课时素养评价四十八 函数的实际应用
(15分钟 30分)
1.随着社会发展对环保的要求,越来越多的燃油汽车被电动汽车取代,为了了解某品牌的电动汽车的节能情况,对某一辆电动汽车“行车数据”的两次记录如表:
记录时间
累计里程(单位:公里)
平均耗电量(单位:kW·h/公里)
剩余续航里程(单位:公里)
2020年1月1日
5
000
0.125
380
2020年1月2日
5
100
0.126
246
（注:累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程,累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量,平均耗电量=,剩余续航里程=）
下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是( )
A.等于12.5
kW·h
B.12.5
kW·h到12.6
kW·h之间
C.等于12.6
kW·h
D.大于12.6
kW·h
【解析】选D.由题意可得:5
100×0.126-5
000×0.125=642.6-625=17.6,所以对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计为17.6
kW·h.
2.某网站开展了以核心价值观为主题的系列宣传活动,并将“社会主义核心价值观”作为关键词便于网民搜索.此后,该网站的点击量每月都比上月增长50%,那么4个月后,该网站的点击量和原来相比,增长为原来的
( )
A.2倍以上,但不超过3倍
B.3倍以上,但不超过4倍
C.4倍以上,但不超过5倍
D.5倍以上,但不超过6倍
【解析】选D.4个月后网站点击量变为原来的=,所以是5倍以上,但不超过6倍.
3.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到
( )
A.300只
B.400只
C.600只
D.700只
【解析】选A.将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),解得a=100,所以当x=7时,y=100log2(7+1)=300.
4.甲打算从A地出发至B地,现有两种方案:
第一种:在前一半路程用速度v1,在后一半路程用速度v2(v1≠v2),平均速度为;
第二种:在前一半时间用速度v1,在后一半时间用速度v2(v1≠v2),平均速度为
QUOTE
EMBED
Equation.DSMT4
;
则,的大小关系为
( )
A.>
QUOTE
EMBED
Equation.DSMT4
B.<
QUOTE
EMBED
Equation.DSMT4
C.=
QUOTE
EMBED
Equation.DSMT4
D.无法确定
【解析】选B.第一种:设总路程为2s,
则==,
第二种:设时间为2t,
则==,,
-=-==>0,所以>.
5.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=x2+2x+20(万元).一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为________万件.?
【解析】利润L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值.
答案:18
6.李庄村某社区电费收取有以下两种方案供农户选择:
方案一:每户每月收管理费2元,月用电不超过30度,每度0.4元,超过30度时,超过部分按每度0.5元.
方案二:不收管理费,每度0.48元.
(1)求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系;
(2)小李家九月份按方案一交费34元,问小李家该月用电多少度?
(3)小李家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好?
【解析】(1)当0≤x≤30时,L(x)=2+0.4x;
当x>30时,L(x)=2+30×0.4+(x-30)×0.5=0.5x-1,
所以L(x)=
(2)当0≤x≤30时,由L(x)=2+0.4x=34,解得x=80,舍去;
当x>30时,由L(x)=0.5x-1=34,解得x=70,所以小李家该月用电70度.
(3)设按第二方案收费为F(x)元,则F(x)=0.48x,当0≤x≤30时,由L(x)
解得2+0.4x<0.48x,解得x>25,
所以25当x>30时,由L(x)得0.5x-1<0.48x,解得x<50,
所以30故小李家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时,选择方案一比方案二更好.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.2019年8月到11月这四个月的某产品价格的市场平均价f(x)(单位:元/千克)与时间x(单位:月份)的数据如表
x
8
9
10
11
f(x)
28.00
33.99
36.00
34.02
现有三种函数模型:①f(x)=bx+a;②f(x)=ax2+bx+c;③f(x)=+a,找出你认为最适合的函数模型,并估计2019年12月份的该产品市场平均价( )
A.②,28元/千克
B.①,25元/千克
C.②,23元/千克
D.③,21元/千克
【解析】选A.因为f(x)的值随x的值先增后减,
所以选f(x)=ax2+bx+c最合适.
第二组数据近似为(9,34),第四组近似为(11,34),得f(x)图象的对称轴为x=10,
故f(12)=f(8)=28.
2.某企业今年3月份产值为a万元,4月份比3月份减少了10%,5月份比4月份增加了15%,则5月份的产值是
( )
A.(a-10%)(a+15%)万元
B.a(1-10%)(1+15%)万元
C.(a-10%+15%)万元
D.
a(1-10%+15%)万元
【解析】选B.由题意,5月份的产值为a(1-10%)(1+15%)万元.
