第11章
平面直角坐标系
11.1
平面内点的坐标
专题一
点的位置与不等式间的关系
1.已知点M（3a－9，1－a）在第三象限，且它的坐标都是整数，则a
=（
）.
A.1
B.2
C.3
D.0
2.在平面直角坐标系中，如果mn＞0，那么点(m，∣n∣)一定在（
）.
A.第一象限或第二象限
B.第一象限或第三象限
C.第二象限或第四象限
D.第三象限或第四象限
3.若点A（a-1,a）在第二象限，则点B（,a-2）在第
象限.
专题二
点的坐标中的开放题
4.若点P（x，y）的坐标满足x＋y＝xy，则称点P为“和谐点”。请写出一个“和谐点”的坐标，答：
.
5.已知点P在第四象限，它的横坐标与纵坐标的和为1，点P的坐标可以是
（只要写出一个符合条件的坐标即可）.
专题三
点的坐标中的规律探究题
6.一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图12-1-10中箭头所示方向运动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是（
）.
A.(4，0)
B.(5，0)
C.(0，5)
D.(5，5)
7.在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．且规定，正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…则边长为8的正方形内部的整点的个数为(
)
???
A．64．
?B．49．
?C．36． D．25．
8.如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为(1，0)和
(2，0)
．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点(45，2)的是点
．
专题四
点的坐标中的阅读理解题
9.（2011·永州）对点（x，y
）的一次操作变换记为P1（x，y
），定义其变换法则如下：P1（x，y
）=（x+y，x-y）；且规定（为大于1的整数）．如P1（1，2
）=（3，-1），P2（1，2
）=
P1（P1（1，2
））=
P1（3，-1）=（2，4），P3（1，2
）=
P1（P2（1，2
））=
P1（2，4）=（6，-2）．则P2011（1，）=（
）
A．（0,21005
）
B．（0,-21005
）
C．（0,-21006）
D．（0,21006）
11.一只青蛙在平面直角坐标系上从点（1，1）开始，可以按照如下两种方式跳跃：
①能从任意一点（a，b），跳到点（2a，b）或（a，2b）；
②对于点（a，b），如果a＞b，则能从（a，b）跳到（a－b，b）；如果a＜b，则能从（a，b）跳到（a，b－a）．
例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1），跳跃的一种路径为：
（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）．
请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由．
（１）（3, 5）； （２）（12，60）； （3）（200，5）； （4）（200，6）．
【知识要点】
1.对平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点P的坐标.
2.x轴和y轴把坐标平面分成四个部分,分别叫做第一、二、三、四象限.各象限内点的坐标符号分别为(+,+)、(-,+)、(-,-)、(+,-).
【温馨提示】
1.点的坐标是用一个序实数对表示的,有顺序要求,即点(a,b)和(b,a)一般不表示同一个点.
2.坐标轴上的点不属于任何一个象限,其纵横坐标的积为0.
3.利用平面直角坐标系描述某些地理位置，坐标系的确定是关键,有些是自由确定,有些要根据题目所给条件进行确定.
【方法技巧】
1.在根据点的位置确定字母的取值范围时,根据题目条件得到不等式组是关键.
2.在坐标系中,求多边形的面积,常通过向坐标轴作垂线,将多边形分割成直角三角形、直角梯形、长方形等的面积和继续计算.
参考答案
1.B
提示:在第三象限的点的横坐标为负，纵坐标也为负，故，解得，又a为整数，故a
=
2.
2.A
提示:由mn＞0，知m、n同号,当m＞0时,n＞0,|n|＞0,点(m，|n|)在第一象限;当m＜0时,n＜0,|n|＞0,点(m，|n|)在第二象限.
3.三
提示:由点A在第二象限,可得,解得0＜a＜1,所以a-1＜0,a-2＜0,从而＜0,所以点B在三象限.
4.答案不唯一,如（2，2）或者（0，0）
提示:根据已知数据，适当取定x的值，解方程，求出y即可.如取x＝0，得y＝0；取x＝2，得y＝2.
5.答案不唯一,例如（2，－1）.
时间
0
1
2
3
4
6
8
9
12
15
坐标
(0,0)
(0,1)
(1,1)
(1,0)
(2,0)
(2,2)
(0,2)
(0,3)
(3,3)
(3,0)
6.B
提示:根据题意,对质点的几个特殊位置和对应的时间列表如下:
从表格中可以看出,时间为4n2(n为自然数)时质点的坐标为(2n,0),时间为(4n2-1)秒时质点的坐标为(2n-1,0),则第35妙时,n=3,此时质点的坐标为(5,0),应选B.
7.B
提示:由题意可知，边长为1和2时，只有一个整点，边长为3和4时中间的整点为3×3=9个，边长为5和6时，整点为5×5=25
个，边长为7和8时，整点为7×7=49个．
8.B
提示:因为C、D两点坐标分别为（1，0）、（2，0）,所以按题中滚动方法点E经过点（3，0），点F经过点（4，0），点A经过点（5，0），点B经过(6,0).因为六边形的边长为1,所以而该六边形中AD=BE=CF=2,而点（45，0）的横坐标是6的倍数多3,，该六边形滚动6次正好一周,故可知经过（45，0）的点经过（3，0），所以点E经过点（45，0）,因为BE=2,所以点B经过点（45，2）.
9.D
提示:根据定义的变换法则P1（1，）=（0，2），P2（1，）=（2，—2），P3（1，）=（0，4），P4（1，）=（4，—4），从而找出其规律：P2n（1，）=（
），P2n—1（1，）=，因此P2011（1，）=（0,21006）.
