第12章
一次函数
12.1
函数
专题一
函数图象信息题
1.下列各图中，是函数图象的是（
）．
2.在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中,某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程
S
（米）与所用时间
t
（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD
.
下列说法正确的是(
).
A.小莹的速度随时间的增大而增大
B.小梅的平均速度比小莹的平均速度大
C.在起跑后
180
秒时，两人相遇
D.在起跑后
50
秒时，小梅在小莹的前面
3.如图所示的是某市2013年6月某一天的气温随时间变化的情况，请观察此图，回答下列问题．
（1）这天的最高气温是
℃；
（2）这天共有
个小时的气温在31℃以上；
（3）这天在
（时间）范围内温度在上升；
（4）请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约是多少度？
专题二
函数中的阅读理解题
4.在密码学中，直接可以看到内容的为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码.有一种密码，将英文26个字母a，b，c，…，z（不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（见表格）.当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号y＝；当明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号y＝+13.
字母
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
字母
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
序号
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
按上述规定，将明码“love”译成密码是（
）.
A.gawq
B.shxc
C.sdri
D.love
5.阅读下面材料，再回答问题：
一般地，如果函数x=f（x）对于自变量取值范围的的任意x，都有f（-x）=-f（x），那么y=f（x）就叫做奇函数；如果y=f（x）对于自变量取值范围内的任意x，都有f（-x）=f（x），那么y=f（x）就叫做偶函数．
例如：f（x）=x3+x，当x取任意实数时，f（-x）=（-x）3+（-x）=-x3-x=-（x3+x），即f（-x）=-f（x），因此f（x）=x3+x为奇偶数．
又如f（x）=│x│，当x取任意实数时，f（-x）=│-x│=│x│=f（x），即f（-x）=f（x），因此f（x）=│x│是偶函数．
问题（1）：下列函数中：
①y=x4；②y=x2+1；③y=；④y=；⑤y=x+．
奇函数有_________，偶函数有________（只填序号）．
问题（2）：请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数．
专题三
函数中的规律探究题
6.观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为y.
(1)填表：
n
1
2
3
4
5
6
···
y
1
3
7
···
(2)用函数解析式来表示y与n之间的关系.
【知识要点】
1.在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在它允许取值范围内的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.
2.函数的表示方法一般有三种:(1)解析式法;(2)列表法;(3)图象法.
3.在函数解析式中,用自变量的值带入求得的值叫做函数值.函数自变量的取值由所给函数解析式确定,要保证函数解析式有意义.
【温馨提示】
1.常量与变量是相对于一个变化过程而言,变化过程不同,它们可能发生变化,要能具体问题具体分析,防止因知识迁移发生错误.
2.函数的三种表示方法之间是可以相互转化的,在具体的问题中,应选择合理的函数表示方法.
【方法技巧】
1.函数的实质是研究两个变量之间的对应关系,判断一个关系式是不是函数关系,关键是看自变量取一个值后,是不是只有唯一值与其对应.
2.自变量的取值范围主要考虑:(1)分母中有自变量时,应使分母不能为零;(2)当含有开偶次方的式子时,要保证被开方数非负;(3)自变量的取值要使实际问题有意义.
参考答案:
1.B
提示:紧扣函数的概念，抓住函数概念中的自变量与函数之间的一一对应关系，结合图象知A、C、D中都存在一个x值对应了两个y的值，故都不是函数．故选B
2.D
提示:由于OA是一条线段，说明小莹跑步时是匀速的，速度为800÷180=（米/秒），而OBCD是折线，说明小梅跑步的速度是变化的，其平均速度为800÷220=（米/秒），从而可知选项A、B都是错误的；在起跑180秒后，小莹到达了终点，而小梅还在途中，故选项C错误；从图象上可以看出起跑后50秒时，小梅跑的路程要比小莹跑的路程多，所以小梅在小莹的前面,故D正确.
3.（1）37
（2）9（即从12时到21时）
（3）3～15时
（4）23～26℃均可（答案不唯一）.
4.B
提示:依题意，当明码为“love”时，有l→12，是偶数，即密码对应的序号y＝+13＝+13＝19，所以对应的密码为s；同理，o→15，是奇数，即密码对应的序号y＝＝＝8，所以对应的密码为h；v→22，是偶数，即密码对应的序号y＝+13＝+13＝24，所以对应的密码为x；e→5，是奇数，即密码对应的序号y＝＝＝3，所以对应的密码为c.所以将明码“love”译成密码是“shxc”.故应选B.
5.（1）③⑤，①②
（2）奇函数y=HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网"
EMBED
Equation.DSMT4
，偶函数y=x2.
（答案不唯一）.
6．(1)
13
21
31
(2)
y=n2－
n
+1.12.2
一次函数
专题一
一次函数解析式的确定
1.如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（－2,4），B（4，2），直线y=kx-2与线段AB有交点，则k的值可能是（
）
A.-5
B.-2
C.3
D.
