15.3
等腰三角形
第3课时
直角三角形中30°角的性质定理
教学目标
（一）教学知识点
1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质．
2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．
（二）能力训练要求
1．经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．
2．培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力．
（三）情感与价值观要求
教学重点
1.鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲．
2．体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性．
含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明．
教学难点
1．含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明．
2．引导学生全面、周到地思考问题．
教学方法
：
探索发现法．
教具准备
两个全等的含30°角的三角尺；
教学过程
一、提出问题，创设情境
我们学习过直角三角形，今天我们先来看一个特殊的直角三角形，看它具有什么性质．大家可能已猜到，我让大家准备好的含30°角的直角三角形，它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢？
问题：用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？
二、导入新课
（让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明）
用含30°角的直角三角尺能摆出了如下两个三角形，你能说出这两个图形特征吗？
同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？
我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？请根据图形写出已知、求证和证明过程。
已知：
求证：
证明：
这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看两个例题．
1．右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE要多长？
2．等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高．
求：CD的长．
三、展示平台
（一）基础部分
Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？
（二）拓展提高
1．已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°．
求证：BD=
AB．
2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．
3．在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．写出书知、求证和证明过程。
提示：可以从证明“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”．从辅助线的作法中得到启示．
已知：
求证：
证明：
4．已知，如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形．
求证：AN=BM．
5．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC⊥AC，∠BAC=30°，AB=10cm，CB1⊥AB，B1C⊥AC1，垂足分别是B1、C1，那么BC的长是多少？
四、作业：
五、学习反馈：本节课你学会哪些知识，请归纳出来，不少于50字。
反思：
本节课我采用从生活中创设情景的激发学生们的学习兴趣，采用拼图形的方法创设问题的情景，引导学生自主探究活动，培养学生类比、猜想、论证的研究方法研究问题，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯。利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互助，有效的教学活动，鼓励学生积极参与，大胆猜想，细心验证。使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容。力求在整个探究学习的过程充满师生之间，生生这间的交流和互动，体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体。
课堂开始通过回顾旧知识，抓信新知识的切入点，使学生进入一种“喜新不厌旧”的境界，使他们有兴趣进入数学课堂，为学习新知识做好准备。接下来让学生动手操作，并细心观察，大胆猜想。在这一环节上，展现给学生一个实物，使学生获得直观感受。并引导学生给出证明，证明自己的猜想的正确性。使学生懂得，即使是通过实践得出的结论，还需理论上给予证明。在性质证明完毕后，缺乏对学生记忆性练习。
习题1、2的设计是为了能让学生把理论知识付诸于实践，检验学生的学习效果，让学生分组练习，训练学生解决实际问题的能力，让学生在合作中交流中完成任务，体会合作学习的乐趣。由学生讲解，我做必要的指导。
在运用符号语言的过程中，学生会出现各种各样的问题与错误，因此在课堂上，我特别重视对学生的表现及时做出评价，给予鼓励。这样既调动了学生的学习兴趣，也培养了学生的符号语言表达能力。
“展示平台”及“拓展提高”部分给学生一个充分展示自我的舞台，在情感态度和一般能力方面都得到充分发展，并从中了解数学的价值，增进了对数学的理解。在这一环节，让学生起来回答问题的时候有点耽误时间。
本节课，我觉得基本上达到了教学目标，在重点的把握，难点的突破上也基本上把握的不错。在教学过程中，学生参与的积极性较高，课堂气氛比较活跃。其中还存在不少问题，我会在以后的教学中，努力提高教学技巧，逐步的完善自己的课堂。15．1 轴对称图形
第1课时 轴对称图形与轴对称
1．通过丰富的实例认识轴对称图形，并能找出轴对称图形的对称轴；(重点)
2．掌握轴对称的性质，会利用轴对称的性质，作对称点、对称图形、对称轴等；了解轴对称图形、两个图形成轴对称这两个概念之间的联系和区别；(难点)
3．经历丰富材料的学习过程，提高对图形的观察、分析、判断、归纳等能力．体验数学与生活的联系、提高审美观．
一、情境导入
观察下面的图片：
面对生活中这些美丽的图片，你是否强烈地感受到美就在我们身边！这是一种怎样的美呢？请谈谈你的感想．
二、合作探究
探究点一：轴对称图形与轴对称的定义
【类型一】
轴对称图形
下列图形中不是轴对称图形的是( )
解析：解决此类问题一定要紧扣轴对称图形的定义去判断，只要能找出这个图形的对称轴，那么这个图形就是轴对称图形．A、B、D能找出对称轴，只有C不能找到对称轴，故选C.
方法总结：判断轴对称图形的方法：根据图形的特征，尝试找到一条直线，沿这条直线对折，如果直线两边的部分能够完全重合，即可确定这个图形是轴对称图形，否则不是轴对称图形．注意尝试多角度来观察图形和对折图形．
【类型二】
判断对称轴的条数
下列轴对称图形中，恰好有两条对称轴的是( )
A．正方形
B．等腰三角形
C．长方形
D．圆
解析：选项A中正方形有四条对称轴；选项B中等腰三角形有一条对称轴；选项C中长方形有两条对称轴；选项D中圆有无数条对称轴．故选C.
方法总结：判断对称轴的条数，仍然是根据定义进行判断，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，注意不要遗漏．
【类型三】
轴对称
如图所示，哪一组的右边图形与左边图形成轴对称？
解析：根据轴对称的意义，经过翻折，看两个图形能否完全重合，若能重合，则两个图形成轴对称．
解：(4)(5)(6)．
方法总结：动手操作或结合轴对称的概念展开想象，在脑海中尝试完成一个动态的折叠过程，你会得到结论．
探究点二：成轴对称图形的性质及画法
【类型一】
成轴对称图形的性质
如图中两个四边形关于某条直线对称，根据图形提供的条件求x，y.
解析：由轴对称的性质，得到两个图形全等，从而有对应角相等，对应边相等．
解：因为两个四边形关于某条直线对称，∠A＝∠E＝120°，∠D＝∠F＝100°，所以∠B＝∠H＝70°，AB＝EH＝5，所以y＝70°，x＝5.
