答对至少4道题中的分类不要遗漏．
第60讲 │ 要点探究
第60讲 │ 要点探究
[点评] (1)灵活运用排列、组合的知识求出基本事件的个数是解题的关键；(2)当事件涉及的情况比较多时，可通过分类讨论来解决；(3)事件的个数不多且应用排列、组合的知识难解决时，可通过枚举法求出事件的个数．
第60讲 │ 要点探究
[2010·山东卷] 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.
(1)从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n第60讲 │ 要点探究
第60讲 │ 要点探究
例4　把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，以a，b为系数得到直线l1：ax＋by＝3，又已知直线l2：x＋2y＝2.
(1)分别求直线l1与l2平行、相交的概率；
(2)求直线l1与l2的交点在第一象限的概率．
例4　 [解答] (1)经分析知道，直线l1与l2只有平行和相交两种可能．
当两条直线平行时，a，b满足关系式2a＝b，其基本事件的个数只有三种：
a＝1，b＝2；a＝2，b＝4；a＝3，b＝6.
而投掷两次的所有情况有6×6＝36(种)，
第60讲 │ 要点探究
规律总结
第60讲 │ 规律总结
第60讲 │ 规律总结
3．基本事件个数的计数方法
(1)有些古典概型的试题其基本事件个数的计算没有直接的公式可以套用，一般都是采用列举法，通过列举把所有基本事件找出来，对于比较复杂的情形，在列举时注意借助图表、坐标系等进行．
(2)大部分古典概型的试题都可以运用计数原理计算基本事件的个数，解题时要注意何时用“排列”，何时用“组合”，何时用“两个计数原理”．
4．避免常见失误
(1)常见失误有：一是不理解基本事件的意义，二是求错古典概型计算题中的基本事件个数．
(2)正确解答古典概型问题，首先要掌握好有关概念及古典概型的特征，特别是一定要满足等可能性，其次要注意解决问题的方法,如计算古典概型时，如何计算、统计基本事件个数的方法．
第61讲 │ 几何概型
第61讲　几何概型
知识梳理
第61讲 │ 知识梳理
1．几何概型的概念
如果每个事件发生的概率只与构成该事件_____________________________，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称___________．
2．几何概型的两大特点
(1)无限性，即试验中所有可能出现的基本事件有__________，即样本空间 Ω中的元素个数是__________；
(2)等可能性，即每个基本事件出现的____________．
区域的长度(面积或体积)成比例
几何概型
无限个
无限的
可能性相等
第61讲 │ 知识梳理
3．几何概型的概率公式
P(A)＝__________________________________________________.
4．用几何概型解简单试验问题的步骤
(1)适当选择观察角度，把问题转化为几何概型求解；
(2)把基本事件转化为与之对应的区间D；
(3)把随机事件A转化为与之对应的区间d；
(4)利用几何概型概率公式计算．
第61讲 │ 知识梳理
5．均匀随机数的概念
均匀随机数是在一定范围内产生的数，并且得到这个范围任何一个数的机会是相等的．
6．均匀随机数的产生方法
(1)利用函数计算器可以得到0～1之间的均匀随机数；
(2)在Scilab语言中，应用不同的函数可产生0～1或a～b之间的均匀随机数．
要点探究
　探究点1　一维几何概型
第61讲 │ 要点探究
例1 乔和摩进行了一次关于他们前一天夜里进行的活动的谈话．然而谈话的30分钟内容却被监听录音机记录了下来，联邦调查局拿到磁带并发现其中有10秒钟长的一段内容包含有他们俩犯罪的信息．然而后来发现，这段谈话的一部分被联邦调查局的一名工作人员擦掉了，该工作人员声称她完全是无意中按错了键，并从即刻起往后的所有内容都被擦掉．试问如果这10秒钟长的谈话记录开始于磁带记录后的半分钟处，那么含有犯罪内容的谈话被部分或全部偶然擦掉的概率有多大？
第61讲 │ 要点探究
第61讲 │ 要点探究
[点评] 一个随机试验如果只含一个随机变量，而且该随机变量在一个含无限个值的区间范围内取值，这样的随机试验通常可构造成测度为长度的一维几何概型．
第61讲 │ 要点探究
第61讲 │ 要点探究
第61讲 │ 要点探究
　探究点2　二维几何概型
第61讲 │ 要点探究
例2 [2010·东城模拟] 在直角坐标系xOy中，设集合Ω＝{(x，y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，在区域Ω内任取一点P(x，y)，则满足x＋y≤1的概率等于________．
例2　[思路] 画出图形，将几何概型的计算转化为平面的面积之比．主要运用转化的数学思想方法．
第61讲 │ 要点探究
第61讲 │ 要点探究
一 [2011·海淀区模拟] 在一个边长为1000米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被检测到．那么随机投入一个爆破点被监测到的概率为________.
第61讲 │ 要点探究
　探究点3　三维几何概型
第61讲 │ 要点探究
第61讲 │ 要点探究
规律总结
第61讲 │ 规律总结
第61讲 │ 规律总结
3．转化策略
很多几何概型，往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时，要善于根据问题的具体情况进行转化，如把从两个区间内取出的实数看做坐标平面上的点的坐标，将问题转化为平面上的区域问题等，这种转化策略是化解几何概型试题难点的关键．
4．避免常见失误
(1)常见失误有：一是不理解基本事件的意义，二是找错基本事件和随机事件所占的几何空间，算错其所占几何空间的度量值．
(2)正确解答几何概型问题，首先要正确认识几何概型概率公式中的“测度”，它只与大小有关，而与形状和位置无关．其次要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．
第62讲 │ 离散型随机变量及其分布列
第62讲　离散型随机变量及其分布列
知识梳理
第62讲 │ 知识梳理
1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为_____________，常用字母X、Y、ξ、η、…表示．
所有取值可以一一列出的随机变量称为________________．
2．离散型随机变量的分布列
一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
随机变量
离散型随机变量
第62讲 │ 知识梳理
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量X的____________，简称___________．有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
3．离散型随机变量分布列的性质
(1)______________________________；
(2)_________．
4．常见离散型随机变量的分布列
概率分布列
分布列
(1)非负性：pi≥0(i＝1,2，…，n)　
第62讲 │ 知识梳理
(1)两点分布
若随机变量X的分布列是
X 0 1
P 1－p p
，则这样的分布列称为___________．
如果随机变量X的分布列为___________，就称X服从两点分布，而称______________为成功概率．
(2)超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件
次品，则事件{X＝k}发生的概率为__________________，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列
两点分布列
两点分布列
p＝P(X＝1)
第62讲 │ 知识梳理
超几何分布
要点探究
　探究点1　随机变量的概念
第62讲 │ 要点探究
例1写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的意义．
(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数ξ；



(2)投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数的最大值为Y.
第62讲 │ 要点探究
例1 [思路] 解决此类问题的关键是弄清随机试验的所有的可能结果．(1)所取三个球中，可能有一个白球，也可能有两个白球，还可能没有白球；(2)投掷结果为(i，j), 其中1≤i≤6,1≤j≤6，其中i，j∈N，投掷结果用X，Y表示．
[解答] (1)ξ可取0,1,2.
ξ＝0表示所取的三个球没有白球；
ξ＝1表示所取的三个球是1个白球，2个黑球；
ξ＝2表示所取的三个球是2个白球，1个黑球．
(2)X的可能取值有2,3,4,5，…，12，Y的可能取值为1,2,3，…，6.若以(i，j)表示先后投掷的两枚骰子出现的点数，则
第62讲 │ 要点探究
X＝2表示(1,1)；
X＝3表示(1,2)，(2,1)；
X＝4表示(1,3)，(2,2)，(3,1)；
…
X＝12表示(6,6)；
Y＝1表示(1,1)；
Y＝2表示(1,2)，(2,1)，(2,2)；
Y＝3表示(1,3)，(2,3)，(3,3)，(3,1)，(3,2)；
…
Y＝6表示(1,6)，(2,6)，(3,6)，…，(6,6)，(6,5)，…，(6,1)．
第62讲 │ 要点探究
[点评] 研究随机变量的取值关键是准确理解所定义的随机变量的含义，明确随机变量所取的值对应的试验结果是进一步求随机变量取这个值时的概率的基础．
第62讲 │ 要点探究
已知下列四个命题：
①某机场候机室中一天的游客数量为ξ；
②某数学老师一节课向学生提问次数为ξ；
③某水文站观察到一天中长江的水位为ξ；
④某立交桥一天经过的车辆数为ξ.
其中不是离散型随机变量的是(　　)
A．①中的ξ B．②中的ξ
C．③中的ξ D．④中的ξ
第62讲 │ 要点探究
[思路] 从离散型随机变量的概念入手，首先看ξ是不是随机变量，再看ξ的值是不是能够一一列出．
C　[解析] ①②④中的随机变量ξ可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此它们都是离散型随机变量；③中的ξ可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故ξ不是离散型随机变量．故选C.
　探究点2　离散型随机变量的分布列
第62讲 │ 要点探究
例2 [2010·江西卷] 某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间，求ξ的分布列．
第62讲 │ 要点探究
[思路] 列出走出迷宫的各种线路，计算各种线路所需时间及概率．
[解答] 必须要走到1号门才能走出，走出迷宫的各种线路如下表：
走出线路 1 2－1 2－3－1 3－1 3－2－1
所需时间 1 3 6 4 6
由上表知ξ可能的取值为1,3,4,6.
第62讲 │ 要点探究
第62讲 │ 要点探究
[点评] 解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值，并计算出随机变量取每个值对应的概率；概率计算的关键是理清事件的关系，正确转化为和事件、积事件或古典概型．本题在计算概率时，极易错误地用古典概型概率计算公式．应注意：只有基本事件为等可能事件时才能转化为古典概型．
第62讲 │ 要点探究
第62讲 │ 要点探究
第62讲 │ 要点探究
　探究点3　离散型随机变量分布列性质的应用
第62讲 │ 要点探究
X －1 0 1
P a b c
例3 [2010·苏州模拟] 随机变量X的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________.
第62讲 │ 要点探究
第62讲 │ 要点探究
X 0 1
P 2-c 3－8c
若离散型随机变量X的分布列为：
试求出常数c，并写出X的分布列．
第62讲 │ 要点探究
　探究点4　超几何分布
第62讲 │ 要点探究
例4 在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X的分布列．
第62讲 │ 要点探究
第62讲 │ 要点探究
[2011·华南师大附中月考] 在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求：　
(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列；
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．
第62讲 │ 要点探究
第62讲 │ 要点探究
规律总结
第62讲 │ 规律总结
1．求离散型随机变量的分布列，认识ξ代表的是什么试验结果很关键，首先要根据具体情况确定ξ的取值，然后利用事件之间的关系或排列组合与概率知识求出ξ取各个值的概率．
2．求离散型随机变量分布列的步骤
(1)找出随机变量ξ的所有可能取值xi(i＝1,2，…，n)；
(2)求出取各值xi的概率P(X＝xi)；
(3)列表，求出分布列后要注意应用性质检验所求的结果是否准确．
第62讲 │ 规律总结
3．掌握离散型随机变量的分布列，需注意：
(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是对应于随机变量X的值的事件发生的概率．看每一列，实际上是上为“事件”，下为事件发生的概率，只不过“事件”是用一个反映其结果的实数表示的．每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率．
(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．
第63讲 │ 二项分布及其应用
第6３讲　二项分布及其应用
知识梳理
第63讲 │ 知识梳理
1．条件概率的定义与性质
(1)定义
一般地，设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝
________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率．
(2)性质
条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即_________________．
如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝________________.
0≤P(B|A)≤1
P(B|A)＋P(C|A)
第63讲 │ 知识梳理
要点探究
　探究点1　条件概率
第63讲 │ 要点探究
例1 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？
第63讲 │ 要点探究
第63讲 │ 要点探究
[点评] 条件概率P(B|A)与概率P(B)，它们都以样本空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的，概率P(B)是指在整个样本空间Ω的条件下事件B发生的可能性大小，而条件概率P(B|A)是在事件A发生的条件下，事件B发生的可能性大小．
第63讲 │ 要点探究
甲、乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例，甲市为20%，乙市为18%，两市同时下雨的天数占12%.求：
(1)乙市下雨时甲市也下雨的概率；
(2)甲市下雨时乙市也下雨的概率．
第63讲 │ 要点探究
　探究点2　事件的相互独立性
第63讲 │ 要点探究
例2 [2010·四川卷] 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．
(1)求三位同学都没有中奖概率；
(2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率．
第63讲 │ 要点探究
第63讲 │ 要点探究
第63讲 │ 要点探究
第63讲 │ 要点探究
第63讲 │ 要点探究
　探究点3　独立重复试验与二项分布
第63讲 │ 要点探究
第63讲 │ 要点探究
第63讲 │ 要点探究
在2010年“两会”期间，保就业成为代表委员以及公众关注的焦点．就业不仅被致公党中央提交为今年政协的“一号提案”，而且在温家宝总理与网民交流时也指出，“就业不仅关系一个人的生计，而且关系一个人的尊严”．面对新形势，某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．
(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；
(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．
第63讲 │ 要点探究
规律总结
第63讲 │ 规律总结
第63讲 │ 规律总结
3．相互独立事件同时发生的概率的求法
(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
(2)正面计算较繁或难于入手时，可以从其对立事件入手进行计算．
4．独立重复试验
独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
第64讲 │ 离散型随机变量的均值与方差、正态分布
第64讲　离散型随机变量的均　 值与方差、正态分布
知识梳理
第64讲 │ 离散型随机变量的均值与方差的概念
ξ x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
1．离散型随机变量的均值与方差的概念
若离散型随机变量ξ的分布列为
　　(1)期望：称Eξ＝______________________________为随机变量ξ的均值或__________，它反映了离散型随机变量取值的___________．
(2)方差：称Dξ＝_____________为随机变量ξ的方差，它刻画了随机变量ξ与其均值Eξ的________________，其算术平方根为随机变量ξ的标准差．
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn
数学期望
平均水平
平均偏离程度
第64讲 │ 知识梳理
第64讲 │ 知识梳理
5．正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，_____________；
(2)曲线是单峰的，它关于_______________；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值_______；
(4)曲线与x轴之间的面积为___；
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿_____平移；
(6)当μ一定时，曲线的形状由____确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越________；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越________．
与x轴不相交
直线x＝μ对称
1
x轴
σ
集中
分散
第64讲 │ 知识梳理
(μ－3σ，μ＋3σ)
6．3σ原则
(1)3σ原则的含义：在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取________________之间的值，并简称之为3σ原则．
(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值：
若X～N(μ，σ2)，则有
P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，
P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.9544，
P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974.
(3)正态总体在(μ－3σ，μ＋3σ)外取值的概率：
正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．
要点探究
　探究点1　求离散型随机变量的期望与方差
第64讲 │ 要点探究
例1 [2010·青岛模拟] 某中学选派40名同学参加上海世博会青年志愿者服务队(简称“青志队”)，他们参加活动的次数统计如表所示．
活动次数 1 2 3
参加人数 5 15 20
(1)从“青志队”中任意选3名学生，求这3名同学中至少有2名同学参加活动次数恰好相等的概率；
(2)从“青志队”中任选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ.
第64讲 │ 要点探究
第64讲 │ 要点探究
第64讲 │ 要点探究
第64讲 │ 要点探究
第63讲 │ 要点探究
第63讲 │ 要点探究
第64讲 │ 要点探究
[点评]求数学期望，首先要求出随机变量的分布列，求分布列的关键是正确求出随机变量可以取哪些值，并计算出随机变量取每个值对应的概率；概率计算的关键是理清事件的关系，正确转化为和事件、积事件或古典概型．求数学期望或方差要注意观察随机变量的概率分布特征，若是二项分布，用二项分布的期望与方差公式计算，则更为简单．
　探究点2　期望与方差的应用
第64讲 │ 要点探究
例3 某公司要将一批海鲜用汽车运往A城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入30万元，每提前一天送到，将多获得1万元，每迟到一天送到，将少获得1万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路1或公路2中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示．
第64讲 │ 要点探究
(1)记汽车走公路1时公司获得的毛利润为ξ(万元)，求ξ的分布列和数学期望Eξ；
(2)假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？
第64讲 │ 要点探究
第64讲 │ 要点探究
第64讲 │ 要点探究
[2010·深圳模拟] 上海世博会深圳馆1号作品《大芬丽莎》是由大芬村507名画师集体创作的999幅油画组合而成的世界名画《蒙娜丽莎》，因其诞生于大芬村，因此被命名为《大芬丽莎》．某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，测得画师的年龄情况如下表所示．
分组
(单位：岁) 频数 频率
[20,25) 5 0.050
[25,30) ① 0.200
[30,35) 35 ②
[35,40) 30 0.300
[40.45) 10 0.100
合计 100 1.00
第64讲 │ 要点探究
(1)频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并补全频率分布直方图(如图K64－1)，再根据频率分布直方图估计这507个画师中年龄在[30,35)岁的人数(结果取整数)；
(2)在抽出的100名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加上海世博会深圳馆志愿者活动，其中选取2名画师担任解说员工作，记这2名画师中“年龄低于30岁”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
第64讲 │ 要点探究
第64讲 │ 要点探究
　探究点3　正态分布
第64讲 │ 要点探究
第64讲 │ 要点探究
规律总结
第64讲 │ 规律总结
1．求期望、方差的基本方法
(1)已知随机变量的分布列求它的期望、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；
(2)已知随机变量ξ的期望、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的期望、方差和标准差，可直接用ξ的期望、方差的性质求解；
(3)如能分析出所给的随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的期望、方差公式求解，在没有准确判断概率分布模型之前不能乱套公式．
第64讲 │ 规律总结
2．期望、方差的应用
对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的期望、方差或标准差，再根据求得的数值先比较期望，期望相同或相差无几的条件下，再比较方差，作出结论．
3．正态分布中的概率计算的常用方法
一是利用正态曲线的对称性求解；二是利用3σ原则，将随机变量的取值转化到三个特殊区间中．(共74张PPT)
人教A版
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第68讲　合情推理与演绎推理　
第69讲 直接证明与间接证明
第70讲 数学归纳法
第十二单元　推理与证明
第十二单元　推理与证明
知识框架
第十二单元 │ 知识框架
考纲要求
第十二单元 │ 考纲要求
1．合情推理与演绎推理
(1)了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．
(2)了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.