3.某人若以每股17.25元的价格购进股票一万股,可以预知一年后以每股18.96元的价格销售.已知该年银行利率为0.8%,按月计复利,为获取最大利润,某人应将钱[注:(1+0.8%)12≈1.100
339]
( )
A.全部购买股票
B.全部存入银行
C.部分购买股票,部分存银行
D.购买股票或存银行均一样
【解析】选B.买股票利润:x=(18.96-17.25)×10
000,存银行利润:y=17.25×
10
000×(1+0.8%)12-17.25×10
000,计算得x4.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小,刚放进的新丸的体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,体积变为a.若一个新丸体积变为a,则需经过的天数为
( )
A.125
B.100
C.75
D.50
【解析】选C.由已知得a=a·e-50k,
即e-50k==,
所以a=·a=(e-50k·a=e-k·75·a,
所以t=75.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)
( )
A.6
B.9
C.8
D.7
【解析】选BC.设经过n次过滤,产品达到市场要求,则
×≤,
即≤,
由
nlg≤-lg20,即n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),得
n≥≈7.4.
6.如图,摩天轮的半径为40米,摩天轮的轴O点距离地面的高度为45米,摩天轮匀速逆时针旋转,每6分钟转一圈,摩天轮上的点P的起始位置在最高点处,下面的有关结论正确的有
( )
A.经过3分钟,点P首次到达最低点
B.第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高
C.从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低
D.摩天轮在旋转一周的过程中点有2分钟距离地面不低于65米
【解析】选ABD.可以以点O在地面上的垂足为原点,OP所在直线为y轴,与OP垂直的向右的方向为x轴正方向建立坐标系,
设y=Asin(ωx+φ)+k,x表示时间.
由题意可得A=40,k=45,P,
T=6,可得ω==,
故有点P离地面的高度y=40sin+45=40cosx+45.A.经过3分钟,
y=40cos+45=5.
点P首次到达最低点,正确;
B.第4分钟和第8分钟点P距离地面的高度分别为f(4)=40cos+45=25,
f(8)=40cos+45=25.所以第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高,正确;
C.从第7分钟至第9分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低,而从第9分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度开始上升.C项不正确.
D.由40cosx+45=65,化为:cosx=,取x=,可得x=1.结合图形可得:摩天轮在旋转一周的过程中点P有2分钟距离地面不低于65米.因此正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.要制作一个容积为4
m3,高为1
m的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价为20元/m2,侧面造价为10元/m2,则该容器的最低造价是______元.?
【解析】设容器底的长和宽分别为a
m,b
m,成本为y元,
所以S底=ab=4,y=20S底+10[2(a+b)]
=20(a+b)+80≥20×2+80=160,
当且仅当a=b=2时,y取最小值160,则该容器的最低造价为160元.
答案:160
8.(2020·菏泽高一检测)某制造商制造并出售圆柱形瓶装的某种饮料,瓶子的底面半径是r,高h=r(单位:cm),一个瓶子的制造成本是0.8πr2分,已知每出售1
mL(注:1
mL=1
cm3)的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子底面的最大半径为6
cm.记每瓶饮料的利润为f(r),则f(3)=________,其实际意义是________.?
【解析】f(r)=0.2·πr2·r-0.8πr2
=-0.8πr2(0故f(3)=7.2
π-7.2
π=0.
表示当瓶子底面半径为3
cm时,利润为0.
答案:0 当瓶子底面半径为3
cm时,利润为0
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2020·上海高一检测)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=-48x+8
000,已知此生产线年产量最大为230吨.
(1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本P(年总成本除以年产量)最低,并求最低成本;
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元,且生产的产品全部售完,那么当年产量为多少吨时,年总利润可以获得最大?最大利润是多少?
【解析】(1)y=-48x+8
000,0所以P==+-48≥2-48=32,当且仅当x=200时取等号.
所以年产量为200吨时,生产每吨产品的平均成本P最低,最低成本为32万元.
(2)设利润为z万元,
则z=40x-y
=40x-+48x-8
000
=-x2+88x-8
000
=-(x-220)2+1
680,
即年产量为220吨时,利润最大为1
680万元.