方法总结：利用轴对称的性质求线段或角的方法：先根据轴对称的特征确定两个图形的对应边、对应角，然后运用轴对称的性质：对应边相等，对应角相等，把要求的边或角与已知对应边或角建立关系，从而求出待求的线段或角．
【类型二】
成轴对称图形的画法
如图所示，以AB为对称轴，画出已知图形的对称图形．
解析：作出点C、D、E关于直线AB的对称点C′、D′、E′，然后顺次连接即可．
解：如图所示．
方法总结：轴对称的基本作图步骤是：(1)先找出已知图形中能够确定形状的关键点，如顶点、端点或中点等；(2)分别过这些关键点向对称轴作垂线，并延长至另一侧，使其两侧的线段相等，得到的点为这些关键点的对称点；(3)顺次连接作出的点，即可得到已知图形的对称图形．
三、板书设计
本节教学从学生熟知的生活情境出发，让学生初步感知对称的事物，从而引入对称，逐步将实物抽象成平面图形，通过操作实践发现其共同特征，导入教学新授，达到串连教材的效果，让学生在这教学情景中快乐的学习，激发了学生学习数学的兴趣．在列举实际生活中的轴对称的例子时，可以让更多的同学说，更广泛地思考，最后应提醒学生要善于用学到的数学知识认识世界、认识自然．15．4 角的平分线
第1课时 角平分线的尺规作图
1．理解和掌握用尺规作已知角的平分线，以及过一点作已知直线的垂线；(重点)
2．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理；(难点)
3．在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．
一、情境导入
温故知新
什么是角平分线？
问题：怎样作∠AOB的平分线呢？
①折纸法；②度量法．
如果用尺规作图，该怎么做呢？
二、合作探究
探究点一：角平分线的尺规作图
请在图中作出线段AD，使其平分∠BAC且长度等于m.
要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论．
已知：
求作：
解析：首先以A为圆心，任意长为半径作弧，交射线AB、AC于E、F，然后以E、F为圆心，大于EF长为半径作弧，交于点M，那么AM就是∠BAC的角平分线，只需在射线AM上截取AD＝m即可．
解：已知：线段m，∠BAC；
求作：线段AD，使得∠BAD＝∠CAD，AD＝m.
如图所示．
方法总结：此题主要考查的是角平分线的作法，难度不大．作一个角的平分线是基本的作图．尺规作图时，应该遵循作图必需的正确步骤．
探究点二：过一点作已知直线的垂线
如图，分别过点P作线段MN的垂线．
解析：利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法分别作各条线段所在的直线的垂线即可．
解：如图，(1)延长NM，过点P作NM所在直线的垂线；(2)延长NM，过点P作NM所在直线的垂线；(3)延长MN，过点P作MN所在直线的垂线；(4)延长NM，过点P作NM所在直线的垂线．
方法总结：过一点作线段的垂线，就是作线段所在直线的垂线．
探究点三：尺规作图的综合应用
如图，已知直线l及其两侧两点A、B.
(1)在直线l上求一点O，使到A、B两点距离之和最短；
(2)在直线l上求一点P，使PA＝PB；
(3)在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB.
解析：(1)根据两点之间线段最短，连接AB，线段AB交直线l于点O，则O为所求点；
(2)根据线段垂直平分线的性质连接AB，再作出线段AB的垂直平分线即可；
(3)作B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l与点Q，连接BQ，由三角形全等的判定定理得出△BDQ≌△B′DQ，再由全等三角形的性质可得出∠BQD＝∠B′QD，即直线l平分∠AQB.
解：(1)如图①，连接AB，线段AB交直线l于点O，∵点A、O、B在一条直线上，∴O点即为所求点；
(2)如图②，连接AB，分别以A、B两点为圆心，以大于AB的长度为半径作弧，两弧相交于C、D两点，连接CD与直线l相交于P点，连接BD、AD、BP、AP、BC、AC，∵BD＝AD＝BC＝AC，即C、D两点都在AB的垂直平分线上，∴CD是线段AB的垂直平分线，∵P是CD上的点，∴PA＝PB；
(3)如图③，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l与点Q，连接BQ，∵B与B′两点关于直线l对称，∴BD＝B′D，DQ＝DQ，∠BDQ＝∠B′DQ，∴△BDQ≌△B′DQ，∴∠BQD＝∠B′QD，即直线l平分∠AQB.
方法总结：本题考查的是两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，熟知各题的知识点是解答此题的关键．
三、板书设计
本节课的知识点有角平分线的尺规作图，过直线上的点作已知直线的垂线．教学时采用了体验探究的方式，为学生提供了亲自操作的机会，引导学生运用已有经验、知识、方法去探索这两个基本作图，进而通过教师的引导加工上升为理性认识，从而获得新知，使学生的学习变为一个再创造的过程，同时让学生学到获取知识的思想和方法．第2课时 平面直角坐标系中的轴对称
1．理解和掌握在平面直角坐标系中作出已知图形的轴对称图形；(重点)
2．掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特征；(难点)
3．经历丰富材料的学习过程，提升对图形的观察、分析、判断、归纳等能力．
一、情境导入
十一黄金周，北京吸引了许多游客．一天，小红在天安门广场玩，一位外国友人向小红问西直门的位置，可小红只知道东直门的位置，不过，小红想了想，就准确地告诉了他．你知道为什么吗？
结合老北京的地图向学生介绍：老北京城关于中轴线成轴对称设计，东直门、西直门就关于中轴线对称．如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴，就可以在这个平面图上建立直角坐标系，各个景点的地理位置就可以用坐标表示出来．
提问：这些景点关于坐标轴的对称点你可以找出来吗？这些对称点的坐标与已知点的坐标有什么关系呢？
二、合作探究
探究点一：关于坐标轴对称的点的坐标特点
【类型一】
求已知点关于x轴(或y轴)对称的点的坐标
如图，点A关于y轴的对称点的坐标是( )
A．(5，3)
B．(3，5)
C．(5，－3)
D．(3，－5)
解析：根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．由图可知，点A的坐标是(－5，3)，所以，点A关于y轴的对称点的坐标是(5，3)．故选A.
