人教版九年级下册数学 28.1---28.2基础练习题（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版九年级下册数学 28.1---28.2基础练习题（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 360.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-30 09:05:53 | ||
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文档简介
28.1锐角三角函数
一．选择题
1．sin45°+cos45°的值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．2
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cosB＝＝（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列式子正确的是（ ）
A．cos60°＝
B．cos60°+tan45°＝1
C．tan60°﹣＝0
D．sin230°+cos230°＝
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝，则下列结论正确的是（ ）
A．sinB＝
B．cosA＝
C．tanB＝2
D．tanA＝
5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝4，则cosB的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．锐角α满足，且，则α的取值范围为（ ）
A．30°＜α＜45°
B．45°＜α＜60°
C．60°＜α＜90°
D．30°＜α＜60°
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，cosA＝，则AC的长为（ ）
A．5
B．8
C．12
D．13
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，则sinA+cosB的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，如果a＝3b，那么∠A的余切值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
10．若∠A是锐角，且sinA＝，则（ ）
A．0°＜∠A＜30°
B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60°
D．60°＜∠A＜90°
二．填空题
11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，则sinA＝
．
12．已知α是锐角，若2sinα﹣＝0，则α＝
°．
13．已知α为锐角，且满足sin（α+15°）＝，则tanα＝
．
14．比较大小：sin81°
tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．
15．计算：＝
．
三．解答题
16．计算：
（1）cos245°+tan245°﹣tan260°．
（2）．
17．已知∠A为锐角且sinA＝，则4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A的值是多少．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5．求∠A的三个三角函数值．
参考答案
一．选择题
1．解：原式＝+
＝．
故选：C．
2．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴BC＝＝，
∴cosB＝＝．
故选：C．
3．解：A．cos60°＝，故本选项不符合题意；
B．cos60°+tan45°＝+1＝1，故本选项不符合题意；
C．tan60°﹣＝﹣＝﹣＝0，故本选项符合题意；
D．sin230°+cos230°＝1，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴BC＝＝2，
A、sinB＝＝＝，本选项计算错误；
B、cosA＝＝＝，本选项计算正确；
C、tanB＝＝＝，本选项计算错误；
D、tanA＝＝＝2，本选项计算错误；
故选：B．
5．解：如图：
∵∠C＝90°，AC＝，AB＝4，
∴BC＝＝＝1，
∴cosB＝＝，
故选：C．
6．解：∵，且，
∴45°＜α＜60°．
故选：B．
7．解：∵cosA＝，即＝，AB＝13，
∴AC＝AB?cosA＝5，
故选：A．
8．解：∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
则sinA+cosB＝+＝．
故选：B．
9．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝3b，
∴cotA＝＝．
故选：A．
10．解：∵∠A是锐角，且sinA＝＜＝sin30°，
∴0°＜∠A＜30°，
故选：A．
二．填空题
11．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，
∴AB＝＝＝2，
则sinA＝＝＝，
故答案为：．
12．解：∵2sinα﹣＝0，即sinα＝，
∴α＝45°，
故答案为：45．