5
2.小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作：
请根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球量筒中水面升高_______cm；
（2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？
专题二
一次函数中的开放性问题
3.
“一根弹簧原长10cm,在弹性限度内最多可挂质量为5kg的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，
，则弹簧的总长度y（cm）与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式是y=10+0.5x
(0≤x≤5).”
王刚同学在阅读上面材料时就发现部分内容被墨迹污染，被污染部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是：
（只需写出一个）．
4.阅读函数图象,并根据你所获得的信息回答问题：
(1)折线OAB表示某个实际问题的函数图象,请你编写一道符合图象意义的应用题;
(2)根据你所给出的应用题分别指出x轴,y轴所表示的意义,并写出A,B两点的坐标;
(3)求出图象AB的函数解析式,并注明自变量x的取值范围．
专题三
一次函数中的实验操作题
5.在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．
（1）实验操作：
在平面直角坐标系中描出点P从点O出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：
（2）观察发现：
任一次平移，点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数
的图象上；平移2次后在函数
的图象上……由此我们知道，平移n次后在函数
的图象上．（请填写相应的解析式）
（3）探索运用：
点P从点O出发经过n次平移后，到达直线上的点Q，且平移的路径长不小于50，不超过56，求点Q的坐标．
【知识要点】
1.函数y=kx+b(k≠0)叫做一次函数,当b=0时,叫做正比例函数.
2.一次函数y=kx+b的图象是一条直线,其位置是由k和b来确定的.只要知道一次函数图象两个点的坐标,就可以画出该函数的图象.
3.一次函数y=kx+b有下列性质:当k＞0时,y随着x的增大而增大(图象是自左向右上升的).当k＜0时,y随着x的增大而减小(图象是自左向右下降的).
4.求一次函数的解析式常用的方法是待定系数法.
【温馨提示】
1.弄清一次函数和正比例函数的关系,正比例函数是一次函数的特殊情形,即正比例函数是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数.
2.一次函数的性质可借助函数的图象直观得到,注意“数形结合”思想的合理利用.
3.确定一次函数解析式的基本方法是待定系数法,其实质是二元一次方程组知识的应用.除此以外,还可以根据题目所给基本数量关系或数学公式列出一次函数的解析式.
【方法技巧】
1.直线y=kx+b的位置是由k和b的符号决定的,其中k决定直线从左到右是呈上升趋势还是下降趋势,b决定直线与y轴的交点位置.
2.用待定系数法求函数解析式的一般步骤是:(1)设含有待定系数的函数解析式;(2)把已知条件代入解析式,得到关于待定系数的方程(组);(3)解方程(组),得到待定系数;(4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式.
参考答案
1.B
提示:将A（－2，4）代入y＝kx－2，得k＝－3，将B（4，2）代入y＝kx－2得k＝1，从而得k值在－3与1之间，因此只有B符合条件.
2.（1）（36-30）÷3=2；即放入一个小球量筒中水面升高2cm．
（2）放入小球后量筒中水面的高度y(cm)与小球个数x（个）之间的一次函数关系式y=30+2x．
（3）当y=49时，30+2x=49，解得x=9.5，所以至少放入10个小球时有水溢出．
3.如果悬挂2kg物体弹簧总长度为11cm.
(答案不唯一).
4.答案一：(1)小明从家跑步去离家800米的学校,用了5分钟,立即又用了10分钟步行回到家中;(2)x轴表示时间,y轴表示距离,A(5,800),B(15,0);(3)图象AB的解析式为y=－80x+1200(5x15)．
答案二：一容器深8米,往里注满水用去5分钟,接着打开底部的排水管放完全部水用去10分钟．此时,x轴表示时间（分）,y轴表示容器内水面的高（米）,A(5,8),B(15,0);图象AB的解析式为y=)．
答案三：小明用5分钟把一杯冰水混合物加热道50℃后,立即把它放入冰柜中,又经过10分钟,杯中的水又降到0℃,此时,x,y轴分别表示时间与温度,A(5,50),B(15,0);图象AB的解析式及自变量的取值范围,由同学们完成．
5.（1）如图:
（2）；；．
（3）设点Q的坐标为，依题意，
解这个方程组，得到点Q的坐标为．
∵平移的路径长为，∴50≤≤56．
∴37.5≤≤42．
而点Q的坐标为正整数，因此点Q的坐标为，．
A
B
O
x
y
y=kx－2
y
x
B
P从点O出发平移次数
可能到达的点的坐标
1次
，
2次
3次
y
x
O
1
1
P从点O出发平移次数
可能到达的点的坐标
1次
2次
，，
3次
，，，
y
x
O
1
112.3
一次函数与二元一次方程
专题一
函数图象与坐标轴围成的图形面积问题
1.如图，已知两直线y＝－x＋3和y＝2x－1，求它们与y轴所围成的三角形的面积.