(3)了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
2．直接证明与间接证明
(1)了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．
(2)了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．
3．数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
第十二单元 │ 考纲要求
命题趋势
　　本单元既有新课标高考独有的内容，也有大纲版中的传统内容，新增内容已成为近几年新课标高考的必考内容，高考对本单元的考查有如下特点：
1．对推理与证明的考查，高考试题中已经出现过专门考查归纳推理和类比推理的试题，也出现过专门指明用反证法证明的试题，随着新课标高考的深入发展，推理与证明的考查会更加科学合理，特别在合情推理方面一定会有新的试题出现在高考试卷中．
第十二单元 │ 命题趋势
　　2．新课标高考对于数学归纳法的考查不多，试题从来没有以选择题、填空题的形式单独考查过，对数学归纳法的考查有时渗透在解答题特别是数列解答题中，一般比较隐蔽，难度也较大．
预计2012高考将会以合情推理这部分内容为切入点，加强对学生逆向思维能力和创新能力的考查，试题可能会以新定义或信息迁移题的形式出现．

第十二单元 │ 命题趋势
第十二单元 │ 使用建议
第十二单元 │ 使用建议
第68讲 │ 合情推理与演绎推理
第68讲　合情推理与演绎推理
知识梳理
　　 1．推理的概念
根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做________，一部分是由已知推出的判断，叫_______．
第68讲 │ 知识梳理
前提
结论
　　 2．合情推理
根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理．合情推理可分为__________和__________两类．
(1)归纳推理：由某类事物的__________具有某些特征，推出该类事物的__________具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，叫归纳推理．简言之，归纳推理是由______到______、由______到______的推理．
(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理．简言之，类比推理是由______到______的推理．
第68讲 │ 知识梳理
归纳推理
类比推理
部分对象
全部对象
部分
整体
个别
一般
特殊
特殊
　　 3．演绎推理
(1)定义：从一般性的真命题(原理或逻辑规则)出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由______到______的推理．
(2)三段论：三段论是演绎推理的一般模式，它包括：
①________——已知的一般原理；
②________——所研究的特殊情况；
③________——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．
第68讲 │ 知识梳理
一般
特殊
大前提
小前提
结论
要点探究
　探究点1　归纳整理
第68讲 │ 要点探究
第68讲 │ 要点探究
第68讲 │ 要点探究
　　 [2010·福建卷] 观察下列等式：
①cos2α＝2cos2α－1；
②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；
③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；
④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；
⑤cos10α＝mcos10α－1280cos8α＋1120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.
可以推测，m－n＋p＝________.
第68讲 │ 要点探究
　　[思路] 观察cosα的最高次的系数2,8,32,128，可得出m＝128×4＝512；进一步分析各项系数的特点与关系或利用赋值法列方程组，通过解方程组确定n，p的值．
962　[解析] 方法一：观察等式可知，cosα的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，所以m＝128×4＝512.(1)
进一步观察，可得每一个式子右边所有系数之和为1，即有m－1280＋1120＋n＋p－1＝1，整理，得m＋n＋p＝162.(2)
再仔细观察可以发现，每一个式子右边cos2α的系数分别为2＝1×2，－8＝－2×4,18＝3×6，－32＝－4×8，则p＝5×10＝50.(3)
第68讲 │ 要点探究
　探究点2　类比推理
第68讲 │ 要点探究
第68讲 │ 要点探究
　探究点3　演绎推理
第68讲 │ 要点探究
例3　已知梯形ABCD中，AB＝DC＝AD，AC和BD是它的对角线．用三段论证明：CA平分∠BCD，BD平分∠CBA.
第68讲 │ 要点探究
　　例3 [思路] 分清所证问题的大前
提，正确利用平面几何的有关性质，
严格按三段论加以论证．
[解答] (1)两平行线与第三条直线
相交，内错角相等(大前提)，
∠BCA与∠CAD是平行线AD，BC被AC所截内错角(小前提)，所以∠BCA＝∠CAD(结论)．
(2)等腰三角形两底角相等(大前提)，
△CAD是等腰三角形，DA＝DC(小前提)，
所以∠DCA＝∠CAD(结论)．
(3)等于同一个量的两个量相等(大前提)，
∠BCA与∠DCA都等于∠CAD(小前提)，
所以∠BCA＝∠DCA，所以CA平分∠BCD(结论)．
(4)同理BD平分∠CBA.
规律总结
第68讲 │ 规律总结
1．归纳推理
归纳推理的难点是由部分结果得到一般结论，破解的方法是充分考虑这部分结果提供的信息，从中发现一般规律，解题的一般步骤是：
(1)对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；
(2)提出带有规律性的结论，即猜想；
(3)检验猜想．
第68讲 │ 规律总结
2．类比推理
(1)类比推理的难点是发现两类对象的相似特征，由其中一类对象的特征得出另一类对象的特征，破解的方法是利用已经掌握的数学知识，分析两类对象之间的关系，通过两类对象的已知的相似特征得出所需要的相似特征，其一般的步骤是：
(1)找出两类对象之间可以确切表达的相似性(或一致性)；
(2)用一类对象的性质去推断另一类对象的性质，从而得到一个猜想；
(3)验证猜想．
第68讲 │ 规律总结
3．合情推理与演绎推理的区别
(1)归纳推理是由特殊到一般的推理；
(2)类比推理是由特殊到特殊的推理；
(3)演绎推理是由一般到特殊的推理．
从推理的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待证明；演绎推理得到的结论一定正确．演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，是证明数学问题的基本推理形式．
第69讲 │ 直接证明与间接证明
第69讲　直接证明与间接证明
知识梳理
　　 1．直接证明
直接从原命题的条件逐步推得结论成立，这种证明方法
叫直接证明．直接证明有两种基本方法——分析法和综合法．
(1)综合法：是由原因推导到结果的证明方法，它是利用
已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的__________，最后推导出所要证明的结论________的证明方法．
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示
所要证明的结论，则综合法可用框图表示为
第69讲 │ 知识梳理
推理论证
成立
(2)分析法：是从______________出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的__________，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定义、公理、定理等)为止的证明方法．
用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为
第69讲 │ 知识梳理
(3)综合法与分析法的辩证关系：在解决问题时，常常用分析法寻找解题思想方法，而用综合法展现解决问题的过程，即综合分析法．
要证明的结论
充分条件
　　2．间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．
(1)反证法的定义：一般地，假设原命题的结论________，经过正确的推理，最后得出______，由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法．
(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．
第69讲 │ 知识梳理
不成立
矛盾
说明：反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p则q”的过程可以用下图所示的框图表示．
第69讲 │ 知识梳理
要点探究
　探究点1　输入、输出和赋值语句
第69讲 │ 要点探究
第69讲 │ 要点探究
第69讲 │ 要点探究
第69讲 │ 要点探究
第69讲 │ 要点探究
　　[点评]综合法的实质是揭示出条件与结论之间的因果关系，为此要着力分析已知和求证之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系，并合理应用已知条件进行有效的变换，这是用综合法证题的关键．综合法是一种由因索果的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．
第70讲 │ 要点探究
第70讲 │ 要点探究
　探究点2　分析法
第69讲 │ 要点探究
第69讲 │ 要点探究
第69讲 │ 要点探究
　　[点评]当要证明的不等式较复杂，两端的差异难以消除或者已知条件信息太小不知如何下手时，适时运用分析法会使问题容易获得解决．在用分析法证题时，要正确使用连接有关步骤的关键词，如“为了证明”、
“只需证明”等．分析法是步步寻求结论成立的充分条件，有时与综合法混合使用，也叫分析综合法．
第70讲 │ 要点探究
第69讲 │ 要点探究
例3　设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，证明：数列{Sn}不是等比数列．
　探究点3　反证法
　　[点评]否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较好．
第70讲 │ 要点探究
第69讲 │ 要点探究
　探究点4　综合运用
第69讲 │ 要点探究
第69讲 │ 要点探究
　　[点评]有些数学证明题，单独运用一种证明方法很难或无法完成，此时要善于将多种证明方法混合使用， 常常用分析法寻找解题思路，用综合法加以证明．本题通过对原不等式进行等价变形，找到了便于证明的不等式， 然后构造函数证明不等式， 综合运用了分析法、综合法和构造法．


规律总结
第69讲 │ 规律总结
1．综合法证题的一般规律
用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐渐引出结论．
2．分析法证题的一般规律
分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．
第69讲 │ 规律总结
3．反证法证题的一般规律
反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A，即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现．
第70讲 │ 数学归纳法
第70讲　数学归纳法
知识梳理
　　1．数学归纳法的概念
设命题p(n)是与正整数n有关的命题，如果满足：
(1) n0∈N*，命题p(n0)成立；
(2)当假设命题p(k)(k∈N*k≥n0)成立时，可以推出命题p(k＋1)也成立．
那么，可以断定命题p(n)对一切正整数n≥n0成立．
2．数学归纳法的适用对象
数学归纳法是用来证明关于与________有关命题的一种方法，若n0是起始值，则n0是使命题成立的________整数．
第70讲 │ 知识梳理
正整数n
最小正
3．数学归纳法证明的步骤
(1)归纳奠基：证明当n取第一个值__________时，命题成立；
(2)归纳递推：假设___________________时，命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
(3)归纳总结：根据(1)(2)可知，当________________时，命题成立．
第70讲 │ 知识梳理
n＝n0
n＝k(k≥n0，k∈N*)
(n≥n0，且n∈N*)
要点探究
　探究点1　利用数学归纳法证明等式
第70讲 │ 要点探究
第69讲 │ 要点探究
第69讲 │ 要点探究
第69讲 │ 要点探究
　　[点评]用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时等式的两边变化的项，然后正确写出归纳证明的步骤，使问题得以证明．数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关键之处：一是f(n)与n的关系；二是f(k)与f(k＋1)的关系．
第70讲 │ 要点探究
第70讲 │ 要点探究
　探究点2　用数学归纳法证明不等式
第69讲 │ 要点探究
第69讲 │ 要点探究
第69讲 │ 要点探究
第69讲 │ 要点探究
第70讲 │ 要点探究
第70讲 │ 要点探究
　探究点3　用数学归纳法证明与正整数有关的综合性问题
第69讲 │ 要点探究
第69讲 │ 要点探究
第69讲 │ 要点探究
第70讲 │ 要点探究
第70讲 │ 要点探究
第70讲 │ 要点探究
第70讲 │ 要点探究
规律总结
第70讲 │ 规律总结
用数学归纳法证明数学命题时，首先要明确首取值n0并验证真假(必不可少)，然后“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式，再分析“n＝k＋1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别，找准变形目标．掌握变形的常用方法：因式分解、添拆项、配方、放缩等．用数学归纳法证题可明确为“两个步骤、一个结论”，即递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．
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第16讲 角的概念及任意角的三角函数
第17讲 同角三角函数的关系和诱导公式
第18讲 三角函数的图象和性质
第19讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质
第20讲 两角和与差的三角函数
第21讲 简单的三角恒等变换
第22讲 正弦定理和余弦定理
第23讲 解三角形的应用
第三单元　三角函数
第三单元　三角函数
知识框架
第三单元 │ 知识框架
知识框架
第三单元 │ 知识框架
考纲要求
第三单元 │ 考纲要求
第三单元 │ 考纲要求
　　2．三角恒等变换
　　(1)和与差的三角函数公式
　　①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
　　②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．
　　③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
　　(2)简单的三角恒等变换
　　能运用上述公式进行简单的恒等变换 ．
第三单元 │ 考纲要求
　　3．解三角形
　　(1)正弦定理和余弦定理
　　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
　　(2)应用
　　能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
第三单元 │ 考纲要求
命题趋势
　　三角函数、简单的三角恒等变换、解三角形是高中数学重要的基础知识之一，又是高中数学的工具性知识之一，在高考中占有重要位置．
　　1．以选择题或填空题的形式考查三角函数的定义、同角三角函数关系、诱导公式、和差的三角函数、倍角公式在求值化简中的应用，考查三角函数的图象和性质，正弦定理和余弦定理解三角形，试题难度不大，以考查基础知识和基本方法为主，试卷中一般是1到2个小题．
第三单元 │ 命题趋势
　　2．以解答题的方式重点考查三角函数的图象和性质（可能和解三角形结合），考查三角恒等变换公式在解决三角函数问题中的应用，考查解三角形和三角函数的性质，考查解三角形在解决实际问题中的应用，试题难度中等或者中等偏下．
　　3．在解析几何、立体几何、函数导数、平面向量等问题中考查三角函数和解三角形的应用，发挥三角函数和解三角形知识的工具性作用，如直线的斜率和倾斜角之间的关系，利用三角函数和解三角形的知识求解空间角等．
　　4．由于三角函数、简单三角恒等变换、解三角形是传统的考试内容，这些年来以形成相对固定的考查模式，预计2012年仍然会延续这种命题模式．　
第三单元 │ 命题趋势
使用建议
　　1．编写意图
　　由于高考降低了对三角恒等变换的要求，三角恒等变换公式主要是解决三角函数问题的工具，故本单元把教材中的三角函数和简单三角恒等变换进行了整合．
　　在编写中注意到如下的几个问题：(1)考虑到该部分在高考试题中的考查特点和难度，加强了对基础知识、基本方法的讲解和练习题的力度，控制了选题的难度；(2)突出了y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质，在该讲设置了双课时作业；　(3)考虑到三角函数知识的工具性，适当加入了三角函数在各个方面的应用的一些题目；(4)在第23讲中强化了正弦定理和一些定理作三角形的技巧和访求，以基本的选题讲解这两个定理如何解三角形，并在第23讲中着重讲对其应用，以培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．
第三单元 │ 使用建议
　　2．教学指导
　　鉴于该部分知识的重要性，以及该部分在高考中的考查特点是重视基础知识和基本方法，教师在引导学生复习该部分时，要注意如下几个问题：(1)进行考情思路分析，使学生明白该部分在高考中的考查特点是重视基础，在复习中不要追求难题、偏题和怪题，只要把基本问题复习透彻即可；
(2)由于该部分的选题以基础为主，其中绝大多数问题学生都能独立完成，在教学中要充分发挥学生的主体地位，尽量让学生独立完成包括例题在内的题目，教师在于对方法和规律的总结，在于引导；(3)在复习中要对照考纲，关注一些公式的导出过程，如考纲中的“能利用单位圆中的三角函数线
第三单元 │ 使用建议
第三单元 │ 使用建议
　　(6)解三角形的实际应用题经常出现在高考中．解三角形的实际应用问题实际上就是在不同的三角形中测量出一些角度和距离，通过在可解三角形中使用正弦定理和余弦定理，把求解目标纳入到一个新的可解三角形中，再根据正弦定理和余弦定理加以解决，教师在引导学生思路解三角形的实际应用问题时要把这个基本思想教给学生，这是解三角形实际应用问题的本质所在．
　　3．课时安排
　　该部分共8节，其中第20讲设置双课时作业，一个滚动基础训练卷和一个单元能力训练卷，建议11课时完成复习任务．
第三单元 │ 使用建议
第16讲 │ 角的概念及任意角的三角函数
第16讲　角的概念及任意角的三角函数
第16讲 │ 知识梳理
知识梳理
第16讲 │ 知识梳理
第16讲 │ 考点整合
第16讲 │ 考点整合
要点探究
　探究点１　任意角的概念的应用
第16讲 │ 要点探究
第16讲 │ 要点探究
第16讲 │ 要点探究
第16讲 │ 要点探究
第16讲 │ 要点探究
探究点2　扇形弧长公式与扇形面积公式的应用
第16讲 │ 要点探究
第16讲 │ 要点探究
第16讲 │ 要点探究
探究点3　三角函数的定义的应用
第16讲 │ 要点探究
第16讲 │ 要点探究
第16讲 │ 要点探究
第16讲 │ 要点探究
探究点4　单位圆中三角函数线的应用
第16讲 │ 要点探究
规律总结
　　
第16讲 │ 规律总结
第16讲 │ 规律总结
第17讲 │ 同角三角函数的关系和诱导公式
第17讲 同角三角函数的关系和诱导公式
第17讲 │ 知识梳理
知识梳理
第17讲 │ 知识梳理
第17讲 │ 知识梳理
要点探究
　　
第17讲 │ 要点探究
　　
探究点1　诱导公式及应用
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
探究点2　同角三角函数基本关系式及应用
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
探究点3　齐次式的应用
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
第17讲 │ 要点探究
　　
第17讲 │ 规律总结
1．诱导公式的功能是求解任意角的三角函数值、对三角函数式进行化简，在使用诱导公式时一定要注意其准确性，一个是符号、一个是函数名称；同角三角函数基本关系的功能是根据角的一个三角函数值求解另外的三角函数值以及对同角的三角函数式进行变换，同角三角函数的基本关系和方程思想联系密切，注意方程思想的运用．
规律总结
第17讲 │ 规律总结
第18讲 │ 三角函数的图象和性质
第18讲 三角函数的图象和性质
第18讲 │ 知识梳理
知识梳理
第18讲 │ 知识梳理
第18讲 │ 知识梳理
第18讲 │ 知识梳理
第18讲 │ 知识梳理
第18讲 │ 知识梳理
要点探究
　　
第18讲 │ 要点探究
　　
探究点1　三角函数图象的简单应用
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
探究点2　三角函数的值域与最值
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
探究点3　三角函数的奇偶性与周期性
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
探究点4　三角函数的单调性
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
第18讲 │ 要点探究
　　
第18讲 │ 规律总结
规律总结
第18讲 │ 规律总结
第19讲 │ 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质
第19讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)
的图象和性质
第19讲 │ 知识梳理
知识梳理
第19讲 │ 知识梳理
第19讲 │ 知识梳理
要点探究
　　
第19讲 │ 要点探究
　　
探究点1　画函数图象及函数图象的变换
第19讲 │ 要点探究
第19讲 │ 要点探究
第19讲 │ 要点探究
第19讲 │ 要点探究
第19讲 │ 要点探究
第19讲 │ 要点探究
第19讲 │ 要点探究
第19讲 │ 要点探究
第19讲 │ 要点探究
第19讲 │ 要点探究
第19讲 │ 要点探究
探究点2　由图象求函数解析式
图19-1
第19讲 │ 要点探究
　
图19－2
第19讲 │ 要点探究
第19讲 │ 要点探究
第19讲 │ 要点探究
第19讲 │ 要点探究
探究点3　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用
第19讲 │ 要点探究
第19讲 │ 要点探究
第19讲 │ 要点探究
第19讲 │ 要点探究
第19讲 │ 要点探究
第19讲 │ 要点探究
第19讲 │ 要点探究
探究点4　三角函数模型的简单应用
第19讲 │ 要点探究
第19讲 │ 要点探究
　　
第19讲 │ 规律总结
规律总结
第19讲 │ 规律总结
第20讲 │ 两角和与差的三角函数
第20讲 两角和与差的三角函数
第20讲 │ 知识梳理
知识梳理
第20讲 │ 知识梳理
第20讲 │ 知识梳理
要点探究
　　
第20讲 │ 要点探究
　　
探究点1　基本公式的应用
第20讲 │ 要点探究
第20讲 │ 要点探究
第20讲 │ 要点探究
探究点2　变形公式的应用
第20讲 │ 要点探究
第20讲 │ 要点探究
探究点3　公式的综合应用
第20讲 │ 要点探究
第20讲 │ 要点探究
第20讲 │ 要点探究
第20讲 │ 要点探究
第20讲 │ 要点探究
第20讲 │ 要点探究
　　
第20讲 │ 规律总结
规律总结
第20讲 │ 规律总结
第21讲 │ 简单的三角恒等变换
第21讲 简单的三角恒等变换
第21讲 │ 知识梳理
知识梳理
第21讲 │ 知识梳理
要点探究
　　
第21讲 │ 要点探究
　　
探究点1　三角函数式的求值
第21讲 │ 要点探究
第21讲 │ 要点探究
第21讲 │ 要点探究
第21讲 │ 要点探究
第21讲 │ 要点探究
探究点2　三角函数式的化简
第21讲 │ 要点探究
第21讲 │ 要点探究
探究点3　三角函数式的证明
第21讲 │ 要点探究
第21讲 │ 要点探究
　　
第21讲 │ 规律总结
规律总结
第22讲 │正弦定理和余弦定理
第22讲 正弦定理和余弦定理
第22讲 │ 知识梳理
知识梳理
第22讲 │ 知识梳理
两边及一角
两角及一边
一解
一解
无解
一解
无解
第22讲 │ 知识梳理
其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦
的积的两倍
三角
第三边及其余两角
要点探究
　　
第22讲 │ 要点探究
探究点1　正弦定理解三角形
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
探究点2　余弦定理解三角形
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
探究点3　正弦定理和余弦定理解三角形
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
探究点4　三角形形状的判断
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
第22讲 │ 要点探究
[思路]根据正弦定理求解.