13．解：∵sin60°＝，
∴α+15°＝60°，
∴α＝45°，
∴tanα＝tan45°＝1，
故答案为：1．
14．解：∵sin81°＜sin90°＝1，tan47°＞tan45°＝1，
∴sin81°＜1＜tan47°，
∴sin81°＜tan47°．
故答案为＜．
15．解：原式＝+
＝
＝
＝．
故答案为：
三．解答题
16．解：（1）原式＝（）2﹣+1﹣（）2
＝﹣1+1﹣3
＝﹣；
（2）原式＝3×﹣2+2×+﹣1
＝﹣2+2+﹣1
＝2﹣1．
17．解：∵∠A为锐角，且sinA＝，
∴∠A＝30°，
∴cosA＝，2sinA﹣cosA＝2×﹣＝1﹣，
∴4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A
＝（2sinA﹣cosA）2
＝（1﹣）2
＝1﹣+
＝﹣．
18．解：在Rt△BCD中，∵CD＝3、BD＝5，
∴BC＝＝＝4，
又AC＝AD+CD＝8，
∴AB＝＝＝4，
则sinA＝＝＝，
cosA＝＝＝，
tanA＝＝＝．
28.2解直角三角形及其应用
一．选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AD＝3，tanB＝，则BC的值为（ ）
A．4
B．
C．
D．7
2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，sinB＝，点D在边AB上，若AD＝AC，则tan∠BCD的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面1米高的点B处，则物体从A到B所经过的路程为（ ）
A．3米
B．米
C．2米
D．3米
5．如图，竖直放置的杆AB，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得BC为10米，CD为8米，斜坡CD与地面成30°角，则杆的高度AB为（ ）米．
A．6+4
B．10+4
C．8
D．6
6．如图，AB是垂直于水平面的一栋大楼．离大楼30米（BC＝30米）远的地方有一段斜坡CD（坡度为1：0.75），且坡长CD＝15米，某时刻，在太阳光的照射下，大楼的影子落在了水平面BC，斜坡CD，以及坡顶上的水平面DE处（A，B，C，D，E均在同一个平面内）．若DE＝6米，且此时太阳光与水平面所夹锐角为24°（∠AED＝24°），则大楼AB的高约为（ ）（参考数据：sin24°≈0.41．cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
A．10.25
B．20.25
C．22.25
D．32.25
7．比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（ ）
A．sinA＝
B．cosA＝
C．tanA＝
D．sinA＝
8．某次台风来袭时，﹣棵大树树干AB（假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是（ ）米？（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）
A．9
B．10
C．11
D．12
9．如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且AD＝BE＝CF，若DE⊥BC，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（ ）
A．（a+b）米
B．（a+b）米
C．（a+b）米
D．（a+b）米
二．填空题
11．如图，在△ABC中，tan∠B＝2，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，若AC＝5，则线段EF的长为
．
12．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD．若，则tanD＝
．
13．平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是
m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．
14．如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为
cm．
三．解答题
15．当0°＜α＜45°时，有sin（α+45°）＝sinα+cosα．
（1）计算sin75°；
（2）如图，△ABC中，AB＝1，∠ACB＝45°，∠CAB＝α，请利用这个图形证明上述结论．
16．石室联合中学金沙校区位于三环跨线桥旁边，为了不影响学生上课，市政在桥旁安装了隔音墙，交通局也对此路段设置了限速，九年级学生为了测量汽车速度做了如下实验：在桥上依次取B、C、D三点，再在桥外确定一点A，使得AB⊥BD，测得AB之间15米，使得∠ADC＝30°，∠ACB＝60°．
（1）求CD的长（精确到0.01，≈1.73，≈1.41）．
（2）交通局对该路段限速30千米/小时，汽车从C到D用时2秒，汽车是否超速？说明理由．
17．如图是某幼儿园的两个同一水平面AF上的长度相同的滑梯模型图，已知滑梯斜面BC＝EF＝4m，∠ABC＝30°，∠EFD＝53°，且对角线CE所在的四边形是正方形．若小红从D﹣C﹣B再返回D处，小芳从D﹣C﹣E﹣F再返回D，试计算说明，小红和小芳谁走的路程更短，短多少？（精确到0.1m）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，）
