鲁教版九年级数学上册期末复习测试题—反比例函数（word版含解析）

反比例函数
测试题
一．选择题（共12小题）
1．下列函数：①y＝﹣2x；②y＝；③y＝x﹣1；④y＝5x2+1，是反比例函数的个数有（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．下列函数是反比例函数的是（　　）
A．y＝
B．y＝x2﹣1
C．y＝
D．y＝
3．已知反比例函数y＝﹣，则该反比例函数的图象经过哪几个象限（　　）
A．一、二象限
B．一、三象限
C．二、三象限
D．二、四象限
4．已知点A（﹣4，m），B（﹣，n）都在反比例函数y＝的图象上，则m与n的大小关系是（　　）
A．m＞n
B．m＜n
C．m＝n
D．不能确定
5．对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（　　）
A．点（﹣3，1）在它的图象上
B．它的图象在第二、四象限
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．当x＜0时，y随x的增大而减小
6．已知k1＜0＜k2，则函数y＝k1x﹣3和y＝的图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，5），则这个函数的图象一定经过点（　　）
A．（5，﹣1）
B．（﹣，2）
C．（﹣2，﹣5）
D．（，﹣20）
8．如图，A是反比例函数图象上第二象限内的一点，若△ABO的面积为2，则k的值为（　　）
A．﹣4
B．﹣2
C．2
D．4
9．如图．直线y＝2x分别与双曲线y＝（x＞0）、y＝（x＞0）交于P，Q两点，且OP＝2OQ．则k的值（　　）
A．2
B．4
C．6
D．8
10．如图，函数y1＝x+1与函数y2＝的图象相交于点M（m，2），N（n，﹣1）．若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2或0＜x＜1
B．x＜﹣2或x＞1
C．﹣2＜x＜0或0＜x＜1
D．﹣2＜x＜0或x＞1
11．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式﹣的值为（　　）
A．﹣
B．
C．﹣
D．
12．如图，曲线表示温度T（℃）与时间t（h）之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支．当温度T≤2℃时，时间t应（　　）
A．不小于h
B．不大于h
C．不小于h
D．不大于h
二．填空题（共6小题）
13．若y＝（4﹣2a）x是反比例函数，则a的值是　
　．
14．如图，设点P在函数的图象上，PC⊥x轴于点C，交函数y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交函数y＝的图象于点B，则四边形PAOB的面积为　
　．
15．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为　
　．
16．如图，P1是反比例函数y＝（k＞0）在第一象限图象上的一点，点A1的坐标为（2，0）．若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，则A2点的坐标为　
　．
17．如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为　
　．
18．若一个反比例函数的图象经过点A（a，a）和B（3a，﹣2），则这个反比例函数的表达式为　
　．
三．解答题（共6小题）
19．已知函数y＝（m2+2m）
（1）如果y是x的正比例函数，求m的值；
（2）如果y是x的反比例函数，求出m的值，并写出此时y与x的函数关系式．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（m，m+1），B（2，6）两点．
（1）求m的值；
（2）求一次函数的表达式；
（3）当一次函数y＝k1x+b的值小于反比例函数y＝（x＞0）的值时，求出自变量x的取值范围．
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，m），B（n，3），与y轴交于点C．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
22．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（1，2），B（﹣2，n）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式．