第22讲 │ 要点探究
规律总结
　　
第22讲 │ 规律总结
第22讲 │ 规律总结
第23讲 │解三角形的应用
第23讲 解三角形的应用
第23讲 │ 知识梳理
知识梳理
1．距离的测量
第23讲 │ 知识梳理
正弦
正弦
余弦
第23讲 │ 知识梳理
2.高的测量
第23讲 │ 知识梳理
上方
下方
第23讲 │ 知识梳理
正北
第23讲 │ 知识梳理
第23讲 │ 知识梳理
要点探究
　　
第23讲 │ 要点探究
　　
探究点1 距离的测量
图23-2
第23讲 │ 要点探究
第23讲 │ 要点探究
第23讲 │ 要点探究
第23讲 │ 要点探究
第23讲 │ 要点探究
第23讲 │ 要点探究
图23－3
第23讲 │ 要点探究
第23讲 │ 要点探究
第23讲 │ 要点探究
探究点2　高度的测量
第23讲 │ 要点探究
第23讲 │ 要点探究
第23讲 │ 要点探究
　　
第23讲 │ 要点探究
　　
探究点3　三角形的面积
第23讲 │ 要点探究
第23讲 │ 要点探究
第23讲 │ 要点探究
探究点4　三角形中边角问题的综合
第23讲 │ 要点探究
　　
第23讲 │ 规律总结
规律总结
第23讲 │ 规律总结(共87张PPT)
第53讲 随机抽样
第54讲 用样本估计总体
第55讲 变量的相关性与统计案例
第九单元　统计与统计案例
人教A版
第九单元　统计与统计案例
知识框架
第九单元 │ 知识框架
考纲要求
第九单元 │ 考纲要求
1．随机抽样
(1)理解随机抽样的必要性和重要性．
(2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法．
2．用样本估计总体
(1)了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．
(2)理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差．
第九单元 │ 考纲要求
(3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并给出合理的解释．
(4)会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．
(5)会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．
3．变量的相关性
(1)会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．
(2)了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．
第九单元 │ 考纲要求
4．统计案例
了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题．
(1)独立性检验　了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．
(2)回归分析　了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．
命题趋势
第九单元 │ 命题趋势
1．高考在本单元考查的重点在三种抽样方法的应用、统计图表的绘制与分析、数字特征的计算与分析、线性回归分析和独立性检验，这些知识点的考查都会以实际问题为载体．
2．本单元内容高考要求较低，多以选择题或填空题的方式进行考查，难度较低，也可能在综合解答题中作为试题的一小部分进行考查，重点考查统计的基本方法以及在实际问题中的应用，由于是新课标中新增加的内容，也不排除考查大题的可能，并且有些省份已经以解答题的方式考查过线性回归和独立性检验．
第九单元 │ 命题趋势
预计2012年仍然会顺应近三年高考命题的基本趋势，在高考试卷中这部分会命制1至2个小题，考查统计的基础知识和基本方法，在综合解答题中和概率统计的其他知识一起进行综合考查．
使用建议
　 1． 编写意图
本单元内容将教材中必修3第二章《统计》和选修1－2第三章《统计案例》整合在一起．本单元内容与生产生活实际相结合，数据多，公式多，要求考生有较强的数据处理能力，公式一般不需要记忆，考试时会给出公式．根据考试说明和高考对本单元考查的实际情况，本单元在编写时注意到以下几点：一是注意了基础知识的全面性和系统性；二是注意了统计方法的讲解，编写中把各种统计方法的使用放在首位；三是注意了高考的发展趋势，加强了对统计案例的复习力度．
第九单元 │ 使用建议
2．教学指导
在复习过程中，要注意以下三个方面：
(1)强化概念的教学，本单元概念较多，引导学生结合具体题目，仔细体会概念的含义，通过适当练习，学会如何使用概念解题．
(2)统计图表是统计中的主要工具，教学中要使学生学会从图表中提取有关的数据信息、进行统计推断的方法．
(3)加强运算能力的培养，统计的数字计算较繁，要求学生培养良好的运算习惯，通过统计的复习提高运算能力．
3．课时安排
本单元包括3讲和1个单元能力训练卷，每讲和单元能力训练卷各用1课时，共需4课时完成．
第九单元 │ 使用建议
第53讲 │ 随机抽样
第53讲　随机抽样
知识梳理
第53讲 │ 知识梳理
容量
1．在统计里，我们把所有考察对象的全体叫总体，其中总体中每一个考察的对象叫个体，从总体中抽取的部分个体叫一个样本，样本中包含个体的数目叫做样本______．
2．一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做____________抽样．两种常见的实施简单随机抽样的办法是：抽签法和随机数法．
简单随机
第53讲 │ 知识梳理
3．当总体中的个体数较多时，将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样叫做________抽样．
系统
第53讲 │ 知识梳理
4．在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫______抽样．
分层抽样的操作步骤：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本．
分层
第53讲 │ 知识梳理
5．三种抽样方法的区别与联系：
类别 简单随机抽样 系统抽样 分层抽样
共同点 抽样过程中每个个体被抽到的机会均等，不放回抽样
各自特点 从总体中逐个抽取 将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取 将总体分n层，分层进行抽取
相互联系 在起始部分抽样时采用简单随机抽样 各层抽样采用简单随机抽样或系统抽样
适用范围 总体中个体数较少 总体中个体数较多 总体由差异明显的几部分组成
第53讲 │ 知识梳理
要点探究
　探究点1　简单随机抽样
第53讲 │ 要点探究
例1　 参加2010年亚运会火炬传递活动的6名火炬手，需要在某市的30名优秀运动员中产生，请用随机数表法和抽签法设计抽样方案．
例1 [思路] 按随机数表法的操作步骤和抽签法的操作步骤进行．
[解答] 随机数表法：
第一步：将30名运动员编号，编号分别为01,02，…，30；
第二步：在随机数表中任选一个起始数，按某一确定方向读数；
第53讲 │ 要点探究
第三步：凡是不在01～30中的数或已读过的数，都跳过去不做记录，依次记下6个得数；
第四步：找出号码与记录的数相同的运动员，这样就选出了6名火炬手．
抽签法：
第一步：将30名运动员编号，编号分别为01,02，…，30；
第二步：将30个号码分别写在30张外形完全一样的纸张上，并揉成团，制成号签；
第三步：将30个号签放入一个不透明的盒子中，充分搅匀；
第四步：从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号，编号对应的运动员就是选出的火炬手．
第53讲 │ 要点探究
[点评] 总体的个数较少，利用随机数法或抽签法可容易获得样本；随机数表法的操作要点：编号、选起始数、读数、获取样本；抽签法的操作要点：编号、制签、搅匀、抽取．
第53讲 │ 要点探究
下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？
(1)某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动；
(2)从40个零件中一次性抽取5个进行质量检测；
(3)某同学从自己制作的知识卡片盒子中随意抽取一张卡片来学习，几分钟后放回盒子，然后又随意抽取一张，这样连续做了3次．
[思路] 用简单随机抽样的特点进行判断．
[解答] (1)不是简单随机抽样，因为这不是等可能抽样．(2)不是简单随机抽样，因为是“一次性”抽取，不是“逐个”抽取．(3)不是简单随机抽样，因为这是有放回抽样．
第53讲 │ 要点探究
　探究点2　系统抽样
例2 要从已经编号(1～60)的60枚最新研制的某种型号导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选的6枚导弹的编号可能是(　　)
A．5,10,15,20,25,30 B．2,12,22,32,42,52
C．6,13,38,31,45,58 D．5,10,23,33,43,59
例2 [思路] 按照系统抽样的等距性对每个选项进行检验．
B　[解析] 按系统抽样，分为6组，每组10个编号，每个被抽取的编号之间相差10，只有选项B符合条件，选B.
第53讲 │ 要点探究
[点评] 一般地，系统抽样是等距离抽样，本例中，第一组抽取号码2，然后以10为间距依次等距离抽取后面的编号，抽出的所有号码为2＋10k(k＝0,1,2,3,4,5)．值得注意的是，并不是所有的系统抽样都是等距离抽样，这要看所给的抽样规则．
第53讲 │ 要点探究
[2010·湖北卷] 将参加夏令营的600名学生编号为：001,002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为(　　)
A．26,16,8 B．25,17,8
C．25,16,9 D．24,17,9
[思路] 先求出分段的间隔数，得出抽取到的样本的编号，这些编号构成一个等差数列，再计算这个数列在三个营区的项数．
第53讲 │ 要点探究
第53讲 │ 要点探究
例3某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表格：
　探究点3　分层抽样
产品类别 A B C
产品数量(件) 1300
样本容量(件) 130
由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________件．
第53讲 │ 要点探究
[点评]分层抽样解题的关键是抽取比例，比例确定之后，各层以同一比例抽取样本，这样就保证了各个个体被抽取的机会均等．在求解的过程中，要注意比例的性质、解方程的方法的应用．
第53讲 │ 要点探究
1 某校有300名老师与3719名学生，为参加2010—2011年CHBL(全国高中篮球联赛)选拔赛的运动员加油助威，学校决定从中抽取40人组成啦啦队，规定采用下列方法选取：先利用简单随机抽样方法，从3719名学生中剔除19人，然后用分层抽样在老师与学生中确定样本数，再按系统抽样方法抽取，下列对于这4019人中，每人入选的可能性叙述正确的是(　　)
第53讲 │ 要点探究
1 [思路] (1)随机抽样抽取样本，每个个体被抽到的机会均等；(2)先求出抽取比例，再用这个比例分别乘以各层的人数，即得各层应抽取的人数．
第53讲 │ 要点探究
2 [2010·四川卷] 一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是(　　)
A．12,24,15,9 B．9,12,12,7
C．8,15,12,5 D．8,16,10,6
第53讲 │ 要点探究
2 [思路] 先求出抽取比例，再用这个比例分别乘以各层的人数，即得各层应抽取的人数．
第53讲 │ 规律总结
规律总结
1．简单随机抽样
简单随机抽样是最简单、最基本的抽样，比较容易理解，步骤性强，操作方便．关键是掌握操作步骤．随机数表法的操作要点：编号、选起始数、读数、获取样本；抽签法的操作要点：编号、制签、搅匀、抽取．
2．系统抽样
系统抽样又称为等距抽样，号码序列一确定，样本就确定了，但有时也不是按一定间隔抽取的．应用系统抽样方法抽样时，要注意其一般步骤．
第53讲 │ 规律总结
3．应用分层抽样应遵循的两点
(1)分层，将相似的个体归为一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即不重复不遗漏．
(2)分层保证每个个体等可能被抽取，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与样本与总体容量的比相等．
4．三种常用的抽样方法
简单随机抽样、系统抽样和分层抽样是三种常用的抽样方法，但不管采用哪种抽样方法，抽样过程中每一个个体被抽取的机会都相等．简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法，在进行系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样方法，而系统抽样是应用最广泛的抽样方法，尤其适应于工业生产线上质量控制问题的抽样．
第54讲 │ 用样本估计总体
第54讲　用样本估计总体
知识梳理
第54讲 │ 知识梳理
最大值与最小值
1．列频率分布表、画频率分布直方图的步骤
(1)计算极差，即计算一组数据中_________________的差；
(2)决定组距与组数；
(3)将数据分组；
(4)列频率分布表；
(5)画频率分布直方图．
注：①频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．直角坐标系中的纵轴表示频率与组距的比值，即
第54讲 │ 知识梳理
第54讲 │ 知识梳理
2．总体密度曲线
连接频率分布直方图中各个小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为______密度曲线．总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息．
总体
第54讲 │ 知识梳理
3．茎叶图的制作方法
将所有的两位数的十位数字作为茎(若是三位数，则将百位，十位数字作为茎)，个位数字作为叶，若是两组数据，则共用一个茎，茎按从小到大的顺序从上向下排列，共茎的叶一般按从大到小或从小到大同行列出．在制作茎叶图时，重复的数字要重复记录，不能遗漏，特别是叶的部分，同一数据出现几次，就要在图中列出几次．
第54讲 │ 知识梳理
4．众数、中位数与平均数
(1)众数：一组数据中出现______最多的数据叫做众数；
(2)中位数：将一组数据从小到大(或从大到小)依次排列，把______数据(或______________的平均数)叫做中位数，中位数把样本数据分成了相同数目的两部分；
(3)平均数：x1，x2，…，xn的平均数 ＝_________________.
注：由于众数仅能刻画某一数据出现的次数较多，中位数对极端值不敏感，而平均数又受极端值左右，因此这些因素制约了仅依赖这些数字特征来估计总体数字特征的准确性．
次数
中间
中间两数据
第54讲 │ 知识梳理
5．标准差与方差
考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差．标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．
s＝____________________________________________.
标准差的平方s2叫做方差，
s2＝________________________________________________，
其中xn是__________，n是__________， 是________．
第n个数
样本容量
平均数
要点探究
第54讲 │ 要点探究
　探究点1　用样本的频率分布估计总体分布
例1 某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(kg)数据进行整理后分成五组，并绘制频率分布直方图(如图54－1所示)．根据一般标准，高三男生的体重超过65 kg属于偏胖，低于55 kg属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25,0.20，0.10，0.05，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为(　　)
第54讲 │ 要点探究
A．1000,0.50 B．800,0.50
C．800,0.60 D．1000,0.60
第54讲 │ 要点探究
例1　 [思路] 先求第二小组的频率，结合其频数，就可以得出男生总数，正常体重学生所占频率为第二和第三小组频率之和．
第54讲 │ 要点探究
第54讲 │ 要点探究
从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下(单位：分)：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100)，8.
成绩分组 频数 频率 频率/组距
[40,50) 2
[50,60) 3
[60,70) 10
[70,80) 15
[80,90) 12
[90,100) 8
合计 50
第54讲 │ 要点探究
第54讲 │ 要点探究
(1)完成样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；
(3)估计成绩在[60,90)分的学生比例；
(4)估计成绩在85分以下的学生比例．
　 [思路] (1)由频率的计算公式求出各个频率，再求出频率/组距，完成表格；(2)直接画出频率分布直方图和频率分布折线图；(3)成绩在[60,90)分的学生比例即为[60,90)内的频率之和；(4)计算85分以下的学生比例时，[80,90)内的频率只取一半，即0.12.
第54讲 │ 要点探究
[解答] (1)频率分布表如下：
成绩分组 频数 频率 频率/组距
[40,50) 2 0.04 0.004
[50,60) 3 0.06 0.006
[60,70) 10 0.2 0.02
[70,80) 15 0.3 0.03
[80,90) 12 0.24 0.024
[90,100) 8 0.16 0.016
合计 50 1 0.1
第54讲 │ 要点探究
(2)频率分布直方图和折线图如图所示：
第54讲 │ 要点探究
(3) 成绩在[60,90)分的学生比例为：0.2＋0.3＋0.24＝0.74＝74%.
(4) 成绩在85分以下的学生比例为：1－(0.12＋0.16)＝1－0.28＝0.72＝72%.
　探究点2　利用茎叶图估计总体分布
例2 从两个班中各随机地抽取10名学生，他们的数学成绩如下：
第54讲 │ 要点探究
甲班 76 74 82 96 66 76 78 72 52 68
乙班 86 84 62 76 78 92 82 74 88 85
画出茎叶图并分析两个班学生的数学学习情况．
例2[思路] 画出茎叶图，根据图形分析．
第54讲 │ 要点探究
[解答] 画出茎叶图如图．由图可以看出，在70分～80分之间，甲班有5人，乙班有3人，在80分～90分之间，甲班有1人，乙班有5人，所以乙班的高分人数多于甲班，因此乙班总体成绩优于甲班．
第54讲 │ 要点探究
某公司甲、乙两名职员，自进入公司以来的阶段考核成绩如下：
甲的得分：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107；
乙的得分：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.