方法总结：本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
【类型二】
利用两点成轴对称的性质求整式或字母的值
在平面直角坐标系中，点A关于x轴对称的点的坐标为(7x＋6y－13，y＋x－4)，点A关于y轴对称的点的坐标为(4y－2x－2，－6x－4y＋5)，求点A的坐标．
解析：设点A的坐标为(a，b)，则它关于x轴的对称点为A′(a，－b)，关于y轴的对称点为A″(－a，b)，即A′与A″的横、纵坐标分别互为相反数．据此可列方程组求出x，y的值．
解：由题意，得解得所以点A的坐标为(－8，3)．
方法总结：解答这类题的关键是弄清同一点关于两坐标轴对称的点的横、纵坐标之间的关系，再据此列方程或方程组求解．
探究点二：作关于x轴(或y轴)对称的图形
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－4，1)、B(－2，4)、C(－1，2)．
(1)△ABC关于y轴的对称图形是△A′B′C′，请写出点A′，B′，C′的坐标并作出对称图；
(2)△A′B′C′关于x轴的对称图形是△A″B″C″，请写出点A″，B″，C″的坐标并作出对称图；
解析：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)．根据图形在平面直角坐标系中关于x，y轴对称的规律，很容易找到对称点．
解：(1)点A′，B′，C′的坐标分别是(4，1)、(2，4)、(1，2)，对称图如下图△A′B′C′；
(2)点A″，B″，C″的坐标分别是(4，－1)、(2，－4)、(1，－2)，对称图如下图△A″B″C″；
方法总结：在平面直角坐标系中，如果两个图形关于y轴对称，那么这两个图形对称点的横坐标互为相反数、纵坐标相等；如果两个图形关于x轴对称，那么这两个图形对称点的横坐标相等、纵坐标互为相反数；“成轴对称的两个图形的对称点的连线段被对称轴垂直平分”是轴对称作图的依据．作轴对称图形，只要先求出已知图形中的一些特殊点的对称点的坐标，描出并连接即可得到对称图；研究规律问题时，要从特殊到一般，要逐步推导；感受图形的对称变化带来的坐标变化．
三、板书设计
本节课采用探究、发现式教学法，通过找具有一定代表性，分别位于四个象限及坐标轴的一些点的对称点及坐标，寻找关于坐标轴对称的点的坐标的一般规律，培养学生观察、归纳、分析问题、解决问题的能力，并通过研究线段之间的关系发现点的坐标之间的关系，使学生体验数形结合思想．然后通过把对称轴是坐标轴变成了直线x＝1和y＝－1的变式探究，使学生再次体验数形结合的思想，并拓展到直线x＝m和y＝n，使学生学会通过寻找线段之间的关系来求点的坐标并形成方法．15.2
线段的垂直平分线
教学目标
【知识与技能】
1.经历探究、猜想、验证的过程,进一步发展学生的推理论证能力.
2.培养学生的逻辑思维能力和数学语言表达能力.
3.已知底边及底边上的高,能应用尺规作出线段的垂直平分线.
【过程与方法】
在探究过程中,增强协作交流,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
【情感、态度及价值观】
1.积极参与数学学习活动,增强学生对数学的好奇心和求知欲.
2.在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
重点难点
【重点】
写出线段垂直平分线的性质定理及其逆命题.
【难点】
线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的应用上的区别和各自的应用.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:上节课我们共同探讨了轴对称图形,知道现实生活中由于有轴对称图形,而使得世界非常美丽.那么大家想一想,什么样的图形是轴对称图形呢?
生:如果一个图形沿着一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.
师:什么是线段的垂直平分线呢?
学生思考抢答.
生:经过线段的中点,并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,又叫做线段的中垂线.
师:很好!这节课我们继续学习线段的垂直平分线的有关内容(板书课题).
二、共同探究,获取新知
教师引导学生作图:作已知线段AB的垂直平分线.
学生讨论作法.
教师总结作法.
1.分别以点A和B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点C和D.
2.作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线.
学生作图.
师:你能说明为什么这样作出的直线CD就是线段AB的垂直平分线吗?
学生交流讨论.
师:因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也可以用这种方法作线段的中点.线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等.怎样证明这个结论呢?
学生交流讨论,教师参与.
师:这个命题的条件是什么?
生:一个点是线段垂直平分线上的点.
师:结论呢?
生:这个点与线段两端距离相等.
师:请同学们写出已知、求证,并证明.
教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.
已知:如图,直线MN经过线段AB的中点O,且MN⊥AB,P是MN上任意一点.
求证:PA=PB.
证明:∵MN⊥AB.(已知)
∴∠AOP=∠BOP=90°.(垂直定义)
在△AOP与△BOP中,
∵
∴△AOP≌△BOP.(SAS)
∴PA=PB.(全等三角形的对应边相等)
三、合作交流,深化理解
师:你能写出上面定理的逆命题吗?
生:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
师:它是真命题吗?
学生思考.
生:是.
师:你能证明这个定理吗?
学生思考证明,教师找学生板演,集体纠正.
四、乘胜追击,学以致用
教师出示课本第123页例题.
【例】 已知:如图所示,△ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P.
求证:点P在BC的垂直平分线上.
学生讨论证明方法,并板演,然后集体证正.
证明:连接PA、PB、PC.
∵点P在AB、AC的垂直平分线上.
∴PA=PB,PA=PC,∴PB=PC,∴点P在BC的垂直平分线上.
师:由此你能得出什么结论?
生:三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等.
师:很好!这个结论很有用,请大家记一下.
学生熟记.
五、迁移巩固,解决问题
1.教材该节练习的第1题,学生口述作法,独立完成.
作AB的垂直平分线,这条线与直线l的交点即为要确定的停靠站C的位置.
2.教材该节练习的第2题,学生小组合作,集体纠正.
C、D两点的位置可分为两点在线段AB同侧、一点在AB外一点在AB上、两点在AB异侧三种情况.下面就第一种情况进行证明,其余两种情况下的证明与此类似.
(1)证明:∵C、D是线段AB的垂直平分线上的两点,
∴CA=CB,DA=DB.(线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等)
∴△ABC、△ABD是等腰三角形.
(2)∵CA=CB,DA=DB,(已证)
CD=CD,(公共边)
∴△CAD≌△CBD.(SSS)
∴∠CAD=∠CBD.(全等三角形的对应角相等).
六、课堂小结
师:今天你学习了什么知识?你有哪些收获?
生:线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.
师:你能叙述它们的内容吗?
生甲:线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等.
生乙:与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
师:你还有哪些疑问?
学生提问,教师解答.
教学反思
本节课先复习线段垂直平分线的概念,然后用尺规作图画出垂直平分线,并让学生思考为什么用这种方法画出的就是垂直平分线,可以激发学生学习数学的兴趣.由垂直平分线的作图过程可得到线段垂直平分线的性质定理,随后我带领学生对这个定理进行了严格的证明,让学生自己思考怎么写已知、求证.然后让学生说出这个命题的逆命题,并证明它是真命题,并把这个命题作为定理熟记,锻炼了学生的逻辑推理能力,培养了学生求真务实的精神.15．2 线段的垂直平分线
1．理解和掌握线段垂直平分线的两个性质；(重点、难点)
2．通过观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，初步形成数学学习的方法；
3．在数学学习的活动中，养成良好的思维习惯．
一、情境导入
如图，平面上的四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，其中AB＝AD，CB＝CD.小明观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形ABCD的两条对角线AC⊥BD，垂足为E，并且BE＝ED，你同意他的判断吗？
二、合作探究
探究点一：线段垂直平分线的尺规作图
如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？(注：作一对对应点的对称轴就是作线段AB的垂直平分线)
解析：本题其实就是作线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的作法作出即可．
解：作法：(1)分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于E、F两点；
(2)连接直线EF，EF即为所求的直线．同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
方法总结：要熟练掌握线段垂直平分线的作法，作出的图形中的作图痕迹要保留．
探究点二：线段垂直平分线的性质
【类型一】
应用垂直平分线的性质求线段的长
如图，△ABC中，AC＝6，BC＝4.5，分别以A、B为圆心，4为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长是________．
解析：由线段的垂直平分线的性质可知BD＝AD，那么△BCD的周长其实是AC和BC的长度和．由题意可知过这两点的直线其实是AB边的垂直平分线，所以BD＝AD；所以△BCD的周长＝BD＋CD＋BC＝AD＋CD＋BC＝AC＋BC＝6＋4.5＝10.5.故答案为10.5.