参考答案
一．选择题
1．解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠B＝∠DAC，
∴tanB＝tan∠DAC＝，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BD＝4，CD＝，
∴BC＝BD+CD＝4+＝，
故选：B．
2．解：如图，作DH⊥BC于H．
∵∠A＝90°，sinB＝＝，
∴可以假设AC＝3k，BC＝5k，则AB＝4k，
∵AC＝AD＝3k，
∴BD＝k，
∵∠B＝∠B，∠DHB＝∠A＝90°，
∴△BHD∽△BAC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DH＝k，BH＝k，
∵CH＝BC﹣BH＝5k﹣k＝k，
∴tan∠BCD＝＝＝，
故选：C．
3．解：设AB＝x，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝BC＝x，
由勾股定理得：AC＝＝x，
∵AC＝CD，
∴AC＝CD＝x，
∴BD＝BC+CD＝（+1）x，
∴tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：B．
4．解：过B作BC⊥地面于C，如图所示：
∵BC：AC＝1：3，
即1：AC＝1：3，
∴AC＝3（米），
∴AB＝＝＝（米），
即物体从A到B所经过的路程为米，
故选：B．
5．解：如图，延长AB交DT的延长线于E．
∵1米的杆影长恰好为1米，
∴AE＝DE，
∵四边形BCTE是矩形，
∴BC＝ET＝10米，BE＝CT，
在Rt△CDT中，∵∠CTD＝90°，CD＝8米，∠CDT＝30°，
∴DT＝CD?cos30°＝8×＝4（米），CT＝CD＝4（米），
∴AE＝DE＝ET+DT＝（10+4）（米），BE＝CT＝4（米），
∴AB＝AE﹣BE＝（10+4）﹣4＝（6+4）（米），
故选：A．
6．解：延长ED交AB于G，DH⊥BF于H，
∵DE∥BF，
∴四边形
DHBG是矩形，
∴DG＝BH，DH＝BG，
∵＝＝，CD＝15，
∴DH＝12，CH＝9，
∴GE＝30+6+9＝45，
∵tan24°＝＝≈0.45，
∴AG≈20.25，
∴AB＝AG+BG＝20.25+12＝32.25（米）．
即：大楼AB的高约为32.25米；
故选：D．
7．解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，
则sinA＝，cosA＝，tanA＝，
因此选项A正确，选项B、C、D不正确；
故选：A．
8．解：过点A作AE⊥CD于点E，
∵∠BAC＝15°，
∴∠DAC＝90°﹣15°＝75°，
∵∠ADC＝60°，
∴在Rt△AED中，
∵cos60°＝＝＝，
∴DE＝2，
∵sin60°＝＝＝，
∴AE＝2，
∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△AEC中，
∵∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE＝75°﹣30°＝45°，
∴∠C＝90°﹣∠CAE＝90°﹣45°＝45°，
∴AE＝CE＝2，
∴sin45°＝＝＝，
∴AC＝2，
∴AB＝2+2+2≈2×2.4+2×1.7+2＝10.2≈10（米）．
答：这棵大树AB原来的高度是10米．
故选：B．
9．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠BED＝90°，
∴＝，
∵AD＝BE，
∴，
故选：A．
10．解：∵EF＝a米，∠A＝90°，∠AEF＝30°，
∴AF＝EF＝米，∠AFE＝60°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠MFG＝30°，
∴PQ＝NP＝MN＝FM＝（米），
DQ＝QK?cos30°＝（米），
∴AD＝AF+4FM+dq＝a+4×+＝a+b（米），
故选：A．
二．填空题
11．解：∵在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∵AC＝5，
∴AD＝CD＝AC?sin45°＝5×＝5，
∵AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠B+∠BAD＝∠AFE+∠BAD＝90°，
∴∠DFC＝∠AFE＝∠B，
∵tan∠B＝2，
∴tan∠DFC＝2，
∴＝2，
∴DF＝＝，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣＝，
∵tan∠AFE＝tan∠B＝2，
∴设AE＝2x，EF＝x，由勾股定理得AF＝x＝，
∴EF＝x＝，
故答案为：．
12．解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，
∴＝，
∵AB＝2，
∴AC＝6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴tan∠ADC＝＝＝．
故答案为：．
13．解：在直角三角形中，sinA＝，
则BC＝AB?sinA＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，
则CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.9，
＝0.801≈0.8（m），
故答案为：0.8．