画出两人考核成绩的茎叶图，请根据茎叶图对两人的成绩进行比较．
[思路] 画出茎叶图后，可以大致看出平均成绩的高低和稳定程度．
[解答] 甲、乙两人考核成绩的茎叶图如图．
第54讲 │ 要点探究
从这个茎叶图上可看出，乙的得分情况是大致对称的，中位数是98；甲的得分情况除一个特殊得分外，也大致对称，中位数是88.因此乙成绩比较稳定，总体得分情况比甲好．
　探究点3 用样本数字特征估计总体数字特征
第54讲 │ 要点探究
例3 某医院急诊中心关于病人等待急诊的时间记录如下(单位：分钟)：
等待时间 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25]
频数 4 8 5 2 1
用上表分组资料计算病人平均等待时间的估计值．
例3[思路] 先求出各个时间段的等待总时间的估计值，再求总的平均等待时间的估计值．
第54讲 │ 要点探究
第54讲 │ 要点探究
样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为(　　)
[思路]先利用平均数公式求出a，再利用方差公式求出方差．
第54讲 │ 规律总结
规律总结
1．众数、中位数、平均数的异同
(1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．
(2)平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动，而中位数和众数都不具备此性质．
(3)众数考查各数据出现的频率，当一组数据中有不少数据多次出现时，众数往往更能反映问题．
(4)中位数仅与数据的排列位置有关，中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．
第54讲 │ 规律总结
2．茎叶图刻画数据的优点
(1)所有数据信息都可以在茎叶图中看到．
(2)茎叶图便于记录和表示，且能够展示数据的分布情况．
3．利用频率分布直方图估计样本的数字特征
(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．
(2)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(3)众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形底边的中点的横坐标．
第55讲 │ 变量的相关性与统计案例
第55讲　变量的相关性与统计案例
知识梳理
第55讲 │知识梳理
1．变量与变量之间的关系大致可分为两种类型：确定的______关系和不确定的相关关系．
2．两个变量的关系可通过它们所对应的点在平面上表现出来，这些点对应的图形叫做______图．
3．若两个变量的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称这两个变量是____________的，而若所有点看上去在____________附近波动，则称此相关为非线性相关，如果所有点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间________．
4．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个
　
　
函数
散点
线性相关
某条曲线
不相关
第55讲 │知识梳理
变量的这种相关关系称为________，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为________．　
5．从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，则这条直线叫____________．
6．假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，且所求回归方程是 ＝ x＋ ，其中 是回归方程的______， 是______，则有
正相关
负相关
回归直线
斜率
截矩
第55讲 │知识梳理
通过求Q＝(y1－bx1－a)2＋(y2－bx2－a)2＋…＋(yn－bxn－a)2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．
7．回归分析的基本思想及其初步应用
(1)回归分析是对具有______关系的两个变量进行统计分析的方法，其常用的研究方法步骤是画出________，求出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预报．
(2)对n个样本数据(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)，________称为样本点的中心．
(3)除用散点图外，还可以用样本相关系数r来衡量两个变量x，y相关关系的强弱，其中
相关
散点图
第55讲 │知识梳理
第55讲 │知识梳理
当r＞0，表明两个变量________，当r＜0，表明两个变量________，r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间____________线性相关关系，通常|r|________时，认为这两个变量具有很强的线性相关关系．
(4)用相关指数R2来刻画回归的效果，公式是
正相关
负相关
几乎不存在
＞0.75
第55讲 │知识梳理
R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果______．
8．独立性检验的基本思想及其初步应用
(1)若变量的不同“值”表示____________________，则这类变量称为分类变量．
(2)列出的两个分类变量的______表，称为列联表．
(3)利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为____________．
独立性检验公式K2＝_____________________.
(4)在独立性检验中，常用______________和______________来直观地反映数据情况．
越好
个体所属的不同类别
频数
独立性检验
二维条形图
三维柱形图
要点探究
第55讲 │要点探究
　探究点1　线性相关关系的判定
例1 观察下列各图形：
第55讲 │要点探究
其中两个变量x、y具有相关关系的图形是(　　)
A．①② B．①④
C．①②④ D．②③④
例1　[思路]根据相关关系的概念直接判断．
C　[解析] 相关关系有两种情况：所有点看上去都在一条直线附近波动，是线性相关；若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，是非线性相关．由图可以看出，①②是线性相关，④是非线性相关的．只有③是不相关的．选C.
[点评]散点图的最大优点就是直观，并且制作散点图也较为方便，因此散点图在判断两个变量是否相关的过程中起着重要作用．
第55讲 │要点探究
[2010·赣州模拟] 某种产品的广告支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应关系：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
试对变量y与x进行相关性检验．
[思路] 判断两变量有无线性相关关系有两种方法：画出散点图和计算相关系数r.
第55讲 │要点探究
[解答] (1)方法一：利用散点图进行相关性检验．
观察散点图中各点，发现它们都集中在一条直线附近，因此判断y与x有线性相关关系．
第55讲 │要点探究
第55讲 │要点探究
要点探究
第55讲 │要点探究
　探究点2　回归直线方程的求法及应用
例2 2010年12月某班主任为了对本班学生的月考成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．
(1)如果按性别比例分层抽样，应选男、女生各多少人？
(2)随机抽取8位，若这8位同学的数学、物理分数对应如表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学成绩x 60 65 70 75 80 85 90 95
物理成绩y 72 77 80 84 88 90 93 95
第55讲 │要点探究
根据上表数据用散点图说明物理成绩y与数学成绩x之间是否具有线性相关性．如果具有线性相关性，求y与x的线性回归方程(系数精确到0.01)；如果不具有线性相关性，请说明理由．
第55讲 │要点探究
第55讲 │要点探究
[点评]求线性回归方程，首先要对两个变量是否具有线性相关性进行判断，判断的方法有两个：一是用散点图进行判断，二是利用相关系数的强弱(计算复杂)．当两个变量没有相关关系时，即使可以求出线性回归方程，该方程也是没有实际意义的．
第55讲 │要点探究
　探究点3　独立性检验的基本思想及应用
例3 [2010·辽宁卷] 为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.
(1)甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；
(2)表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2)
表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表：
疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80)
频数 30 40 20 10
第55讲 │要点探究
表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表：
疱疹面积 [60,65) [65,70) [70,75) [75,80) [80,85)
频数 10 25 20 30 15
①完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；
第55讲 │要点探究
②完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．
第55讲 │要点探究
疱疹面积小于70 mm2
疱疹面积不小于70 mm2
合计
注射药物A a＝　　　　　 b＝　　　　　
注射药物B c＝　　　　　 d＝　　　　　
合计 n＝
表3：
第55讲 │要点探究
例3　[解析]第(1)题，直接利用组合数求出概率；第(2)题的第①题，根据表1和表2，求出频率，再求出，完成频率分布直方图，再根据直方图比较两个中位数的大小．第②题，根据表1和表2完成2×2列联表，再计算K2统计量，根据临界值进行判断．
[解答] (1)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为
第55讲 │要点探究
(2)①
第55讲 │要点探究
可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数．
②表3：
疱疹面积小于
70 mm2 疱疹面积不小于
70 mm2 合计
注射药物A a＝70 b＝30 100
注射药物B c＝35 d＝65 100
合计 105 95 n＝200
第55讲 │要点探究
第55讲 │要点探究
在调查的400名男性中有35名患有色盲症，600名女性中有8名患有色盲症，将统计数据制成了如图55－3 所示的二维条形图，该图可以说明的问题是(　　)
A．色盲与性别没有关系，因为男女都有色盲
B．由此二维条形图得不到什么结论
C．色盲与性别的关系不能确定
D．色盲与性别是有关系的，究竟有多大关系，还要进一步研究
第55讲 │要点探究
　 [思路]通过二维条形图和色盲患者的比例来说明问题．
第55讲 │ 规律总结
规律总结
1．对两个变量的相关性关系情况的判断有两个方法：一是根据散点图，这种方法是从图形上粗略地观察，比较直观、简单易行，但往往对相关程度刻画的不够准确；二是计算相关系数法，这种方法能比较准确地反映相关程度，相关系数的绝对值越接近1，相关性就越强，相关系数就是描述相关性强弱的，相关性有正相关和负相关，强相关和弱相关．
2．建立回归模型的步骤：
(1)确定研究对象，明确解释变量和预报变量；
(2)画出散点图，观察它们之间的关系(如是否具有线性相关关系)；
第55讲 │ 规律总结(共307张PPT)
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第4讲　函数及其表示　
第5讲 函数的单调性与最值
第6讲 函数的奇偶性和周期性
第7讲 二次函数
第8讲 指数与指数函数
第9讲 对数与对数函数
第10讲 幂函数与函数的图象
第二单元　函数与导数
第11讲　函数与方程　
第12讲 函数模型及其应用
第13讲 导数及其运算
第14讲 导数的应用
第15讲 定积分与微积分基本定理
第二单元　函数与导数
知识框架
第二单元 │ 知识框架
第二单元 │ 知识框架
考纲要求
第二单元 │ 考纲要求
1．函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函数)
(1)函数
①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．
②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
③了解简单的分段函数，并能简单应用．
④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
⑤会运用函数图象理解和研究函数的性质．
第二单元 │ 考纲要求
(2)指数函数
①了解指数函数模型的实际背景．
②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．
④知道指数函数是一类重要的函数模型．
第二单元 │ 考纲要求
第二单元 │ 考纲要求
第二单元 │ 考纲要求
(5)函数与方程
①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
②根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
(6)函数模型及其应用
①了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．
②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．
第二单元 │ 考纲要求
2．导数及其应用
(1)导数概念及其几何意义
①了解导数概念的实际背景．
②理解导数的几何意义．
第二单元 │ 考纲要求
第二单元 │ 考纲要求
(3)导数在研究函数中的应用
①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
(4)生活中的优化问题
会利用导数解决某些实际问题．
(5)定积分与微积分基本定理
①了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念；
②了解微积分定理的含义．
命题趋势
第二单元 │ 命题趋势
纵观近几年新课标各省市的高考试卷，函数的主干知识、函数的综合应用函数与导数以及函数与方程的重要思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一，在选择题、填空题、解答题中都有函数试题，其特点是：稳中求变，变中求新、新中求活，试题设计既有传统的套用定义、简单地使用性质的试题，也有挖掘本质，活用性质，出现了不少创新情境、新定义的信息试题，以及与实际密切联系的应用题，和其他知识尤其是数列、不等式、几何等知识交汇的热点试题．
另外还具有以下特点：
第二单元 │ 命题趋势
1．以具体的二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等函数的概念、性质和图象为主要考查对象，适当考查分段函数、抽象函数；
2．把函数知识与方程、不等式、解析几何等内容相结合，重点考查学生的推理论证能力、运算求解能力和数学综合能力；
3．突出考查等价转化、函数与方程、分类讨论、数形结合、待定系数法、配方法、构造法等数学思想方法；
4．在选择题和填空题中出现，主要以导数的运算、导数的几何意义、导数的应用为主(研究函数的单调性、极值和最值等)；
5．在解答题中出现，有时作为压轴题，主要考查导数的综合应用，往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起，考查学生的分类讨论，转化化归等思想．
第二单元 │ 命题趋势
函数是高中数学的主要内容，它把中学数学的各个分支紧密地联系在一起，是中学数学全部内容的主线，预测2012年高考在选择题、填空题中主要考查函数的概念、性质和图象、导数的概念及运算，解答题主要以函数为背景，与导数、不等式、数列、甚至解析几何等知识相整合设计试题，考查函数知识的综合应．预测2012年高考试题对本部分内容的考查将以小题和大题的形式出现，小题主要考查导数的概念、几何意义、导数的运算，大题主要以函数为背景，以导数为工具，考查应用导数研究函数的单调性、极值或最值问题，在函数、不等式、解析几何等知识网络交汇点命题．
第二单元 │ 使用建议
第二单元 │ 使用建议
第二单元 │ 使用建议
第二单元 │ 使用建议
第二单元 │ 使用建议
第二单元 │ 使用建议
第4讲 │ 函数及其表示
第4讲　函数及其表示
知识梳理
第4讲 │ 知识梳理
1．函数
(1)函数的定义：设A、B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有_____________的f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量， x的取值范围A叫做函数f(x)的________，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数f(x)的______，显然，{f(x)|x∈A} B.　
(2)构成函数的三要素是：________、__________、______.　
(3)函数的表示方法：________、________、________.
唯一确定
定义域
定义域
图象法
值域
值域
对应关系
列表法
　解析法
第4讲 │ 知识梳理
2．映射的定义：设A、B是两个非空的集合，如果按照___________的对应关系f，使对于集合A中的_________元素x，在集合B中都有________元素y和它对应， 那么就称对应f：A→B叫做从集合A到集合B的一个映射．
映射与函数的关系：函数是______的映射．
3．分段函数
分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量x的不同取值，____________可以不止一个，即对应法则“f”是分几段给出表达的，它是一个函数，不是几个函数．
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的______，其值域等于各段函数的值域的______．
4．函数解析式的求法
求函数解析式的常用方法：___________、_______、 ______、赋值法和函数方程法．
某一种确定
任意一个
唯一的
特殊
表示的式子
并集
并集
待定系数法
换元法
配方法
第4讲 │ 知识梳理
5．常见函数定义域的求法
(1)整式函数的定义域为__________；
(2)分式函数的分母不得为____；
(3)开偶次方根的函数被开方数为________；
(4)对数函数的真数必须_______；
(5)指数函数与对数函数的底数必须________________；
(6)三角函数中的正切函数y＝tanx，x∈R，且x≠____________；
(7)如果函数是____________确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围；
(8)对于抽象函数，要用整体的思想确定自变量的范围；
(9)对于复合函数y＝f[g(x)]，若已知f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域是不等式__________的解集．



全体实数
非负数
零
大于零
大于零且不等于1
实际意义
a≤g(x)≤b
要点探究
　探究点1　函数与映射的概念
第4讲 │ 要点探究
例1 已知集合A ＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在下列A到B的四种对应关系中，构成A到B的函数的是________．
图4－1
第4讲 │ 要点探究
[思路]利用函数的定义中的两个条件判断对应是否为函数．
(1)(3)　[解析] 对于(1)，集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应，因此(1)是函数；对于(2)，集合A中的元素4在B中没有元素与之对应，因此(2)不是函数；对于(3)，集合A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应，因此(3)是函数；对于(4)，集合A中的元素3在B中有两个元素与之对应，因此(4)不是函数．
[点评] 判断一个对应关系是否是映射或函数关系，关键抓住两个关键词“任意”、“唯一”，即x的任意性和y的唯一性，判断一个图象是否是函数图象也是如此，如：
第4讲 │ 要点探究
设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出图4－2中四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有
图4－2
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
第4讲 │ 要点探究
B　[解析] 根据函数的定义逐一判断．
对于图(a)，M中属于(1,2]的元素，在N中没有元素有它对应，不符合定义；
对于图(b)，M中任何元素，在N中都有唯一的元素和它对应，符合定义；
对于图(c)，与M对应的一部分元素不属于N，不符合定义；
对于图(d)，M中属于[0,2)的元素，在N中有两个元素与之对应，不符合定义，
由上分析可知，应选B.
第4讲 │ 要点探究
探究点2　函数的定义域的求法
第4讲 │ 要点探究
第4讲 │ 要点探究
第4讲 │ 要点探究
第4讲 │ 要点探究
第4讲 │ 要点探究
　探究点3　函数的值域的求法
第4讲 │ 要点探究
第4讲 │ 要点探究
第4讲 │ 要点探究
第4讲 │ 要点探究
第4讲 │ 要点探究
　探究点4　函数的值域的求法
第4讲 │ 要点探究
第4讲 │ 要点探究
　探究点5　分段函数
第4讲 │ 要点探究
第4讲 │ 规律总结
规律总结
1．判断一个对应是否为映射关键看是否满足“集合A中元素的任意性，集合B中元素的唯一性”；判断是否为函数一看是否为映射；二看A、B是否为非空数集．
2．求函数解析式常用的方法有：
(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消参法．
3．求函数定义域常有三类问题：
(1)给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量取值的集合；
(2)实际问题：函数的定义域的求解，除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；
第4讲 │ 规律总结
(3)复合函数：已知f(x)定义域求f(g(x))定义域或已知f(g(x))定义域求f(x)定义域问题，关键抓住一条：同一对应关系符号里面式子范围相同，即f(g(x))中g(x)相当于f(x)中的x.
