北师大版九年级数学上册3.2特殊平行四边形（3）教案

第一章
第三节
正方形的性质和判定
第三课时
教学目标：
1.通过正方形、矩形、菱形等特殊四边形的中点四边形的探索过程，引导学生体会证明过程中所运用的由一般到特殊再到一般的归纳、类比、转化等思想方法．
2.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步发展学生的推理论证能力,体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用.
教学重点：通过正方形、矩形、菱形等特殊四边形的中点四边形的探索过程，引导学生体会证明过程中所运用的数学思想方法.
教学难点：经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，发现决定中点四边形形状的因素．
教法与学法指导：
本节课主要采用“自主探究--合作竞学”型教学模式，配以导练循环教学案，引导学生经历画图--探索—发现—猜想—证明的过程，在自主探究的基础上合作交流，从而形成对知识的自主建构．另外利用几何画板的动态演示，既生动直观，又突出重点、分散难点．
课前准备：制作课件、编写导学案、学生预习课本相关内容．
教学过程：
一、感悟导入
　　[师]通过前几节内容的学习，我们进一步理解了三角形中位线性质定理、平行四边形及特殊平行四边形的性质定理和判定定理，下面我们来进行简单的训练．（师课件出示）
题目1.如图1，在ΔABC
中，EF
为ΔABC
的中位线,
若∠A
=30°,则∠BEF
=
；若EF
=
8cm，则AC=
.
题目2.如图2,添加一个条件使得成为（1）矩形？（2）菱形？
（学生专心思考，大部分学生积极举手准备回答）
　
[生１]题目１根据“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”得到∠BEF＝∠A＝30°，AC=2EF＝16cm
[师]很好，不仅说出了结果，也说明了理由．题目２呢？
[生２]当ＡＣ＝ＢＤ时是矩形；当ＡＣ⊥ＢＤ时是菱形．
[生３]当∠BＡＤ＝90°时是矩形；当ＡＢ＝ＡＤ时是菱形．
[师]同学们回答的都很好，相信下面的学习大家表现的会更好．
（学生兴致很高，脸上洋溢着快乐的笑容）
[师]我们知道依次连接任意四边形各边中点可以得到一个平行四边形．那么，依次连接特殊四边形各边的中点又能得到怎样的图形呢?
今天我们将一起探究这个问题．
（师板书课题）
[设计意图]本环节出示这2个小题的目的是为了强化学生对三角形中位线性质定理、平行四边形及特殊平行四边形的性质定理和判定定理的掌握情况,针对出现的问题及时纠正弥补,为本节课的学习作好铺垫.
[实际效果]
提问时选择了平时学习数学有困难的学生，由于是前面已经学过的知识，学生们回答得很流畅，这种低起点的问题引入，也增强了学生学习数学的自信心。
二、自主探究
探究1.画一画
[师]请同学们根据要求，在学案上完成画图．（师课件出示）
已知：正方形ABCD,依次连接各边的中点A1、B1、C1、
D1
能得到—个怎样的图形呢?
（学生在学案上认真画图，师指导画图的规范化,然后投影展示学生的图形）
探究2.猜一猜
[生1]得到的是一个正方形.
[师]有不同结论吗?
[生]正方形(（异口同声）
探究2.证一证
[师]
同学们回答的很正确，你能证明这个结论吗？请一位同学到黑板上板书他的证明过程,其余同学将你的思路书写在学案上.
（学生们立刻安静,努力思考着方法）
[生2]我想上去试试.
[师]太棒了.
（学生2到黑板板书，其余的在学案上书写,态度都非常认真.师巡回指导证明的规范化）
[生2板书]证明：∵四边形ABCD是正方形
∴∠A＝∠B=∠C=∠D＝90°
AB＝BC＝CD＝DA
又∵A1、B1、C1、D1分别是边AB、BC、CD、DA的中点
∴AA1＝BA＝BB1＝B1C＝CC1＝C1D＝DD1＝D1A．
∴△AD1A1≌△BA1B1≌△CB1C1≌△DC1D1．
∴A1B1＝B1C1＝C1D1＝D1A1．
∵∠A＝∠B＝90°，
AA1＝AD1，A1B=BB1，
∴∠AA1D1=∠BA1B1=45°．
∴∠D1A1B1＝90°．
∴四边形A1B1C1D1是正方形．
[师]很好，哪位勇敢的同学能帮助我们大家梳理一下这位同学的思路呢?