方法总结：利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相关转化，从而求出未知线段的长．
【类型二】
应用垂直平分线的性质求角度
如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，DF，EG分别为AB和AC的垂直平分线，求∠DAE的度数．
解析：由题意可知∠DAE＝100°－(∠DAF＋∠EAG)，由DF和EG分别为AB和AC的垂直平分线可证△BDF≌△ADF和△CEG≌△AEG，得∠B＝∠DAF，∠C＝∠EAG.利用三角形内角和定理可求出∠B＋∠C，使问题得到解决．
解：∵DF是AB的垂直平分线，
∴BF＝AF，BD＝AD.
又∵DF＝DF，
∴△BDF≌△ADF(SSS)．
∴∠B＝∠DAF.
同理可得∠C＝∠EAG.
∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，且∠BAC＝100°，
∴∠B＋∠C＝80°，∴∠DAF＋∠EAG＝80°.
∴∠DAE＝∠BAC－(∠DAF＋∠EAG)＝100°－80°＝20°.
方法总结：有线段的垂直平分线时，一般都过垂直平分线上的点连接线段两端点得相等的线段．
探究点三：线段垂直平分线的判定
如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．
解析：先利用角平分线和全等证△AED≌△AFD，易证AD垂直平分EF.
解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DAE＝∠DAF，∠AED＝∠AFD＝90°.在△ADE和△ADF中，∵
∴△ADE≌△ADF(AAS)，∴DE＝DF，AE＝AF，∴A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF.
方法总结：当一条直线上有两点都在同一线段的垂直平分线上时，这条直线就是该线段的垂直平分线，解题时常需利用此性质进行线段相等关系的转化．探究点四：垂直平分线的作法与垂直平分线的性质的综合
现有不在一条直线上的A、B、C三座城市．
(1)现在A、B两城之间建一水果仓库，使其到A、B两城市之间距离相等，此仓库位置唯一吗？它们的位置有怎样的关系？
(2)在B、C两城之间建一水果批发市场，使其到B、C两城市距离相等，市场的位置唯一吗？它们的位置有怎样的关系？
(3)为减少运费，现将水果批发市场与水果仓库建在同一位置，并分别到三城市距离相等，应如何选址？画图说明．
解析：本题可以把城市、水果批发市场、水果仓库看成是几个点，问题(1)就转化为寻找到A、B两点距离相等的点；问题(2)就转化为寻找到B、C两点之间距离相等的点；问题(3)就转化为寻找到A、B、C三点之间距离相等的点，这样就可以用垂直平分线的知识来解决问题．
解：(1)不唯一，它们在一条直线上，此直线为AB的垂直平分线；
(2)不唯一，它们在一条直线上，此直线为BC的垂直平分线；
(3)AB、BC两线段的垂直平分线的交点D即为满足要求的位置．
方法总结：利用转化思想，合理地建立模型，是解决实际问题的关键．
三、板书设计
本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果
较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步巩固和提高．15.1
轴对称图形
第1课时
轴对称图形与轴对称
教学目标
（一）教学知识点
1．在生活实例中认识轴对称图．
2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．
（二）能力训练要求
1．通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴．
2．经历观察、分析的过程，训练学生观察、分析的能力．
（三）情感与价值观要求
通过对丰富的轴对称现象的认识，进一步培养学生积极的情感、态度，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美能力的提高．
教学重点
轴对称图形的概念．
教学难点
能够识别轴对称图形并找出它的对称轴．
教学方法
启发诱导法．
教具准备
师：1．天安门、蝴蝶、窗花、脸谱等图片．
2．多媒体课件．
3．投影仪．
生：剪刀、小刀、硬纸板．
教学过程
Ⅰ．创设情境，引入新课
[师]我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．
轴对称是对称中重要的一种，让我们一起走进轴对称世界，探索它的秘密吧！
从这节课开始，我们来学习第十二章：轴对称．今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴．
Ⅱ．导入新课
[师]我们先来看几幅图片（出示图片），观察它们都有些什么共同特征．
[生甲]这些图形都是对称的．
[生乙]这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．
[师]对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．
[生丙]我们的黑板、课桌、椅子等．
[生丁]我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的．
[师]同学们回答得真好，大家举了这么多对称的例子，现在我们来看一下下面的问题，我们来研究一下什么是轴对称图形．
（演示多媒体课件）
观察
如图12．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．
观察得到的窗花和图12．1．1中的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗？
（学生讨论、探究）
[生甲]窗花可以沿折痕对折，使折痕两旁的部分完全重合．
[生乙]不仅窗花可以沿一条直线对折，使直线两旁重合，上面图12．1．1中的图形也可以沿一条直线对折，使直线两旁的部分重合．
[生结论]这些图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合．
[师]太好了!我们把这样的图形叫做轴对称图形．
即（点击课件、屏幕显示）：
如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
[师]了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做．
（屏幕显示）
取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流．
（学生操作、讨论，教师指导）
[生]我们经过操作、讨论、交流得知：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合．
[师]很好，由此我们进一步了解了轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合．
接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条，大家请看屏幕．
（点击课件）
你能找出它们的对称轴吗？分小组讨论．
学生讨论得出结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）有无数条对称轴；图（4）有两条对称轴；图（5）有七条对称轴．
[师]大家回答得很好，看屏幕．
（演示折叠过程）
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
接下来，大家想一想，你发现了什么？
（屏幕显示）
[生甲]这些图形都是轴对称图形．
[生乙]可是轴对称图形指的是一个图形，而这些图形每组都是两个图形，能不能说两个图形成轴对称呢？
[师]乙同学的观察能力很强，提的问题非常好．像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
