课时素养评价
三十八 三角函数的诱导公式(二)
(15分钟 30分)
1.如果cos(π+A)=-,那么sin=
( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选B.因为cos(π+A)=-cos
A=-,
所以cos
A=,所以sin=cos
A=.
2.已知sin=,则cos的值是( )
A.-
B.
C.
D.-
【解析】选C.cos
=cos
=sin=.
3.(2020·重庆高一检测)已知角θ是第二象限角,且满足sin=,则tan(π+θ)=
( )
A.-
B.-1
C.-
D.
【解析】选A.因为角θ是第二象限角,且满足
sin=-cos
θ=,
可得cos
θ=-,
所以sin
θ==,
所以tan(π+θ)=tan
θ==-.
4.已知cos
α=,则sin·cos·tan(π-α)=________.?
【解析】sincostan(π-α)
=-cos
αsin
α·(-tan
α)=sin2α
=1-cos2α=1-=.
答案:
5.(2020·延吉高一检测)已知α是第三象限角,且f(α)=
.
(1)若cos=,求f(α)的值.
(2)求函数y=f2(x)+sin
x,x∈的值域.
【解析】(1)因为α是第三象限角,
cos==-sin
α,所以sin
α=-,
所以f(α)=
==-cos
α
==.
(2)因为x∈,所以sin
x∈,函数y=f2(x)+sin
x=1-sin2x+
sin
x=-,故当sin
x=时,函数取得最大值为;当sin
x=-时,函数取得最小值为,故该函数的值域为.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.如果角θ的终边经过点,那么sin+θ+cos(π-θ)+tan(2π-θ)=
( )
A.-
B.
C.
D.-
【解析】选B.易知sin
θ=,cos
θ=-,
tan
θ=-.
原式=cos
θ-cos
θ-tan
θ=.
2.若f(sin
x)=3-cos
2x,则f(cos
x)=
( )
A.3-cos
2x
B.3-sin
2x
C.3+cos
2x
D.3+sin
2x
【解析】选C.f(cos
x)=f
=3-cos(π-2x)=3+cos
2x.
3.已知f(x)=sin
x,下列式子成立的是
( )
A.f(x+π)=sin
x
B.f(2π-x)=sin
x
C.f(π-x)=-f(x)
D.f=-cos
x
【解析】选D.f(x+π)=sin(x+π)=-sin
x;
f(2π-x)=sin(2π-x)=sin(-x)=-sin
x;
f=sin=-sin
=-cos
x;
f(π-x)=sin
(π-x)=sin
x=f(x).
【补偿训练】
计算sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=
( )
A.89
B.90
C.
D.45
【解析】选C.原式=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin244°+sin246°)+sin245°=44+=.
4.(多选题)下列与cos的值相等的是
( )
A.sin(π-θ)
B.sin(π+θ)
C.cos
D.cos
【解析】选BD.cos=cos
=-cos=-sin
θ.
A中sin(π-θ)=sin
θ;B中sin(π+θ)=-sin
θ;
C中cos=sin
θ;D中cos=-sin
θ.
【补偿训练】
(多选题)角θ与φ都是任意角,若满足θ+φ=90°,则称θ与φ“广义互余”.已知sin(π+α)=-,下列角β中,可能与角α“广义互余”的是
( )
A.sin
β=
B.cos(π+β)=
C.tan
β=
D.tan
β=.
【解析】选AC.因为sin(π+α)=-sin
α,
所以sin
α=,若α+β=90°,则β=90°-α,
故sin
β=sin(90°-α)=cos
α=±,故A满足;
C中tan
β=,即sin
β=cos
β,又sin2β+cos2β=1,
故sin
β=±,即C满足,而B、D不满足.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.若sin=,则cos=________.?
【解题指南】根据题意先分析α-与α+的关系,再由诱导公式即可化简求值得解.
【解析】因为sin=,
所以cos=cos
=cos=sin=.
答案:
【补偿训练】
已知cos(75°+α)=,则sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是________.?
【解析】sin(α-15°)+cos(105°-α)
=sin[(75°+α)-90°]+cos[180°-(75°+α)]
=-sin[90°-(75°+α)]-cos(75°+α)
=-cos(75°+α)-cos(75°+α)=-2cos(75°+α),
因为cos(75°+α)=,所以原式=-.
答案:-
6.已知cos=,则cos=________,sin=________.?
【解析】cos=cos
=-cos=-.
sin=sin
=sin=sin
=cos=.