14．解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．
∵AB∥EF，AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵∠AEF＝90°，
∴四边形AEFB是矩形，
∴EF＝AB＝10（cm），
∵AE∥PC，
∴∠PCA＝∠CAE＝30°，
∴CE＝AC?sin30°＝27（cm），
同法可得DF＝27（cm），
∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm），
故答案为64．
三．解答题
15．解：（1）∵当0°＜α＜45°时，有sin（α+45°）＝sinα+cosα，
∴当α＝30°时，sin（30°+45°）＝sin30°+cos30°，
∴sin75°＝，
解得，sin75°＝；
（2）作AD⊥CB交CB的延长线于点D，
∵AB＝1，∠ACB＝45°，∠CAB＝α，
∴∠ABD＝∠ACB+∠ACB＝45°+α，sin∠ABD＝＝＝AD，
∴sin（45°+α）＝AD，
又∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，
∴sinC＝，
即AD＝AC?sinC＝AC×＝AC，
∴AC＝AD＝sin（α+45°），
作BE⊥AC于点E，
∵∠CAB＝α，AB＝1，
∴sinα＝＝BE，cosα＝＝AE，
∵∠C＝45°，∠BEC＝90°，
∴∠C＝∠CBE＝45°，
∴BE＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AE+BE，
∴sin（α+45°）＝sinα+cosα．
16．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝15米，
∴BC＝＝＝5米，
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝30°，
∴BD＝AB＝15米，
∴CD＝BD﹣BC＝10≈17.32米，
∴CD的长为17.32米；
（2）∵30千米/小时＝30000÷3600＝米/秒，
而10÷2≈8.66＞，
∴汽车超速．
17．解：小红走的路程更短，约短0.6m，理由如下：
如图所示：
由题意得：DG＝AC，∠EDF＝∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，
∴DG＝AC＝BC＝2m，AB＝AC＝2m，
∵sin∠EFD＝，cos∠EFD＝，
∴DE＝EF×sin53°≈4×＝3.2（m），DF＝EF×cos35°≈4×＝2.4（m），
∴EG＝DE﹣DG＝1.2m，
∵四边形CGEH是正方形，
∴CE＝EG＝×1.2≈1.69（m），
∵小红从D﹣C﹣B再返回D处，小芳从D﹣C﹣E﹣F再返回D，
∴小红走的路程为CD+BC+BA+AD，小芳走的路程为CD+CE+EF+DF，
∴小芳比小红走的路程短AB+AD﹣CE﹣DF＝2+1.2﹣1.69﹣2.4≈0.6（m）．
一．选择题
1．sin45°+cos45°的值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．2
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cosB＝＝（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列式子正确的是（ ）
A．cos60°＝
B．cos60°+tan45°＝1
C．tan60°﹣＝0
D．sin230°+cos230°＝
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝，则下列结论正确的是（ ）
A．sinB＝
B．cosA＝
C．tanB＝2
D．tanA＝
5．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝4，则cosB的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．锐角α满足，且，则α的取值范围为（ ）
A．30°＜α＜45°
B．45°＜α＜60°
C．60°＜α＜90°
D．30°＜α＜60°
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，cosA＝，则AC的长为（ ）
A．5
B．8
C．12
D．13
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，则sinA+cosB的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，如果a＝3b，那么∠A的余切值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
10．若∠A是锐角，且sinA＝，则（ ）
A．0°＜∠A＜30°
B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60°
D．60°＜∠A＜90°
二．填空题
11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，则sinA＝
．
12．已知α是锐角，若2sinα﹣＝0，则α＝
°．
13．已知α为锐角，且满足sin（α+15°）＝，则tanα＝
．
14．比较大小：sin81°
tan47°（填“＜”、“＝”或“＞”）．
15．计算：＝
．
三．解答题