10.为净化新安江水域的水质,市环保局于2017年年底在新安江水域投入一些蒲草,这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快,2018年二月底测得蒲草覆盖面积为
24
m2,2018年三月底测得覆盖面积为36
m2,蒲草覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=mx2+n(m>0)可供选择.
(1)分别求出两个函数模型的解析式;
(2)若市环保局在2017年年底投放了11
m2的蒲草,试判断哪个函数模型更合适?并说明理由;
(3)利用(2)的结论,求蒲草覆盖面积达到320
m2的最小月份.
(参考数据:lg2=0.301
0,lg3=0.477
1)
【解析】(1)由已知?
所以y=.
由已知?
所以
y=x2+.
(2)若用模型y=,则当x=0时,y1=,若用模型y=x2+,则当x=0时y2=,易知使用模型y=更为合适.
(3)由≥320?x≥30,
故x≥30===≈8.39,故蒲草覆盖面积达到320
m2的最小月份是9月.
1.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来20天内,这种水果每箱的销售利润r(单位:元)与时间t(1≤t≤20,t∈N,单位:天)之间的函数关系式为r=t+10,且日销售量y(单位:箱)与时间t之间的函数关系式为y=120-2t,
(1)第4天的销售利润为________元;?
(2)在未来的这20天中,公司决定每销售1箱该水果就捐赠m(m∈N
)元给“精准扶贫”对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大,则m的最小值是________.?
【解析】(1)因为t=4时,r=×4+10=11,y=120-2×4=112,
所以该天的销售利润为11×112=1
232(元);
(2)设捐赠后的利润为W元,
则W=y(r-m)=(120-2t),
化简可得W=-t2+(2m+10)t+1
200-120m.
令W=f(t),因为二次函数的开口向下,对称轴为t=2m+10,由题意,
得2m+10≥20,m∈N
,解得m≥5,m∈N
.
答案:(1)1
232 (2)5
2.铅酸电池是一种蓄电池,电极主要由铅及其氧化物制成,电解液是硫酸溶液,这种电池具有电压稳定、价格便宜等优点,在交通、通信、电力、军事、航海、航空等领域有着广泛应用.但是由于在实际生活中使用方法不当,电池能量未被完全使用,导致了能源的浪费,因此准确预测铅酸电池剩余放电时间是使用中急需解决的问题.
研究发现,当电池以某恒定电流放电时,电压U关于放电时间t的变化率y满足y=a+(其中a,b为常数,无理数e=2.718
28…)
实验数据显示,当时间t的值为0和5时,电压U关于放电时间t的变化率y分别为-2和-752,求a,b的值.
【解析】电压U关于放电时间t的变化率y满足y=a+(其中a,b为常数,无理数e=2.718
28…)且当时间t的值为0和5时,电压U关于放电时间t的变化率y分别为-2和-752.
所以可得
解得a=-,b≈1.141.
PAGE课时素养评价四十七 几个函数模型的比较
(15分钟 30分)
1.以下四种说法中,正确的是
( )
A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B.对任意的x>0,xn>logax
C.对任意的x>0,ax>logax
D.不一定存在x0,当x>x0时,总有ax>xn>logax
【解析】选D.对于A,幂函数的增长速度受幂指数的影响,幂指数不确定,而一次函数的增长速度受一次项系数的影响,增长速度不能比较;对于B、C,当01,n>0时,一定存在x0,使得当x>x0时,总有ax>xn>logax,但若去掉限制条件“a>1,n>0”,则结论不成立.
2.向杯中匀速注水时,如果杯中水面的高度h随时间t变化的图象如图所示,则杯子的形状为
( )
【解析】选B.因为杯中水面的高度先经过两次直线增长,后不变,符合B中容器的形状.
【补偿训练】
某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长8.6%,若经过x年可以增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的大致图象是图中的
( )
【解析】选D.设某林区的森林蓄积量原有1个单位,则经过1年森林的蓄积量为1+8.6%;经过2年森林的蓄积量为(1+8.6%)2;…;经过x年的森林蓄积量为(1+8.6%)x(x≥0),即y=(108.6%)x(x≥0).因为底数108.6%大于1,根据指数函数的图象,可知D选项正确.
