（试题4）25.3利用频率估计概率

与《利用概率解决实际问题》有关的中考题集锦
第1题. (2006 梅州课改)小明与小华在玩一个掷飞镖游戏，如图甲是一个把两个同心圆平均分成8份的靶，当飞镖掷中阴影部分时，小明胜，否则小华胜（没有掷中靶或掷到边界线时重掷）．
（1）不考虑其他因素，你认为这个游戏公平吗？说明理由．
（2）请你在图乙中，设计一个不同于图甲的方案，使游戏双方公平．
答案：解：（1）这个游戏公平．
根据图甲的对称性，阴影部分的面积等于圆面积的一半，
这个游戏公平．
（2）把图乙中的同心圆平均分成偶数等分，再把其中的一半作为阴影部分即可．（图略）
第2题. (2006 成都课改)含有4种花色的36张扑克牌的牌面都朝下，每次抽出一张记下花色后再原样放回，洗匀牌后再抽．不断重复上述过程，记录抽到红心的频率为25%，那么其中扑克牌花色是红心的大约有
张．
答案：
第3题. (2006　济南课改)小明和小丽用形状大小相同、面值不同的5张邮票设计了一个游戏，将面值1元、2元、3元的邮票各一张装入一个信封，面值4元、5元的邮票各一张装入另一个信封．游戏规定：分别从两个信封中各抽取1张邮票，若它们的面值和是偶数，则小明赢；若它们的面值和是奇数，则小丽赢，请你判断这个游戏对双方是否公平，并说明理由．
答案：游戏对双方是公平的．
通过列表或树状图等方法，求得．
　　　　　　　　　　　　　　．
因为，所以游戏对双方是公平的．
第4题. (2006　青岛课改)小明和小亮用如下的同一个转盘进行“配紫色”游戏．游戏规则如下：连续转动两次转盘，如果两次转盘转出的颜色相同或配成紫色（若其中一次转盘转出蓝色，另一次转出红色，则可配成紫色），则小明得1分，否则小亮得1分．你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由；若不公平，请你修改规则使游戏对双方公平．
红 黄 蓝
红 （红，红） （红，黄） （红，蓝）
黄 （黄，红） （黄，黄） （黄，蓝）
蓝 （蓝，红） （蓝，黄） （蓝，蓝）
答案：
从表中可以得到：（小明获胜），（小亮获胜）．
小明的得分为，小亮的得分为．
，游戏不公平．
修改规则不惟一，如若两次转出颜色相同或配成紫色，则小明得4分，否则小亮得5分．
第5题. (2006　湖北十堰课改)小莉和小慧用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字和为奇数，则小莉胜；若两次数字和为偶数，则小慧胜．这个游戏对双方公平吗？试用列表法或树状图加以分析．
答案：解：这个游戏对双方公平．理由如下：
　　从表中可以看出，总共有种结果，每种结果出现的可能性相同，而两数和为奇数的结果有种．　　．因此，这个游戏对双方公平．　
第6题. (2006　佛山课改)小明、小华用牌面数字分别为1，2，3，4的4张扑克牌玩游戏．他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面．若一次从中抽出两张牌的牌面数字之和为奇数，则小明获胜；反之，小华获胜．
这个游戏公平吗？请说明理由．
答案：解：这个游戏不公平．
理由：因为一次抽出两张牌的组合共有，六种情况，其中有4组中的两数和是奇数．
所以．
因此，这个游戏不公平．
第7题. (2006　广州课改)如图，甲转盘被分成3个面积相等的扇形、乙转盘被分成2个面积相等的扇形．小夏和小秋利用它们来做决定获胜与否的游戏．规定小夏转甲盘一次，小秋转乙盘一次为一次游戏（当指针指在边界线上时视为无效，重转）．
（1）小夏说：“如果两个指针所指区域内的数之和为6或7，则我获胜；否则你获胜”．按小夏设计的规则，请你写出两人获胜的可能性分别是多少？
（2）请你对小夏和小秋玩的这种游戏设计一种公平的游戏规则，并用一种合适的方法（例如：树状图，列表）说明其公平性．
答案：解：（1）按照小夏设计的游戏规则，小夏获胜的可能性是，而小秋获胜的可能性是．
（2）公平的游戏规则不唯一，只要正确，均得分．
解法1：如果两转盘各转动1次，两个指针所指区域内的数之和为5或6，则小夏获胜；否则小秋获胜．
理由如下：
