13.1
三角形中的边角关系
2.三角形中角的关系
学习目标:
⒈经历实验活动的过程,掌握三角形的内角和定理,初步掌握添加辅助线的方法.
⒉能应用三角形内角和定理.
学习重点:三角形内角和定理以及定理的应用.
学习难点:三角形内角和定理的推理过程
教学过程:
一、操作探究
1.实验:用折纸的方法探究三角形内角和的证明思路:同学们动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处,你有哪些方法?你发现了什么?
⒉证明:试以你所发现的方法谈谈是如何说明三角形的内角和等于180°的?
如图⑴
已知:△ABC,
求证:∠A+∠B+∠C=180°.
证明:延长BC到D,过点C作CE∥BC
.
∵CE∥BC
(已知)
∴∠2=
(
)
∠1=
(
)
又∵∠1+∠2+
=180°(
)
∴∠A+∠B+
=180°(
)
⒊三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°
二、三角形内角和定理的应用:
⒈利用三角形内角和定理来直接计算角度.
⑴△ABC中,若①若∠A=50°,∠B=70°,则∠C=
;
②若∠A=30°,∠B∶∠C=3∶2,则∠B=
;
⑵在直角三角形中,两锐角之差为20°,则这两个锐角的度数分别为
.
⑶在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则∠A=
,∠B=
,∠C=
.
⑷如图⑵,在△ABC中∠C=90°CD⊥AB,∠B=50°.则∠DCA=
.
⑸△ABC中,∠B=40°,∠C=60°,AD平分∠BAC,则∠DAC=
.
2.如图,B处在A处的南偏西45°方向,C处在A处的南偏东15°方向,C处在B处的北偏东80°方向,求∠ACB.
三、课堂练习
课本练习
四、课堂小结:
五、当堂清
⑴下列说法正确的是
(
)
A、三角形的内角中最多只有一个锐角
B、三角形的内角中最多只有两个锐内角
C、三角形的内角中最多有一个直角
D、三角形的内角都大于60°
⑵△ABC中,已知∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5,则△ABC是 (
)
A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定
⑶下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是 (
)
A、∠A+∠B=∠C B、∠A+∠B=90°C、∠A-∠B=∠C
D、∠A=2∠B=5∠C
⑷已知△ABC中,∠A=2﹙∠B+∠C﹚,则∠A的度数为
(
)
A、100°
B、
120°
C、140°
D、160°
⑸如图⑷,在△ABC中,∠B,∠C的平分线交于点O,
若∠BOC=132°,求∠A的度数。
参考答案:1.C
2.B
3.
D
4.
B
5.
解:∵∠BOC=132°,
∴∠OBC+∠OCB=180-∠BOC=48°
又∵∠OBC=1/2∠ABC,∠OCB=1/2∠ACB(角平分线的定义)
∴∠ABC+∠ACB=96°
∴∠A=180°-96°=84°.
六、学习反思13.1
三角形中的边角关系
3.三角形中几条重要线段
一.自学
自学方法
一.1、自学课文:画出各三角形的高(用三角尺和直尺作垂线)
2、自学课文:画出各三角形的中线(用刻度尺)
3、自学课文:作出各三角形的角的平分线
4、手工活动:用纸片做三个三角形,用折线的方法作出三角形的高,三角形的中线,三角形角的平分线。(每种线用一个三角形)比较一下,有什么收获:
三角形的三条高、中线、角平分线,它们都是线段,且相交于一点。
注意:角的平分线是一条射线,
三角形的角平分线是线段。
二.如图,在ΔABC中,AE是中线,
AD是角平分线,AF是高,
完成推理:
∵
AD是△ABC的角平分线(
)
∴
∠
=
∠
=
1/2∠
(
)
∵
AE是△ABC的中线(
)
∵
AF是△ABC的高(
)
∴
BE=
(
)
∴∠
=
∠
=
900
BC=2
=2
(
)
(
)
二.用学
1、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是(
)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
1.下列说法正确的是(
)
①平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线;②三角形的中线,角平分线都是线段,而高是直线;③每个三角形都有三条中线,高和角平分线;④三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线。
A.
③④
B.
③
C.
②③
D.