11.（1）能到达点（3，5）和点（200，6）．
从（1，1）出发到（3，5）的路径为：
（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）→（3，2）
→（3，4）→（3，8）→（3，5）．
从（1，1）出发到（200，6）的路径为：
（1，1）→（1，2）→（1，4）→（1，3）→（1，6）→（2，6）→（4，6）
→（8，6）→（16，6）→（10，6）→（20，6）→（40，6）→（80，6）
→（160，6）→（320，6）→（前面的数反复减20次6）→（200，6）．
（2）不能到达点（12，60）和（200，5）．
理由如下：
∵
a和b的公共奇约数=a和2b的公共奇约数=2a和b的公共奇约数，
∴
由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数．
∵
如果a＞b，a和b的最大公约数=（a－b）和b的最大公约数，
如果a＜b，a和b的最大公约数=（b－a）和b的最大公约数，
∴
由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数．
从而按规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数．
∵
1和1的公共奇约数为1，12和60的公共奇约数为3，200和5的公共奇约数为5.
∴
从（1,1）出发不可能到达给定点（12，60）和（200，5）．11.2
图形在坐标系中的平移
专题一
图形平移中的规律探究题
1.）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．
（1）填写下列各点的坐标：A4（
，
），A8（
，
），A12（
，
）；
（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）；
（3）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．
2.如图所示，矩形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1),B(2,1),C(2,3),D(1,3).
(1)将矩形ABCD向上平移2个单位，画出相应的图形，并写出各点的坐标；
(2)将矩形ABCD各个顶点的横坐标都减去3，纵坐标不变，画出相应的图形；
(3)观察（1）、（2）中的到的矩形，你发现了什么？
3.在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC平移使得点A移至图中的点A′的位置．
(1)在直角坐标系中，画出平移后所得△A′B′C′（其中B′、C′分别是B、C的对应点）．
(2)计算：
对应点的横坐标的差：
，
，
；
对应点的纵坐标的差：
，
，
.
(3)从（2）的计算中，你发现了什么规律？请你把发现的规律用文字表述出来．
(4)根据上述规律，若将△ABC平移使得点A移至A″（2，-2），那么相应的点B″、C″（其中B″、C″分别是B、C的对应点）的坐标分别是
、
．
专题二
图形平移中的规律探究题
4.初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m，n），如果调整后的座位为（i，j）,则称该生作了平移[a,b]=[m
-
i，n
-
j]，并称a+b为该生的位置数.若某生的位置数为10，则当m+n取最小值时，m?n的最大值为
.
5.国际象棋、中国象棋和围棋号称世界三大棋种.
国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多：“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格，而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格.如图甲是一个4×4的小方格棋盘，图中的“皇后Q”能控制图中虚线所经过的每一个小方格.
(1)在如图乙的小方格棋盘中有一“皇后Q”，她所在的位置可用“（2，3）”来表示，请说明“皇后Q”所在的位置“（2，3）”的意义，并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后Q”所控制的四个位置.
(2)如图丙也是一个4×4的小方格棋盘，请在这个棋盘中放入四个“皇后Q”，使这四个“皇后Q”之间互不受对方控制（在图丙中的某四个小方格中标出字母Q即可）.
【知识要点】
1.点的平移变换与坐标的变化规律是：点(x，y)右（左）移m个单位，得对应点(x±m，y)，点(x，y)上（下）移n个单位，得对应点(x，y±n).
2.图形的平移变换与坐标的变化规律一般是通过从图形中特殊点,转化为点的平移变换解决.
【温馨提示】
1.平移只改变物体的位置,不改变的物体的形状和大小,因此,平移前后图形的面积不变.
2.一个图形进行平移,这个图形上所有的点的坐标都要发生相应的变化;反之,如果图形上的点的坐标发生变化,那么这个图形进行了平移.
【方法技巧】
1.点的平移与其坐标的变化规律是解决平移问题的关键,平移的方向决定了坐标是加还是减,平移的距离决定了加(或减)的数值.
2.作平移后的图形时,可先作出平移后图形中某些特殊点,然后再连结即可得到所需要的图形.
参考答案
1.⑴
A4（2，0）；
A8（4，0）；
A12（6，0）；
⑵
A4n（2n,0）；⑶
向上．
2.(1)将矩形向上平移2个单位，画出图形（略），矩形相应点的坐标为,.(2)
，.图形略.（3）发现（1）、（2）中的两图形形状、大小完全相同.
3.(1)平移后的图形如图;
(2)5
5
5
1
1
1
(3)对应点的横坐标的差都相等；对应点的纵坐标的差都相等（保持不变）;(4)（4，-3），（6，0）.
4.36
提示:由已知，得a+b=m-i+n-j，即m-i+n-j=10，所以m+n=10+i+j，当m+n取最小值时，i+j最小为2，所以m+n的最小值为12，因为m+n=12=3+9=4+8=5+7=6+6=…，m?n的最大值为6×6=36．
5.(1)说明皇后在第2列,第3行的位置,不能被控制的位置有(4,4),(1,1),(3,1),(4,2);(2)放在如(1,2),(2,4),(3,1),(4,3)四个位置.
O
1
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
A12
x
y
1
2
3
4
1
2
3
4
Q
甲
1
2
3
4
1
2
3
4
Q
行
列
乙
1
2
3
4
1
2
3
4
丙
第5题图