3.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:t)的影响,对近6年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,6)进行整理,得数据如表所示:
x
1.00
2.00
3.00
4.00
5.00
6.00
y
1.65
2.20
2.60
2.76
2.90
3.10
根据表中数据,下列函数中,适合作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是
( )
A.y=0.5(x+1)
B.y=log3x+1.5
C.y=2x-1
D.y=2
【解析】选B.将题干表格中的数值描到坐标系内(图略),观察可得这些点的拟合函数类似于对数函数,代入数值验证,也较为符合.
4.某学校开展研究性学习活动,一组同学得到表中的实验数据:
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
现有如下4个模拟函数:
①y=0.58x-0.16;②y=2x-3.02;
③y=x2-5.5x+8;④y=log2x.
请从中选择一个模拟函数,使它能近似地反映这些数据的规律,应选________.?
【解析】画出散点图,由图分析增长速度的变化,可知符合对数函数模型,故选④.
答案:④
5.画出函数f(x)=与函数g(x)=x-2的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关系.
【解析】函数f(x)与g(x)的图象如图.
根据图象易得:当0≤x<4时,f(x)>g(x);
当x=4时,f(x)=g(x);
当x>4时,f(x)
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是
( )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型
【解析】选A.随着自变量每增加1函数值增加2,函数值的增量是均匀的,故为线性函数即一次函数模型.
2.某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是
( )
A.y=ax+b
B.y=ax2+bx+c
C.y=a·ex+b
D.y=aln
x+b
【解析】选B.由散点图和四个函数的特征可知,可选择的模拟函数模型是y=ax2+bx+c.
3.下面对函数f(x)=lox,g(x)=与h(x)=-2x在区间(0,+∞)上的递减情况说法正确的是
( )
A.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越慢
B.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度越来越快
C.f(x)递减速度越来越慢,g(x)递减速度越来越慢,h(x)递减速度不变
D.f(x)递减速度越来越快,g(x)递减速度越来越快,h(x)递减速度越来越快
【解析】选C.观察函数f(x)=lox,g(x)=与h(x)=-2x在区间(0,+∞)上的图象(如图)可知:
函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快,但递减速度逐渐变慢;在区间(1,+∞)上,递减较慢,且越来越慢;函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上,递减较慢,且递减速度越来越慢;函数h(x)的图象递减速度不变.
4.(多选题)某地一年内的气温Q(t)(单位:℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示.已知该年的平均气温为10
℃,令C(t)表示时间段[0,t]内的平均气温,不能正确反映C(t)与t之间的函数关系的图象有
( )
【解析】选BCD.由题图知,当t=6时,C(t)=0,故C不正确;
当t=12时,C(t)=10,故D不正确;
在大于6的某一段时间平均气温大于10
℃,故B不正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净化时间t(月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0且a≠1)的图象.
有以下说法:
①第4个月时,残留量就会低于;
②每月减少的有害物质质量都相等;
③当残留量为,,时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
其中所有正确说法的序号是________.?
【解析】由于函数的图象经过点,
故函数的解析式为y=.
当t=4时,y=<,故①正确;
当t=1时,y=,减少,
当t=2时,y=,减少,故每月减少有害物质质量不相等,故②不正确;
分别令y=,,,解得t1=,
t2=,t3=,t1+t2=t3,故③正确.
答案:①③
6.某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据,选择h=mt+b与h=loga(t+1)来刻画h与t的关系,你认为符合的函数模型是________,根据你选择的函数模型预测第8年的松树高度为______米.?
t(年)
1
2
3
4
5
6
h(米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
【解析】据表中数据作出散点图如图:
由图可以看出用一次函数模型不吻合,选用对数型函数比较合理.
将(2,1)代入到h=loga(t+1)中,得1=loga3,解得a=3,即h=log3(t+1).
当t=8时,h=log3(8+1)=2,
故可预测第8年松树的高度为2米.
答案:h=loga(t+1) 2
三、解答题
7.(10分)若不等式3x2【解题指南】原不等式等价于3x2【解析】由题意,知3x21,则函数y=logax的图象显然在函数y=3x2图象的下方,所以a>1不成立;
当0所以a≥,所以≤a<1.
综上,a的取值范围是.
PAGE课时素养评价四十六 用二分法求方程的近似解
(15分钟 30分)
1.在用二分法求方程3x+3x-8=0在(1,2)内近似根的过程中,已经得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间
( )
A.(1,1.25)
B.(1.25,1.5)
C.(1.5,2)
D.不能确定
【解析】选B.因为f(1)<0,f(1.5)>0,
所以在区间(1,1.5)内函数f(x)=3x+3x-8存在一个零点,又因为f(1.5)>0,f(1.25)<0,
所以在区间(1.25,1.5)内函数f(x)=3x+3x-8存在一个零点,由此可得方程3x+3x-8=0的根落在区间(1.25,1.5)内.