甲转盘指针所指区域的数 乙转盘指针所指区域的数 两数和
从树状图可以看出，两数和为5或6的机会与两数和为7或8的机会是相等的，所以，两人获胜的机会均为，即设计的游戏规则是公平的．
解法2：如果两转盘各转动1次，两个指针所指区域内的数之和为奇数，则小夏获胜；否则小秋获胜，此时，两人获胜的可能性均为．（理由略）
解法3：如果两转盘各转动1次，两个指针所指区域内的数之积为4的倍数，则小夏获胜；否则小秋获胜，此时，两人获胜的可能性均为．（理由略）
解法4：如果两转盘各转动1次，两个指针所指区域内的数之差为奇数，则小夏获胜；否则小秋获胜，此时，两人获胜的可能性均为．（理由略）
等等．
第8题. (2006　镇江课改)小颖为九年级1班毕业联欢会设计了一个“配紫色”的游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．游戏者同时转动两个转盘，两个转盘停止转动时，若有一个转盘的指针指向蓝色，另一个转盘的指针指向红色，则“配紫色”成功，游戏者获胜．求游戏者获胜的概率．
答案：解：方法一：用表格来说明 或方法二：用树状图来说明
红色 蓝色
红1 （红1，红） （红1，蓝）
红2 （红2，红） （红2，蓝）
蓝色 （蓝，红） （蓝，蓝）
所以，配成紫色的概率为（配成紫色）．
所以游戏者获胜的概率为．
第9题. （2006　白银课改）某公司现有甲、乙两种品牌的计算器，甲品牌计算器有三种不同的型号，乙品牌计算器有两种不同的型号，新华中学要从甲、乙两种品牌的计算器中各选购一种型号的计算器．
（1）写出所有的选购方案（利用树状图或列表方法表示）；
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么型号计算器被选中的概率是多少？
（3）现知新华中学购买甲、乙两种品牌计算器共40个（价格如图所示），恰好用了1000元人民币，其中甲品牌计算器为型号计算器，求购买的型号计算器有多少个？
答案：解：（1）树状图表示如下：
甲
列表表示如下：
有6种可能结果：．
说明：用其它方式表达选购方案且正确者，只给1分．
（2）因为选中型号计算器有2种方案，即，所以型号计算器被选中的概率是．
（3）由（2）可知，当选用方案时，设购买型号，型号计算器分别为个，
根据题意，得解得
经检验不符合题意，舍去；
当选用方案时，设购买型号、型号计算器分别为个，
根据题意，得解得
所以新华中学购买了5个型号计算器．
第10题. （2006　衡阳课改）两个口袋中均有3个分别标有数字1，2，3的相同的球，甲、乙两人进行玩球游戏．游戏规则是：甲从袋中随机摸一个球，乙从袋中随机摸一个球，当两个球上所标数字之和为奇数时，则甲赢，否则乙赢．问这个游戏公平吗？为什么？
答案：解：不公平．
下面列举所有可能出现的结果：
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
由此可知，和为奇数有4种，和为偶数有5种．
甲赢的概率为，乙赢的概率为．
不公平．
第11题. （2006　济宁课改）甲、乙两同学手中各有分别标注1，2，3三个数字的纸牌，甲制定了游戏规则：两人同时各出一张牌，当两牌上的数字之和为偶数时甲赢，奇数时乙赢．你认为此规则公平吗？并说明理由． ．
答案：不公平．因为出现偶数的概率为，而出现奇数的概率为
第12题. （2006　南京课改）某校有两个餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐．
（1）求甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率；
（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有一人在餐厅用餐的概率．
答案：解：所有可能出现的结果如下：
甲 乙 丙 结果
Ａ Ａ Ａ （Ａ，Ａ，Ａ）
Ａ Ａ Ｂ （Ａ，Ａ，Ｂ）
Ａ Ｂ Ａ （Ａ，Ｂ，Ａ）
Ａ Ｂ Ｂ （Ａ，Ｂ，Ｂ）
Ｂ Ａ Ａ （Ｂ，Ａ，Ａ）
Ｂ Ａ Ｂ （Ｂ，Ｂ，Ｂ）
Ｂ Ｂ Ａ （Ｂ，Ｂ，Ａ）
Ｂ Ｂ Ｂ （Ｂ，Ｂ，Ｂ）