4．解决分段函数问题既要紧扣“分段”这个特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化，还要注意每一区间端点的取值情况．
第5讲 │函数的单调性与最值
第5讲　函数的单调性与最值
增函数
第5讲 │知识梳理
知识梳理
减函数
增函数
减函数
(3)设复合函数y＝f，其中u＝g(x)．如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相同，那么y＝f是____函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相反，那么y＝f是____函数．
(4)利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
①任取x1，x2∈D，且x1③变形(通常是因式分解和配方)；
④判断符号(即判断f(x1)－f(x2)的正负)；
⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)．
(5)判断方法：
①定义法：在区间I上，函数值y随x的增大而增大，则函数在区
间I上为______，函数值y随x的增大而减小，则函数区间I上为______；
增
第5讲 │知识梳理
减
增函数
减函数
②图象法：在区间I上，如果函数的图象从左向右是上升的，则函数在区间I上为______，如果函数的图象从左向右是下降的，则函数在区间I上为______；
③导数法：设函数y＝f(x)在某区间I内可导，若f′(x)>0，则函数y＝f(x)为区间I上的______，若f′(x)<0，则函数y＝f(x)为区间I上的______；
④运算法：在公共定义域内，增函数＋增函数＝______，减函数＋减函数＝______；
⑤复合函数单调性的判断方法：“同增异减”，即若y＝f(x)和u＝g(x)的单调性相同，则函数y＝f(g(x))是_______，若y＝f(x)和u＝g(x)的单调性相反，则函数y＝f(g(x))是______；
第5讲 │知识梳理
增函数
增函数
增函数
减函数
减函数
减函数
减函数
增函数
(6)简单性质：奇函数在其关于原点对称区间上的单调性
_______，偶函数在其关于原点对称区间上的单调性_______．
2．函数的最值
对于函数f(x)，假定其定义域为A，则
(1)若存在x0∈A，使得对于任意x∈A，恒有f(x)≥f(x0)成立，则称f(x0)是函数f(x)的________；
(2)若存在x0∈A，使得对于任意x∈A，恒有f(x)≤f(x0)成立，则称f(x0)是函数f(x)的_________．
第5讲 │知识梳理
最小值
最大值
相同
相反
要点探究
　探究点1　判断、证明函数的单调性
第5讲 │要点探究
例1 [ 2010·黄浦模拟] 已知a、b是正整数，函数f(x)＝ax＋(x≠－b)的图象经过点(1,3)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断函数f(x)在(－1,0]上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．
第5讲 │要点探究
第5讲 │要点探究
第5讲 │要点探究
第5讲 │ 要点探究
判断函数f(x)＝x＋(a≠0)在区间上的单调性，并用定义加以证明．
第5讲 │ 要点探究
　探究点2　抽象函数与复合函数的单调性
第5讲 │要点探究
第5讲 │ 要点探究
第5讲 │要点探究
第5讲 │要点探究
第5讲 │ 要点探究
图5－1
　探究点3　与单调性有关的参数问题
第5讲 │要点探究
第5讲 │要点探究
　探究点4　利用函数单调性求最值
第5讲 │要点探究
第5讲 │要点探究
第5讲 │规律总结
第5讲 │规律总结
第6讲 │函数的奇偶性和周期性
第6讲　函数的奇偶性和周期性
知识梳理
第6讲 │ 知识梳理
1．函数的奇偶性
(1)函数奇偶性的定义
如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有_____________，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有__________，则称f(x)为偶函数．
如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性；如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是________，又是________．
f(－x)＝f(x)
奇函数
偶函数
f(－x)＝ － f(x)
第6讲 │ 知识梳理
(2)利用定义判断函数奇偶性的步骤
①首先确定______________，并判断其定义域是否关于_____对称；
②确定______与_____的关系；
③作出相应结论：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；若 f(－x) ＝－ f(x)或f(－x) ＋ f(x) ＝0，则f(x)是奇函数
函数的定义域
原点
f(－x)
f(x)
第6讲 │ 知识梳理
(3)函数奇偶性的简单性质
①奇函数的图象关于_____对称；偶函数的图象关于_____对称；
②在定义域的公共部分内，两个奇函数之积(商)为________；两个偶函数之积(商)也是________；一奇一偶函数之积(商)为________(注：取商时应使分母不为0)；
③奇(偶)函数有关定义的等价形式：
f(－x)＝-f(x)
f(－x) + f(x) ＝0( )
(f(x) ≠0)；
④若函数y＝ f(x)是奇函数且0是定义域内的值，则f(0)＝__；若函数f(x)是偶函数，则有f(|x|)＝ f(x) ．
原点
y轴
偶函数
偶函数
奇函数
0
第6讲 │ 知识梳理
(4)一些重要类型的奇偶函数
①函数f(x) ＝ax＋a－x(a>0且a≠1)为____函数，函数f(x) ＝ax－a－x(a>0且a≠1)为____函数；
②函数f(x) ＝loga (a>0，且a≠1)为奇函数；
③ f(x) ＝loga(x＋ )(a>0，且a≠1)为奇函数
偶
奇
第6讲 │ 知识梳理
f(x＋T)＝f(x)
2．周期性
(1)定义：如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有____________，则称f(x)为周期函数，其中T称为f(x)的周期．若T中存在一个最小的正数，则称它为f(x)的____________．
(2)性质：①f(x＋T)＝ f(x)常常写作f ＝f ；
② f(x)的周期为T，则函数f(wx)(w≠0)也是周期函数，且周
期为____．
最小正周期
要点探究
　探究点1　判断函数的奇偶性
第6讲 │ 要点探究
例1 判断下列函数的奇偶性：
第6讲 │ 要点探究
第6讲 │ 要点探究
第6讲 │ 要点探究
[点评]判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的定义域不关于原点对称，则函数不具有奇偶性；若定义域关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系；若定义域关于原点对称，且函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程(要保证定义域不变)．
第6讲 │ 要点探究
例2
(2)[2010·保定模拟] 已知函数y＝f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意x1，x2∈R，都有f(x1·x2)＝x1f(x2)＋x2f(x1)，则对函数f(x)，下列判断正确的是(　　)
A． f(x)为奇函数
B． f(x)为偶函数
C． f(x)为非奇非偶函数
D． f(x)既是奇函数又是偶函数
第6讲 │ 要点探究
[思路] (1)分段函数的奇偶性，要将x在每一段的情况都要验证，然后在整个定义域内得出f(－x)与f(x)的关系．
(2)对x1，x2合理赋值，利用函数的性质和已知条件，判断f(x)与f(－x)的关系．
第6讲 │ 要点探究
第6讲 │ 要点探究
　探究点2　函数奇偶性的性质及其应用
例3 [2010·广州模拟] 已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，求f(x)的解析式．
第6讲 │ 要点探究
[2010·江苏卷] 设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a＝______.
[思路] 利用奇偶函数的性质，得到参数a满足的方程．
－1 [解析] 本题考查函数的基本性质中的奇偶性，该知识点在高考考纲中为B级要求．
设g(x)＝ex＋ae－x，x∈R，由题意分析g(x)应为奇函数(奇函数×奇函数＝偶函数)，
∵x∈R，∴g(0)＝0，则1＋a＝0，所以a＝－1.
第6讲 │ 要点探究
　探究点3　函数的周期性
第6讲 │ 要点探究
第6讲 │ 要点探究
　探究点4　函数性质的综合应用
第6讲 │ 要点探究
第6讲 │ 要点探究
第6讲 │ 要点探究
第6讲 │ 要点探究
[点评]周期函数的研究方法是先研究周期函数在一个周期上的性质，再将它拓展到整个定义域上，这样，可简化对函数的研究．
第6讲 │ 规律总结
规律总结
1．判定函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇偶性的定义经过化简、整理，再将f(－x)与f(x)比较，得出结论．其中，分段函数的奇偶性应分段证明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时才能判断其奇偶性．
2．利用函数的奇偶性、周期性把研究整个定义域内具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上的问题，是简化问题的一种途径．
3．函数的奇偶性常与函数的其他性质及不等式结合出题，运用函数的奇偶性就是运用函数图象的对称性．
4．要善于发现函数特征，图象特征，运用数形结合，定向转化，分类讨论的思想，整体代换的手段，从而简化解决问题的程序，既快又准．
第7讲 │ 二次函数
第7讲　二次函数
知识梳理
第7讲 │ 知识梳理
1．二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式：________________________；
(2)顶点式：________________________；
(3)两根式：____________________________.
f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)
f(x) ＝a(x－m)2＋n(a≠0)
f(x) ＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
第7讲 │ 知识梳理
2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方法的步骤
f(x) ＝___________＝______________
＝
二次函数f(x) ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，
对称轴方程为________，顶点坐标是______________；当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下．
第7讲 │ 知识梳理
第7讲 │ 知识梳理
第7讲 │ 知识梳理
第7讲 │ 知识梳理
要点探究
　探究点1　求二次函数的解析式
第7讲 │ 要点探究
例 1 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试确定此二次函数的解析式．
第7讲 │ 要点探究
第7讲 │ 要点探究
第7讲 │ 要点探究
[点评] 二次函数的解析式有三种形式，分别为一般式，
顶点式及两根式，一般情况下，若给出抛物线过某三个点，
则选用一般式；若给出对称轴或顶点坐标，则选用顶点式；
当给出抛物线与x轴的两交点坐标，一般选用两根式．学会
根据题目的条件正确选择函数的解析式，从而简化运算，
如：
第7讲 │ 要点探究
(1)已知函数f(x)＝2x2＋bx＋c，当－32时，f(x)>0，则b＝___，c＝____.
(2)二次函数f(x)，对任意的x都有f(x) ≥f(1)＝－2恒成立，且f(0)＝1，则f(x)＝___________.
(3)已知f(x)是二次函数，且满足f(x＋1)－2f(x－1)＝x2－2x＋17，则f(x) ＝______________.
2
-12
3x2－6x＋1
－x2－4x－28
第7讲 │ 要点探究
第7讲 │ 要点探究
　探究点2　二次函数在闭区间上的最值
例 2 试求二次函数f(x)＝x2＋2ax＋3在区间[1,2]上的最小值．
[解答] f(x)＝x2＋2ax＋3＝(x＋a)2＋3－a2.
当－a<1，即a>－1时，函数在区间[1,2]上为增函数，故此时最小值为f(1)＝2a＋4；
当1≤－a≤2，即－2≤a≤－1时，函数的最小值为f(－a)＝－a2＋3；
当－a>2，即a<－2时，函数在区间[1,2]上为减函数，此时最小值为f(2)＝4a＋7.
综上可知，当a<－2时，最小值为4a＋7；当－2≤a≤－1时，最小值为－a2＋3；当a>－1时，最小值为2a＋4.
第7讲 │ 要点探究
已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1上有最大值2，求a的值．
第7讲 │ 要点探究
例 3 已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a为实常数)．
(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；
(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
　探究点3　二次函数的综合应用
[思路] 利用分类讨论思路，将函数转化为分段函数求解．
第7讲 │ 要点探究
第7讲 │ 要点探究
第7讲 │ 要点探究
设函数f(x)＝x2＋|2x－a|(x∈R，a为实数)．
(1)若f(x)为偶函数，求实数a的值；
(2)设a>2，求函数f(x)的最小值．
[思路]
(1)利用函数奇偶性的定义得到a满足的关系式；
(2)利用分段函数的最值的求解方法解决．
第7讲 │ 要点探究
第7讲 │ 规律总结
规律总结
1．对二次函数的三种表示形式，要善于运用题目隐含条件，恰当选择不同形式，简化运算．
2．二次函数、一元二次不等式和一元二次方程(统称三个二次)是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函数方程的思想方法将它们进行转化，是准确迅速解决此类问题的关键．
3．二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或顶点处取得，对于“轴变区间定”和“轴定区间变”两种情形，要借助二次函数的图象特征(开口方向、对称轴与该区间的位置关系)，抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合函数的单调性进行分类讨论和求解．
第8讲 │ 指数与指数函数
第8讲　指数与指数函数
知识梳理
第8讲 │ 知识梳理
1
　　
第8讲 │ 知识梳理
a
ar＋s　　
第8讲 │ 知识梳理
(3)有理指数幂的运算性质
①aras＝______(a＞0，r、s∈Q)．
②(ar)s＝______(a＞0，r、s∈Q)．
③(ab)r＝______(a＞0，b＞0，r∈Q)．
ars
arbr
第8讲 │ 知识梳理
2．指数函数
指数函数
定义式 y＝ax(0＜a＜1) y＝ax(a＞1)
定义域 (－∞，＋∞)
值域 (0，＋∞)
图象
性质 过定点(0,1)
减函数 增函数
x≥0时，0x＜0时，y＞1 x≥0时，0x＜0时，0＜y＜1
要点探究
　探究点1　指数幂的化简与求值
　　
第8讲 │ 要点探究
例1
第8讲 │ 要点探究
　[思路]
(1)将负指数化为正指数．
(2)题目中的式子既有分数指数幂又有根式，把它们统一成分数指数幂，以便于用法则运算，如果不符合法则应创设条件去求．
第8讲 │ 要点探究
第8讲 │ 要点探究
　　[点评] 分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此，根式的运算可以转化为分数指数幂的运算．对指数幂的运算：①要熟练掌握根式与分数指数幂的转换关系；②要熟练掌握指数幂的运算法则和乘法公式；③运算程序化，即先把根式化为分数指数幂并尽量化简，再应用指数幂的运算法则和乘法公式．
第8讲 │ 要点探究
第8讲 │ 要点探究
　探究点2　指数函数的图象与应用
　　
第8讲 │ 要点探究
例2
第8讲 │ 要点探究
第8讲 │ 要点探究
　探究点3　指数函数的性质
　　
第8讲 │ 要点探究
例3
　[思路] 利用定义法判断函数的奇偶性和单调性，并结合单调性求函数的值域．
第8讲 │ 要点探究
第8讲 │ 要点探究
　探究点4　指数函数的性质的综合应用
　　
第8讲 │ 要点探究
第8讲 │ 要点探究
第8讲 │ 要点探究
规律总结
第8讲 │规律总结
1．利用分数指数幂进行根式的运算，其顺序是先把根式转化为分数指数幂，再根据分数指数幂运算性质进行计算．
2．指数函数型的解题方法及一般规律
(1)指数函数的底数a>0且a≠1，这是隐含条件．
(2)指数函数y＝ax的单调性与底数a与1的大小有关，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
第8讲 │规律总结
(3)比较两个指数幂大小时，尽量化同底或同指，当底数相同、指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同、底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；如果底数和指数都不同，利用中间变量0或1比较大小．
(4)解简单的指数不等式时，当底数含参数，且底数与1的大小不确定时，注意分类讨论．
第9讲 │ 对数与对数函数
第9讲　对数与对数函数
知识梳理
第9讲 │ 知识梳理
logaN(a>0，a≠1，N>0)
10
　lgN　
e
　lnN
　　
第9讲 │ 知识梳理
logaM＋logaN　
logaM－logaN
nlogaM　
　　
第9讲 │ 知识梳理
b
0
N
对数函数
定义式 y＝logax(01)
定义域
值域
图象
性质 过定点(1,0)
减函数 增函数
x≥1时，y≤1；
0＜x＜1时，y＞0 x≥1时，y≥0；
0＜x＜1时，y＜0
y＝logax与y＝ax的图象关于y＝x对称
第9讲 │ 知识梳理
4．对数函数的图象和性质
　　
第9讲 │ 知识梳理
反函数
直线y＝x
要点探究
　探究点1　对数式的化简与求值
　　
第9讲 │ 要点探究
例1
第9讲 │ 要点探究
　[思路] (1)熟练运用对数运算性质和法则进行运算； (2)因f(x)是分段函数，故先判断自变量的范围，再选择合适的解析式，同时注意对数恒等式的运用；(3)当指数的取值范围扩充到有理数后，对数运算就是指数运算的逆运算．因此，当一个题目中同时出现指数式与对数式时，一般要把问题转化，即统一到一种表达式．
第9讲 │ 要点探究
第9讲 │ 要点探究
　　[点评]熟练运用对数式的运算公式和对数的性质是解决本题的基础和前提．运用对数的运算法则时，要注意取值范围，同时不要将积、商、幂的对数与对数的积、商、幂混淆．
涉及对数之积的形式无法直接使用对数的运算性质，可先因式分解再使用．如
第9讲 │ 要点探究
计算：
　探究点2　对数函数的图象与性质
　　
第9讲 │ 要点探究
例2 [2010·南京模拟]
第9讲 │ 要点探究
[思路] (1)利用函数奇偶性的定义，列出m所满足的方程；(2)严格按照用定义证明函数单调性的步骤进行；(3)利用函数的单调性，脱掉符号“f”求解．
第9讲 │ 要点探究
第9讲 │ 要点探究
第9讲 │ 要点探究
　探究点3　与指数函数、对数函数有关的大小比较
　　
第9讲 │ 要点探究
例3 [2010·全国卷Ⅰ]
[思路] 利用中间变量比较大小．
第9讲 │ 要点探究
第9讲 │ 要点探究
　探究点4　指数函数的性质的综合应用
第9讲 │ 要点探究
例4
第9讲 │ 要点探究
规律总结
第9讲 │规律总结
1．应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”问题的关键．
2．指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，可以从概念、图象、性质几方面了解它们间的联系与区别．
3．对数函数的真数和底数应满足的条件是求解有关对数问题时必须予以特别重视的，另外对数函数问题尽量化同底，以方便运算和运用性质．
第9讲 │规律总结
4．对数函数的性质主要是单调性，对数函数y＝ logax单调性与底数a与1的大小有关，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
5．利用对数函数的概念、图象、性质讨论一些复合函数的相应问题是常考题型，应注意数形结合、分类讨论、化归转化等数学思想方法的灵活运用．
第10讲 │ 幂函数与函数的图象
第10讲　幂函数与函数的图象
知识梳理
第10讲 │知识梳理
　
1．幂函数
(1)幂函数定义：一般地，形如______(α∈R)的函数称为幂函数，其中α为常数．
几种常见幂函数的图象：
图10－1
y＝xα
第10讲 │知识梳理
(2)幂函数性质
①所有的幂函数在__________都有定义，并且图象都过点______；
②α>0时，幂函数的图象通过______，并且在区间[0，
＋∞)上是________．特别地，当α>1时，幂函数的图象______；当0<α<1时，幂函数的图象______；
③α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是__________．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．
(0，＋∞)
(1,1)
增函数
原点
下凸
上凸
减函数
第10讲 │知识梳理
2．函数图象
以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即____________和____________．
描点法：
(1)作函数图象的步骤：①确定函数的________；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质，即________________________；④描点连线，画出函数的图象．
变换法：
(2)几种图象变换：平移变换、对称变换和翻折变换、伸缩变换等等；
列表描点法
　图象变换法
定义域
单调性、奇偶性、周期性
第10讲 │知识梳理
x轴方向
平移
|a|
第10讲 │知识梳理
关于y轴
第10讲 │知识梳理
原点
直线x＝a
第10讲 │知识梳理
③翻折变换：
Ⅰ.函数y＝|f(x)|的图象可以将函数y＝f(x)的图象的x轴下方部分沿________翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留____________________即可得到；
y＝f(x)的x轴上方部分
图10－2
x轴
第10讲 │知识梳理
Ⅱ.函数y＝f(|x|)的图象可以将函数y＝f(x)的图象右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分，并保留_____________________即可得到．
图10－3
y＝f(x)在y轴右边部分
第10讲 │知识梳理
纵坐标伸长(a>1)或压缩
(0第10讲 │知识梳理
(3)识图：图象的分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等．
3．函数图象的应用
(1)利用函数图象，研究函数的几何性质，如单调性、周期性、奇偶性、最值、零点、值域及定义域、对称性等；
(2)利用函数图象、数形结合的思想方法解题，将代数问题转化为平面解析几何问题处理．
要点探究
第10讲 │要点探究
　探究点1　集合的概念
第10讲 │要点探究
　探究点二　幂函数的图象与性质
[思路] 利用幂函数的奇偶性和单调性确定m的值，再由幂函数的单调性确定a的取值范围．
第10讲 │要点探究
[点评] 本题集幂函数概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质．由幂函数的定义求参数的取值范围时，要注意检验求得的参数是否符合题意，如：
第10讲 │要点探究
图10－4
第10讲 │要点探究
第10讲 │要点探究
　探究点3　幂函数的图象与性质
[思路] 根据各函数解析式的结构特征，分析其图象是由哪类初等函数经过何种变换而得．
第10讲 │要点探究
第10讲 │要点探究
第10讲 │要点探究
[点评] (1)利用描点法作函数图象的步骤是：列表、描点、连线，若对函数图象的形状比较熟悉，可不必列表，直接描点、连线；(2)利用图象变换作函数图象，关键是找出基本初等函数，将函数的解析式分解为只有单个变换的函数链，然后依次进行单一变换，最终得到所要的函数图象．
第10讲 │要点探究
　[思路] 先确定图象变换的种类，然后确定图象变换的顺序．
第10讲 │要点探究
第10讲 │要点探究
[点评] 将函数f(x)经过多种图象变换得到g(x)的图象，可能有多种不同的顺序，但不管按哪种顺序进行变换，都必须遵循“只能对函数关系式中的x、y进行变换”的原则，否则容易出错．
第10讲 │要点探究
　探究点4　函数图象的识别与应用
例 4 如图10－5所示，一质点P(x，y)在xOy平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在x轴上的投影点Q(x,0)的运动速度V＝V(t)的图象大致为(　　)
图10－5
图10－6
第10讲 │要点探究
　[思路] 从已知图形中封闭曲线入手，研究投影点Q(x,0)的速度的变化规律．
B　[解析] 由图可知，当质点P(x，y)在两个封闭曲线上运动时，投影点Q(x,0)的速度先由正到0、到负数，到负数，再到0，到正，故A错误，质点P(x，y)在开始时沿直线运动，最后阶段，由于点往上运动，因此速度越来越小，故投影点Q(x,0)的速度为常数，因此C是错误的，故选B.