2.(2020·盐城高一检测)下列函数中,不能用二分法求函数零点的是
( )
A.f(x)=2x-1
B.f(x)=x2-2x+1
C.f(x)=log2x
D.f(x)=ex-2
【解析】选B.A.函数的值域为R,可以使用二分法.
B.函数的值域为[0,+∞),不能使用二分法.
C.f(x)=log2x∈R,可以使用二分法求函数的零点.
D.f(x)=ex-2的值域为(-2,+∞),可以使用二分法求函数的零点.
3.(2020·锦州高一检测)函数f(x)=ax2-2x+1在区间(-1,1)和区间(1,2)上分别存在一个零点,则实数a的取值范围是
( )
A.-3B.C.-3D.a<-3或a>
【解析】选B.因为函数f(x)=ax2-2x+1在区间(-1,1)和区间(1,2)上分别存在一个零点,
所以即,
解得4.(2020·重庆高一检测)关于x的方程2
020x=有实数根,则实数a的取值范围为______.?
【解析】设y=2
020x,则y的值域为(0,+∞),
所以2
020x=有实数根?>0,
即<0,所以(3a+2)(a-5)<0.
解得,a∈.
答案:
5.已知方程2x+2x=5.
(1)判断该方程解的个数以及所在区间;
(2)用二分法求出方程的近似解(精确到0.1).
参考数值:
x
1.25
1.281
25
1.312
5
1.375
1.5
2x
2.378
2.430
2.484
2.594
2.828
【解析】(1)令f(x)=2x+2x-5.
因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数,
所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.
因为f(1)=21+2×1-5=-1<0,
f(2)=22+2×2-5=3>0,
所以方程2x+2x=5有一解在(1,2)内.
(2)用二分法逐次计算,列表如下:
区间
中点的值
中点函数值符号
(1,2)
1.5
f(1.5)>0
(1,1.5)
1.25
f(1.25)<0
(1.25,1.5)
1.375
f(1.375)>0
(1.25,1.375)
1.312
5
f(1.312
5)>0
(1.25,1.312
5)
1.281
25
f(1.281
25)<0
所以方程的近似解在区间(1.25,1.312
5)上,
因为1.25和1.312
5精确到0.1的近似值都是1.3.
即方程2x+2x=5的近似解可取为x≈1.3.
(25分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.设关于x的方程4x--b=0(b∈R),若该方程有两个不相等的实数解,则b的取值范围是
( )
A.[-1,0]
B.[-1,0)
C.(-1,0)
D.(0,1)
【解析】选C.令t=2x(t>0),
则原方程可化为:t2-2t-b=0(t>0),
关于x的方程4x--b=0(b∈R),若有两个不相等的实数解,
即方程t2-2t-b=0有两个不相等的正根.
因为t1+t2=2>0,所以解得-12.根据下表,能够判断f(x)=g(x)在下列区间中有实数解的是
( )
x
-1
0
1
2
3
f(x)
-0.677
3.011
5.432
5.980
7.651
g(x)
-0.530
3.451
4.890
5.241
6.892
A.(-1,0)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
【解析】选B.设函数h(x)=f(x)-g(x),
则h(-1)=f(-1)-g(-1)
=-0.677-(-0.530)=-0.147<0,
h(0)=f(0)-g(0)=3.011-3.451=-0.440<0,
h(1)=f(1)-g(1)=5.432-4.890=0.542>0,
h(2)=f(2)-g(2)=5.980-5.241=0.739>0,
h(3)=f(3)-g(3)=7.651-6.892=0.759>0,
所以h(0)·h(1)<0,得函数h(x)=f(x)-g(x)的零点存在区间为(0,1).
3.某方程在区间(2,4)内有一个实根,若用二分法求此根的精确度为0.1的近似值,则应将此区间二等分的次数为
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选D.等分1次,区间长度为1;等分2次,区间长度变为0.5;…;等分4次,区间长度变为0.125;等分5次,区间长度为0.062
5<0.1,符合题意.