答案:-
三、解答题
7.(10分)已知sin
α是方程5x2-7x-6=0的根,α是第三象限角,求·tan
2(π-α)的值.
【解析】方程5x2-7x-6=0的两根为x1=-,x2=2,因为-1≤sin
α≤1,
所以sin
α=-.
又α是第三象限角,
所以cos
α=-,tan
α==,
所以·tan2(π-α)
=·tan2α
=·tan2α
=-tan2α=-.
PAGE课时素养评价三十六 同角三角函数关系
(15分钟 35分)
1.若cos
α=,且α在第四象限,则tan
α=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选D.因为cos
α=,且α在第四象限,所以tan
α=-=-=-.
2.如果tan
θ=2,那么1+sin
θcos
θ=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.1+sin
θcos
θ=
=
=,
又tan
θ=2,
所以1+sin
θcos
θ==.
3.已知sin
α=,则sin4α-cos4α的值为
( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选A.sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)
=sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1=2×-1=-.
4.若α为第三象限角,则+的值为
( )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
【解析】选B.因为α为第三象限角,
所以原式=+=-3.
5.已知tan
θ=2,则+sin2θ的值为________.?
【解析】因为tan
θ=2,
所以+sin2θ=+
=+=+=.
答案:
6.化简:(1);
(2).
【解析】(1)原式=
=
=
==1.
(2)原式==
=cos
θ.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若α∈,sin
α=,则tan
α=
( )
A.-
B.-
C.-
D.
【解析】选C.因为α∈,且sin
α=,
所以cos
α=-=-,
则tan
α===-.
2.已知=2,则tan2α-3tan
α=
( )
A.2
B.0
C.-
D.-
【解析】选C.==2,解得tan
α=,
所以tan2α-3tan
α=-3×=-.
3.已知α为第二象限的角,且tan
α=-,则sin
α+cos
α=
( )
A.-
B.-
C.-
D.
【解析】选C.tan
α==-①,
sin2α+cos2α=1②,
又α为第二象限的角,
所以sin
α>0,cos
α<0,
联立①②,解得sin
α=,cos
α=-,
则sin
α+cos
α=-.
【补偿训练】
若△ABC的内角A满足sin
A·cos
A=,则sin
A+cos
A的值为
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选A.因为A为△ABC的内角,且sin
Acos
A=>0,
所以A为锐角,所以sin
A+cos
A>0.又1+2sin
Acos
A=1+=,
即(sin
A+cos
A)2=,所以sin
A+cos
A=.
4.若α是三角形的最大内角,且sin
α-cos
α=,则三角形是
( )
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.等腰三角形
【解析】选B.将sin
α-cos
α=两边平方,得1-2sin
αcos
α=,即
2sin
αcos
α=.又α是三角形的内角,所以sin
α>0,cos
α>0,所以α为锐角.
【误区警示】根据
sin
α·cos
α>0判断sin
α,cos
α的正负时,注意不要忘了条件α是三角形最大的内角.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列选项可能成立的是
( )
A.sin
α=-且cos
α=
B.sin
α=0且cos
α=-1
C.tan
α=1且cos
α=-1
D.tan
α=(α在第二象限)
【解析】选ABD.由基本关系式可逐个判断A、B、D正确,C不正确.
6.若1+sin
θ+cos
θ=0成立,则θ不可能位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选ABD.因为1+sin
θ+cos
θ·=0,
所以1+sin
θ|sin
θ|+cos
θ|cos
θ|=0.
当θ为第一象限角时,1+sin2θ+cos2θ=2;
当θ为第二象限角时,1+sin2θ-cos2θ=2sin2θ>0;
当θ为第三象限角时,1-sin2θ-cos2θ=1-1=0;
当θ为第四象限角时,1-sin2θ+cos2θ=2cos2θ>0,
则θ不可能是第一、二、四象限角.
【光速解题】在第一、二、三、四象限内分别取一个特殊角,代入验证,即可得到答案.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·南充高一检测)已知=,那么的值是____.?
【解析】因为sin2x+cos2x=1,即cos2x=1-sin2x=(1+sin
x)(1-sin
x),
所以=.
因为=,
所以=-.
答案:-
【补偿训练】
若cos
θ+sin
θ=,θ∈(0,π),则cos
θsin
θ-sin2θ=________.?