（屏幕显示上图中的两个成轴对称图形的对称点）
好，接下来我们做练习来巩固所学内容．
Ⅲ．随堂练习
（一）下面的图形是轴对称图形吗？如果是，你能指出它的对称轴吗？（图略）（学生口答）
[生甲]图（1）是轴对称图形，它的对称轴是过蝴蝶头和尾的直线．
[生乙]图（2）也是轴对称图形．它的对称轴是过第一架飞机头和尾的直线．
[生丙]图（3）是轴对称图形．它的对称轴是中间那条竖直的线．
[生丁]图（4）不是轴对称图形．图（5）是轴对称图形，它有四条对称轴．
[师]大家回答得很好，看来同学们已能判断轴对称图形并找出它的对称轴了．
（二）下面给出的每幅图中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点．
答案：图（1）（3）（4）中的两个图案是轴对称的，图（2）不是．其对称轴及对称点如图．
Ⅳ．课时小结
这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称．
Ⅴ．课后作业
课本习题．
Ⅵ．活动与探究
成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？
过程：（学生操作）在硬纸板上画两个成轴对称的图形，再用剪刀将这两个图形剪下来看是否重合．再在硬纸板上画出一个轴对称图形，然后将该图形剪下来，再沿对称轴剪开，看两部分是否能够完全重合．
结论：成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的．
轴对称是说两个图形的位置关系，而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形．
轴对称的两个图形和轴对称图形，都要沿某一条直线折叠后重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．15.3
等腰三角形
第2课时
等腰三角形的判定定理及推论
教学目的:
1、知识目标：会证明等腰三角形的判定定理。
2、能力目标：通过运用等腰三角形的判定定理解决有关的问题，提高运用知识和解决问题的能力。
3、情感目标：引导学生对图形观察、发现，激发学生的好奇心和求
知欲。
教学重点：等腰三角形判定定理及推论的探索。
教学难点：等腰三角形判定定理的证明和运用。
节前预习：1、
叫等腰三角形；
2、
叫等边三角形；
3、有一个角是
的
三角形是等边三角形；
教学过程：
一、情景创设上一节我们已经清楚了等腰三角形的一些基本性质，那么，如何证明一个三角形是否是等腰三角形呢？观察图32-1-1如果在△ABC中，将已知条件“AB=AC”改为“∠B=∠C”，结合图32-2-2,是否还能证得RT△ABD≌RT△ACD呢？从而是否还能得知AB=AC？二、合作交流：请同学们尝试完成，并进行交流：方法一：方法二：从而不难得出定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形三、实践运用：如图32-2-2△ABC中AB=AC，过BC上一点D作BC边上的垂线交BA的延长线于点P，交AC于点Q，试判断△APQ的形状，并证明你的结论。四、大家谈谈：如图32-2-2中在△ABC中，如果∠A=∠B=∠C,
△ABC是等边三角形吗？为什么？若AB=AC，如果∠A=60°那么△ABC是等边三角形吗？为什么？若AB=AC，如果∠B（或∠C）等于60°那么△ABC是等边三角形吗？为什么？请同学们就上面的问题分别给予证明：通过证明我们可以得出推论：推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的三角形是等边三角形五、课上训练：1、在下列四个命题中，正确的个数是（
）等腰三角形两腰上的中线相等等要三角形两腰上的高相等等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底边上任意一点到两药的距离之和等于一腰上的高A、1个
B、2个
C、3个
D、4个2.
BE、CD是△ABC的高，F是BC边的中点，求证：△DEF是等腰三角形。3.
△ABC中，AB=AC,添加一个条件，得出结论AD=AE
，则添加的条件是
。自我小结：通过今天这堂课的研究，我明白（
），我的收获与感受有（
），我还有疑惑之处是（
）。布置作业：
现代教学论认为：在正式进行探索和发现前，要让学生对探索的目标、意义有十分明确的认识，做好探索前的物质准备和精神准备。本环节中，充分调动学生的主观能动性，让学生大胆猜想、小心求证，经历性质证明的过程，增强理性认识，体验性质的正确性培养了学生的合情推理能力和演绎推理的能力学生从已有的知识经验出发，参与新知识的产生过程，在数学活动中，理解和掌握数学知识和技能，形成数学思想和方法，让每个学生在数学上得到不同的发展，人人都获得必需的数学。教师可指导学生动手画图，折纸，思考，讨论得出结论，并用适当的方法验证进一步巩固所学知识，及时反馈，查漏补缺，分层次布置作业，满足不同学生的发展需求体现层次性和开放性
C
A
B
图32-2-1
P
B
A
Q
D
C
32-2-2
A
B
D
E
C15．3 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质定理及推论
1．了解等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质定理及推论，会用定理及推论解决简单问题；(重点)
2．进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透转化思想；
3．培养学生探究思维、逻辑推理能力以及如何规范证明题书写格式等学习方法．(难点)
一、情境导入
如图，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个测平仪，在这个测平仪中，AB＝AC，BC边的中点D处挂了一个重锤，小明将BC边与木条重合，观察此时重锤是否过A点，如果过A点，那么这根木条就是水平的，你能说明其中的道理吗？
二、合作探究
探究点一：等边对等角
【类型一】
利用等边对等角求角度
等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是( )
A．65°或50°
B．80°或40°
C．65°或80°
D．50°或80°
解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.
方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
【类型二】
利用方程思想求等腰三角形中角的度数
如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是( )
A．18°
B．24°
C．30°
D．36°
解析：根据等腰三角形“等边对等角”的性质，求出∠C，再在△BCD中可求出∠DBC的度数．在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC.设∠C＝∠ABC＝x°，∵∠A＝36°，∴x＋x＋36＝180，解得x＝72，∴∠C＝72°.∵BD是AC边上的高，∴∠BDC＝90°.在△BDC中，∠DBC＝180°－90°－72°＝18°.故选A.
方法总结：关于三角形内角度数的计算问题，可以把其中的某个角设为未知数，并把另外两个角用这个未知数的代数式(或已知数据)表示，然后根据三角形内角和定理建立方程可以求解．
探究点二：等腰三角形“三线合一”
如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，S△ABC＝48cm2，点D为BC的中点，DE⊥AC于点E，则DE等于( )
A．5cm
B．4.8cm
C．2.4cm
D．2cm
解析：利用等腰三角形“三线合一”的性质，连接AD，根据D为BC的中点可以得到CD＝BC＝6，AD⊥BC.又S△ABC＝·AD·BC＝48cm2，BC＝12cm，可得AD＝8cm.因为DE⊥AC，因此S△ADC＝AD·CD＝AC·DE，即AD·CD＝AC·DE，从而可得DE＝4.8cm.故选B.