4.(多选题)定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,下列四个命题中正确的结论是
( )
A.方程f[g(x)]=0有且仅有三个解
B.方程g[f(x)]=0有且仅有三个解
C.方程f[f(x)]=0有且仅有九个解
D.方程g[g(x)]=0有且仅有一个解
【解析】选AD.根据函数的图象,函数f(x)的图象与x轴有3个交点,所以方程f[g(x)]=0有且仅有三个解;函数g(x)在区间上单调递减,
所以方程g[g(x)]=0有且仅有一个解.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2020·苏州高一检测)已知函数f(x)=若方程f(x)=ax恰有三个不等的实数根,则实数a的取值范围是________.?
【解析】若x<0,可得x-2=ax,
即x=<0,解得a>1;
由x>0,可得-x3+4x2=ax,可得x2-4x+a=0,有两个不等的正根,可得Δ=16-4a>0,a>0,解得0答案:16.已知函数f(x)=-2x,则f________f(1)(填“>”或“<”);f(x)在区间上存在零点,则正整数n=________.?
【解析】易知函数f(x)=-2x为减函数,
则f>f(1),因为f(1)=1-2=-1,f=2->0,所以f(1)f<0,
所以函数f(x)的零点所在的区间为,
因为f(x)在区间上存在零点,
所以=,解得n=2.
答案:> 2
【补偿训练】
若方程lg
x=2-x的根x0∈(k-1,k),其中k∈Z,则实数k=________.?
【解析】因为lg
x=2-x,所以lg
x+x-2=0,
令g(x)=lg
x+x-2,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为g(1)=-1<0,g(2)=lg
2>0.
由零点存在定理可知,x0∈(1,2),
因为x0∈(k-1,k),其中k∈Z,则k=2.
答案:2
三、解答题
7.(10分)用二分法求函数y=2x3-3x2-5x+3在区间(-2,-1)内的零点.(精确到0.1)
【解析】y=2x3-3x2-5x+3,
因为f(-2)<0,f(-1)>0,
所以函数在(-2,-1)内存在零点,
取(-2,-1)的中点-1.5,经计算f(-1.5)<0,又f(-1)>0,所以函数在(-1.5,-1)内存在零点,如此继续下去,得到方程的一个实数根所在的区间,如表:
(a,b)
(a,b)的中点
f(a)
f(b)
f
(-2,-1)
-1.5
f(-2)<0
f(-1)>0
f(-1.5)<0
(-1.5,-1)
-1.25
f(-1.5)<0
f(-1)>0
f(-1.25)>0
(-1.5,-1.25)
-1.375
f(-1.5)<0
f(-1.25)>0
f(-1.375)<0
(-1.375,-1.25)
-1.312
5
f(-1.375)<0
f(-1.25)>0
f(-1.312
5)<0
所以函数的零点在区间(-1.312
5,-1.25),
因为-1.25与-1.312
5精确到0.1的近似值都是-1.3,所以函数的零点的近似解是x≈-1.3.
PAGE课时素养评价四十五 函数的零点
(15分钟 35分)
1.若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且f(0)>0,f(1)>0,f(2)<0,则y=f(x)有唯一零点需满足的条件是
( )
A.f(3)<0
B.函数f(x)在定义域内是增函数
C.f(3)>0
D.函数f(x)在定义域内是减函数
【解析】选D.因为f(1)>0,f(2)<0,所以函数f(x)在区间(1,2)上一定有零点.若要保证只有一个零点,则函数f(x)在定义域内必须是减函数.
2.已知函数f(x)=mx+1的零点在区间(1,2)内,则m的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.∪
【解析】选B.根据题意,函数f(x)=mx+1,
当m=0时,f(x)=1,没有零点,
当m≠0时,f(x)为单调函数,若其在区间(1,2)内存在零点,必有f(1)f(2)<0,即(m+1)(2m+1)<0,解可得:-1即m的取值范围为.
3.(2020·张家界高一检测)函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的区间是( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,e)
D.(3,4)
【解析】选B.因为f(1)=ln
2-2<0,
f(2)=ln
3-1>ln
e-1=0,即f(1)·f(2)<0,
所以函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在区间是(1,2).
【补偿训练】
方程ln
x+x-4=0的实根所在的区间为
( )
A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)
【解析】选B.令f(x)=ln
x+x-4,在定义域上连续且单调递增,
f(3)=ln
3+3-4=ln
3-1>0,
f(2)=ln
2+2-4=ln
2-2<0,
故f(2)f(3)<0,故实根所在区间是(2,3).