①④
3、已知AB=5,AC=3,AD是中线,则三角形ABD与三角形ADC的周长相差多少?
三.测学
1.三角形的三条高在(
)
A.三角形的内部
B.
三角形的外部
C.三角形的边上
D.三角形的内部,外部或边上
2、如左图,BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB,∠A=400
,则∠O=
3、如右图,
AD是△ABC的中线,则S△ABD
S△ACD13.2
命题与证明
第2课时
证明
学习目标:
1.
能判断命题的真假,通过举反例判定一个命题是假命题,学会从反面思考问题的方法
2.了解真命题的证明过程和格式
学习重点:真命题的证明格式和过程
一、自主预习,认真准备
回顾课本75-76页内容,完成下列各题:
1.下列语句不属于定义的是( )
A
有一个角是直角的三角形,叫直角三角形.
B两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.C
有六条边相等,六个角相等的多边形叫正六边形.
D
两个全等三角形的对应边相等
2.指出下列各命题的条件和结论:
(1)如果两个角相等,那么它们是对顶角。条件:
结论:
。
(2)如果a>b,b>c,那么a=c.
条件是:
结论是:
(3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。条件:
结论:
(4)菱形的四条边都相等。条件:
结论:
:
(5)全等三角形的面积相等。条件:
结论:
3.命题的分类有:
命题与
命题。“相等的角是对顶角”是
命题。
4.公理是指
。
定理是指
。
证明是指
。
二、自主探究,合作交流
活动一:
如何证实一个命题是真命题呢?阅读教材78页内容。
用我们这套教材提供的如下公理作为判断依据:(要求理解、记忆课本168页公理。)
归纳:一般情况下:真命题是条件正确,结论也
。假命题是条件正确,结论
。
活动二:证明“对顶角相等”
已知:如图,直线AB与直线CD相交于点O,
∠AOC与∠BOD是对顶角。
求证:∠AOC=∠BOD
三、当堂训练,检测固学
1.
指出下列命题的题设、结论:
(1)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点;
(2)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行;
解:(1)题设:____________________
结论:________________________
(2)题设:
结论:
2.
把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式:
(1)平行于同一直线的两条直线平行.
如果:
,那么
;
(2)同角的余角相等.
如果:
,那么
;
(3)绝对值相等的两个数一定相等.
如果:
,那么
;
4.下列命题中,是真命题的打“√”,不是真命题的打“×”:
A、锐角大于它的余角
(
)
B、锐角大于它的补角
(
)
C、钝角大于它的补角
(
)
D、锐角与钝角之和等于平角(
)
E、两个直角三角形一定相似。(
)
F、相似三角形的对应边相等。(
)
G、两角相等的两个三角形一定相似。(
)
H、两个等边三角形一定相似(
)
I、若x则-2x<-2y(
)
四、学教后记13.2
命题与证明
第1课时
命题
一、【学习目标】
1.
通过具体实例,了解定义、命题、真命题、假命题的意义。
2.
结合具体实例,会区分命题的条件和结论。
二、【学习重难点】
重点:结合具体实例,会区分命题的条件(题设)和结论.
难点:当命题的条件和结论不十分明显时,能区分命题的条件(题设)和结论.
三、【自主学习】
1、你能说出下列名称的定义吗?
(1)平行线;
(2)绝对值;
(3)方程的解.
2、比较下列句子在表述形式上哪些对事情作了判断?哪些没有对事情作出判断?
(1)鸟是动物;
(2)若a2=4,求a的值;
(3)若a2=b2,则a=b;
(4)a、b两条直线平行吗?
(5)画一个角等于已知角;
(6)0.33是无理数;
(7)
两直线平行,同位角相等.
四、【合作探究】
1、提问:
“鸟是动物.”与“鸟是动物吗?”这两句话一样吗?如果不一样,有什么不同?
2、
总结.
(1)命题的概念;
(2)命题的特征.
3、下列命题的条件是什么?结论又是什么?各个命题作出的判断正确吗?
(1)如果a、b两数的积为0,那么a、b两数都为0;
(2)如果两个角互为补角,那么这两个角和为180°;
(3)两直线平行,同旁内角互补;
(4)两直线相交,只有一个交点;
(5)有公共端点的两个角是对顶角.
