人教版数学八年级上册 13.3等腰三角形同步测试题（一）（Word版 含解析）

等腰三角形同步测试题（一）
一．选择题
1．如图，在△ABC中，CB＝AC，DE垂直平分AC，垂足为E，交BC于点D，若∠B＝70°，则∠BAD＝（　　）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
2．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE＝CD，则图中等腰三角形的个数是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，则∠DAC的大小为（　　）
A．30°
B．34°
C．36°
D．40°
4．如图，△ABC中，AB＝AC，过点A作DA⊥AC交BC于点D．若∠B＝2∠BAD，则∠BAD的度数为（　　）
A．18°
B．20°
C．30°
D．36°
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D＝（　　）
A．18°
B．20°
C．22°
D．25°
6．等腰三角形的两边长为6cm和8cm，则它的周长为（　　）
A．20cm
B．22cm
C．20cm或22cm
D．18cm、20cm或22cm
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为16，BC＝7，则AB的长为（　　）
A．8
B．9
C．10
D．11
8．已知等腰三角形ABC的底边BC＝8，且|AC﹣BC|＝4，则腰AC长为（　　）
A．4或12
B．12
C．4
D．8或12
9．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．图中等腰三角形的个数为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
10．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…均为等边三角形．若OB1＝1，则△A8B8B9的边长为（　　）
A．64
B．128
C．132
D．256
二．填空题
11．如图，△ABO是边长为4的等边三角形，则A点的坐标是　
　．
12．如图，∠BCD是△ABC的外角，CE平分∠BCD，若AB＝AC，∠ECD＝52.5°，则∠A的度数为　
　．
13．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于　
　．
14．如图，在等腰△ABC的两腰AB、BC上分别取点D和E，使DB＝DE，此时恰有∠ADE＝∠ACB，则∠A的度数是　
　．
15．如图，P是边长为4的等边三角形ABC内一点，PD，PE，PF分别垂直于BC，AC，AB，垂足为D，E，F．若PD＝BD＝1，则PE+PF＝　
　，CE+AF＝　
　．
三．解答题
16．证明：等腰三角形的两腰上的中线相等．
17．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
18．△ABC的三边长分别为5、9、x．
（1）求x的取值范围；
（2）当△ABC的周长为偶数时，求x；
（3）若△ABC为等腰三角形，求x．
19．如图，AB＝AC＝AD，且AD∥BC．
（1）∠C和∠D有怎样的数量关系？证明你的结论；
（2）若E、F、G是BC、BD、AB的中点，连接EF、GF、EG．
①若∠D＝35°，求∠GEF；
②若AB＝10，EF＝8，求点G到EF的距离．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：∵CB＝CA，
∴∠B＝∠BAC＝70°，
∴∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵DE垂直平分AC，
∴∠DAC＝∠C＝40°，
∴∠BAD＝30°，
故选：A．
2．【解答】解：∵CD＝CE，
∴∠E＝∠EDC，
∴CE＝CD，
∴△EDC是等腰三角形；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∴∠E＝30°，
∵△ABC是等边三角形，BD是高，
∴∠DBC＝30°，
∴∠E＝∠DBC，
∴DB＝DE，
∴△BDE是等腰三角形，
故选：C．
3．【解答】解：∵AB＝BD，∠B＝40°，
∴∠ADB＝70°，
∵∠C＝36°，
∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝34°．
故选：B．
4．【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DA⊥AC，
∴∠DAC＝90°，
∴∠ADC＝90°﹣∠C＝90°﹣∠B＝∠BAD+∠B，
∵∠B＝2∠BAD，
∴4∠BAD＝90°﹣∠BAD，
∴∠BAD＝18°，
故选：A．
5．【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，
即∠1+∠2＝∠3+∠4+∠A，
∴2∠1＝2∠3+∠A，
∵∠1＝∠3+∠D，
∴∠D＝∠A＝×40°＝20°．
故选：B．
6．【解答】解：当三边是8cm，8cm，6cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是22cm；
当三边是8cm，6cm，6cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是20cm．
因此等腰三角形的周长为22cm或20cm．
故选：C．
7．【解答】解：由已知得，BC+BE+CE＝16，
∵BC＝7，
∴BE+CE＝9，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴AE+CE＝9，
即AC＝9，
∵AB＝AC，
∴AB＝9．
故选：B．
8．【解答】解：∵|AC﹣BC|＝4，
∴AC﹣BC＝±4，
∵等腰△ABC的底边BC＝8，
∴AC＝12．AC＝4（不合题意舍去），
故选：B．