方法总结：本题主要考察等腰三角形的有关性质和三角形的面积计算公式；在等腰三角形中，“三线合一”是常作的辅助线，作出辅助线后容易找出解决问题的突破口．
探究点三：等边三角形的性质
如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________度．
解析：根据等边三角形的性质得出∠ACB＝60°，
根据CG＝CD可得出∠CDF的度数，再根据DF＝DE，最后即可得出∠E＝15°.∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵CG＝CD，∴∠CDG＝30°，∵DE＝DF，∴∠E＝15°.故答案为15.
方法总结：等边三角形的每一个内角都等于60°；等腰三角形的两个底角相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．在本题中，这三个定理得到了很好的诠释．在等边三角形或等腰三角形中欲求角的度数，与等边三角形以及等腰三角形中角的特点是分不开的．
三、板书设计
本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻，还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高．第2课时 角平分线的性质及判定
1．会叙述角的平分线的性质及判定；(重点)
2．能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题；(难点)
3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
一、情境导入
在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．
问题1：怎样修建道路最短？
问题2：往哪条路走更近呢？
二、合作探究
探究点一：角平分线的性质
【类型一】
利用角平分线的性质求线段的长度
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，则△DBE的周长是____________．
解析：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∠BAC的平分线AD交BC于D，DE⊥AB于E，根据角平分线的性质，可得CD＝ED，AC＝AE＝BC，继而可得△DBE的周长＝AB.故答案为7cm.
方法总结：此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．从题目提供的信息找出求证的思路是解题的关键，读懂题目信息比较重要．
【类型二】
角平分线的性质和三角形面积的综合
如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( )
A．6
B．5
C．4
D．3
解析：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABC＝×4×2＋AC×2＝7，解得AC＝3.故选D.
方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．
【类型三】
利用角平分线的性质证明线段相等
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.求证：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.
解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CD＝DE.再根据Rt△CFD≌Rt△EBD，得CF＝EB；(2)利用角平分线的性质证明△ADC和△ADE全等得到AC＝AE，然后通过线段之间的相互转化进行证明．
证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC.在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵∴Rt△CFD≌Rt△EBD(HL)，∴CF＝EB；
(2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在Rt△ADC与Rt△ADE中，
∵∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB.
方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等．
探究点二：角平分线的判定
【类型一】
判断点是否在角平分线上
如图，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：利用角平分线性质的逆定理分析．由已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等进行思考，首先考虑到两边距离相等，得出结论，然后考虑到另外两边距离相等再得结论，如此这样，答案可得．由角平分线性质的逆定理，可得①②③④都正确．故选D.
方法总结：此题主要考查角平分线性质的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．解答时，可分别处理，逐个验证．
【类型二】
角平分线的判定
如图，BE＝CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．
解析：先判定Rt△BDE和Rt△CDF全等，得出DE＝DF，再由角平分线的判定可知AD是∠BAC的平分线．
证明：∵DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴△BDE与△CDF是直角三角形．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE＝DF，∴AD是∠BAC的平分线．
方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．
探究点三：三角形角平分线的应用
已知：如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：
(1)可选择的地点有几处？
(2)你能画出塔台的位置吗？
解析：(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处．(2)作出直线l1，l2，l3两两相交组成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．
解：(1)可选择的地点有4处，如图：P1、P2、P3、P4，共4处；
(2)能，如图，根据角平分线的性质作三条直线相交所成的角的平分线，平分线的交点就是所求的点．
方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线的交点，这一结论在以后的学习中经常遇到．
三、板书设计
角平分线是初中数学中重要的概念，它有着十分重要的性质，通过本节的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识，同时为学习其他图形知识打好基础．教学时用数学语言叙述角平分线的性质定理和判定定理，让学生熟悉这两个定理的条件和结论后，再出一些具体的题目让学生在情境当中运用这两个定理．在证明定理时注重分析思路，学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚的表达思考的过程．在证明的选题上，注意减缓难度，循序渐进．15.1
轴对称图形
第2课时
平面直角坐标系中的轴对称
教学目标】
1.知识与能力：
（1）能够作轴对称图形；
（2）能够经过探索利用坐标来表示轴对称；
（3）能够用轴对称的知识解决相应的数学问题．
2.过程与方法：
在探索问题的过程中体会知识间的关系，感受函数与生活的联系．
3.情感、态度与价值观：
培养学生的应用意识和探究精神．
【教学重点】
（1）能够作轴对称图形；
（2）能够经过探索利用坐标来表示轴对称；
（3）能够用轴对称的知识解决相应的数学问题．
【教学难点】
用轴对称知识解决相应的数学问题．
【教学过程】
1、
创设情境，激发学生兴趣，引出本节课要研究的内容
活动1
观察图片
操作：自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？
学生活动设计：
学生观察图片，动手操作、观察所画图形，先独立思考，然后进行交流．
教师活动设计：
教师组织活动，引导学生作以下归纳：
（1）
由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；
（2）
新图形上一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；
（3）
连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
活动2
问题
如图（1），已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形吗？
图（1）
图（2）
学生活动设计：
学生进行讨论，然后根据讨论的结果独立作图，最后交流想法．根据轴对称的性质，只需要作出点A、B、C关于直线l的对称点再连接就可以了．
教师活动设计：
在学生交流的过程中，引导学生探索作对称点的方法．如图（2），作点A关于l的对称点的方法是：
（1）过A作l的垂线垂足为O；
（2）连接AO并延长到A′，使A′O＝AO，则点A′就是点A关于直线l的对称点．最后进行归纳．
几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；
对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．
活动3
二、观察操作，主动探索，研究坐标系内的轴对称
活动4
问题
在平面直角坐标系内画出下列已知点以及对称点，并把坐标填在表格中，你能发现坐标间有什么规律？
已知点
A(2，－3)
B（－1，2）
C（－6，－5）
D（0.5，1）
E（4，0）
关于x轴对称的点
关于y轴对称的点
学生活动设计：
学生动手画图，观察各个对称点与原来的点之间坐标的关系，经过讨论得出规律．
点（x，y）关于x轴对称的点的作标是（x，－y）；
点（x，y）关于y轴对称的点的作标是（－x，y）．
教师活动设计：
组织学生进行探索，观察猜测，然后进行归纳总结．
活动5
问题
如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－5，1），B（－2，1），
C（－2，5），D（－5，4），分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形．
学生活动设计：
学生根据活动4中发现的规律，首先求出点A、B、C、D关于x轴、y轴的对称点，然后再连接对称点即可．
教师活动设计：
本活动主要巩固加深学生对利用坐标表示轴对称的理解，所以要特别关注学生对对称点的坐标的求解过程．
三、应用提高、拓展创新
问题
如图所示：要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
教师和学生活动设计：
分组讨论，让学生探索：在街道上找一点C，使得AC+BC为最小．通过学生活动，使他们懂得：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小，这时作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．
学生自主探索其中的原因（原因：在直线l上取异于点C的点D，由于l垂直平分AA′，所以得到DA=DA′，所以DA+DB=DA′＋DB，根据两点之间线段最短得到DA′＋DB＞A′B，而A′B＝A′C+BC=AC+BC，于是有AD+DB>AC+BC．）
四、归纳小结、布置作业
小结：
1．作轴对称图形；
2．用坐标表示轴对称．第3课时 直角三角形中30°角的性质定理
1．理解并掌握含30°角的直角三角形的性质定理；(重点)
2．能灵活运用含30°角的直角三角形的性质定理解决有关问题．(难点)
一、情境导入
问题：
1．我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？
2．用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？
今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边角具有什么性质．
二、合作探究
探究点：含30°角的直角三角形的性质
【类型一】
利用含30°角的直角三角形的性质求线段长
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是( )
A．3cm
B．6cm
C．9cm
D．12cm
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.