【解析】因为cos
θ+sin
θ=,①
所以两边平方可得:1+2sin
θcos
θ=,
解得2sin
θcos
θ=-,
因为θ∈(0,π),sin
θ>0,可得cos
θ<0,
所以cos
θ-sin
θ<0,
所以cos
θ-sin
θ=-
=-=-
=-,②
所以联立①②解得:sin
θ=,cos
θ=-,
所以cos
θsin
θ-sin2θ=sin
θ(cos
θ-sin
θ)
=-.
答案:-
8.(2020·南京高一检测)在△ABC中,已知sin
A+cos
A=,则sin
Acos
A的值为____,tan
A的值为____.?
【解析】已知sin
A+cos
A=,
则(sin
A+cos
A)2=,
整理得:1+2sin
Acos
A=,
解得:sin
Acos
A=-,
所以
解得或(舍去),
故tan
A=-.
答案:- -
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.求证:=.
【证明】左边
=
=
=
=
==
=右边,
所以原等式成立.
10.已知sin
α=,求的值.
【解析】
=
=
=
==,
当角α是第一象限角时,cos
α=,
tan
α==,
所以原式==;
当角α是第二象限角时,cos
α=-,
tan
α==-,
所以原式==.
1.已知-<θ<,且sin
θ+cos
θ=a,其中a∈(0,1),则关于tan
θ的值,在以下四个答案中,可能正确的是
( )
A.-3
B.3或
C.-
D.-3或-
【解析】选C.因为sin
θ+cos
θ=a,a∈(0,1),两边平方整理得
sin
θcos
θ=<0,故-<θ<0且cos
θ>-sin
θ,所以|cos
θ|>|sin
θ|,
所以-<θ<0,所以-1
θ<0.
【补偿训练】
已知sin
θ+cos
θ=(0<θ<π),则sin
θ-cos
θ=________.?
【解析】因为sin
θ+cos
θ=(0<θ<π),
所以(sin
θ+cos
θ)2=,
即sin2θ+2sin
θcos
θ+cos2θ=,
所以sin
θcos
θ=-.
由上知,θ为第二象限的角,
所以sin
θ-cos
θ>0,
所以sin
θ-cos
θ
=
==.
答案:
2.设α是第三象限角,问是否存在实数m,使得sin
α,cos
α是关于x的方程8x2+6mx+2m+1=0的两个根?若存在,求出实数m;若不存在,请说明理由.
【解析】假设存在实数m满足条件,由题设得,
Δ=36m2-32(2m+1)≥0,①
因为α是第三象限角,所以sin
α<0,cos
α<0,
所以sin
α+cos
α=-m<0②,
sin
αcos
α=>0③.
又sin2α+cos2α=1,
所以(sin
α+cos
α)2-2sin
αcos
α=1.
把②③代入上式得-2×=1,
即9m2-8m-20=0,解得m1=2,m2=-.
因为m1=2不满足条件①,舍去;
因为m2=-不满足条件②和③,舍去.
故满足题意的实数m不存在.
PAGE课时素养评价三十四 任意角的三角函数(一)
(15分钟 30分)
1.(2020·海淀高一检测)若点P(4,3)在角α的终边上,则cos
α=
( )
A. B. C. D.
【解析】选A.因为点P(4,3)在角α的终边上,则cos
α==.
【补偿训练】
若角α的终边上有一点P(0,3),则下列式子无意义的是
( )
A.tan
α
B.sin
α
C.cos
α
D.都有意义
【解析】选A.由三角函数的定义sin
α=,cos
α=,tan
α=,可知tan
α无意义.
2.在△ABC中,若sin
A·cos
B·tan
C<0,则△ABC的形状是
( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定
【解析】选A.因为A,B,C是△ABC的内角,
所以sin
A>0.因为sin
A·cos
B·tan
C<0,
所以cos
B·tan
C<0,
所以cos
B和tan
C中必有一个小于0,
即B,C中必有一个钝角,故△ABC是钝角三角形.
3.已知角α的终边过点(12,-5),则sin
α+cos
α的值等于
( )
A.- B. C.- D.
【解析】选B.因为α的终边过点(12,-5),
所以r==13,
则sin
α=,cos
α=,
则sin
α+cos
α=-+×
=-+=.
4.(2020·无锡高一检测)若角α的终边过点(-1,2),则tan
α=______.?
【解析】若角α的终边过点(-1,2),则tan
α==-2.
答案:-2
5.在平面直角坐标系中,角α的终边在直线3x+4y=0上,求sin
α-3cos
α+
tan
α的值.