2.如图,直线与轴、轴分别交于点A、B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,且∠BAC=900.如果在第二象限内有一点P,且△ABP的面积与Rt△ABC的面积相等,求的值.
3.如图,△AOB为正三角形,点B的坐标为(2,0),过点C(－2,0)作直线l交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面积相等.求直线l的解析式.
专题二
实际应用题
4.某学校要印制一批《学生手册》，甲印刷厂提出：每本收1元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每本收2元印刷费，不收制版费．
(1)分别写出甲、乙两厂的收费y甲
(元)
、y乙(元)与印制数量x
(本)之间的关系式；
(2)问：该学校选择哪间印刷厂印制《学生手册》比较合算？请说明理由．
专题三
一次函数模型的应用
5.某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费y（元）与复印页数x（页）的关系如下表：
x(页)
100
200
400
1000
…
y(元)
40
80
160
400
⑴若y与x满足初中学过的某一函数关系，求函数的解析式；
⑵现在乙复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页0.15元收费.则乙复印社每月收费y（元）与复印页数x（页）的函数关系为
；
⑶在给出的坐标系内画出（1）、（2）中的函数图象，并回答每月复印页数在1200左右应选择哪个复印社？
【知识要点】
1.一次函数y=kx+b,当y=0时,得方程kx+b=0,其解是函数图象与x轴的交点的横坐标.
2.不等式kx+b＞0或kx+b＜0的解集,相当于一次函数y=kx+b的图象在x轴上方或下方时所对应的x的值.
【温馨提示】
1.借助一次函数与一元一次方程间的关系,可以通过解方程的方法得到一次函数图象与x轴的交点的横坐标,也可以用一次函数的图象求一元一次方程的解,但求出的解一般是近似解.
2.利用一次函数求一元一次不等式的解集,更多的是考查对图象的理解能力,这也说明在学习一次函数时,“数形结合”思想在这一章的重要性.
3.用一次函数图象解方程或不等式未必简单,但是能发现它们之间的内在联系,能直观地看到方程的解与不等式的解在图形中的位置.
【方法技巧】
1.由于任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a、b为常数)的形式,所以解一元一次方程可转化为:当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值,从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴的交点的横坐标.
2.由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b＞0或ax+b＜0(a、b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小)于0时,求自变量的相应的取值范围.
3.在用函数图象解一元一次不等式时,对较复杂的不等式应先化简为ax+b＞0或ax+b＜0(a、b为常数,a≠0)的形式,然后作出相应的函数图象进行解决,可使解题过程相对简单.
参考答案
1.
解:设直线y＝－x＋3与y轴的交点是A，直线y＝2x－1与y轴的交点是B，两直线的交点是C.在y＝－x＋3中，令x＝0，得y＝3，即点A的坐标为（0，3）；在y＝2x－1中，令x＝0，得y＝－1，即点B的坐标为（0，－1）；由
解得所以两直线的交点坐标为C（，2），即AB＝4，点C到AB的距离为.则两直线y＝－x＋3和y＝2x－1与y轴所围成的△ABC的面积＝×4×＝3（平方单位）.
2.
解:由已知可得A、B(0,1),OA=,OB=1.
故AB=.
因此,S△ABC=×2×2=2.连PO,则S△ABP=S△PBO+S△ABO－S△APO
==.
又S△ABP=S△ABC，
∴，
解得.
3
解:由△ADE和△DCO的面积相等,可知△AOB和△CBE的面积相等,
而△AOB的面积为.设点E的坐标为(),则△CBE的面积为2.
由,得.
又由直线AB的解析式为,而E在AB上,则,有,得E的坐标为().
又因为点C的坐标为(－2,0),
所以直线l的解析式为.
4.
解:(1)
y甲＝x＋500，y乙＝2x．
(2)当y甲＞
y乙时，即x＋500＞2x,则x
＜500
，
当y甲＝y乙时，
即x＋500＝2x,则x＝500，
当y甲＜
y乙时，即
x＋500＜2x,
则x
＞500，
所以该学校印制学生手册数量小于500本时应选择乙厂合算，当印制学生手册数量大于500本时应选择甲厂合算，当印制学生手册数量等于500本时选择两厂费用都一样
．
5.
解:⑴根据表中的数据可知y是x的正比例函数，设y=kx，将x=100，y=40代入y=kx，得k=0.4，所以函数的解析式为y=0.4x.
⑵y=0.15x+200(x≥0);
⑶画出函数图象,可得交点坐标为(800,320),可看出当复印页数等于800时，两家都可选，当复印页数大于800时则选择乙复印社更合算，当复印页数小于800时则选择甲复印社更合算.因此,当每月复印页数在1200左右时，应选择乙复印社更合算.
y
O
200
400
600
800
1000
200
400
600
x(页)
y(元)
O
200
400
600
800
1000
200
400
600
x(页)
y(元)
y=0.4x
y=0.15x+200