第10讲 │要点探究
(1)有四个函数：①y＝x·sinx；②y＝x·cosx；③y＝x·|cosx|；④y＝x·2x的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是(　　)
图10－7
A．④①②③ B．①④③②
C．①④②③ D．③④②①
第10讲 │要点探究
(2)如图10－8，动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N.设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)
图10－8
图10－8
第10讲 │要点探究
第10讲 │规律总结
规律总结
1．幂函数y＝xa的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现的第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；在(0,1)上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠近x轴，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴；幂函数的单调性、奇偶性由指数决定．
2．作图
作图的常用方法有描点法和变换法，对前者，要注意对函数性质的研究；对后者，要熟悉常见函数及图象的变换法则，在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x、y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
第10讲 │规律总结
3．识图
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，注意图象与函数解析式中参数的关系．
4．用图
函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题路径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合思想的应用．
第11讲 │ 函数与方程
第11讲　函数与方程
知识梳理
第11讲 │知识梳理
　
　
1．一般地，如果函数y＝f(x)在实数a处的_______________，即________，则a叫做这个函数y＝f(x)的零点．
2．方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有______ 函数y＝f(x)有______．
3．①如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②并且满足___________．那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即至少存在一个c∈(a，b)，使________．满足上面条件①、②后，在(a，b)内存在的c不一定只有一个．
函数值等于零
f(a)＝0
交点
零点
f(a)·f(b)＜0
f(c)＝0
第11讲 │知识梳理
　
　
4．对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间__________，使区间的两个端点逐步逼近______，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
一分为二
零点
第11讲 │知识梳理
　
　
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的个数 __________________________________ ________________________________ ___________
函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数 ______________________ ___________________________ ____________
函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象
a>0
a<0
函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数 ______________________ ___________________ ___________
5．二次函数的零点：
有两个零点　
有两个不相等的实根
有两个相等的实根
无实根
有一个二重零点
无零点
有两个交点
有一个交点
无交点
第11讲 │要点探究
　
　
　探究点1　方程的根与函数的零点
要点探究
[思路] 分别确定分段函数在各段解析式中的零点个数．
第11讲 │要点探究
　
　
[点评] 函数f(x)的零点是一个实数(不是点)，就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此判断零点的个数就是判断方程f(x)＝0的实根个数，有时也可以根据函数图象的交点的个数来判断零点的个数，如：
B　[解析] 当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；当x＞0时，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，所以已知函数有2个零点，选B.
第11讲 │要点探究
　
　
求函数y＝lnx＋2x－6的零点个数．
[解答] 在同一坐标系画出y＝lnx与y＝6－2x的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y＝lnx＋2x－6只有一个零点．
第11讲 │要点探究
　
　
　探究点2　方程的根与函数的零点
　[思路] 对于区间上连续不断的函数，在区间[a，b]内寻根，往往需要利用零点的存在性定理判断，即判断f(a)f(b)<0是否成立．
第11讲 │要点探究
　
　
第11讲 │要点探究
　
　
[点评] 零点的存在性定理是判断连续不断的函数在区间[a，b]上是否存在零点的定理，该定理只能判断存在零点，不能判断区间[a，b]不存在零点，即如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上有f(a)f(b)>0，函数在区间[a，b]上也可能存在零点，如：
第11讲 │要点探究
　
　
第11讲 │要点探究
　
　
第11讲 │要点探究
　
　
　探究点3　二次函数零点的分布问题
例3 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；
(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．
　[思路] 设出二次方程对应的函数，画出相应的示意图，然后用函数性质对参数加以限制．
第11讲 │要点探究
　
　
第11讲 │要点探究
　
　
[点评] (1)本题综合考查了二次函数、二次方程以及二次不等式的基本关系，有效地训练对“三个二次”的整体理解与掌握，解题过程中的数形结合是数学的重要思想方法．
第11讲 │要点探究
　
　
求a为何值时，方程9－|x－2|－4·3－|x－2|－a＝0有实根．
第11讲 │要点探究
　
　
　探究点4　利用函数零点求参数
例4 (1)若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的值；
(2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．
第11讲 │要点探究
　
　
第11讲 │要点探究
　
　
第11讲 │要点探究
　
　
已知函数f(x)＝x|x－4|－5，当方程f(x)＝a有三个根时，求实数a的取值范围．
第11讲 │规律总结
　
　
规律总结
1．方程的根(从数的角度看)、函数图象与x轴的交点的横坐标(从形的角度看)、函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式．
2．函数零点的求法：
(1)代数法：利用公式法、因式分解法、直接法求方程f(x)＝0的根．
(2)几何法：对于不能用求根公式求解的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
(3)二分法：主要用于求函数零点的近似值．
第11讲 │规律总结
　
　
4．有关函数零点的重要结论
(1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多一个零点．
(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变，也可能改变．
5．用二分法求零点的近似解时，所要求的精确度ε不同，得到的结果也不同．精确度为ε是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算．精确度为0.001与精确到0.001是不同的．
第12讲 │ 函数模型及其应用
第12讲　函数模型及其应用
知识梳理
第12讲 │知识梳理
　
　
1．函数模型
常用函数模型
(1)一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)．
(2)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)．　
(3)指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a、b、c为常数，a≠0，b>0，b≠1)．
(4)对数函数模型：f(x)＝mlogax＋n(m、n、a为常数，a>0，m≠0，a≠1)．
(5)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)． (6)分段函数模型
第12讲 │知识梳理
　
　
2．三种函数模型的性质
在区间(0，＋∞)上，指数函数y＝ax(a>1)，对数函数y＝logax(a>1)，幂函数y＝xn(n>0)都是增函数，但它们增长速度不同．随着x的增大，指数函数y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于幂函数y＝xn(n>0)的增长速度，而对数函数y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，图象逐渐表示为与x轴趋于平行，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有logax3．函数模型的应用
(1)解答函数应用题的步骤：
①阅读理解：读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清题中出现的量及其数学含义．
第12讲 │知识梳理
　
　
②分析建模：分析题目中的量与量之间的关系，根据题意恰当地引入字母(包括常量与变量)，有时可借助列表、画图等手段来理顺数量关系，同时要注意由已知条件联想熟知的函数模型，以确定函数模型的种类，在对已知条件和目标变量的综合分析、归纳抽象的基础上，建立目标函数，将实际问题转化为数学问题．
③数学求解：利用相关的函数知识，进行合理设计，以确定最佳解题方案，进行数学上的求解计算．
④还原总结：把计算获得的结果还原到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答．
第12讲 │知识梳理
　
　
(2)在实际问题中建立函数模型的算法程序：
第一步：收集数据；
第二步：根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图；
第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；
第四步：选择其中的几组数据求出函数模型；
第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际．若不符合实际，则重复第三、四、五步；若符合实际，则进入下一步；
第六步：用求得的函数模型去解决实际问题．
第12讲 │知识梳理
　
　
以上过程可用程序框图表示如图12－1：
图12－1
第12讲 │要点探究
　
　
　探究点1 已知函数模型解决实际应用问题
要点探究
例1 某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件．经试销调查，发现销售量y与销售单价x(元/件)的图象可近似看作一条直线，该直线经过(600,400)和(700,300)两点．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元，试用销售单价x表示毛利润S，并求销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时销售量是多少？
第12讲 │要点探究
　
　
[思路] 根据函数图象，可知y是x的一次函数，利用待定系数法可求得函数关系式；然后利用“毛利润＝销售总价－成本总价”建立S与x的关系式，通过求函数的最值达到解题目的．
[解答] (1)由于y与x关系式的图象为一条直线，因此设y＝kx＋b，∴解得k＝－1，b＝1000，
∴y＝－x＋1000(500≤x≤800)；
第12讲 │要点探究
　
　
(2)S＝xy－500y＝x(－x＋1000)－500(－x＋1000)＝－(x－750)2＋62500(500≤x≤800)，∴当销售单价是750元/件时，可获得最大毛利润62500元，此时销售量为250件．
[点评] 以函数图象给出关系式的应用问题，先利用图象形状确定函数的类型，然后利用待定系数法求解；函数应用问题中，已知的等量关系也是解题的依据，它们常用来构造函数关系．
第12讲 │要点探究
　
　
第12讲 │要点探究
　
　
(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？
(2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟相比，何时学生的注意力更集中？
(3)一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需状态下讲授完这道题目？
第12讲 │要点探究
　
　
第12讲 │要点探究
　
　
第12讲 │要点探究
　
　
　探究点2　建立函数模型解决实际应用问题
例3 据气象中心观察和预测：发生于M地的
沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)
与时间t(h)的函数图象如图12－2所示，过线段OC
上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左
侧部分的面积 即为t(h)时间内沙尘暴所经过的路程s(km)．
(1)当t＝4时，求s的值；
(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．
图12－2
第12讲 │要点探究
　
　
第12讲 │要点探究
　
　
第12讲 │要点探究
　
　
第12讲 │要点探究
　
　
例 4 芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：
上市时间t 50 110 250
种植成本Q 150 108 150
第12讲 │要点探究
　
　
(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝alogbt；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时上市天数及最低种植成本．
第12讲 │要点探究
　
　
[解答] (1)由所提供的数据可知，反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，故用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝alogbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，而上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．
第12讲 │要点探究
　
　
第12讲 │规律总结
　
　
规律总结
1．把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好三关：
(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找突破口．
(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系．
(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．
第12讲 │规律总结
　
　
2．高考数学试题中联系生活实际和生产实际的应用问题，其创意新颖，设问角度独特，解题方法灵活，一般文字叙述长，数量关系分散且难以把握，解决此类问题的关键要认真审题，确切理解题意，进行科学的抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题，然后利用函数、方程、不等式等有关知识解答．
3．解答数学应用题时，一定要注意函数的定义域，否则极易出错．
第13讲 │ 导数及其运算
第13讲　导数及其运算
知识梳理
第13讲 │ 知识梳理
f′(x0)或y′|x＝x0
导函数
导数
第13讲 │ 知识梳理
3．导数的几何意义
(1)设函数y＝f(x)在x0处可导，则f′(x0)表示曲线上相应点M(x0，y0)处的____________，点M处的切线方程为______________________．
(2)设s＝s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在t0时刻的____________．
(3)设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的________．
4．几种常见函数的导数
(1)C是常数，则C′＝____；　　
(2)(xn)′＝______(n∈Q*)；
切线的斜率
y－y0＝f′(x0)(x－x0)
瞬时速度
加速度
0
第13讲 │ 知识梳理
cosx
－sinx
u′±v′
u′v＋uv′
要点探究
　探究点1　导数的概念
第13讲 │ 要点探究
第13讲 │ 要点探究
[点评] 利用导数定义解题，要充分体会导数定义的实质，表达式不同，但表达的实质可能相同．比如下面的变式题：
第13讲 │ 要点探究
第13讲 │ 要点探究
　 [思路] 紧扣导数定义，正确理解增量Δx的实质．
B　[解析] 根据导数定义，分子中x0的增量应与分母相同，故选B.
第13讲 │ 要点探究
　探究点2　利用求导法则求导
第13讲 │ 要点探究
第13讲 │ 要点探究
第13讲 │ 要点探究
[点评] 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的作用，在实施化简时，要注意变换的等价性，避免不必要的失误．对于某些不满足求导法则条件的函数，可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成．
第13讲 │ 要点探究
第13讲 │ 要点探究
[点评] 对复合函数求导，应分析清楚复合函数的复合层次，“由外到内”逐层求导，在中学数学中一般复合函数的复合层次不超过3层．
第13讲 │ 要点探究
　探究点3　导数的几何意义
第13讲 │ 要点探究
第13讲 │ 要点探究
第13讲 │ 要点探究
第13讲 │ 要点探究
第13讲 │ 规律总结
规律总结
1．函数f(x)的导数的实质是“增量之比的极限”，即瞬时变化率，f′(x0)是函数f(x)在导函数f′(x)当x＝x0时的函数值．
2．函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是指曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即f′(x0)＝k切，此时切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．准确理解曲线的切线，需要注意的两个问题
(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个以上公共点；
(2)曲线未必在其切线的同侧，如曲线y＝x3在其过(0,0)点的切线y＝0的两侧．
第13讲 │ 规律总结
4．要区分“过某点”的切线和“在某点”的切线不同，“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率，而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程．
5．利用导数公式求导数时，先要根据基本函数的定义，判断原函数是哪类基本函数，再套用相应的导数公式求解，切不可因判断函数类型失误而出错．另外，还要避免求导过程中指数或系数的运算失误．
第13讲 │ 规律总结
6．在求导数时，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用公式进行恒等变形可将函数转化为和或差形式，然后进行求导，这样可避免使用积、商的求导法则，从而减少运算量，提高运算速度，避免出错．
7．复合函数求导，必须搞清复合层次，不能有漏掉的环节，要适当选取中间变量，弄清每一步对哪个变量求导，用什么公式求导．
第14讲 │ 导数的应用
第14讲　导数的应用
知识梳理
第14讲 │知识梳理
　
1．函数的单调性
若函数f(x)在某区间内可导，则f′(x)>0 f(x)在该区间上_____ ____ ；f′(x)<0 f(x)在该区间上____________．
反之，若f(x)在某区间上单调递增，则在该区间上有_______恒成立；若f(x)在某区间上单调递减，则在该区间上有________恒成立．
2．函数的极值
(1)函数极值的定义
单调
递减
单调递增　
f′(x)≥0
f′(x)≤0
①已知函数y＝f(x)，设x0是定义域内任一点，如果对x0附近的所有点x，都有f(x)＜f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取________，记作______________，并把x0称为函数f(x)的一个__________；
②如果在x0附近都有f(x)＞f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取________，记作____________，并把x0称为函数f(x)的一个____________；
③极大值与极小值统称________，极大值点与极小值点统称为________．
(2)求函数极值的方法
极大值
第14讲 │知识梳理
y极大值＝f(x0)
极大值点
y最小值＝f(x0)
极小值
极小值点
极值
极值点
①第1步：求导数f′(x)；
②第2步：求方程f′(x)＝0的所有实数根；
③第3步：当f(x0)＝0时，如果在x0附近的左侧______，右侧________，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．
3．函数的最值
(1)函数f(x)在[a，b]上必有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象________________________，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的______；
第14讲 │知识梳理
f′(x)>0
f′(x)<0
f′(x)<0
f′(x)>0
是一条连续不断的曲线
极值
②将函数y＝f(x)的各极值与_________________________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
4．f(x)＞m恒成立等价于________；f(x)＜m恒成立等价于________．
5．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)有极大值为f(x1)，极小值为f(x2)，若函数有三个零点，则________________；函数有两个零点，则________________；函数有且仅有一个零点，则___________________．
第14讲 │知识梳理
端点处的函数值f(a)、f(b)
mm>f(x)max
f(x1)>0
f(x2)<0
f(x1)＝0或f(x2)＝0
要点探究
第14讲 │要点探究
　探究点1　利用导数研究函数的单调性
第14讲 │要点探究
第14讲 │要点探究
[点评] (1)利用导函数的性质确定函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，它是根据导函数的正负性确定函数的单调性；(2)两个单调递增区间不能“并”起来．函数的单调性是函数在某一区间内的性质，讨论函数的单调性应在函数的定义域范围内进行．
第14讲 │要点探究
如果函数y＝f(x)的图象如图14－1，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)
第14讲 │要点探究
[思路] 由原函数的图象变化趋势是“增、减、增、减”，运用“增则正，减则负”规律，即可判断导函数的图象．
A　
[解析] 由原函数的单调性可以得到导函数的正负性情况，依次是“正、负、正、负”，即导函数的图象与x轴的位置应是“上、下、上、下”，符合规律的只有A.
[点评] 解决此类问题时，审题应看清已知条件是导函数还是原函数，然后用“导数的正负性决定原函数的增减性”原则进行判断．
第14讲 │要点探究
已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；
(3)是否存在a，使f(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
[思路] (1)通过解f′(x)>0求单调递增区间；(2)转化为f′(x)>0在R上恒成立问题，求a；(3)假设存在a，则f(0)是f(x)的极小值，或转化为恒成立问题．
第14讲 │要点探究
[解答] (1)f′(x)＝ ex－a.若a≤0，f′(x)＝ex－a>0恒成立，即f(x)在R上递增．若a＞0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥lna，∴f(x)的递增区间为(lna，＋∞)．
(2)∵f(x)在R内单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立．∴ex－a≥0，即a≤ex在R上恒成立．∴a≤(ex)min，又∵ex＞0，∴a≤0.