方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD是高，且∠ABD＝30°，则CD＝________．
解析：因为三角形的高相对于三角形有三种情况：①在三角形的内部；②在三角形的外部；③在三角形的边上．因为此三角形为等腰三角形，第三种情况可以排除．故应分两种情况讨论：如图甲，当△ABC为锐角三角形时，由BD是高，根据直角三角形的性质易得AD＝AB＝5cm，CD＝AC－AD＝5cm；如图乙，当△ABC为钝角三角形时，易得AD＝AB＝5cm，CD＝AC＋AD＝15cm.故答案为5cm或15cm.
方法总结：此题比较简单，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
【类型二】
与角平分线或垂直平分线性质的综合运用
如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于( )
A．3
B．2
C．1.5
D．1
解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝PC＝×3＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.故选C.
方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
【类型三】
利用含30°角的直角三角形的性质探究线段之间的倍、分关系
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
解析：由条件先证△AED≌△BED，得出∠BAD＝∠CAD＝∠B，求得∠B＝30°，即可得到CD＝DB.
解：CD＝DB.理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴CD＝AD＝BD，即CD＝DB.
方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．
【类型四】
利用含30°角的直角三角形解决实际问题
某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC＝50m，AB＝40m，∠BAC＝150°，这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元？
解析：作BD⊥CA交CA的延长线于点D.在Rt△ABD中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD，即△ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．
解：如图所示，作BD⊥CA于D点．∵∠BAC＝150°，∴∠DAB＝30°.∵AB＝40m，∴BD＝AB＝20m，∴S△ABC＝×50×20＝500(m2)．已知这种草皮每平方米a元，所以一共需要500a元．
方法总结：解此题的关键在于作出CA边上的高，根据相关的性质推出高BD的长度，正确的计算出△ABC的面积．
三、板书设计
直角三角形中30°角的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能力的提高．不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高．第2课时 等腰三角形的判定定理及推论
1．理解等腰三角形的判定方法的证明过程；
2．掌握等腰三角形的判定定理及它的两个推论，能运用定理和推论进行简单的推理和计算；(重点、难点)
3．通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．
一、情境导入
某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(A点)为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度是50米，就可知河流宽度是50米．
同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定．
二、合作探究
探究点一：等腰三角形的判定
【类型一】
判定一个三角形是等腰三角形
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，从而可得△CEF是等腰三角形．
证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．
【类型二】
等腰三角形性质和判定的综合运用
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．
解析：(1)根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“SAS”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF.
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CEF中，∵∴△BDE≌△CEF(SAS)，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；
(2)解：∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE.∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∴∠B＝∠DEF.∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠B＝×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF＝65°.
方法总结：等腰三角形提供了很多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
探究点二：等边三角形的判定
等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
解析：先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．
解：△APQ为等边三角形．证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.在△ABP与△ACQ中，
∵∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．
方法总结：判定一个三角形是等边三角形有两种方法：一是证明三角形三个内角相等；二是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
三、板书设计
这一课的教学重点是等腰三角形的判定定理及应用，教学难点是等腰三角形的性质定理与判定定理的区别．学生刚刚学过等腰三角形的性质，对等腰三角形已经有了一定的了解和认识．因此在课堂教学中先引出等腰三角形的判定定理及推论，并能够灵活应用它进行有关论证和计算，提高学生的动手、归纳、猜想能力，发展学生证明用文字表述的几何命题的能力，使他们进一步掌握归纳思维方法，领会数学中分类讨论思想、转化思想．本节课的不足之处有：等边对等角与等角对等边一定要在同一个三角形中来研究，这点强调得不够．15.3
等腰三角形
第1课时
等腰三角形的性质定理及推论
教学目的
1．使学生了解等腰三角形的有关概念，掌握等腰三角形的性质。
2．通过探索等腰三角形的性质，使学生进一步经历观察、实验、推理、交流等活动。
重点：等腰三角形等边对等角性质。
难点：通过操作，如何观察、分析、归纳得出等腰三角形性质。
教学过程
一、复习引入
1．让学生在练习本上画一个等腰三角形，标出字母，问什么样的三角形是等腰三角形?
△ABC中，如果有两边AB=AC，那么它是等腰三角形。
2．日常生活中，哪些物体具有等腰三角形的形象?
二、新课
1．指出△ABC的腰、顶角、底角。
相等的两边AB、AC都叫做腰，另外一边BC叫做底边，两腰的夹角∠BAC，叫做顶角，腰和底边的夹角∠ABC、∠ACB叫做底角。
2．实验。
现在请同学们做一张等腰三角形的半透明纸片，每个人的等腰三
角形的大小和形状可以不一样，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD，如图(2)所示，你能发现什么现象吗?请你尽可能多的写出结论。
可让学生有充分的时间观察、思考、交流，可能得到的结论：
(1)等腰三角形是轴对称图形
(2)∠B＝∠C
(3)BD＝CD，AD为底边上的中线。
(4)∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线。
(5)∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线。
结论(2)用文字如何表述?
等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。
结论(3)、(4)、(5)用一句话可以归结为什么?