【解析】当角α的终边在射线y=-x(x>0)上时,取终边上一点P(4,-3),
所以点P到坐标原点的距离r=OP=5,
所以sin
α===-,
cos
α==,tan
α==-.
所以sin
α-3cos
α+tan
α=---
=-.
当角α的终边在射线y=-x(x<0)上时,取终边上一点P′(-4,3),
所以点P′到坐标原点的距离r=OP′=5,
所以sin
α==,cos
α==-,
tan
α===-.
所以sin
α-3cos
α+tan
α=-3×-=+-=.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2020·马鞍山高一检测)已知角α的终边经过点P(,-),则sin
α的值等于
( )
A.
B.
C.
D.-
【解析】选D.角α的终边经过点P(,-),则sin
α==-.
2.设△ABC的三个内角为A,B,C,则下列各组数中有意义且均为正值的是( )
A.tan
A与cos
B
B.cos
B与sin
C
C.sin
C与tan
A
D.tan
与sin
C
【解析】选D.因为0所以tan
>0;又因为0C>0.
3.(2020·盐城高一检测)函数y=++的值域是
( )
A.{-1,0,1,3}
B.{-1,0,3}
C.{-1,3}
D.{-1,1}
【解析】选C.当x是第一象限角时,
sin
x>0,cos
x>0,tan
x>0,所以y=3;
当x是第二象限角时,sin
x>0,cos
x<0,
tan
x<0,所以y=-1;
同理:当x是第三象限角时,y=-1;
当x是第四象限角时,y=-1.
故函数y=++的值域是{-1,3}.
【补偿训练】
若α为第二象限角,则-=
( )
A.0
B.-2
C.-2或2
D.2
【解析】选D.由已知sin
α>0,cos
α<0,
所以-=-=1+1=2.
4.(多选题)角α的终边上一点P(a,2a)(a≠0),则2sin
α-cos
α=
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选CD.因为α的终边上一点P(a,2a)(a≠0),
当a>0时,cos
α==,sin
α==,2sin
α-cos
α=;
当a<0时,cos
α==-,
sin
α==-,2sin
α-cos
α=-.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.如果点P(sin
θ+cos
θ,sin
θcos
θ)位于第二象限,那么角θ的终边在第________象限.?
【解题指南】根据点P在第二象限,求出sin
θ+cos
θ和sin
θcos
θ的符号,再根据三角函数符号规律求出θ所在的象限.
【解析】由题意知sin
θ+cos
θ<0,
且sin
θcos
θ>0,
所以所以θ为第三象限角.
答案:三
【补偿训练】
已知角α的终边过点(-3cos
θ,4cos
θ),其中θ∈,则cos
α=________.?
【解析】因为θ∈,所以cos
θ<0,
r=
=5|cos
θ|=-5cos
θ,
所以cos
α==.
答案:
6.若角α的终边与直线y=3x重合且sin
α<0,又P(m,n)是α终边上一点,且OP=,则m-n=________,sin
α=__________.?
【解析】因为y=3x且sin
α<0,所以点P(m,n)位于直线y=3x第三象限部分的图象上,
所以m<0,n<0,且n=3m,所以r=OP==|m|=-m=,所以m=-1,n=-3,所以m-n=2,sin
α===-.
答案:2 -
三、解答题
7.(10分)已知sin
θ<0,tan
θ>0.
(1)求角θ的集合;
(2)求的终边所在的象限;
(3)试判断sincostan
的符号.
【解析】(1)因为sin
θ<0,
所以θ为第三、四象限角或在y轴的非正半轴上,
因为tan
θ>0,所以θ为第一、三象限角,
所以θ为第三象限角,θ角的集合为
.
(2)由(1)可得,kπ+<当k是偶数时,终边在第二象限;
当k是奇数时,终边在第四象限.
(3)由(2)可得当k是偶数时,sin>0,cos<0,tan
<0,所以sincostan
>0;
当k是奇数时,sin<0,cos>0,tan
<0,
所以sincostan
>0.
综上知,sincostan
>0.
PAGE课时素养评价三十三 弧 度 制
(15分钟 30分)
1.(2020·洛阳高一检测)把-765°化成2kπ+α(0≤α<2π),k∈Z的形式是
( )
A.-4π- B.-4π+
C.-6π-
D.-6π+
【解析】选D.-765°=-720°-45°=-1
080°+315°=-6π+.
【补偿训练】
下列各式不正确的是
( )
A.-210°=-
B.405°=
C.335°=
D.705°=
【解析】选C.对于A,-210°=-210×=-,正确;
对于B,405°=405×=,正确;
对于C,335°=335×=,错误;
对于D,705°=705×=,正确.