（2）直线AB交x轴于点C，点P是x轴上的点，若△ACP的面积是4，求点P的坐标．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+b的图象经过点C（0，2），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，a）．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）设M是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，N是直线AB上一点，若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．
24．如图，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A，B两点（点B在点A的左侧），已知点A的坐标为（6，1），△AOB的面积为8．
（1）填空：反比例函数的关系式为　
　；
（2）求直线AB的函数关系式；
（3）试判断反比例函数y＝（x＞0）的图象是否存在点P，使△PAB与△AOB面积相等，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．【分析】利用反比例函数定义可得答案．
【解答】解：①y＝﹣2x是正比例函数；
②y＝是反比例函数；
③y＝x﹣1是反比例函数；
④y＝5x2+1是二次函数，
反比例函数共2个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．
2．【分析】利用反比例函数定义进行解答即可．
【解答】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，故此选项不合题意；
B、是二次函数，不是反比例函数，故此选项不合题意；
C、是反比例函数，故此选项符合题意；
D、不是反比例函数，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数定义，关键是掌握形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．
3．【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可得到答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣2＜0，
∴图象位于二、四象限，
故选：D．
【点评】考查了反比例函数的性质，解题的关键是了解比例系数的符号与图形位置的关系，难度不大．
4．【分析】根据反比例函数k的值，判断函数的增减性即可求解．
【解答】解：∵k＝2＞0，
∴函数的图象在一、三象限，
根据函数性质，函数在一、三象限y随x的增大而减小，
∵﹣4＜﹣，
∴m＞n，
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象的性质，利用函数的增减性求解．
5．【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答．
【解答】解：A、∵﹣3×1≠3，故A说法不正确；
B、∵k＝3＞0，∴图象在第一、三象限，故B说法不正确；
C、在第一象限内，y随x的增大而减小，故C说法不正确；
D、在第三象限内，y随x的增大而减小，故D说法正确；
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数y＝（k≠0）的性质：
①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
②当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．
6．【分析】直接利用反比例函数以及一次函数图象的性质分别分析得出答案．
【解答】解：∵k1＜0＜k2，函数y＝k1x﹣3和y＝在同一坐标系中，
∴反比例函数的图象分布在一三象限，一次函数图象经过二四象限，且过（0，﹣3）点，
∴只有选项D符合题意，
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象以及一次函数图象，正确掌握各函数图象分布规律是解题关键．
7．【分析】把（﹣2，5）代入y＝得出5＝，求出k，得出函数的解析式为y＝﹣，再逐个判断即可．
【解答】解：把（﹣2，5）代入y＝得：5＝，
解得：k＝﹣10，
即y＝﹣，
A．把（5，﹣1）代入y＝﹣得：左边≠右边，即反比例函数y＝﹣的图象不经过点（5，﹣1），故本选项不符合题意；
B．把（﹣，2）代入y＝﹣得：左边≠右边，即反比例函数y＝﹣的图象不经过点（﹣，2），故本选项不符合题意；
C．把（﹣2，﹣5）代入y＝﹣得：左边≠右边，即反比例函数y＝﹣的图象不经过点（﹣2，﹣5），故本选项不符合题意；
D．把（，﹣20）代入y＝﹣得：左边≠右边，即反比例函数y＝﹣的图象经过点（，﹣20），故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和用待定系数法求一次函数的解析式，能求出函数的解析式是解此题的关键．
8．【分析】根据反比例函数k的几何意义可得|k|＝2，再根据图象所在的象限，得出k的值．
【解答】解：由反比例函数k的几何意义可得，
|k|＝2，
∴k＝±4，