4.(2020·徐州高一检测)已知函数f(x)=3x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为
( )
A.a>b>c
B.b>c>a
C.c>a>b
D.b>a>c
【解析】选B.令f(x)=3x+x=0,则x=-3x,
令g(x)=log3x+x=0,则x=-log3x,
令h(x)=x3+x=0,则x=-x3,
设函数f(x),g(x),h(x)的零点分别为a,b,c,
作出函数y=-3x,y=-log3x,y=-x3,y=x的图象如图,由图可知:b>c>a.
5.若函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是________.?
【解析】因为函数f(x)=x2-ax+b的两个零点是2和3,
所以即
所以g(x)=6x2-5x-1,
所以g(x)的零点为1和-.
答案:1和-
6.已知函数f(x)=
(1)在如图所示的坐标系中,作出函数f(x)的图象并写出单调区间.
(2)若f(a)=2,求实数a的值.
(3)当m为何值时,f(x)+m=0有三个不同的零点.
【解析】(1)函数图象如图,
由图可知,函数的减区间为;增区间为,(1,+∞).
(2)由f(a)=2,得a2-a=2(a≤1)或log2(a-1)=2(a>1).解得a=-1或a=5.
(3)由图可知要使f(x)+m=0有三个不同的零点,则-<-m≤0,解得0≤m<.
【补偿训练】
(2020·普宁高一检测)已知a>0,函数f(x)=,(x∈R).
(1)证明:f(x)是奇函数.
(2)如果方程f(x)=1只有一个实数解,求a的值.
【解析】(1)由函数f(x)=(x∈R),可得定义域为R,且f(-x)=-=-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(2)方程f(x)=1只有一个实数解,
即为x2-ax+1=0,即Δ=a2-4=0,
解得a=2(-2舍去),
所以a的值为2.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.(2020·十堰高一检测)若点(log147,log1456)在函数f(x)=kx+3的图象上,则f(x)的零点为
( )
A.1
B.
C.2
D.
【解析】选D.根据题意,点(log147,log1456)在函数f(x)=kx+3的图象上,
则log1456=k×log147+3,
解得k=-2,
则f(x)=-2x+3,若f(x)=0,则x=,
即f(x)的零点为.
2.(2020·烟台高一检测)已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是
( )
A.a<αB.a<α<βC.αD.α【解析】选C.因为α,β是函数f(x)的两个零点,
所以f(α)=f(β)=0.又f(a)=f(b)=-2<0,
结合二次函数的图象(如图所示)可知a,b必在α,β之间.
3.(2020·常州高一检测)已知函数f(x)=(a>0且a≠1),若函数图象上关于原点对称的点至少有3对,则实数a的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.当x<0时,f(x)=-loga(-x),
则x>0时,函数g(x)=logax的图象与函数f(x)的图象关于原点对称;
又x≥0时,f(x)=cos-1,
画出函数f(x)=cos-1(x≥0)和函数g(x)=logax的图象,
如图所示:
要使f(x)=cos-1(x≥0)与g(x)=
logax(x>0)的图象至少有3个交点,
需使0即所以
解得 即0所以a的取值范围是.
4.已知函数f(x)=则函数y=f(f(x))-1的零点个数为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【解析】选B.由题意,令f(f(x))-1=0,得
f(f(x))=1,令f(x)=t,
由f(t)=1,得t=-1或t=,
作出函数f(x)的图象,如图所示,
结合函数f(x)的图象可知,f(x)=-1有1个解,f(x)=有2个解,
故y=f(f(x))-1的零点个数为3.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.若函数f(x)=x+(a∈R)在区间(1,2)上有零点,则a的值可能是
( )
A.-2
B.-1
C.-4
D.-3
【解析】选AD.f(x)=x+(a∈R)的图象在(1,2)上是连续不断的,则<0,解得-46.函数f(x)=|x2-4x|-m恰好有两个不同零点,则m的值可以是
( )
A.m>4
B.4
C.0D.0
【解析】选AD.由f(x)=0可得m=|x2-4x|,
作出y=|x2-4x|的函数图象如图所示:
因为f(x)恰好有两个不同的零点,
所以直线y=m与y=|x2-4x|的图象有两个不同的交点,
所以m=0或m>4.
【光速解题】选取特殊值通过求零点判断.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·抚州高一检测)函数f(x)=(2x-3)·
ln(x-2)的零点个数为________.?