[生3]他先证明了四边形A1B1C1D1的四条边相等，即是菱形，然后又证明了这个四边形的一个角是直角，即有一个角为直角的菱形是正方形，从而得证四边形A1B1C1D1是正方形．
[师]还有其他的方法吗?
[生4]因为A1、B1是边AB、DC的中点，所以，若连结对角线AC，则A1B1是△ABC的中位线，同理可知C1D1是△ADC的中位线，同样，连结对角线BD，也可知A1D1是△ABD的中位线，B1C1是△BDC的中位线，这样由中位线的性质定理和正方形的对角线相等可得知A1B1、B1C1、C1D1、D1A1，是相等的，然后再证，有一个角是90°，这样也可以证明四边形A1B1C1D1是正方形．老师，我这种思路可以吗?
[师]同学们的意见呢?
[生齐声]可以．
[设计意图]:让学生亲身经历画一画、猜一猜、证一证获得问题解决方法的过程，既巩固加深了学生对矩形、菱形、正方形这些特殊平行四边形的性质及判别的理解，同时又使学生获得了把新知识转化为旧知识的这种解决数学问题的转化方法.
[实际效果]
提高了解决问题的能力,学生在探究的过程中，享受到成功的喜悦，增强了学习的信心，为下面的学习打下基础.
三、合作竞学
[师]证明四边形A1B1C1D1的四条边相等时，可以用三角形全等，也可以用三角形中位线定理和正方形的性质来证明．大家要灵活应用这些性质，接下来期待同学们有更好的表现,请看下面的问题.（师课件出示)
(1)依次连接菱形或矩形四边的中点能得到一个什么图形?先猜一猜，再证明．
(2)依次连接平行四边形四边的中点呢?
(3)依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与哪些线段有关?有怎样的关系．
操作方式:本环节采取分组探究的形式展开,全班分为3个小组,每一小组选择一个不同的任务，对矩形、菱形、平行四边形三种情况的中点四边形进行合作探究验证.
[生]在获取小组任务后,在各小组组长的带领下,积极进行合作探究.
[师]观察每个小组的学习情况，对有困难的给予引导，然后用投影分组展示各组的如下探究结果.
[第一小组学生]依次连接菱形四边的中点得到的四边形是矩形，如图．
已知:在菱形ABCD中，点A1、B1、C1、D1分别是菱形四条边的中点，
求证：四边形A1B1C1D1是矩形．
证明：连接AC、BD．
∵点A1、B1、C1、D1分别是菱形ABCD的各边的中点，
∴A1B1AC，C1D1
AC.
∴A1B1C1D1．
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．
∵AC、BD是菱形ABCD的对角线，
∴AC⊥BD．
∴∠A1B1C1＝90°．
∴四边形A1B1C1D1是矩形．
[第一小组同组同学]这个题还可以证明：∠A1B1C1＝∠B1C1D1＝∠C1D1A1＝90°．
因为A1B1AC，C1D1AC，
A1DBD，B1C1BD．
而菱形ABCD的对角线AC、BD互相垂直．
所以，即可得证四边形A1B1C1D1是矩形
[第二小组学生]依次连接矩形四边的中点能得到菱形．
如图，点A1、B1、C1、D1分别是矩形ABCD各边的中点，所以连结AC、BD．
则A1B1AC，C1D1AC，A1D1BD，B1C1BD．
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．
∵AC＝BD．
∴A1B1＝B1C1.
∴平行四边形A1B1C1D1是菱形．
(学生也提出不同的证明方法，也应鼓励)
[第三小组同学]依次连接平行四边形四边的中点得到的四边形是平行四边形．
如图，连接AC或BD．
因为点A1、B1、C1、D1分别是平行四边形ABCD各边的中点，
所以A1B1AC，C1D1AC．
所以A1B1C1D1．
因此，四边形A1B1C1D1是平行四边形．
[师]很好，同学们能用类比的方法，证明了连接平行四边形及特殊平行四边形各边中点得到的图形，那么大家能否得出一个一般性的结沦，即依次连接四边形各边小点所得的新四边形的形状与哪些线段有关?有怎样的关系?请同学们在小组内展开讨论.