（1）甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率是；
（2）甲、乙、丙三名学生中至少有一人在Ｂ餐厅用餐的概率是．
第13题. （2006　安徽课改）田忌赛马是一个为人熟知的故事，传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强．有一天，齐王要与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，蠃得两局者为胜．看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强
（1）如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？
（2）如果齐王将马按上中下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）
【解】
答案：解：（1）由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的马按上、中、下顺序出阵时，田忌的马按下、上、中的顺序出阵，田忌才能取胜．
（2）当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下表：
齐王的马 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下
田忌的马 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上
双方马的对阵中，总有一种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率．
与《利用概率解决实际问题》有关的中考题集锦（二）
第14题. （2006　大连课改）小明为了检验两枚六个面分别刻有点数1，2，3，4，5，6的正六面体骰子的质量是否都合格，在相同的条件下，同时抛两枚骰子20000次，结果发现两个朝上面的点数和是7的次数为20次．你认为这两枚骰子质量是否都合格（合格标准为：在相同条件下抛骰子时，骰子各个面朝上的机会相等）？并说明理由．
答案：解：两枚骰子质量不都合格．
同时抛两枚骰子两个朝上面点数和有以下情况：
．
出现两个朝上面点数和为7的概率为．
试验20000次出现两个朝上面点数和为7的频率为．
因为大数次试验的频率接近概率，而0.001和0.167相差很大．
两枚骰子质量不都合格．
第15题. （2006　菏泽课改）将编号依次为，，，的四个同样的小球放进一个不透明的袋子中，摇匀后甲、乙二人做如下游戏：每人从袋子中各摸出一个球，然后将这两个球上的数字相乘，若积为奇数，则甲获胜；若积为偶数，则乙获胜．
请问：这样的游戏规则对甲、乙双方公平吗？请用概率的知识说明理由．
答案：答：这种游戏规则对甲、乙双方不公平．
理由如下：不妨设甲先摸，则甲、乙所摸得球的情况如下：
总共有种情况，每种情况发生的可能性相同，其中积为奇数的情况有种，积为偶数的情况有种，所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
因，所以这样的游戏规则对甲、乙双方不公平．
第16题. （2006　宜昌课改）某商场设计了两种促销方案：第一种是顾客在商场消费每满200元就可以从一个装有100个完全相同的球（球上分别标有数字1，2，…，100）的箱子中随机摸出一个球（摸后放回）．若球上的数字是88，则返购物券500元；若球上的数字是11或77，则返购物券300元；若球上的数字能被5整除，则返购物券5元；若是其它数字，则不返购物券．第二种是顾客在商场消费每满200元直接获得购物券15元．估计促销期间将有5000人次参加活动．请你通过计算说明商家选择哪种促销方案合算些？
答案：解：获得元购物券的概率是，，
获得元购物券的概率是，
获得元购物券的概率是
摸球一次获得购物券的平均金额为：（元）
如果有人次参加摸球，商场付出的购物券的金额是：
元
若直接获得购物券，需付金额：元
