第13章
三角形中的边角关系
13.1
三角形中的边角关系
专题一
三角形边角关系的应用
1．若a、b、c是△ABC的三边，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|.
2.已知a、b、c是三角形的三边，且满足a2+b2+c2－ab－bc－ca=0.试判断三角形的形状.
3.一块模板如图所示，按规定AF与DE的延长线相交成70°，但交点不在模板上，不便测量，于是王师傅连接AD，测得∠FAD=34°,∠ADE=76°,请你根据这两个角度判断模板是否合格？并说明理由.
专题二
三角形中的探究题
4.已知△ABC中,三边长a,b,c都是整数,且满足a＞b＞c,a=8,那么满足条件的三角形共有多少个?
5.湖边上有A，B两个村庄（如图），从A到B有两条路可走，即A→P→B和A→Q→B．试判别哪条路更短，并说明理由．
6.如图所示，已知∠xOy=90°，点A，B分别在射线Ox，Oy上移动，BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？
【知识要点】
1.不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接组成的图形叫做三角形.
2.三角形的三边要满足:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
3.三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形,按角分可分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形.
4.三角形的内角和等于180°.
【温馨提示】
1.不是任何三条线段首尾顺次连接都可以组成三角形,这三条线段必须满足三角形的三边关系定理.
2.三角形按边可分为不等边三角形和等腰三角形,其中等腰三角形又包含腰和底边不相等的等腰三角形和等边三角形.
3.三角形的角平分线、高、中线都是线段,在理解这些概念时,可以从画图入手,有助于理解三条角平分线、中线、高交于一点.
【方法技巧】
1.确定三角形个数时,要按照大小顺序或从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数或先固定一个顶点,再确定另外两个顶点来数.
2.判断已知长度的三条线段能否组成三角形的方法是:当三条线段互不相等时,只需要检验较短的两条线段之和是否大于较长线段,若大于则能组成,否则不能组成.
3.在解决与三角形内角有关的问题时,可通过已知条件,设其中的一个角的度数为x,再根据三角形的内角和等于180°列方程或方程组解决.
参考答案
1.由三角形三边间的关系,得a＜b＋c,b＜c＋a,c＜a＋b，即a－b－c＜0，b－c－a＜0，c－a－b＜0，故原式＝－（a－b－c）－（b－c－a）－（c－a－b）＝a＋b＋c.
2.因为a2+b2+c2－ab－bc－ca=0，则有2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=0.于是有（a－b）2+（ｂ－ｃ）2+（ｃ－a）2＝0.此时有非负数的性质知（a－b）2=0；（ｂ－ｃ）2=0；（ｃ－a）2＝0，即a－b=0；ｂ－ｃ=0；ｃ－a=0.故a
=
b
=
c.所以此三角形是等边三角形.
3.延长AF、DE相交于点O，则在△ADO中,根据三角形三个内角和等于180°，可得∠AOD=180°－∠FAD－∠ADE=180°－34°－76°=70°,所以模板合格.
4.由三角形的三边关系,知b+c＞a,而b＞c,a=8,可知b＞4,且b＜8,又因为b是整数,所以b=5,6,7如此分类中得c,列表如下:
a
8
8
8
b
5
6
7
c
4
5,4,3
6,5,4,3,2
因此满足条件的三角形共有1+3+5=9(个).
5.A→Q→B更短，延长AQ交BP于E．△APE中，AP+PE>AQ+QE
①，△BEQ中，QE+BE>BQ
②，①+②得，AP+PE+QE+BE>AQ+QE+BQ，即AP+PB>AQ+BQ．
6.不会变化．∠ACB=45°．理由：因为∠OBA+∠OAB=90°，所以∠C=（180°-∠ABO-∠BAO）=45°13.2
命题与证明
专题一
三角形中的计算与证明题
1.已知△ABC的高为AD，∠BAD=70?，∠CAD=20?，求∠BAC的度数。
2.如图，已知AB∥DE，试求证：∠A+∠ACD+∠D=3600（你有几种证法?）
3.在研究三角形内角和等于180°的证明方法时，小明和小虎分别给出了下列证法.
小明：在△ABC中，延长BC到D，
∴∠ACD=∠A+∠B（三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）.
又∵∠ACD+∠ACB=180°（平角定义），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等式的性质）.