【解析】函数的定义域为{x|x>2},
令(2x-3)·ln(x-2)=0,因为2x-3>0,
可得ln
(x-2)=0,解得x=3.
所以函数的零点只有1个.
答案:1
【误区警示】本题容易出现忽视定义域的错误,误认为零点个数为2.
8.(2020·徐州高一检测)设函数f(x)=g(x)=loga(x-1)(a>1).
(1)f(2
019)的值为______;?
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)恰有3个零点,则实数a的取值范围是______.?
【解析】(1)f(2
019)=f(2
017)=…=f(-1)=-1=1;
(2)当0所以f(x)=f(x-2)=-1;
当2所以f(x)=f(x-2)=-1;
当4所以f(x)=f(x-2)=-1;
当6所以f(x)=f(x-2)=-1;
画出f(x)和g(x)两个函数的图象如图所示,由loga(4-1)=3,得a=,
由loga(6-1)=3,得a=,
由图可知,当两个函数的图象有3个交点时,
即函数h(x)=f(x)-g(x)恰有3个零点时,
实数a的取值范围是(,].
答案:(1)1 (2)(,]
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2020·常州高一检测)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+6)=f(x),当x∈(0,3)时,f(x)=loga(x2-x+1).
(1)当x∈(-3,0)时,求f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[-3,3]上的零点构成的集合.
【解析】(1)当x∈(-3,0)时,-x∈(0,3),
所以f(-x)=loga[(-x)2-(-x)+1]
=loga(x2+x+1).
因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-loga(x2+x+1),
即当x∈(-3,0)时,f(x)=-loga(x2+x+1).
(2)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,且f(-3)=-f(3),
因为f(x+6)=f(x),所以f(-3)=f(3),
所以f(-3)=f(3)=0,
当x∈(0,3)时,令f(x)=loga(x2-x+1)=0,
得x2-x+1=1,
解得x=0(舍去),或x=1,即f(1)=0,
又因为f(x)是奇函数,
所以f(-1)=-f(1)=0,
所以函数f(x)在[-3,3]上的零点构成的集合为{-3,-1,0,1,3}.
10.已知函数f(x)=(c为常数),若1为函数f(x)的零点.
(1)求c的值.
(2)证明函数f(x)在[0,2]上是单调增函数.
(3)已知函数g(x)=f(ex)-,求函数g(x)的零点.
【解析】(1)因为1为函数f(x)的零点,
所以f(1)=0,即c=1.
(2)设0≤x1则f(x2)-f(x1)=-=,
因为0≤x10,x2+1>0,x1+1>0,所以f(x2)>f(x1),即函数f(x)在[0,2]上是单调增函数.
(3)令g(x)=f(ex)-=-=0,
所以ex=2,即x=ln
2,
所以函数g(x)的零点是ln
2.
1.(2020·南通高一检测)已知函数f(x)=函数g(x)=f(1-x)-m,则当【解析】因为f(x)=
所以f(1-x)=
令y=f(x)+f(1-x)-m=0得m=f(x)+f(1-x),
令h(x)=f(x)+f(1-x)=
作出h(x)的函数图象如图所示:
所以当即函数y=f(x)+g(x)的零点个数为4.
答案:4
2.(2019·泰州高一检测)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,且x>0时,f(x)=x2-2x+2.若对任意x1∈[-1,0),都存在唯一的x2∈[0,+∞),使得f(x1)+f(x2)=a成立,则实数a的取值范围是
( )
A.(-2,-1]∪[0,+∞)
B.(-2,-1)∪[0,+∞)
C.(-2,-1]
D.[1,+∞)
【解析】选A.由函数为定义在R上的奇函数及x>0时,f(x)=x2-2x+2,得x<0时,
f(x)=-x2-2x-2,
作出f(0)=0,f(x)的图象如图所示.
若对任意x1∈[-1,0),即f(x1)∈(-2,-1],
都存在唯一的x2∈[0,+∞),使得f(x1)+f(x2)=a成立,
①当x2=0时,f(0)=0,这时f(x1)+f(x2)=
f(x1)∈(-2,-1],所以a∈(-2,-1];
②当x2>0时,由f(x1)+f(x2)=a,
可得a-f(x2)=f(x1)∈(-2,-1],
即f(x2)∈[a+1,a+2),
由题意可得a+1≥1,即有a≥0,
综上可得,a的取值范围是(-2,-1]∪[0,+∞).
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