(3)方法一：由题意知ex－a≤0在(－∞，0]上恒成立．∴a≥ex在(－∞，0]上恒成立．∵ex在(－∞，0]上为增函数，∴x＝0时，ex最大为1.∴a≥1，同理可知ex－a≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤ex在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1.
第14讲 │要点探究
综上所述，a＝1.
方法二：由题意知，x＝0为f(x)的极小值点．∴f′(0)＝0，即e0－a＝0，∴a＝1，经检验a＝1符合题意．
[点评] 已知函数f(x)在某区间内单调求参数问题，常转化为其导函数f′(x)在该区间内大于等于0(单调增函数)或小于等于0(单调减函数)恒成立问题．
第14讲 │要点探究
　探究点2　利用导数研究函数的极值与最值
例2 已知a∈R，讨论函数f(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)的极值点的个数．
第14讲 │要点探究
即此时f(x)有两个极值点．
(2)当Δ＝0即a＝0或a＝4时，方程x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)＝0有两个相同的实根x1＝x2.
由题易知f(x)无极值．
(3)当Δ<0即0第14讲 │要点探究
例3 函数f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．
[解答] 由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．
f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a>0时，列表如下：
x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2
f′(x) 15a ＋ 0 － －12a
f(x) －7a＋b ? b ? －16a＋b
第14讲 │要点探究
由上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝3，即b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，f(2)②当a<0时，同理可得b＝－29，a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
第14讲 │要点探究
[2010·宝鸡模拟] 已知函数f(x)＝axlnx在点(e，f(e))处的切线与直线y＝2x平行(其中e＝2.71828…)，g(x)＝x2－tx－2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[n，n＋2](n＞0)上的最小值；
(3)对一切x∈(0，e]，3f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围．
第14讲 │要点探究
第14讲 │要点探究
第14讲 │要点探究
　探究点3　导数在方程与不等式中的应用
例4 [2011·吉安模拟] 已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋a(a为常数)，若直线l与g＝f(x)和y＝g(x)的图象都相切，且l与y＝f(x)的图象相切于定点P(1，f(1))．
(1)求直线l的方程及a的值；
(2)当k∈R时，讨论关于x的方程f(x2＋1)－g(x)＝k的实数解的个数．
第14讲 │要点探究
第14讲 │要点探究
第14讲 │要点探究
第14讲 │要点探究
第14讲 │要点探究
第14讲 │要点探究
第14讲 │要点探究
　探究点4　生活中的优化问题
第14讲 │要点探究
第14讲 │要点探究
[点评] 用导数求解实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，然后转化为导数模型求解
第14讲 │要点探究
规律总结
1．函数的单调性、极值、最值都是定义域内的局部性质，因此利用导数讨论函数的性质时，首先要研究函数的定义域，再利用导数f′(x)解决．
2．通过判断函数定义域被导数为零的点或不可导点所划分的各区间内导数f′(x)的符号，来判断函数f(x)在该区间上的单调性；f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在区间(a，b)上成立只是f(x)在这个区间上是增函数(减函数)的充分条件，而不是必要条件，因此，由函数单调性求其所含参数的取值问题时，对于导数值为零的点需要单独验证，以免出错；当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，由于集合的并集运算“∪”其运算结果为一个整
第14讲 │规律总结
体，因此这些单调区间一般不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开.
3．根据极值的定义，导数为0的点只是可疑点，不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该点才是函数的极值点；另一方面，极值点处的导数也不一定为零，还要考查函数在该点处的导数是否存在．
4．一般地，要证明不等式f(x)>g(x)在区间Ⅰ上恒成立，则可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，通过讨论h′(x)在区间Ⅰ上的取值范围，判断出函数h(x)的单调性，然后由函数h(x)在区间Ⅰ上的一个初始值，证得不等式成立．
第14讲 │规律总结
5．导数是解决生产生活中最优化问题的通性通法，利用导数求实际问题的最值的一般步骤和方法如下：(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系y＝f(x)，并根据实际问题中的限制条件确定y＝f(x)的定义域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，得出方程所有实数根；(3)比较函数在各个区间端点和在极值点的取值大小，确定其最大值或最小值；(4)检验结果的实际意义，给出答案．
第14讲 │规律总结
第15讲 │ 定积分与微积分基本定理
第15讲　定积分与微积分基本定理
知识梳理
第15讲 │知识梳理
　
　
某个常数
被积函数
积分变量
被积式
积分下限
积分上限
第15讲 │知识梳理
　
　
直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积
直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数
第15讲 │知识梳理
　
　
第15讲 │知识梳理
　
　
F(b)－F(a)
原函数
第15讲 │要点探究
　
　
　探究点1　利用微积分基本定理及定积分的性质求定积分
要点探究
第15讲 │要点探究
　
　
第15讲 │要点探究
　
　
第15讲 │要点探究
　
　
第15讲 │要点探究
　
　
　探究点2　利用定积分的几何意义求定积分
　[思路] 画出被积函数的图象，求出对应图形的面积，由定积分的几何意义便可求出积分值．
第15讲 │要点探究
　
　
第15讲 │要点探究
　
　
　探究点3　定积分在求图形面积方面的应用
图15－1
第15讲 │要点探究
　
　
第15讲 │要点探究
　
　
　探究点4　定积分在物理方面的应用
例4 [2010·福州模拟] 一辆汽车的速度—时间曲线如图15－2所示，求该汽车在这一分钟内行驶的路程．
图15－2
第15讲 │要点探究
　
　
第15讲 │规律总结
　
　
规律总结
第15讲 │规律总结
　
　
3．利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：(1)画出函数的草图，确定积分变量；(2)求图象的交点，确定积分上、下限；(3) 将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和；(4)利用定积分求面积．(共79张PPT)
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第1讲　集合及其运算　
第2讲 命题、充要条件
第3讲 简单的逻辑联结词及量词
第一单元　集合与常用
逻辑用语
第一单元　集合与常用逻辑
用语
知识框架
第一单元 │ 知识框架
考纲要求
第一单元 │ 考纲要求
1．集合
(1)集合的含义与表示
①了解集合的含义、元素与集合的属于关系．
②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
(2)集合间的基本关系
①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
②在具体情境中，了解全集与空集的含义．
(3)集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并
第一单元 │ 考纲要求
集与交集．
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
③能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．
2．常用逻辑用语
(1)命题及其关系
①理解命题的概念．
②了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．
③理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
第一单元 │ 考纲要求
(2)简单的逻辑联结词
了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．
(3)全称量词与存在量词
①理解全称量词与存在量词的意义．
②能正确地对含有一个量词的命题进行否定．
命题趋势
第一单元 │ 命题趋势
本单元内容属于工具性知识，近两年新课标省份高考对本部分内容都有考查，考查题型都以选择题、填空题为主，分值在5～10分左右，难度以容易题和中档题为主，有时也出现难度较大的信息迁移题．另外对集合与常用逻辑用语的考查形式如下：
1.高考对集合的考查有两种形式：直接考查集合间的包含关系与交、并、补基本运算；以集合为工具考查集合语言和集合思想在方程、不等式等内容中的运用．
2.高考对常用逻辑用语有两种形式：直接考查涉及命题及其关系，逻辑联结词，充分条件、必要条件的判断，全称命题、特
第一单元 │ 命题趋势
称命题的否定等内容；以常用逻辑用语为工具考查逻辑推理能
力．
预测2012年高考仍以选择题、填空题为主要考查题型，难
度以容易题为主，以基本概念、基本方法为考查对象，以代数、
三角、立体几何、解析几何等知识为依托，重点考查集合的运
算，全称命题、特称命题的否定，判断特称命题、全称命题的
真假，确定充分(或必要)条件等内容．
第一单元 │ 使用建议
第一单元 │ 使用建议
第一单元 │ 使用建议
第1讲 │ 集合及其运算
第1讲　集合及其运算
知识梳理
第1讲 │ 知识梳理
元素
1．集合的含义与表示
(1)一般地，我们把研究对象统称为______，把一些元素组成的总体叫做______(简称为集)．
(2)集合中的元素有三个性质：________，________，________.　
(3)集合中元素与集合的关系分为______和________两种，分别用____和____表示．
(4)几个常用集合的表示法
集合
确定性
互异性
　无序性
　属于
　不属于
　 ∈　
　
第1讲 │ 知识梳理
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
表示法 　______ ____________ ______ ______ ______
(5)集合有三种表示法：________，________，________.
2.集合间的基本关系
表示
关系　　 文字语言 符号语言
相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 __________ A＝B
子集 A中任意一元素均为B中的元素 A B或B A
真子集 A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一元素不是A中的元素 A?B或B?A
空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 A， ? B(B≠ )
N　
N*或N＋
Z　
Q
R
列举法
描述法
Venn图法
A B且A B
第1讲 │ 知识梳理
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号
表示
A∪B A∩B 若全集为U，则集合A
的补集为______
图形
表示
意义 {x| ____________ } {x| ___________ } UA＝{x|______，______}
UA
x∈A或x∈B
x∈A且x∈B
且x A
x∈U
第1讲 │ 知识梳理
4．常见结论
(1)若集合A中有n个元素，则集合A的子集有____个，真子集有______个．
(2)并集：A∪B＝______，A∪A＝____，A∪ ＝____，A∪B____A，A∪B＝B A B.
(3)交集：A∩B＝______，A∩A＝____，A∩ ＝____，A∩B____A，A∩B＝A A B.
(4)补集：A∩( UA)＝____，A∪( UA)＝____.
(5) U(A∪B)＝____________， U(A∩B)＝___________.
2n
2n－1
B∪A
A　

A　
B∩A
A
　

U

要点探究
　探究点1 集合的概念
第1讲 │ 要点探究
例 1 已知A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，则实数a构成的集合B的元素个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
[思路] 由题意可知，集合A中的三个元素中必有一个为1，由此列出关于a的方程后求解，最后对结果进行检验．
B　[解析] 若1＝a＋2，则a＝－1.
∵a2＋3a＋3＝1＝a＋2，∴a＝－1不合题意．
若1＝(a＋1)2，则a＝0或a＝－2.
当a＝0时，A＝{2,1,3}．
第1讲 │ 要点探究
当a＝－2时(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1，不合题意，舍去，当a＝0时符合题意．
若1＝a2＋3a＋3，则a＝－1或a＝－2，
由上面结论可知，此时没有a符合题意．
∴满足条件的a的值为0.
[点评] 关于集合的概念求字母参数问题，通常的解法步骤：(1)对集合中元素的合理搭配；(2)列出方程组求出字母参数的值；(3)检验所求的参数值是不是满足集合元素的互异性以及符合题意．
第1讲 │ 要点探究
　探究点2　集合间关系
例 2 (1)已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}且M＝N，则有序实数对(a，b)的值为__________．
(2)设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B A，则实数a构成的集合为C＝__________.
[思路] (1)两集合相等，说明它们的元素完全相同，利用集合元素的无序性得到方程组，不难求解；(2)B A，说明B是A的子集，即集合B中元素都在集合A中，由此得到方程，从而求得参数a的值．
第1讲 │ 要点探究
第1讲 │ 要点探究
[点评] (1)解决此类问题，应利用集合间的相关定义，首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等，有几种情况，然后列出方程组求解．(2)由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此利用A B解决问题时，要注意对集合A是否为空集进行讨论，解题时不要漏掉这一点；另外，合理利用数轴和Venn图帮助分析与求解是避免出错的一个有效手段，这也是数与形的完美结合之所在，如：
第1讲 │ 要点探究
(1)[2010·浙江卷] 设P＝{x<4}，Q＝{x2<4}，则(　　)
A．P Q B．Q P
C．P RQ D．Q RP
(2)[2010·宝鸡模拟] 已知全集U＝R，集合A＝{x|x＝2n，n∈N}与B＝{x|x＝2n，n∈N}，则正确表示集合A、B关系的韦恩(Venn)图是(　　)
图1－1
(3)[2011·安徽八校联考] 已知集合A＝{x|x>2或x<－3}，集合B＝{x||x－a|<1}，若B A，则实数a的取值范围为________．
第1讲 │ 要点探究
[思路] (1)求出集合Q，利用数轴判断两个集合的相互关系；(2)将2变形为2×2n－1的形式，再利用其判断集合A、B的关系；(3)先利用a的符号，将集合B化简，再分类讨论．
(1)B　 (2)A　(3)(－∞，－4]∪[3，＋∞)
[解析] (1)Q＝(－2,2)，P＝(－∞，4)，Q P.　
(2)x＝2n＝2×2n－1，∴当n∈N＋时，2n－1∈N＋，此时A B，又1∈A，但1 B，故选A.
(3)由|x－a|<1，得a－1第1讲 │ 要点探究
例3 [2010·杭州模拟] 已知集合A＝ ，集合B＝ . (1)当m＝3时，求A∩ ； (2)若A∩B＝ ，求实数m的值．
　探究点3　集合间关系
[思路] (1)集合A、B都表示函数的定义域，先利用使解析式有意义的条件求得集合A、B，然后借助数轴进行集合运算；(2)借助数轴，由集合的运算性质写出参数m所满足的条件即可求解．
第1讲 │ 要点探究
[解答] (1)由 －1≥0，解得－10，解得－1(2)∵A∩B＝{x|－1第1讲 │ 要点探究
(1)[2010·海南五校三联] 设U＝Z，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,2,3,4,5}，则图1－2中阴影部分表示的集合是(　　)
图1－2
A．{2,4} B．{1,2,3,4,5}
C．{7,9} D．{1,3,5}
第1讲 │ 要点探究
第1讲 │ 要点探究
[思路] (1)根据给出的Venn图可知，所求的集合中的元素属于集合B但不属于集合A，即求 UA与B的交集；(2)利用不等式的解法，化简集合A，B，并利用数轴的直观性，计算两集合的交集．(3)集合A表示一元二次方程的根，根据这个方程的根是否相等分类解决，并注意对所求的结果进行检验．
(1)A　(2)B　(3)－3　
[解析] (1)阴影部分所表示的集合是( UA)∩B＝{2,4}，故选A.
第1讲 │ 要点探究
(2)由A＝{x||x－2|<1}＝{x|1＝ ，∴A∩B＝{x|2(3)由x2＋mx＝0 x＝0或x＝－m，∴当m＝0时A＝{0}，不满足；当m≠0时，A＝{0，－m}．由 UA＝{1,2}，
∴－m＝3，m＝－3.
第1讲 │ 要点探究
　探究点4　集合与其他知识的综合
例4 [2010·福建卷] 对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图1－3所示(阴影区域及其边界)，其中为凸集的是__________．(写出所有凸集相应图形的序号)
图1－3
第1讲 │ 要点探究
②③　[解析] 利用平面上的凸集的新定义知：连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，那么对于①中多边形的最上面的两个角上相应的两点的连线就不包含于Ω，而对于④中分别在两个圆中各取一点的连线就不包含于Ω，对于②和③满足平面上的凸集的新定义．
[点评] 新型集合的概念及运算问题是近几年新课标高考的热点问题，解决此类信息迁移题的关键是理解新信息并把它纳入已有的知识体系中，用原来的知识和方法来解决新情景下的问题，如：
第1讲 │ 要点探究
对任意两个集合M、N，定义：M－N＝{x|x∈M且x N}，MΔN＝(M－N)∪(N－M)，M＝{y|y＝x2，x∈R}，N＝{y|y＝3sinx，x∈R}，则MΔN＝________.
[－3,0)∪(3，＋∞)　[解析] M＝[0，＋∞)，N＝[－3,3]，∵M－N＝，∴M－N＝(3，＋∞)，N－M＝[－3,0)，又∵MΔN＝(M－N)∪(N－M)，∴MΔN＝[－3,0)∪(3，＋∞)．
第1讲 │ 要点探究
例 5 集合A＝{(x，y)|y＝a|x|}，B＝{(x，y)|y＝x＋a}，C＝A∩B，且集合C为单元素集合，则实数a的取值范围为________．
[思路] 集合A、B为点集，在平面直角坐标系中，作出两个函数的图象，利用数形结合思想求解．
－1≤a≤1 　[解析] 如图，满足题意的a使集合A，B表示的曲线只有一个交点，由a＝x＋a，当a＝0时，满足要求，当a≠0时，＝＋1，分别作出y＝与y＝＋1的图象，知≥1或≤－1，即≥1，≤1，综上可知－1≤a≤1.
第1讲 │ 要点探究
[点评] 集合作为工具经常渗透到函数、不等式、解析几何等知识中，解决此类问题时，要注意将集合语言转化为熟悉的数学语言，再求解．
第1讲 │ 规律总结
规律总结
1．集合的准确识别
对集合的准确识别，关键是要特别注意代表元素是什么，有什么属性，如果属性相同，但代表元素不同，所表示的集合也不一样，如集合{y|y＝2x2}，{x|y＝2x2}，{(x，y)|y＝2x2}分别表示函数y＝2x2的值域，定义域和图象上的点，属于不同的集合．
2．集合元素的性质
集合元素具有确定性、互异性、无序性三个特征，尤其是“互异性”在解题中要注意把握与运用，在解决元素含参数的集合问题时，千万别忘了检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．
第1讲 │ 规律总结
3．空集的特殊性
任何集合是它自身的子集，空集是任何集合的子集．在涉及集合之间的包含关系，利用A B解题时，若不明确集合A是否是为空集时，应对集合A的情况进行分类讨论，勿因忽略“空集是任何集合的子集”造成解题结果不全面．
4．数形结合思想的应用
在进行集合的运算时要尽可能地借助韦恩图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用韦恩图表示，集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．
第1讲 │ 规律总结
5．补集思想的应用
在解决集合有关问题时，如果从正面求解较困难，则采用“正难则反”的解题策略，具体地说，就是将研究对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合A，则集合A的补集即为所求．
6．集合问题中常用的转化结论
A∪B＝A B A，A∩B＝A A B，A B且B A A＝B.　