商场选择摸球的促销方式合算．
第17题. （2006　株洲课改）如图，是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是红桃1，2，3和方块1，2，3，将它们的背面朝上分别重新洗牌后，再从两组牌中各摸出一张．
（1）用列举法列举所有可能出现的结果；
（2）求摸出的两张牌的牌面数字之和不小于5的概率．
答案：（1）所有可能出现的结果可用下表表示：
1 2 3
1
2
3
（2）由上表可知牌面的数字之和不小于5的概率为：．
第18题. （2006　山西吕梁课改）有一块表面是咖啡色、内部是白色、形状是正方体的烤面包．小明用刀在它的上表面、前面面和右侧表面沿虚线各切两刀（如图1），将它切成若干块小正方体形面包（如图2）．
（1）小明从若干块小面包中任取一块，求该块面包有且只有两个面是咖啡色的概率；
（2）小明和弟弟边吃边玩．游戏规则是：从中任取一块小面包，若它有奇数个面为咖啡色时，小明赢；否则，弟弟赢．你认为这样的游戏规则公平吗？为什么？如果不公平，请你修改游戏规则，使之公平．
答案：解：（1）按上述方法可将面包切成27块小面包，有且只有两个面是咖啡色的小面包有12块，．所以，所求概率是．
（2）27块小面包中有8块是有且只有3个面是咖啡色，6块是有且只有1个面是咖啡色．
从中任取一块小面包，有且只有奇数个面为咖啡色的共有14块，剩余的面包块共有13块．
小明赢的概率是，弟弟赢的概率是．
所以，按照上述规则弟弟赢的概率小于小明赢的概率，游戏不公平．
游戏规则修改举例：任取一块小面包，恰有奇数个面为咖啡色时，哥哥得13分；恰有偶数个面为咖啡色时，弟弟得14分．积分多者获胜．
第19题. （2006　鄂尔多斯课改）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘．转盘被平均分成等份，分别标上三个数字；转盘被平均分成4等份，分别标上四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则；自由转动转盘与，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则为乙获胜．
　　你认为这样的游戏规则是否公平？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？
答案：解：不公平．
　　（和为6），甲、乙获胜的概率不相等
　　不公平．（无列表或树状图不扣分）
　　规则改为：和是6或7，甲胜；否则乙胜．
（和为奇数，甲胜；和为偶数，乙胜；或和小于7，甲胜；和大于等于7，乙胜．答案不唯一．）　　　　　　　列　表
3 4 5 6
1 4 5 6 7
2 5 6 7 8
3 6 7 8 9
第20题. （2006　辽宁十一市课改）在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同其余都相同的球，如果口袋中装有4个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总数为（　　）
Ａ．12个 Ｂ．9个 Ｃ．6个 Ｄ．3个
答案：Ａ
第21题. （2006　漳州课改）根据天气预报，明天降水概率为，后天降水概率为，假如你准备明天或后天去放风筝，你选择　　　　天为佳．
答案：明
第22题. （2006　山西临汾课改）某市举办“2008拥抱北京”迎奥运长跑活动，参加长跑活动的市民约有10000人，为了解参加长跑活动人员的年龄分布情况，从中随机抽取了一部分人的年龄作为样本，进行数据处理后，得到如图所示不完整的频数分布直方图．
（1）若所抽取年龄在60 岁以上的人数占样本总人数的，请求出样本容量，并补全频数分布直方图；
（2）请估计参加这次长跑活动的市民中，20岁以下的约有多少人
（3）根据统计图提供的信息，请再写出两条正确的结论．
答案：解：（1），
样本容量是100．
补图正确．
（2）（人），
参加这次长跑活动的市民中20岁以下
的约有2800人．
（3）答案不唯一，例如所得的信息可以是：