3、
概括真命题、假命题的定义.
五、【达标巩固】
1、判断下列命题中,哪些是真命题?哪些是假命题?
(1)相等的角是对顶角;
(2)内错角相等;
(3)大于90度的角是平角;
(4)如果a>b,b>c,那么a>c.
2、下列句子中,哪些是命题?哪些不是命题?如果是命题,那么它的条件是什么?结论又是什么?是真命题?还是假命题?
(1)
画一个角等于已知角;
(2)
a、b两条直线平行吗?
(3)
直角三角形两锐角互余.
(4)
过一点画已知直线的垂线.
(5)
若a=b,则a2=b2.13.2
命题与证明
第3课时
三角形内角和定理的证明及推论1,2
学习目标:
(1)
知识与技能
:
? 掌握“三角形内角和定理”的证明过程,并能根据这个定理解决实际问题。
(2)
过程与方法
:
? 通过学生猜想动手实验,互相交流,师生合作等活动探索三角形内角和为180度,发展学生的推理能力和语言表达能力。对比过去撕纸等探索过程,体会思维实验和符号化的理性作用。逐渐由实验过渡到论证。
通过一题多解、一题多变等,初步体会思维的多向性,引导学生的个性化发展。
(3)情感态度与价值观:
??
?通过猜想、推理等数学活动,感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性,提高学生的学习数学的兴趣。使学生主动探索,敢于实验,勇于发现,合作交流。
1.
自主预习课本p80—p81内容,独立完成课后练习1、2后,与小组同学交流(课前完成)
2.
回顾课本p80—p81思考下列问题:
1、
三角形的内角和是多少度?你是怎样知道的?
2、
那么如何证明此命题是真命题呢?你能用学过的知识说一说这一结论的证明思路吗?你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗?与同伴进行交流。
3、
回忆证明一个命题的步骤
①画图
②分析命题的题设和结论,写出已知求证,把文字语言转化为几何语言。
③分析、探究证明方法。
4、要证三角形三个内角和是180°,观察图形,三个角间没什么关系,能不能象前面那样,把这三个角拼在一起呢?拼成什么样的角呢?
①平角,②两平行线间的同旁内角。
5、要把三角形三个内角转化为上述两种角,就要在原图形上添加一些线,这些线叫做辅助线,在平面几何里,辅助线常画成虚线,添辅助线是解决问题的重要思想方法。如何把三个角转化为平角或两平行线间的同旁内角呢?
①?如图1,延长BC得到一平角∠BCD,然后以CA为一边,在△ABC的外部画∠1=∠A。????????????????????????
②??
如图1,延长BC,过C作CE∥AB
③??????
如图2,过A作DE∥AB????????????????????
④??????
如图3,在BC边上任取一点P,作PR∥AB,PQ∥AC。
3、
巩固练习
四、学习小结:(回顾一下这一节所学的,看看你学会了吗?)
五、达标检测:
1.、
2、
6、
布置作业13.2
命题与证明
第4课时
三角形的外角
学习目标
1、三角形的外角的概念和三角形的内角和定理的两个推论。
2、.经历探索三角形内角和定理的推论的过程,进一步培养学生的推理能力,理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用。
3、通过探索三角形内角和定理的推论的活动,来培养学生的论证能力,拓宽他们的解题思路,从而使他们灵活应用所学知识。
学习重点:三角形内角和定理的推论。
学习难点:三角形的外角、三角形内角和定理的推论的应用。
一:自主预习课本P82-P83例5,完成课后练习题后,与小组同学交流
(课前完成)
二、回顾课本思考下列问题:
1、复习旧知
上节课我们证明了三角形内角和定理,大家来回忆一下:它的证明思路是什么?
2、尝试发现、探索新知
那什么叫三角形的外角呢?
三角形的一边与(
)组成的角,叫做三角形的外角。
3、动手操作,合作探究,发现新知:
教师活动:∠1是△ABC的一个外角,∠1与图中的其他角有什么关系呢?能证明你的结论吗?