（全班同学展开热烈的讨论,气氛很好,学生的探究欲望教强烈）
[第一小组代表]由前面的讨论可知：所得的四边形的形状与原四边形两条对角线的位置关系和数量关系有关．
[第二小组代表]我们完全赞同第一小组的说法.
[第三小组代表]我们也完全赞同第一小组的说法.
[师]很好，那大家来想一想：到底有怎样的关系呢?
[第一小组代表]只要四边形的对角线相等，那么依次连接这个四边形各边中点所得到的四边形就是菱形．
[第二小组代表]只要四边形的对角线互相垂直，那么依次连接这个四边形各边中点所得到的四边形就是矩形．
[师]还有补充吗?
[第三小组代表]只要四边形的对角线既相等又互相垂直，那么依次连接这个四边形各边中点所得到的四边形就是正方形.
[师]对角线既不相等也不垂直呢?
[生齐声回答]平行四边形.
[师]同学们回答的都很好!我们把结果展示出来,并用几何画板演示验证结论的正确性（师几何画板演示探究结果）
原四边形对
角线关系
相等
垂直
相等且垂直
既不相等又
不垂直
中点四边形
形状
菱形
矩形
正方形
平行四边形
[设计意图]:
使学生经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用，使学生意识到证明是探索活动的自然延续和必要发展．
[实际效果]分小组对问题展开探究，既培养了学生的集体荣誉感，提高了学生的竞争意识，同时也提高了学习效率，几何画板的使用学生感觉到了数学课堂的丰富多彩。
四、拓展应用（本环节是对教材“做一做”的再创造）
已知：右图中，ABCDXA
是我市的一条环形公路，X表示一座水库，B,C
表示两个村庄.已知ABCD
是一个正方形,XAD
是一个等边三角形.现在枣庄市政府要铺设输水管XB
和
XC,
从水库向B,C
两个村庄供水,
请你告诉工人师傅两条水管的夹角∠BXC
的度数为
.
变式训练:如图，四边形ABCD
是正方形，⊿ADX
是等边三角形，则∠BXC的度数为
.
学生:认真读题，先独立思考，然后在小组内交流．
教师：点拨指导，引导学生分析思路，方法，归纳一般的思路.
[设计意图]:通过练习和变式训练及时引导学生加深对所学知识的理解,并能做到触类旁通,
不仅提高了解决问题的能力而且发展了学生的发散思维的能力。
[实际效果]学生体会到数学在生活中的广泛应用，进一步感受生活的数学化，从而更加喜欢数学了。
五、反思提高
[师]同学生掌握的很好,本节课你学到了哪些数学知识，掌握了哪些数学方法，你还有什么困惑吗？
[生1]
我学会了特殊四边形的中点四边形的形状.
[生2]我知道了中点四边形的形状与原四边形的对角线有关.
[生3]我学会了转化的思想方法.
[生4]我感觉到数学太有用了.
……
[设计意图]培养学生语言表达归纳总结的能力和反思意识，总结研究数学问题的一般方法,形成完整的知识体系，
[实际效果]学生回答的比较完整,美中不足没说出自己的困惑.
六、达标测试
1..顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（
）
①平行四边形
②菱形
③等腰梯形
④对角线互相垂直的四边形
A.①③
B.②③
C.③④
D.②④
2.如图1,矩形ABCD
的长为3，宽为1，取各边中点后得到的四边形是
,它的的面积为
.
3.如图2,在1题中第二次取各边中点后得到的四边形是
,它的面积为
.
4.如图3,这样继续下去第n次取各边中点后得到的四边形的面积为
5.如图，?ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE的周长为　．
[设计意图]:
通过达标检测及时反馈学生对本节课知识点的掌握程度,
以便有的放矢进行后续教学.
[实际效果]除了4题其余做得都较好.
七、作业布置
A.课本P104知识技能1
B.
在证明1,2,3这三章中，我们从若干条公理及有关定义出发，证明了关于平行线、三角形及四边形等图形的一些命题，请你用一副图表示这一过程.
板书设计：
第三章　平行四边形3.2
特殊平行四边形(3)
一、依次连结正方形各边的中点
二、中点四边形形状
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