等腰三角形的顶角平分线，底边上的高和底边上的中线互相重合
(简称“三线合一”)。
例l已知：在△ABC中，AB＝AC,∠B＝80°，求∠C和∠A的度数。
本题较易，可由学生口述，教师板书解题过程。
引申：已知：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，求∠B和∠C的度数。
小结：在等腰三角形中，已知一个角，就可以求另外两个角。
三、练习巩固
本课时练习
补充：
填空：在△ABC中，AB＝AC，D在BC上，
1．如果AD⊥BC，那么∠BAD＝∠______，BD＝_______
2．如果∠BAD＝∠CAD，那么AD⊥_____，BD＝______
3．如果BD＝CD，那么∠BAD＝∠_______，AD⊥______
四、小结
本节课，我们学习了等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等
(简写“等边对等角”)；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合(简称“三线合一”)，它们对今后的学习十分重要，因此要牢记并能熟练应用。用数学语言表述如下：
1．△ABC中，如果AB＝AC，那么∠B＝∠C。
2．△ABC中，如果A月＝AC，D在BC上，那么由条件(1)∠BAD＝∠CAD，(2)AD⊥AC，(3)BD＝CD中的任意一个都可以推出另外两个。
五、作业
课后习题
教学后记：15.4
角的平分线
第2课时
角平分线的性质及判定
知识点
角平分线的性质角平分线的判定
教学目标
熟练了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分
线；掌握角平分线的性质和判定；综合运用角的平分线的性质和判定解决实际问题。
教学重点
角平分线的性质和判定
教学难点
角平分线的性质和判定的综合应用
教学过程
一、复习预习
?角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
二、知识讲解
考点1尺规作图画角平分线
（1）、以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。
（2）、分别以M、N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C。
（3）、画射线OC。射线OC即为所求.
考点2
角平分线的性质定理：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
定理的数学表示：
如图，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF＝DF.
定理的作用：
①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；
考点3
角平分线性质定理的逆定理：
角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.
定理的数学表示：
如图5，已知点P在∠AOB的内部，且PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，若PC＝PD，则点P在∠AOB的平分线上.
定理的作用：
用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系
.
考点4
关于三角形三条角平分线的定理：
（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等.
定理的数学表示：如图6，如果AP、BQ、CR分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分线，那么：
①AP、BQ、CR相交于一点I；
②
若ID、IE、IF分别垂直于BC、CA、AB于点D、E、F，则DI＝EI＝FI.
定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题.
（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.
三、例题精析
【例题1】
【题干】在△ABC中，∠C是直角，AD平分∠BAC，交BC于点D。如果AB＝8，CD＝2，那么△ABD的面积等于 。
【例题2】
【题干】如图，点D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且DM=DN，∠BMD+∠BND=180°．
求证：BD平分∠ABC．
【考点】1.全等三角形的判定与性质；2.角平分线的性质．
【例题3】
【题干】如图，在△ABC中，BD＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BE＝CF，在这个图中不再添加辅助线和字母，解决下列问题：
（1）除由DE⊥AB，DF⊥AC所产生的直角和其余已知条件外，请你分别写出图中两对相等的角和两对相等的线段（不证明）；
（2）请证明：AD是∠BAC的平分线．
【例题4】
【题干】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E．求证：△DEB的周长等于AB的长．
四、课堂运用
【基础】
1、【题文】如图所示，DE⊥AB，DF⊥AC，AE＝AF，则下列结论成立的是（???）
A．BD＝CD
B．DE＝DF
C．∠B＝∠C
D．AB＝AC
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．角平分线的性质
2、三角形中，到三边距离相等的点是：（????）
A．三条高线的交点
B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三边垂直平分线的交点
考点：角平分线的性质
3、如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC平分BD；④BD平分∠ADC中，正确的结论是（ ）
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．只有①
【巩固】
1、角的平分线的性质，其理论依据是全等三角形判定定理（ ）
A．SAS
B．HL
C．AAS
D．ASA
2、若∠AOB的平分线上一点P到OA的距离等于5，Q是射线OB上的任一点，则关于PQ的说法正确的是（ ）
A．PQ＞5
B．PQ＜5
C．PQ≥5
D．PQ≤5
【拔高】
1、已知，如图，∠B=∠C=90?，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
?
（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；
（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由.
考点：角平分线的判定和性质
点评：角平分线的性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.
2、如图所示，BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：D在∠BAC的角平分线上．
课程小结
1、尺规作图画角平分线
2、角平分线的性质定理
3、角平分线性质定理的逆定理15.4
角的平分线
第1课时
角平分线的尺规作图
教材分析
本节知识是在学习了角平分线的定义及其度量法作法；两条直线互相垂直，垂线的概念及用三角尺作垂线的方法；全等三角形，等腰三角形等知识后进
行的。它首先探索了角平分线的尺规作法，并在此基础上接着学习了过一点
作已知直线垂线的尺规作法。它们是几何的基本作图，也是今后进一步学习、研究几何知识的重要基础。
教学目标
知识与技能：
1.
掌握角平分线的尺规作法并会证明它的正确性。
2.
掌握过一点作已知直线垂线的尺规作法。
过程与方法：
1培养学生用直尺和圆规作图的能力及有条理地语言表达能力。
2.培养学生分析问题和解决问题的能力。
情感态度与价值观：
在探究作已知角的平分线的方法及作垂线的方法中，培养学生的几何直觉；培养学生探究问题的兴趣，增强探究问题的信心；体验数学活动的探索性和创造性。
教学重、难点
重点：角平分线及垂线的尺规作法；
难点：角平分线的尺规作法的正确性的证明；
教学教具：三角板，圆规，纸做的角等；
教学过程设计
1、
温故知新导入
课件展示：观察下列图形并找出它们的对称轴；
回顾角平分线的定义。
板书课题：15.4角的平分线
2、
新课教学
问题1：如图，已知∠AOB，如何作∠AOB的角平分线呢？
学生活动1：学生动手操作，思考：角的对称轴和角的平分线的关系。
学生观察思考并总结：折叠法、度量法、尺规作图法。
问题2：用尺规作图法作∠AOB的角平分线。
引导学生写出“已知”和“求作”并会根据作法作出∠AOB的角平分线。老师先在黑板上演示作法，在让同学们根据作法作出∠AOB的角平分线，并思考每一步作法的可行性，
老师巡视指导。
问题3：为什么OP是角平分线呢？
你能证明吗？
活动2：小组交流，合作探究证明过程。可让学生板演证明过程。
创新提高，继续探究。
问题4：当∠AOB
=180°时，角平分线怎么画？
活动3：引导学生积极思考，组内交流，确定画法。
问题5：经过一点作这条直线的画法
已知：直线AB及一点C，
求作：直线AB的垂线，使它经过点C
1.当点C在直线AB上时；
2.当点C在直线AB外时。
在这题中注意渗透分类讨论思想。
练习巩固：
任作两条长度不等的线段a，b（b>a），你能用尺规作图的方法作出以a为直角边，以b为斜边的直角三角形吗？
a
b
三、总结收获
谈一谈你本节课的收获和体会
4、
布置作业
1.课本143页练习2；
2.探索课本143页思考。
四、板书设计
15.4角的平分线
1.角的平分线的作法
2．经过一点作已知直线的垂线
(1).
.当点C在直线AB上时；
(2).
当点C在直线AB外时。