16．计算：
（1）cos245°+tan245°﹣tan260°．
（2）．
17．已知∠A为锐角且sinA＝，则4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A的值是多少．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上的一点，CD＝3，AD＝BD＝5．求∠A的三个三角函数值．
参考答案
一．选择题
1．解：原式＝+
＝．
故选：C．
2．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴BC＝＝，
∴cosB＝＝．
故选：C．
3．解：A．cos60°＝，故本选项不符合题意；
B．cos60°+tan45°＝+1＝1，故本选项不符合题意；
C．tan60°﹣＝﹣＝﹣＝0，故本选项符合题意；
D．sin230°+cos230°＝1，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴BC＝＝2，
A、sinB＝＝＝，本选项计算错误；
B、cosA＝＝＝，本选项计算正确；
C、tanB＝＝＝，本选项计算错误；
D、tanA＝＝＝2，本选项计算错误；
故选：B．
5．解：如图：
∵∠C＝90°，AC＝，AB＝4，
∴BC＝＝＝1，
∴cosB＝＝，
故选：C．
6．解：∵，且，
∴45°＜α＜60°．
故选：B．
7．解：∵cosA＝，即＝，AB＝13，
∴AC＝AB?cosA＝5，
故选：A．
8．解：∵∠C＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
则sinA+cosB＝+＝．
故选：B．
9．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a＝3b，
∴cotA＝＝．
故选：A．
10．解：∵∠A是锐角，且sinA＝＜＝sin30°，
∴0°＜∠A＜30°，
故选：A．
二．填空题
11．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，
∴AB＝＝＝2，
则sinA＝＝＝，
故答案为：．
12．解：∵2sinα﹣＝0，即sinα＝，
∴α＝45°，
故答案为：45．
13．解：∵sin60°＝，
∴α+15°＝60°，
∴α＝45°，
∴tanα＝tan45°＝1，
故答案为：1．
14．解：∵sin81°＜sin90°＝1，tan47°＞tan45°＝1，
∴sin81°＜1＜tan47°，
∴sin81°＜tan47°．
故答案为＜．
15．解：原式＝+
＝
＝
＝．
故答案为：
三．解答题
16．解：（1）原式＝（）2﹣+1﹣（）2
＝﹣1+1﹣3
＝﹣；
（2）原式＝3×﹣2+2×+﹣1
＝﹣2+2+﹣1
＝2﹣1．
17．解：∵∠A为锐角，且sinA＝，
∴∠A＝30°，
∴cosA＝，2sinA﹣cosA＝2×﹣＝1﹣，
∴4sin2A﹣4sinAcosA+cos2A
＝（2sinA﹣cosA）2
＝（1﹣）2
＝1﹣+
＝﹣．
18．解：在Rt△BCD中，∵CD＝3、BD＝5，
∴BC＝＝＝4，
又AC＝AD+CD＝8，
∴AB＝＝＝4，
则sinA＝＝＝，
cosA＝＝＝，
tanA＝＝＝．
28.2解直角三角形及其应用
一．选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AD＝3，tanB＝，则BC的值为（ ）
A．4
B．
C．
D．7
2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，sinB＝，点D在边AB上，若AD＝AC，则tan∠BCD的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，若它把物体从地面点A处送到离地面1米高的点B处，则物体从A到B所经过的路程为（ ）
A．3米
B．米
C．2米
D．3米
5．如图，竖直放置的杆AB，在某一时刻形成的影子恰好落在斜坡CD的D处，而此时1米的杆影长恰好为1米，现量得BC为10米，CD为8米，斜坡CD与地面成30°角，则杆的高度AB为（ ）米．
A．6+4
B．10+4
C．8
D．6
6．如图，AB是垂直于水平面的一栋大楼．离大楼30米（BC＝30米）远的地方有一段斜坡CD（坡度为1：0.75），且坡长CD＝15米，某时刻，在太阳光的照射下，大楼的影子落在了水平面BC，斜坡CD，以及坡顶上的水平面DE处（A，B，C，D，E均在同一个平面内）．若DE＝6米，且此时太阳光与水平面所夹锐角为24°（∠AED＝24°），则大楼AB的高约为（ ）（参考数据：sin24°≈0.41．cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）
A．10.25
B．20.25
C．22.25
D．32.25
7．比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（ ）
A．sinA＝
B．cosA＝
C．tanA＝
D．sinA＝
8．某次台风来袭时，﹣棵大树树干AB（假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4米，求这棵大树AB原来的高度是（ ）米？（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）
A．9
B．10
C．11
D．12