第2讲 │ 命题、充要条件
第2讲　命题、充要条件
知识梳理
第2讲 │ 知识梳理
1．四种命题
(1)命题是 __________________，具有“__________”的形式．
(2)一般地，用p和q分别表示命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是：
原命题：__________；
逆命题：__________；
否命题：_______________；
逆否命题：______________.
能判断真假的陈述句
若p，则q
若p，则q
若q，则p
第2讲 │ 知识梳理
(3)四种命题的关系：
第2讲 │ 知识梳理
2．充分条件、必要条件与充要条件的概念
“若p，则q”为真，即p q，则p是q的__________，q是p的__________．　
若p q且q p，则p是q的 ____________条件，简称__________．　
充分条件　
必要条件
充分且必要　
充要条件
要点探究
第2讲 │ 要点探究
　探究点1　四种命题及相互关系
例1 (1)[2010·天津卷] 命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(　　)
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)是奇函数，则f(x)不是奇函数
第2讲 │ 要点探究
(2)[2010·泉州质检] 命题“若x2＞y2，则x＞y”的逆否命题是(　　)
A．“若x＜y，则x2＜y2”
B．“若x＞y，则x2＞y2”
C．“若x≤y，则x2≤y2”
D．“若x≥y，则x2≥y2”
第2讲 │ 要点探究
[点评] 原命题写出其他三个命题时，将命题化为“若p则q”的形式，利用其他三个命题与原命题的关系，直接写出相应的命题．
当一个命题有大前提而写其他三种命题时，必须保留大前提且不做改换；另外，在判断命题的真假时，如果不易直接判断它的真假时，可以转化为判断其逆否命题的真假，如：
　[思路] 将命题写成“若p则q”的形式，再写出其逆命题、否命题和逆否命题．
(1)B　(2)C　[解析] (1)因为一个命题的否命题是对其条件和结论都进行否定，所以选B.
(2)将条件与结论否定，并互换得：若x≤y，则x2≤y2，故选C.
第2讲 │ 要点探究
(1)命题“已知c>0，若a>b，则ac>bc”的逆命题是________．
(2)命题“若x≠－2且x≠4，则x2－2x－8≠0”是______命题(填真、假中的一种)．
(3)[2010·威海模拟] 关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠ ”的逆命题、否命题、逆否命题，下列结论成立的是(　　)
A．都真
B．都假
C．否命题真
D．逆否命题真
第2讲 │ 要点探究
(1)已知c>0，若ac>bc，则a>b　(2)真　(3)D
[解析] (1)“已知c>0”是大前提，因此不做改换，而逆命题只是将条件与结论互换，因此其逆命题为“已知c>0，若ac>bc，则a>b”．
(2)命题“若x≠－2且x≠4，则x2－2x－8≠0”的逆否命题为“若x2－2x－8＝0，则x＝－2或x＝4”，其逆否命题是真命题，因此原命题也为真命题．
第2讲 │ 要点探究
(3)对于原命题，“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠ ”，这是一个真命题，所以逆否命题也为真命题，但其逆命题，“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠ ，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax2＋bx＋c<0的解集非空时，可以a>0且Δ>0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D.
　探究点2　充要条件的判断
例 2 (1)[2010·温州模拟] 已知a，b是实数，则“a＝1且b＝1”是“a＋b＝2”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)[2010·深圳模拟] 设集合M＝{x||x－1|＜2}，N＝{x||x(x－3)|＜0}，那么“a∈M”是“a∈N”的(　　)
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
第2讲 │ 要点探究
第2讲 │ 要点探究
第2讲 │ 要点探究
[点评] (1)判断充分条件、必要条件的方法有三种：直接法，集合法，等价法．
(2)利用集合法进行判断时，借助数轴能直观显示两个集合的关系，从而使问题易于求解．
(3)对于条件或结论是否定形式的充分条件、必要条件的判断，要善于利用等价命题进行判断．
(4)在进行充分条件、必要条件判断时，首先要明确哪个论断是条件，哪个论断是结论，而且将条件进行适当的化简及合理的表示条件间的推出关系也是解决问题的关键，如：
第2讲 │ 要点探究
第2讲 │ 要点探究
第2讲 │ 要点探究
第2讲 │ 要点探究
　探究点3 利用充分、必要条件求参数
第2讲 │ 要点探究
　探究点4 充要条件的探究和证明
第2讲 │ 要点探究
第2讲 │ 要点探究
必要性：∵M∩N＝ ，则方程※无非负根，∴方程※无实根或有两个负根，即Δ＝40－8a<0或 ，解得a>5或a<－3.
充分性：当a>5时，8a>40，∴Δ＝40－8a<40－40＝0，方程无实根；
当a<－3时，8a<－24,1－a>0，a2－9>0，∴Δ＝40－8a＝64>0,2(1－a)>0，即方程有两个负根．
综上，M∩N＝ 的充要条件是a>5或a<－3.
第2讲 │ 要点探究
某同学在一本旧资料看到这样一道题：
求证：关于x的方程ax2 ＋2x－1＝0至少有一负根的充要条件是※.
由于资料较旧，※处破损，题目不完整．请问破损处的条件是什么，并证明．
第2讲 │ 要点探究
不等式组(1)的解集为 ，不等式组(2)的解集为a>0.综上可知，关于x的
方程ax2＋2x－1＝0(a≠0)至少有一负根的充要条件是a>0.
第2讲 │ 规律总结
规律总结
1．在判断四个命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”．
2．原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题，一真都真，一假都假；当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假．
第2讲 │ 规律总结
3．判断充分必要条件时，第一是要分清命题的条件与结论；第二是要善于将文字语言转化为符号语言进行推理；第三是要注意等价命题的运用；第四是当判断多个命题之间的关系时，常用图示法，它能使问题直观，易于判断．
4．判断命题充要条件的三种方法：
(1)定义法；
(2)等价法：即利用A B与綈B 綈A；B A与綈A 綈B；A B与綈B 綈A的等价关系，对于条件或结论是不等关系(否定式)的命题，一般运用等价法；
(3)利用集合间的包含关系判断，若A B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
第3讲 │ 简单的逻辑联结词及量词
第3讲　简单的逻辑联结词及量词
知识梳理
第3讲 │知识梳理
1．简单的逻辑联结词
常用的简单的逻辑联结词有______________，分别用符号__________表示．
其含义：“且”是若干个简单命题______成立；“或”是若干个简单命题中______有一个成立；“非”是对一个命题的____
(只否定结论)．
　
　
“且”“或”“非”
同时
至少
否定
第3讲 │知识梳理
2．量词
(1)短语“对所有的”或“对任意一个”在陈述语句中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做______量词，并用符号“ ”表示．含有全称量词的命题叫做全称命题．
(2)短语“存在一个”或“至少有一个”在陈述语句中表示事物的个体或部分，逻辑中通常叫做______量词，并用符号“ ”表示．含有存在量词的命题叫做特称命题，或叫存在性命题．
(3)全称命题p： x∈M，p(x)；它的否定是 _____________．
特称命题q： x0∈M，q(x0)；它的否定是_____________．
全称
存在
要点探究
第3讲 │要点探究
　探究点1　集合的概念
第3讲 │要点探究
第3讲 │要点探究
第3讲 │要点探究
　探究点2　以含逻辑联结词的命题的真假为
背景，求解参数
例2 已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若p∨q为假命题，求实数m的取值范围．
第3讲 │要点探究
[解答] 命题p为真命题时，方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，则x1＋x2＝－m<0，x1x2＝1>0，且Δ＝m2－4>0，解得m>2；
命题q为真命题时，方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，则Δ＝16(m－2)2－16<0，解得1∵p∨q为假命题，∴p，q都是假命题，所以m所满足的条件为{m|m≤2}∩{m|m≥3或m≤1}＝ {m|m≤1}，即m的取值范围是{m|m≤1}．
第3讲 │要点探究
设p：关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0}；q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．
第3讲 │要点探究
第3讲 │要点探究
　探究点3 以含有量词的命题
例3 下列命题中的真命题是(　　)
A． x∈R，x3≥x2
B． x∈R，x3C． x∈R， y∈R，y2D． x∈R， y∈R，y·x＝y
　[思路] 直接利用判断全称命题和特称命题真假的方法 解决．
第3讲 │要点探究
D　[解析] 对于A，当x＝－2时，x3＝－8第3讲 │要点探究
下列命题的否定形式正确的是(　　)
A．“ x∈R，x2＋2x＋1＞0”的否定是“ x0∈R，x02＋2x0＋1＜0”
B．“有一个实数a不能取对数”的否定形式是“所有的a不能取对数”
C．“有的菱形是正方形”的否定形式是“有的菱形不是正方形”
D．“每一个人都喜欢体育锻炼”的否定形式是“存在一个人不喜欢体育锻炼”
第3讲 │要点探究
D　[解析] A中大于的否定应为小于或等于；B中只改了量词，没否定结论；C只否定结论，没改量词．
第3讲 │ 规律总结
规律总结
1．命题与集合之间可以建立对应关系，命题的“且”“或”“非”恰好分别对应集合的“交”“并”“补”，可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定．
2．全称命题为真时，表示所限定的集合中的每个元素都具有某种属性，使所给语句为真，因此能通过“举反例”来确定一个全称命题为假命题；特称命题为真时，表示在限定的集合中有一些元素(至少一个)具有某种属性，使所给语句为真，因此能通过“举特例”来确定一个特称命题为真命题．
第3讲 │ 规律总结
3．(1)一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：
正面词语 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是 都是
否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是
正面词语 至多有一个 至少有一个 任意的 所有的 一定 …
否定词语 至少有两个 一个也没有 某个 某些 一定不 …
另外：p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.
(2)含量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，即把全称量词与存在量词互换，然后否定原命题的结论，对于某些省略了量词的命题，可以在理解命题的基础上，添上量词，再按规律写命题的否定．(共155张PPT)
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第四单元　数列
第24讲 数列的概念与简单表示法
第25讲 等差数列
第26讲 等比数列
第27讲 数列求和
第28讲 数列中的综合问题
第四单元　数列
知识框架
第四单元 │ 知识框架
第四单元 │ 知识框架
考纲要求
第四单元 │ 考纲要求
命题趋势
第四单元 │ 命题趋势
第四单元 │ 命题趋势
第四单元 │ 命题趋势
使用建议
　　1．编写意图
　　根据考试大纲的要求和近几年课标区高考的实际情况，高考已经降低了对数列的考查要求和难度，在编写本单元时注意了如下的几个方面：
　　(1)重视基础：加强基础性讲解和练习的力度，对数列的基础知识、数列问题中的基本方法、等差数列、等比数列给予充分的重视，力图使学生通过本单元的复习能够熟练运用数列的基本知识和基本方法解决问题．
第四单元 │ 使用建议
　　(2)淡化递推数列：在传统的一轮复习用书中，一般都单独设立递推数列一节，但递推数列的真正解法是转化为等差数列或者等比数列解决的，从考试大纲来看，对递推数列只字未提，从课标区高考情况看，递推数列也得到了很大程度的淡化，因此本单元没有单独设立递推数列一讲，但把简单的递推数列问题在各讲中适当的地方结合具体问题予以解决，但严格控制难度．
　　(3)强化数列求和：数列求和在高考的数列的解答题中占有突出位置，除了等差数列、等比数列的求和外，还会涉及裂项求和、错位相减求和等求和方法，在本单元的编写中专门设置一讲强化数列求和．
第四单元 │ 使用建议
第四单元 │ 使用建议
　　2．教学指导
　　数列是文理科必修的内容，高考对必修内容和选修必考内容在考查力度上是有区别的，根据数列内容在教材中的位置和近几年课标区高考的客观实际，在指导学生复习该单元时要注意如下两点：
　　(1)重视基础知识、基本方法的复习，加强基本技能的训练．数列中的基础知识就是数列的概念、等差数列(概念、中项、通项、前n项和)、等比数列(概念、中项、通项、前n项和)；基本方法主要是基本量方法、错位相减求和法、裂项求和法、等价转化法等；基本技能主要是运算求解的技能、推理论证的技能等．在复习中要把这些放在突出的位置．
第四单元 │ 使用建议
　　(2)突出数学思想方法在解题中的指导作用．数列问题中蕴含着极为丰富的数学思想方法，如由前n项和求数列通项、等比数列求和的分类整合思想，数列问题可以通过函数方法求解的函数思想，等差数列和等比数列问题中求解基本量的方程思想，把一般的数列转化为等差数列或者等比数列的等价转化思想等，要引导学生通过具体题目的解答体会数列问题中的数学思想方法，并逐步会用数学思想指导解题．
　　3．课时安排
　　本单元共5讲，每讲1个课时，一个单元能力训练卷，1个课时，建议6课时完成复习任务．
第四单元 │ 使用建议
第24讲 │ 数列的概念与简单表示法
第24讲　数列的概念与简单表示法
第24讲 │ 知识梳理
知识梳理
第24讲 │ 知识梳理
第24讲 │ 知识梳理
要点探究
　　
第24讲 │ 要点探究
探究点1　根据数列中的某几项写数列的通项公式
第24讲 │ 要点探究
第24讲 │ 要点探究
第24讲 │ 要点探究
第24讲 │ 要点探究
第24讲 │ 要点探究
探究点2　数列的前n项和Sn与通项an的关系
第24讲 │ 要点探究
第24讲 │ 要点探究
第24讲 │ 要点探究
第24讲 │ 要点探究
第24讲 │ 要点探究
第24讲 │ 要点探究
第24讲 │ 要点探究
第24讲 │ 要点探究
探究点3　由递推公式求通项公式
第24讲 │ 要点探究
第24讲 │ 要点探究
第24讲 │ 要点探究
第24讲 │ 要点探究
第24讲 │ 要点探究
第24讲 │ 要点探究
第24讲 │ 要点探究
探究点4　数列的一般性质
第24讲 │ 要点探究
第24讲 │ 要点探究
第24讲 │ 要点探究
规律总结
　　
第24讲 │ 规律总结
第24讲 │ 规律总结
第25讲 │ 等差数列
第25讲 等差数列
第25讲 │ 知识梳理
知识梳理
第25讲 │ 知识梳理
第25讲 │ 知识梳理
第25讲 │ 知识梳理
要点探究
　　
第25讲 │ 要点探究
　　
探究点1　等差数列中基本量的计算
第25讲 │ 要点探究
第25讲 │ 要点探究
第25讲 │ 要点探究
第25讲 │ 要点探究
第25讲 │ 要点探究
第25讲 │ 要点探究
探究点2　等差数列的判定
第25讲 │ 要点探究
第25讲 │ 要点探究
第25讲 │ 要点探究
第25讲 │ 要点探究
第25讲 │ 要点探究
第25讲 │ 要点探究
探究点3　等差数列的性质
第25讲 │ 要点探究
第25讲 │ 要点探究
第25讲 │ 要点探究
第25讲 │ 要点探究
探究点4　等差数列的前n项和
第25讲 │ 要点探究
第25讲 │ 要点探究
第25讲 │ 要点探究
第25讲 │ 要点探究
第25讲 │ 规律总结
规律总结
第25讲 │ 规律总结
第26讲 │ 等比数列
第26讲 等比数列
第26讲 │ 知识梳理
知识梳理
第26讲 │ 知识梳理
第26讲 │ 知识梳理
第26讲 │ 知识梳理
要点探究
　　
第26讲 │ 要点探究
　　
探究点1　等比数列中基本量的计算
第26讲 │ 要点探究
第26讲 │ 要点探究
第26讲 │ 要点探究
第26讲 │ 要点探究
第26讲 │ 要点探究
探究点2　等比数列的判定
第26讲 │ 要点探究
第26讲 │ 要点探究
第26讲 │ 要点探究
第26讲 │ 要点探究
第26讲 │ 要点探究
第26讲 │ 要点探究
第26讲 │ 要点探究
探究点3　等比数列的性质
第26讲 │ 要点探究
第26讲 │ 要点探究
第26讲 │ 要点探究
探究点4　等比数列的前n项和
第26讲 │ 要点探究
第26讲 │ 要点探究
　　
第26讲 │ 规律总结
规律总结
第26讲 │ 规律总结

第27讲 │ 数列求和
第27讲 数列求和
第27讲 │ 知识梳理
知识梳理
第27讲 │ 知识梳理
第27讲 │ 知识梳理
要点探究
　　
第27讲 │ 要点探究
　　
探究点1　公式法求和与分组法求和
　　
第27讲 │ 要点探究
　　
第27讲 │ 要点探究
第27讲 │ 要点探究
第27讲 │ 要点探究
第27讲 │ 要点探究
第27讲 │ 要点探究
第27讲 │ 要点探究
第27讲 │ 要点探究
探究点2　裂项相消法求和
第27讲 │ 要点探究
第27讲 │ 要点探究
第27讲 │ 要点探究
第27讲 │ 要点探究
第27讲 │ 要点探究
第27讲 │ 要点探究
第27讲 │ 要点探究
探究点3　倒序相加法求和
第27讲 │ 要点探究
第27讲 │ 要点探究
探究点4　错位相减法求和
第27讲 │ 要点探究
第27讲 │ 要点探究
[2009·山东卷] 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．
(1)求r的值；
(2)当b＝2时，记bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
　　
第27讲 │ 规律总结
规律总结
第28讲 │ 数列中的综合问题
第28讲 数列中的综合问题
第28讲 │ 知识梳理
知识梳理
第28讲 │ 知识梳理
第28讲 │ 知识梳理
要点探究
　　
第28讲 │ 要点探究
探究点1　等差数列和等比数列的综合
　　
第28讲 │ 要点探究
第28讲 │ 要点探究
第28讲 │ 要点探究
探究点2　数列与函数的综合
第28讲 │ 要点探究
第28讲 │ 要点探究
第28讲 │ 要点探究
第28讲 │ 要点探究
第28讲 │ 要点探究
第28讲 │ 要点探究
探究点3　数列与不等式的综合
第28讲 │ 要点探究
第28讲 │ 要点探究
第28讲 │ 要点探究
第28讲 │ 要点探究
第28讲 │ 要点探究
第28讲 │ 要点探究
第28讲 │ 要点探究
第28讲 │ 要点探究
探究点4　数列的实际应用问题
第28讲 │ 要点探究
第28讲 │ 要点探究
第28讲 │ 要点探究
第28讲 │ 要点探究
第28讲 │ 要点探究
第28讲 │ 要点探究
　　
第28讲 │ 规律总结
规律总结