又∵图象在第二象限，即k＜0，
∴k＝﹣4，
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义，是得出正确答案的前提，理解反比例函数的性质是解决问题的关键．
9．【分析】过点Q作QE⊥x轴，垂足为E，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，先求出点P的坐标，再从条件OP＝2OQ出发，构造相似三角形，求出点Q的坐标，就可求出k的值．
【解答】解：过点Q作QE⊥x轴，垂足为E，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，如图，
联立，
解得：或．
∵x＞0，
∴点P的坐标为（2，4）．
∴OF＝2，PF＝4．
∵QE⊥x轴，PF⊥x轴，
∴QE∥PF．
∴△OEQ∽△OFP．
∴．
∵OP＝2OQ，
∴OF＝2OE＝2，PF＝2EQ＝4．
∴OE＝1，EQ＝2．
∴点Q的坐标为（1，2）．
∵点Q（1，2）在双曲线y＝上，
∴k＝1×2＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点、用待定系数法求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质，求得P点的坐标是解题的关键．
10．【分析】根据图象上点的坐标特征求得m、n的值，然后观察函数图象得到当﹣2＜x＜0或x＞1时，函数y1＝x+1的图象都在函数y2＝的图象的上方，即y1＞y2．
【解答】解：∵点M（m，2），N（n，﹣1）分别代入y1＝x+1，求得m＝1，n＝﹣2，
∴M（1，2），N（﹣2，﹣1），
根据图象得到若y1＞y2，则x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标同时满足两函数的解析式．也考查了观察函数图象的能力．
11．【分析】由题意得，函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则ab＝3，b＝a﹣1，进而求解．
【解答】由题意得，函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），
∴ab＝3，b＝a﹣1，
∴﹣＝＝﹣；
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，求出交点坐标是正确计算的前提．
12．【分析】首先确定函数解析式，然后根据函数值的取值范围确定自变量的取值范围即可．
【解答】解：设函数解析式为T＝，
∵经过点（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴函数解析式为T＝，
当T≤2℃时，t≥h，
故选：C．
【点评】考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据图象确定反比例函数的解析式，难度不大．
二．填空题（共6小题）
13．【分析】根据反比例函数形式y＝kx﹣1（k为常数，k≠0），即可得出关于a的关系式，进而得到a的值．
【解答】解：∵y＝（4﹣2a）x是反比例函数，
∴4﹣2a≠0，且a2﹣5＝﹣1，
解得a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了反比例函数定义，解题时关键是注意y＝kx﹣1的形式中k≠0．
14．【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求出四边形PCOD的面积，△OBD和△OAC的面积，然后求解即可．
【解答】解：根据题意，S四边形PCOD＝PC?PD＝5，
S△OBD＝S△OAC＝×2＝1，
所以，四边形PAOB的面积＝S四边形PCOD﹣S△OBD﹣S△OAC＝5﹣1﹣1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．
15．【分析】根据双曲线上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S＝|k|即可判断．
【解答】解：延长BA交y轴于E，则BE⊥y轴，
∵点A在双曲线y＝上，
∴四边形AEOD的面积为4，
∵点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，
∴矩形ABCD的面积为12﹣4＝8．
故答案为8．
【点评】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|．
16．【分析】由于△P1OA1为等边三角形，作P1C⊥OA1，垂足为C，由等边三角形的性质及勾股定理可求出点P1的坐标，根据点P1是反比例函数y＝（k＞0）图象上的一点，利用待定系数法求出此反比例函数的解析式；作P2D⊥A1A2，垂足为D．设A1D＝a，由于△P2A1A2为等边三角形，由等边三角形的性质及勾股定理，可用含a的代数式分别表示点P2的横、纵坐标，再代入反比例函数的解析式中，求出a的值，进而得出A2点的坐标．