2.角-π的终边所在的象限是
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选D.-π=-4π+π,因为π的终边在第四象限,所以-π的终边在第四象限.
3.终边经过点(a,a)(a≠0)的角α的集合是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为角α的终边经过点(a,a)(a≠0),
所以角α的终边落在直线y=x上,
所以角α的集合是.
4.扇形的半径是,圆心角是60°,则该扇形的面积为________.?
【解析】60°=,扇形的面积为S扇形=αR2=××()2=π.
答案:π
5.已知α=1
690°.
(1)把α写成2kπ+β(k∈Z,β∈[0,2π))的形式.
(2)求θ,使θ与α终边相同,且θ∈(-4π,4π).
【解析】(1)1
690°=1
440°+250°
=4×360°+250°=4×2π+π.
(2)因为θ与α终边相同,
所以θ=2kπ+π(k∈Z).
又θ∈(-4π,4π),
所以-4π<2kπ+π<4π,
所以-所以k=-2,-1,0,1.
所以θ的值是-π,-π,π,π.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.扇形的半径变为原来的2倍,而弧长也增加到原来的2倍,则
( )
A.扇形的圆心角大小不变
B.扇形的圆心角增大到原来的2倍
C.扇形的圆心角增大到原来的4倍
D.扇形的圆心角减小到原来的一半
【解析】选A.设扇形原来的半径为r,弧长为l,圆心角为α,则变化后半径为2r,弧长为2l,圆心角为β,所以α=,β===α,即扇形的圆心角大小不变.
2.集合中,角的终边所在的范围(阴影部分)是
( )
【解析】选C.当k=2m,m∈Z时,2mπ+≤α≤2mπ+,m∈Z;当k=2m+1,m∈Z时,2mπ+≤α≤2mπ+,m∈Z.
3.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=(弦+矢)×矢,弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,半径等于20米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是
( )
(参考数据:π≈3.14,≈1.73)
A.220平方米
B.246平方米
C.223平方米
D.250平方米
【解析】选C.由题意可得∠AOB=,|OA|=20米,
在Rt△AOD中,可得∠AOD=,∠DAO=,
|OD|=|AO|=×20=10(米),
可得:矢=20-10=10(米),
由|AD|=|AO|·sin=20×=10(米),
可得:弦=2|AD|=2×10=20(米),
所以弧田面积=(弦+矢)×矢=(20+10)×10≈223(平方米).
4.(多选题)若α角与角终边相同,则在[0,2π]内终边与角终边相同的角是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选AD.依题意,α=2kπ+,k∈Z,
所以=+,k∈Z,
又∈[0,2π],
所以k=0,=;
k=1,=;
k=2,=;
k=3,=.所以选项AD正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.如图是一个半径为R的扇形,它的周长为4R,则这个扇形所含弓形(阴影区域)的面积是________.?
【解析】因为弧长l=4R-2R=2R,
所以圆心角α==2,
所以S弓形=S扇形-S三角形
=αR2-(2Rsin
)·(Rcos
)
=×2×R2-R2sin
1·cos
1
=R2(1-sin
1cos
1).
答案:R2(1-sin
1cos
1)
6.(2020·丽水高一检测)如图所示,用两种方案将一块顶角为120°,腰长为2的等腰三角形钢板OAB裁剪成扇形,设方案一、二扇形的面积分别为S1,S2,周长分别为l1,l2,则S1________S2;l1________l2(选填“>”“<”或“=”)?
【解析】方案一:
∠A=,|OA|=2,则S1=××4=,l1=4+×2=4+;
方案二:连接OD,∠AOB=,扇形的半径|OD|=1,则S2=××1=,l2=1+1+×1=2+,则S1=S2,l1-l2=4+-2-=2->0.
所以S1=S2,l1>l2.
答案:= >
三、解答题
7.(10分)已知在半径为10的圆O中,弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α(0<α<π)的大小.
(2)求圆心角α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.
【解析】(1)因为圆O的半径为10,弦AB的长为10,所以△AOB为等边三角形,因为0<α<π,所以α=∠AOB=.
(2)设扇形半径为r,则r=10,
因为α=,所以l=α·r=,
S扇形=lr=××10=.
又S△AOB=×10×10×=25,
所以S=S扇形-S△AOB=-25.