9．【解答】解：∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠1＝∠2，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠3＝∠4，
∵DE∥BC，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴BD＝DF，EF＝EC，
∴△BDF和△CEF是等腰三角形．
故选：C．
10．【解答】解：∵△A1B1B2是等边三角形，
∴∠A1B1B2＝∠A1B2O＝60°，A1B1＝A1B2，
∵∠O＝30°，
∴∠A2A1B2＝∠O+∠A1B2O＝90°，
∵∠A1B1B2＝∠O+∠OA1B1，
∴∠O＝∠OA1B1＝30°，
∴OB1＝A1B1＝A1B2＝1，
在Rt△A2A1B2中，∵∠A1A2B2＝30°
∴A2B2＝2A1B2＝2，
同法可得A3B3＝22，A4B4＝23，…，AnBn＝2n﹣1，
∴△A8B8B9的边长＝27＝128，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：过点A作AC⊥OB于点C，
∵△AOB是等边三角形，OB＝4，
∴OC＝BC＝2，∠OAC＝∠OAB＝30°，
在Rt△AOC中，
∵∠OAC＝30°，OA＝4，
∴OC＝2，AC＝OAcos30°＝4×＝2
∴A（﹣2，2）．
故答案为：（﹣2，2）．
12．【解答】解：∵CE平分∠BCD，∠ECD＝52.5°，
∴∠BCD＝2∠ECD＝105°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BCD＝180°﹣105°＝75°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝75°，
∴∠A＝30°，
故答案为：30°．
13．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴EB＝EC，
∴∠ECB＝∠EBC＝45°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB＝15°，
故答案为15°
14．【解答】解：设∠B＝x．
∵DB＝DE，
∴∠DEB＝∠B＝x，
∴∠ADE＝∠DEB+∠B＝2x，
∴∠ACB＝2∠ADE＝4x．
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠A＝4x．
在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴4x+x+4x＝180°，
∴x＝20°．
即∠B＝20°
∴∠A＝4x＝80°
故答案为：80°
15．【解答】解：过A作AG⊥BC于G，
∵△ABC是等边三角形，
∴CG＝BC＝2，
∴AG＝2，
连接PA、PB、PC，
∵PD，PE，PF分别垂直于BC，AC，AB，
∴S△ABC＝S△APB+S△PBC+S△APC，
+，
AB＝AB（PE+1+PF），
∴PE+PF＝2﹣1，
延长DP交AB于H，
∵PF⊥AB，PD⊥BC，
∴∠BFP＝∠BDP＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠HFP＝60°，
∴∠BHD＝30°，
∵BD＝1，
∴BH＝2，DH＝，
∵PD＝1，
∴PH＝﹣1，
Rt△PFH中，PF＝，
∴FH＝＝，
∴BF＝BH﹣FH＝2﹣＝，
∴AF＝4﹣BF＝，
∵PE+PF＝2﹣1，
∴PE＝2﹣1﹣＝，
Rt△PDC中，PC＝＝＝，
∴CE＝＝＝＝，
∴CE+AF＝＝5
故答案为：2﹣1，5
三．解答题（共4小题）
16．【解答】已知：△ABC中，AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，
求证：BD＝CE．
证明：∵AB＝AC，AD＝DC，AE＝EB，
∴DC＝BE，∠DCB＝∠EBC．
∵BC＝CB，
∴△BDC≌△CEB（SAS）．
∴BD＝CE．
即等腰三角形的两腰上的中线相等．
17．【解答】解：△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC．
在△ABP与△ACQ中，
∵，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．
∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
18．【解答】解：△ABC的三边长分别为5、9、x，
（1）根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和，得9﹣5＜x＜9+5，即4＜x＜14；
（2）∵三角形的已知两边的和等于14，△ABC的周长为偶数，
∴第三边x为偶数，
∵4＜x＜14，
∴x＝6、8、10、12；
（3）若△ABC为等腰三角形，x＝5或9．
19．【解答】（1）解：∠C＝2∠D．
证明：∵AB＝AD，
∴∠D＝∠ABD，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠DBC，
∴∠D＝∠ABD＝∠DBC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝2∠D；
（2）解：①连接AE，AF，如图2，
∵在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC（三线合一），
同理AF⊥BD，
∴△ABE和△ABF都为直角三角形，
∵G为两直角三角形斜边的中点，
∴EG＝FG＝AB＝GB＝GA，
∴△GEF是等腰三角形，
由（1）可知∠C＝2∠D＝2×35°＝70°，
∴∠AGE＝2∠ABC＝2×70°＝140°，∠AGF＝2∠ABD＝2×35°＝70°，
∴EGF＝∠AGE﹣∠AGF＝140°﹣70°＝70°，
∴∠GEF＝（180°﹣∠EGF）＝55°；
②取EF的中点H，连接GH，
由①可知GE＝GF，在
∴GE＝AB＝×10＝5，EH＝EF＝×8＝4，且GH⊥EF（三线合一），
∴GE2＝EH2+GH2，
即52＝42＝GH2，
即点G到EF的距离为3．