【解答】解：∵△P1OA1为边长是2的等边三角形，
∴OC＝1，P1C＝2×＝，
∴P1（1，）．
代入y＝，得k＝，
所以反比例函数的解析式为y＝．
作P2D⊥A1A2，垂足为D．
设A1D＝a，
则OD＝2+a，P2D＝a，
∴P2（2+a，a）．
∵P2（2+a，a）在反比例函数的图象上，
∴代入y＝，得（2+a）?a＝，
化简得a2+2a﹣1＝0
解得：a＝﹣1±．
∵a＞0，
∴a＝﹣1+．∴A1A2＝﹣2+2，
∴OA2＝OA1+A1A2＝2，
所以点A2的坐标为（2，0）．
故答案是：（2，0）．
【点评】此题综合考查了反比例函数的性质，利用待定系数法求函数的解析式，正三角形的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．
17．【分析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C的坐标，从而可以求得k的值，进而求得反比例函数的解析式．
【解答】解：过C作CE⊥OB于E，
∵在菱形ABOC中，∠A＝60°，AB＝2，
∴OC＝2，∠COB＝60°，
∵CE⊥OB，
∴∠CEO＝90°，
∴∠OCE＝30°，
∴OE＝OC＝1，CE＝，
∴点C的坐标为（﹣1，），
∵顶点C在反比例函数y＝的图象上，
∴＝，得k＝﹣，
即y＝﹣，
故答案为：y＝﹣．
【点评】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是求出点C的坐标．
18．【分析】设反比例函数的表达式为y＝，依据反比例函数的图象经过点A（a，a）和B（3a，﹣2），即可得到k的值，进而得出反比例函数的表达式．
【解答】解：设反比例函数的表达式为y＝，
∵反比例函数的图象经过点A（a，a）和B（3a，﹣2），
∴k＝a2＝﹣6a，
解得a1＝﹣6，a2＝0（舍去），
∴k＝36，
∴反比例函数的表达式为y＝．
故答案为：y＝．
【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
三．解答题（共6小题）
19．【分析】（1）根据y＝kx（k是不等于零的常数）是正比例函数，可得答案；
（2）根据（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．
【解答】解：（1）由y＝（m2+2m）是正比例函数，得
m2﹣m﹣1＝1且m2+2m≠0，
解得m＝2或m＝﹣1；
（2）由y＝（m2+2m）是反比例函数，得
m2﹣m﹣1＝﹣1且m2+2m≠0，
解得m＝1．
故y与x的函数关系式y＝3x﹣1．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．
20．【分析】（1）先把B（2，6）代入y＝（x＞0）得k2＝12，则反比例函数解析式为y＝（x＞0），再利用反比例解析式确定m的值；
（2）利用待定系数法确定一次函数解析式；
（3）观察函数图象得到当0＜x＜2或x＞3时，反比例函数图象在一次函数图象上方．
【解答】解：（1）把B（2，6）代入y＝（x＞0）得k2＝2×6＝12，
所以反比例函数解析式为y＝（x＞0），
把A（m，m+1）代入y＝得m（m+1）＝12，解得m1＝3，m＝﹣4，
∵x＞0，
∴m＝3；
（2）把A（3，4），B（2，6）代入y＝k1x+b得，
解得，
所以一次函数解析式为y＝﹣2x+10；
（3）当一次函数y＝k1x+b的值小于反比例函数y＝（x＞0）的值时，自变量x的取值范围是0＜x＜2或x＞3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
21．【分析】（1）把点A（﹣3，m），B（n，3）代入y＝求得A（﹣3，﹣1），B（1，3），然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）根据一次函数解析式求得C的坐标，然后S△AOB＝S△AOC+S△BOC即可求得．
【解答】解：（1）∵点A（﹣3，m），B（n，3）在反比例函数y＝的图象上，
∴﹣3m＝3n＝3，
∴m＝﹣1，n＝1．
∴A（﹣3，﹣1），B（1，3），
∵一次函数y＝kx+b的图象过A（﹣3，﹣1），B（1，3）两点，
∴，解得
∴一次函数的解析式为y＝x+2；
（2）把x＝0代入y＝x+2得，y＝2，
∴C（0，2），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3+×1＝4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，注意数形结合思想的应用．
22．【分析】（1）先根据点A坐标求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，继而根据点A、B坐标可得直线解析式；
（2）先根据直线解析式求出点C的坐标，根据S△ACP＝?PC?yA＝4求出PC的长，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝经过点A（1，2），