PAGE课时素养评价三十二 任意角
(15分钟 30分)
1.(2020·娄底高一检测)下列各角中与225°角终边相同的是
( )
A.585°
B.315°
C.135°
D.45°
【解析】选A.与225°终边相同的角为α=225°+k·360°,k∈Z,
取k=1,得α=585°,所以585°与225°终边相同.
2.将-885°化为α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式是
( )
A.-165°+(-2)×360°
B.195°+(-3)×360°
C.195°+(-2)×360°
D.165°+(-3)×360°
【解析】选B.-885°=195°+(-3)×360°,0°≤195°<360°.
3.若α是第四象限角,则180°-α是
( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【解析】选C.可以给α赋一特殊值-60°,则180°-α=240°,故180°-α是第三象限角.
4.(2020·浦东高一检测)-215°是第________象限角.?
【解析】-215°=-360°+145°,是第二象限角.
答案:二
5.写出与75°角终边相同的角β的集合,并求在360°～1
080°范围内与75°角终边相同的角.
【解析】与75°角终边相同的角的集合为
S={β|β=k·360°+75°,k∈Z}.
当360°≤β<1
080°时,
即360°≤k·360°+75°<1
080°,
解得≤k<2.又k∈Z,所以k=1或k=2.
当k=1时,β=435°;
当k=2时,β=795°.
所以,与75°角终边相同且在360°～1
080°范围内的角为435°角和795°角.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.在0°到360°范围内,与角-120°终边相同的角是
( )
A.120°
B.60°
C.180°
D.240°
【解析】选D.因为与-120°终边相同角的集合为{α|α=-120°+k·360°,k∈Z}.
取k=1,可得在0°到360°范围内,与角-120°终边相同的角是240°.
2.(2020·西昌市高一检测)终边在第三象限,则θ的终边可能在
( )
A.第一三象限
B.第二四象限
C.第一二象限或y轴非负半轴上
D.第三四象限或y轴非正半轴上
【解析】选C.因为终边在第三象限,
所以180°+k·360°<<270°+k·360°,k∈Z,
所以360°+2k·360°<θ<540°+2k·360°,k∈Z.
(2k+1)·360°<θ<180°+(2k+1)·360°,k∈Z.
所以θ的终边可能在第一、二象限或y轴非负半轴上.
3.α满足180°<α<360°,5α与α有相同的始边,且有相同的终边,那么α=
( )
A.225°
B.240°
C.270°
D.300°
【解析】选C.因为5α=α+k·360°,k∈Z,
所以α=k·90°,k∈Z.
又因为180°<α<360°,
所以α=270°.
4.(多选题)在下列四个角中,属于第二象限角的是
( )
A.160°
B.480°
C.-960°
D.1
530°
【解析】选ABC.A中,160°是第二象限角;
B中,480°=120°+360°是第二象限角;
C中,-960°=-3×360°+120°是第二象限角;
D中,1
530°=4×360°+90°不是第二象限角.
【误区警示】判断角所在的象限时,先在0°～360°内找到与已知角终边相同的角,判断这个角所在的象限,即原角所在的象限.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.如图所示,半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,以逆时针方向匀速沿单位圆周旋转,已知P点在1
s内转过的角度为θ
(0°<θ<180°),经过2
s到达第三象限,经过14
s后又回到了出发点A处,则θ=________.?
【解题指南】因为2
s到达第三象限,
所以k·360°+180°<2θ又因为经过14
s后又回到了出发点,
所以14θ=n·360°(n∈Z).
【解析】因为0°<θ<180°,且k·360°+180°<2θ则一定有k=0,于是90°<θ<135°.
又因为14θ=n·360°(n∈Z),
所以θ=°,
从而90°<°<135°,
所以所以n=4或5.
当n=4时,θ=°;
当n=5时,θ=°.
答案:°或°
6.如果将钟表拨快10分钟,则时针所转成的角度是________度,分针所转成的角度是________度.?
【解析】由题意结合任意角的定义可知,钟表拨快10分钟,则时针所转成的角度是-×=-5°,
分针所转成的角度是-×360°=-60°.
答案:-5 -60
三、解答题
7.(10分)已知,如图所示.
(1)分别写出终边落在OA,OB位置上的角的集合.
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.
【解析】(1)终边落在OA位置上的角的集合为
{α|α=90°+45°+k·360°,k∈Z}={α|α=135°+k·360°,k∈Z},终边落在OB位置上的角的集合为{α|α=-30°+k·360°,k∈Z}.
(2)阴影部分(包括边界)的角的集合可表示为
{α|-30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}.
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