引导学生通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理:
三角形的外角的性质
三角形的一个外角等于(
)。
三角形的一个外角大于任何一个(
)。
在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理,像这样,由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论(corollary)。
因此这两个结论称为三角形内角和定理的推论.它可以当做定理直接使用。
注意:应用三角形内角和定理的推论时,一定要理解其意思.即:“和它不相邻”的意义。
4、练习
已知:如图,
求∠C的度数。
5、例题分析,拓展思维
例1:已知,如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C,求证:
AD∥BC
2、证明:三角形的三个外角和360°.
三、巩固练习:
四边形的四个外角和是(
),并说明理由。
1、已知:如图,五角星形的顶角分别是,,,,
求证:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180
议一议:
有的
同学想连结CD,把五个角“凑”到内,他的想法可行吗?
小组讨论,尝试证明
2、如图:已知,在⊿ABC中,
1是它的一个外角,E为边
AC上的一点,延长BC到点D,连接DE,证明:
1﹥
2
点拨:看到要证两个角的不等关系,会让我们想到三角形内角和定理的推论2,但此题中的∠1和∠2却不是一个三角形的内角和外角,所以我们应找到一个间接量来牵线搭桥,那么可以找谁呢?
四、学习小结:(回顾一下这一节所学的,看看你学会了吗?)
五、达标检测
1、课本P83
2、三角形的三个外角中最多有_______个锐角。
3、如图:求
A+
B+
C+
D+
E+
F?
4、△
ABC中,BE为∠ABC的平分线,CE为∠ACD的平分线,两线交于E点。你能找出∠E与∠A有什么关系吗?
六、布置作业
A
B
C
75°75
32第13章
三角形中的边角关系、命题与证明
13.1
三角形中的边角关系
1.三角形中边的关系
【学习目标】
1、结合三角形的实例,探索、掌握三角形三条边之间的关系.会用符号表示三角形,会按边的关系对三角形进行分类.理解三角形三边之间的不等关系,并会初步应用它们来解决问题.
2、结合具体实例,进一步认识三角形的概念及其基本要素,掌握三角形三边关系.
3、通过观察、推理、交流等活动,发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力.
【学习重点】三角形的三边之间的不等关系.
【学习难点】应用三角形的三边之间的不等关系判断3条线段能否组成三角形.
【自习】
阅读教材相关内容,完成以下练习。
1、三角形的定义:由
的三条线段
所组成的图形叫做三角形。
2、三角形的有关概念:
①边:
。
②角:
。
③顶点:
。
3、三角形的表示方法:
以A、B、C为顶点的三角形记作
,读作
。
4、三角形的分类:
①按三个内角的大小分类:
②按边进行分类。
等腰三角形是
条边相等的三角形;等边三角形是
条边相等的三角形。那么等边三角形是否属于等腰三角形呢?
。
2.右图中有几个三角形?分别用符号表示这些三角形。
3.下列长度的三条线段能否组成三角形?为什么?
(1)3,
4,
8
(2)5,
6,
11
(3)5,
6,10
【自疑】
【自探】
【活动一】观察右图,完成以下问题.
1、图中由A点至B点,有
条路线。哪条路线最近?根据是:
。
这样,三角形的三边之间存在着这样的不等关系:
。
于是有:(得出的结论)
。
2.练习:下列长度的三条线段能否组成三角形?
①3,4,11
(
)
②
2,5,6
(
)
③
3,5,8
(
)
【活动二】
小明同学有两根长度为40cm、90cm的木条,他想钉一个三角形的木框,那他第三根应该如何选择?下列的几根木条有适合的吗?
(40cm,50cm,60cm,90cm,130
cm)
【活动三】一个等腰三角形的周长为28cm.①已知腰长是底边长的3倍,求各边的长;
②已知其中一边的长为6cm,求其它两边的长.
【自结】
【自测】
1、图中有
个三角形。以E为顶点
的三角形有
。以BC为
边的三角形有
。
2、一个三角形中至少有
个锐角,至多有
个锐角.
3、下列长度的三条线段能组成三角形的是(
)
A、3,4,8
B、5,6,11
C、2,4,5
D、12,8,22
4、等腰三角形一条边等于5,一条边等于6,求它的周长。
三角形
三角形