∴2＝，
∴m＝2，
∴反比例函数的表达式为y＝，
把点B的坐标
（﹣2，n）代入y＝得，n＝，解得n＝﹣1，
∴点B的坐标为（﹣2，﹣1），
分别把点A，点B的坐标代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的表达式为y＝x+1；
（2）把y＝0代入y＝x+1，解得x＝﹣1，
∴点C的坐标为（﹣1，0），
∵△ACP的面积是4，点A的纵坐标等于2，
∴?PC×2＝4，
解得CP＝4，
∴点P的坐标为（﹣5，0）或（3，0）．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角形的面积问题．
23．【分析】（1）将点C代入直线y＝x+b中求出b，进而得出直线AB的解析式，进而求出点A的坐标，再代入双曲线的表达式中，即可得出结论；
（2）设成点M，N坐标，分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点C（0，2）在直线y＝x+b上，
∴b＝2，
∴一次函数的表达式为y＝x+2；
∵点A（1，a）在直线y＝x+2上，
∴a＝3，
∴点A（1，3），
∵点A（1，3）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）由（1）知，直线AB的表达式为y＝x+2，反比例函数的表达式为y＝，
设点M（m，），N（n，n+2），
若以点O、M、C、N为顶点的四边形是平行四边形，
则①以OC和MN为对角线时，
∴＝0，，
∴m＝，n＝﹣或m＝﹣（此时，点M不在第一象限，舍去），n＝，
∴N（﹣，﹣+2），
②以CN和OM为对角线时，
∴＝，＝，
∴m＝n＝﹣2+或m＝n＝﹣2﹣（此时，点M不在第一象限，舍去），
∴N（﹣2+，），
③以CM和ON为对角线时，
∴＝，＝，
∴m＝n＝或m＝n＝﹣（此时，点M不在第一象限，舍去），
∴N（，2+），
即满足条件的点N的坐标为（﹣，﹣+2）或（﹣2+，）或（，2+）．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质，中点坐标公式，利用中点坐标公式建立方程组求解是解本题的关键．
24．【分析】（1）将点A坐标（6，1）代入反比例函数解析式y＝，求出k的值即可；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥y轴于D，延长CA，DB交于点E，则四边形ODEC是矩形，设B（m，n），根据△AOB的面积为8，得3n﹣m＝8，得方程3n2﹣8n﹣3＝0，解出可得B的坐标，利用待定系数法可得AB的解析式；
（3）设直线AB交x轴于点M，在点M右侧取一点N，使OM＝MN，过点N作直线n∥AB，交反比例函数于点P，则点P为所求点，进而求解．
【解答】解：（1）将点A坐标（6，1）代入反比例函数解析式y＝得k＝1×6＝6，
则y＝，
故答案为：y＝①；
（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥y轴于D，延长CA，DB交于点E，则四边形ODEC是矩形，
设B（m，n），
∴mn＝6，
∴BE＝DE﹣BD＝6﹣m，AE＝CE﹣AC＝n﹣1，
∴S△ABE＝AE?BE＝（n﹣1）（6﹣m），
∵A、B两点均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴S△BOD＝S△AOC＝＝3，
∴S△AOB＝S矩形ODEC﹣S△AOC﹣S△BOD﹣S△ABE＝6n﹣3﹣3﹣（n﹣1）（6﹣m）＝3n﹣m，
∵△AOB的面积为8，
∴3n﹣m＝8，
∴m＝6n﹣16，
∵mn＝6，
∴3n2﹣8n﹣3＝0，
解得：n＝3或﹣（舍），
∴m＝2，
∴B（2，3），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
则，解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4；
（3）存在，理由：
设直线AB交x轴于点M，在点M右侧取一点N，使OM＝MN，
过点N作直线n∥AB，交反比例函数于点P，则点P为所求点，
∵n∥AB，且OM＝MN，则△PAB与△AOB面积相等（同底等高的两个三角形面积相等），
由y＝﹣x+4，令y＝0，解得x＝8，故点M（8，0），则点N（16，0），
则直线n的表达式为y＝﹣（x﹣16）②，
联立①②并解得，
故点P的坐标为（8+3，）或（8﹣3，）．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查的是一次函数和反比例函数的性质、平行线的性质、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．
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