小虎：在△ABC中，作CD⊥AB（如图9），
∵CD⊥AB（已知），
∴∠ADC=∠BDC=90°（直角定义）.
∴∠A+∠ACD=90°，∠B+∠BCD=90°（直角三角形两锐角互余）.
∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°（等式的性质）.
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
请你判断上述两名同学的证法是否正确,如果不正确，写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法，与同伴交流.
专题二
证明中的探究题
4.（1）如图①∠1＋∠2与∠B＋∠C有什么关系？为什么？
（2）把图①△ABC沿DE折叠，得到图②，填空：∠1＋∠2_______∠B＋∠C(填“＞”“＜”“=”)，当∠A＝40°时，∠B＋∠C＋∠1＋∠2＝______.
（3）如图③,是由图①的△ABC沿DE折叠得到的,如果∠A＝30°,则x＋y＝360°－（∠B＋∠C＋∠1＋∠2）＝360°－
＝
,猜想∠BDA＋∠CEA与∠A的关系为
.
5.如图，已知，探究之间的关系，并写出证明过程．
【知识要点】
1.判断一件事情的语句叫命题,命题都由题设和结论两部分构成,分为真命题和假命题,都可以改写成“如果……那么……”的形式,任何一个命题都有逆命题.
2.三角形内角和等于180°,可利用平行线的有关知识证明.三角形三个外角的和等于360°,每个外角等于和其不相邻的两个内角的和,因此三角形的外角大于和它不相邻的任一个内角.
【温馨提示】
1.命题有逆命题,但定理不一定有逆定理.
2.要说明一个命题不成立,只要举出一个反例即可,反例满足命题的题设,但不满足结论.
3.“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”不能说成“三角形的一个外角大于一个内角”.
4.在证明一个命题的正确性时,每步都要有根据,根据可以是公理、定义、已知条件或已经证明的定理等.
【方法技巧】
1.要会判断一个语句是否为命题，需注意两点：（1）命题必须是一个完整的语句,通常是陈述句(包括肯定句和否定句);(2)必须对某件事情做出肯定或否定的判断.两者缺一不可.
2.在证明或计算三角形的角度大小关系时,要注意“三角形三个内角的和等于180°”这一隐含条件,合理地构造方程或方程组,以便正确求解.
3.要证明角的不等关系时,经常用三角形的外角性质来证明,在证明时,如果直接证明有难度,可连接两点,或延长某边,构造三角形,使求证的大角(或它的一部分)处于某个三角形的外角的位置上,小角处在内角的位置上,再结合不等式的性质证明.
参考答案
1.（1）当高AD在△ABC的内部时，因为∠BAD=70?，∠CAD=20?，所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=70?+20?=90?;（2）当高AD在△ABC的外部时，因为∠BAD=70?，∠CAD=20?，所以∠BAC=∠BAD-∠CAD=70?-20?=50?.综合（1）、（2）可知∠BAC的度数为90?或50?.
2.证法一：如图1，过点C作CF∥AB。∵AB∥CD（已知），∴CF∥DE（两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），∴∠A+∠1=1800
∠D+∠2=1800（
两直线平行，同旁内角互补），∴∠A+∠1
+∠2+∠D=3600（等式性质），即∠A+∠ACD+∠D
=3600
证法二：如图2，过点C作CF∥AB。∵AB∥CD（已知），∴CF∥DE（两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行），∴∠A=∠ACF
∠D=∠DCF（
两直线平行，内错角相等），∵∠ACD
+∠ACF+∠DCF=3600（
周角定义），∴∠A+∠ACD+∠D
=3600（
等式性质）
3.两名同学的证法都不对.因为“三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和”与“直角三角形两锐角互余”都是由三角形内角和定理推导的.
另证：已知：如图10,△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：过点A作EF∥BC，
∴∠EAB=∠B，∠FAC=∠C(两直线平行，内错角相等).
∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°(平角定义)，
∴∠B+∠BAC+∠C=180°.
4.(1)∵∠1+∠2+∠A=180°,
∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和等于180°),
∴∠1+∠2=∠B+∠C(等式的性质);
(2)
=
280°
(3)300°
60°
∠BDA＋∠CEA=2∠A
5.．
证明：如图6，连接．∵（已知），
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴，
∴，
也就是，
即．
A
B
C
D
图①
图②
图③