9．如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且AD＝BE＝CF，若DE⊥BC，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，在一块矩形ABCD区域内，正好划出5个全等的矩形停车位，其中EF＝a米，FG＝b米，∠AEF＝30°，则AD等于（ ）
A．（a+b）米
B．（a+b）米
C．（a+b）米
D．（a+b）米
二．填空题
11．如图，在△ABC中，tan∠B＝2，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD、CE交于点F，若AC＝5，则线段EF的长为
．
12．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD．若，则tanD＝
．
13．平放在地面上的三角形铁板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B为36°，边AB的长为2.1m，BC边上露出部分BD的长为0.9m，则铁板BC边被掩埋部分CD的长是
m．（结果精确到0.1m．参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）．
14．如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为
cm．
三．解答题
15．当0°＜α＜45°时，有sin（α+45°）＝sinα+cosα．
（1）计算sin75°；
（2）如图，△ABC中，AB＝1，∠ACB＝45°，∠CAB＝α，请利用这个图形证明上述结论．
16．石室联合中学金沙校区位于三环跨线桥旁边，为了不影响学生上课，市政在桥旁安装了隔音墙，交通局也对此路段设置了限速，九年级学生为了测量汽车速度做了如下实验：在桥上依次取B、C、D三点，再在桥外确定一点A，使得AB⊥BD，测得AB之间15米，使得∠ADC＝30°，∠ACB＝60°．
（1）求CD的长（精确到0.01，≈1.73，≈1.41）．
（2）交通局对该路段限速30千米/小时，汽车从C到D用时2秒，汽车是否超速？说明理由．
17．如图是某幼儿园的两个同一水平面AF上的长度相同的滑梯模型图，已知滑梯斜面BC＝EF＝4m，∠ABC＝30°，∠EFD＝53°，且对角线CE所在的四边形是正方形．若小红从D﹣C﹣B再返回D处，小芳从D﹣C﹣E﹣F再返回D，试计算说明，小红和小芳谁走的路程更短，短多少？（精确到0.1m）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，）
参考答案
一．选择题
1．解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠B＝∠DAC，
∴tanB＝tan∠DAC＝，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BD＝4，CD＝，
∴BC＝BD+CD＝4+＝，
故选：B．
2．解：如图，作DH⊥BC于H．
∵∠A＝90°，sinB＝＝，
∴可以假设AC＝3k，BC＝5k，则AB＝4k，
∵AC＝AD＝3k，
∴BD＝k，
∵∠B＝∠B，∠DHB＝∠A＝90°，
∴△BHD∽△BAC，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴DH＝k，BH＝k，
∵CH＝BC﹣BH＝5k﹣k＝k，
∴tan∠BCD＝＝＝，
故选：C．
3．解：设AB＝x，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝BC＝x，
由勾股定理得：AC＝＝x，
∵AC＝CD，
∴AC＝CD＝x，
∴BD＝BC+CD＝（+1）x，
∴tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：B．
4．解：过B作BC⊥地面于C，如图所示：
∵BC：AC＝1：3，
即1：AC＝1：3，
∴AC＝3（米），
∴AB＝＝＝（米），
即物体从A到B所经过的路程为米，
故选：B．
5．解：如图，延长AB交DT的延长线于E．
∵1米的杆影长恰好为1米，
∴AE＝DE，
∵四边形BCTE是矩形，
∴BC＝ET＝10米，BE＝CT，
在Rt△CDT中，∵∠CTD＝90°，CD＝8米，∠CDT＝30°，
∴DT＝CD?cos30°＝8×＝4（米），CT＝CD＝4（米），
∴AE＝DE＝ET+DT＝（10+4）（米），BE＝CT＝4（米），
∴AB＝AE﹣BE＝（10+4）﹣4＝（6+4）（米），
故选：A．
6．解：延长ED交AB于G，DH⊥BF于H，
∵DE∥BF，
∴四边形
DHBG是矩形，
∴DG＝BH，DH＝BG，
∵＝＝，CD＝15，
∴DH＝12，CH＝9，
∴GE＝30+6+9＝45，
∵tan24°＝＝≈0.45，
∴AG≈20.25，
∴AB＝AG+BG＝20.25+12＝32.25（米）．
即：大楼AB的高约为32.25米；
故选：D．
7．解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，
则sinA＝，cosA＝，tanA＝，
因此选项A正确，选项B、C、D不正确；
故选：A．
8．解：过点A作AE⊥CD于点E，
∵∠BAC＝15°，
∴∠DAC＝90°﹣15°＝75°，
∵∠ADC＝60°，
∴在Rt△AED中，
∵cos60°＝＝＝，
∴DE＝2，
∵sin60°＝＝＝，
∴AE＝2，
∴∠EAD＝90°﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△AEC中，