①参加这次长跑活动的市民中20岁以下的人最多；
②参加这次长跑活动的市民中41—50岁之间的人最少；
③参加这次长跑活动的市民中20—30岁之间的人大约
是15%；
第23题. （2006　山西临汾课改）小明和小乐做摸球游戏．一只不透明的口袋里只放有3个红球和5个绿球，每个球除颜色外都相同，每次摸球前都将袋中的球充分搅匀，从中任意摸出一个球，记录颜色后再放回，若是红球小明得3分，若是绿球小乐得2分．游戏结束时得分多者获胜．
你认为这个游戏对双方公平吗
若你认为公平，请说明理由；若你认为不公平，也请说明理由，并修改规则，使该游戏对双方公平．
答案：解：（1）不公平．
（2）（摸出红球），（摸出绿球）．
小明平均每次得分（分），
小乐平均每次得分（分）．
，游戏对双方不公平．
游戏规则可修改为：①口袋里只放2个红球和3个绿球；
②摸出红球小明得5分，摸到绿球小乐得3分；
说明：修改游戏规则对双方公平即可得2分．
第24题. （2006　钦州课改）袋中装有除颜色外其余都相同的红球和黄球共25个，小明通过多次模拟实验后，发现摸到的红球、黄球的概率分别是和，则袋中黄球有 个．
答案：15
第25题. （2006　南充课改）在三个相同乒乓球上分别写上1，2，3，放入布袋中供甲、乙两人做游戏．规则是：
（1）每轮游戏两人各摸一个球，一人摸出记录编号后放回袋中另一人再摸．
（2）如果两球的编号之和为奇数，则甲胜；如果两球的编号之和为偶数，则乙胜．
你认为这是否是一个公平的游戏？如果不公平，谁获胜的可能性较大？
答案：解：编号之和的可能性列表如下：
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
由表可知，编号之和为奇数的可能性有4种，编号之和为偶数的可能性有5种．
即（编号之和为奇数），（编号之和为偶数）．
因此，这不是一个公平的游戏．
乙获胜的可能性较大．
注：不列表画树状图亦可
第26题. （2006　郴州课改）甲、乙两超市同时开业，为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动：凡购物满100元，均可得到一次摸奖的机会，在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外，其它全部相同，摸奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券的多少（如下表）．
甲超市
球 两红 一红一白 两白
礼金券（元） 5 10 5
乙超市
球 两红 一红一白 两白
礼金券（元） 10 5 10
如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物？请说明理由．
答案：去甲超市购物一次摸奖获10元礼金券的概率是(甲)
去乙超市购物一次摸奖获10元礼金券的概率是(乙)
所以我选择去甲超市购物．
图甲
图乙
红
黄
蓝
第
二
次
第
一
次
1
3
2
4
5
甲
乙
4
5
4
5
4
5
5
6
6
7
7
8
1
2
3
蓝
红
红
红
蓝
转
盘
转
盘
1
2
开始
红1
红2
蓝色
蓝（红1，蓝）
红（红1，红）
蓝（红2，蓝）
红（红2，红）
蓝（蓝，蓝）
红（蓝，红）
公司
计算器单价
（单位：元）
型：60
型：40
型：25
型：50
型：20
甲品牌
乙品牌
乙
AA
和
B
开始
2
3
4
1
2 3 4
1 3 4
1 2 4
1 2 3
甲：
乙：
（2）（3）（4）
（2）（6）（8）
（3）（6）（12）
（4）（8）（12）
积：
红
桃
方
块
（图1）
（图2）
（图1）
（图2）
2
1
3
Ａ
4
3
5
6
Ｂ
A
人数
年龄
30
25
20
15
10
5
0
20岁以下
20｜
30岁
31｜
40岁
41｜
50岁
51｜
60岁
60岁以上
28
15
12
10
15
人数
年龄
30
25
20
15
10
5
0
20岁以下
20｜
30岁
31｜
40岁
41｜
50岁
51｜
60岁
60岁以上
28
15
12
10
15
20
乙摸
甲摸
编号之和