∵∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE＝75°﹣30°＝45°，
∴∠C＝90°﹣∠CAE＝90°﹣45°＝45°，
∴AE＝CE＝2，
∴sin45°＝＝＝，
∴AC＝2，
∴AB＝2+2+2≈2×2.4+2×1.7+2＝10.2≈10（米）．
答：这棵大树AB原来的高度是10米．
故选：B．
9．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵DE⊥BC，
∴∠BED＝90°，
∴＝，
∵AD＝BE，
∴，
故选：A．
10．解：∵EF＝a米，∠A＝90°，∠AEF＝30°，
∴AF＝EF＝米，∠AFE＝60°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠MFG＝30°，
∴PQ＝NP＝MN＝FM＝（米），
DQ＝QK?cos30°＝（米），
∴AD＝AF+4FM+dq＝a+4×+＝a+b（米），
故选：A．
二．填空题
11．解：∵在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D，
∴△ADC为等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
∵AC＝5，
∴AD＝CD＝AC?sin45°＝5×＝5，
∵AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，
∴∠B+∠BAD＝∠AFE+∠BAD＝90°，
∴∠DFC＝∠AFE＝∠B，
∵tan∠B＝2，
∴tan∠DFC＝2，
∴＝2，
∴DF＝＝，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣＝，
∵tan∠AFE＝tan∠B＝2，
∴设AE＝2x，EF＝x，由勾股定理得AF＝x＝，
∴EF＝x＝，
故答案为：．
12．解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，
∴＝，
∵AB＝2，
∴AC＝6，
∵AC⊥CD，
∴∠ACD＝90°，
∴tan∠ADC＝＝＝．
故答案为：．
13．解：在直角三角形中，sinA＝，
则BC＝AB?sinA＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，
则CD＝BC﹣BD＝1.701﹣0.9，
＝0.801≈0.8（m），
故答案为：0.8．
14．解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．
∵AB∥EF，AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵∠AEF＝90°，
∴四边形AEFB是矩形，
∴EF＝AB＝10（cm），
∵AE∥PC，
∴∠PCA＝∠CAE＝30°，
∴CE＝AC?sin30°＝27（cm），
同法可得DF＝27（cm），
∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm），
故答案为64．
三．解答题
15．解：（1）∵当0°＜α＜45°时，有sin（α+45°）＝sinα+cosα，
∴当α＝30°时，sin（30°+45°）＝sin30°+cos30°，
∴sin75°＝，
解得，sin75°＝；
（2）作AD⊥CB交CB的延长线于点D，
∵AB＝1，∠ACB＝45°，∠CAB＝α，
∴∠ABD＝∠ACB+∠ACB＝45°+α，sin∠ABD＝＝＝AD，
∴sin（45°+α）＝AD，
又∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，
∴sinC＝，
即AD＝AC?sinC＝AC×＝AC，
∴AC＝AD＝sin（α+45°），
作BE⊥AC于点E，
∵∠CAB＝α，AB＝1，
∴sinα＝＝BE，cosα＝＝AE，
∵∠C＝45°，∠BEC＝90°，
∴∠C＝∠CBE＝45°，
∴BE＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AE+BE，
∴sin（α+45°）＝sinα+cosα．
16．解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝15米，
∴BC＝＝＝5米，
在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠ADB＝30°，
∴BD＝AB＝15米，
∴CD＝BD﹣BC＝10≈17.32米，
∴CD的长为17.32米；
（2）∵30千米/小时＝30000÷3600＝米/秒，
而10÷2≈8.66＞，
∴汽车超速．
17．解：小红走的路程更短，约短0.6m，理由如下：
如图所示：
由题意得：DG＝AC，∠EDF＝∠BAC＝90°，∠ABC＝30°，
∴DG＝AC＝BC＝2m，AB＝AC＝2m，
∵sin∠EFD＝，cos∠EFD＝，
∴DE＝EF×sin53°≈4×＝3.2（m），DF＝EF×cos35°≈4×＝2.4（m），
∴EG＝DE﹣DG＝1.2m，
∵四边形CGEH是正方形，
∴CE＝EG＝×1.2≈1.69（m），
∵小红从D﹣C﹣B再返回D处，小芳从D﹣C﹣E﹣F再返回D，
∴小红走的路程为CD+BC+BA+AD，小芳走的路程为CD+CE+EF+DF，
∴小芳比小红走的路程短AB+AD﹣CE﹣DF＝2+1.2﹣1.69﹣2.4≈0.6（m）．