课时素养评价四十四 三角函数应用
(15分钟 30分)
1.函数y=-2sin的周期、振幅、初相位分别是
( )
A.2π,-2,
B.4π,-2,
C.2π,2,-
D.4π,2,-
【解析】选D.y=-2sin
=2sin,所以周期T==4π,振幅A=2,初相位φ=-.
【补偿训练】
已知简谐运动f(x)=2sin(x+φ)(|φ|≤)的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相位φ分别为
( )
A.T=6,φ=
B.T=6,φ=
C.T=6π,φ=
D.T=6π,φ=
【解析】选A.由题意知T==6.由f(x)的图象过点(0,1)知sin
φ=,因为|φ|≤,所以φ=.
2.电流强度I(A)随时间t(s)变化的函数I=Asin(ωt+φ)的图象如图所示,则t为s时的电流强度为
( )
A.0
A
B.-5
A
C.10
A
D.-10
A
【解析】选A.由图象知A=10,
T=2×=,所以ω==100π.
因为图象过,
所以10=10sin,
即sin=1且0<φ<,
所以+φ=,故φ=.
所以I=10sin,
当t=时,I=10sin
=10sin
6π=0(A).
3.与图中曲线对应的函数解析式是
( )
A.y=|sin
x|
B.y=sin
|x|
C.y=-sin
|x|
D.y=-|sin
x|
【解析】选C.注意题图所对的函数值有正有负,因此可排除选项A,D.当x∈(0,π)时,sin
|x|>0,而图中显然是小于零,因此排除选项B.
4.国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律:P=Asin+60(t(天),P(美元),A>0,ω>0),现采集到下列信息:最高油价80美元,当t=150天时达到最低油价,则ω的最小值为______.?
【解析】因为Asin+60=80,
-1≤sin≤1,
所以A=20,当t=150天时达到最低油价,
即sin=-1,
此时150ωπ+=2kπ-,k∈Z,
因为ω>0,所以当k=1时,ω取最小值,
所以150ωπ+=π,解得ω=.
答案:
5.如图所示,某动物种群数量1月1日最少,值为700,7月1日最多,值为900,其总量在此两值之间依正弦型曲线变化.
(1)求出种群数量y关于时间t的函数解析式.(其中t以年初以来的月为计量单位,如t=1表示2月1日)
(2)估计当年3月1日动物种群数量.
【解析】(1)设种群数量y关于t的解析式为y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π),
则
解得A=100,b=800.
又周期T=2×(6-0)=12,所以ω==,
所以y=100sin+800.
又当t=6时,y=900,
所以900=100sin+800,
所以sin(π+φ)=1,所以sin
φ=-1,
因为|φ|<π,所以φ=-,
所以y=100sin+800.
(2)当t=2时,y=100sin+800=750,
即当年3月1日动物种群数量约是750.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过周期后,乙点的位置将处于图中
( )
A.甲点
B.乙点
C.丙点
D.丁点
【解析】选D.与乙点的位置相差周期的点为丁点.
2.如图,为一半径为3
m的水轮,水轮圆心O距离水面2
m,已知水轮1
min旋转4圈,水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2,则有
( )
A.ω=,A=3
B.ω=,A=3
C.ω=,A=5
D.ω=,A=5
【解析】选A.由题目可知最大值为5,所以5=A×1+2?A=3.T=15,则ω=.
3.(2020·聊城高一检测)已知点P是单位圆上的一个质点,它从初始位置P0开始,按逆时针方向以角速度1
rad/s做圆周运动,则点P的纵坐标y关于运动时间t(单位:s)的函数关系式为
( )
A.y=sin,(t≥0)
B.y=sin,(t≥0)
C.y=-cos,(t≥0)
D.y=-cos,(t≥0)
【解析】选A.由题意,知圆心角∠POP0的弧度数为t·1=t,则∠POx的弧度数为t-,则由任意角的三角函数的定义,知点P的纵坐标y=sin,t≥0.
【补偿训练】
函数f(x)的部分图象如图所示,则下列选项正确的是
( )
A.f(x)=x+sin
x
B.f(x)=
C.f(x)=xcos
x
D.f(x)=x
【解析】选C.观察图象知函数为奇函数,排除D项;又函数在x=0处有意义,排除B项;取x=,f=0,A项不合适.
4.如图是函数y=sin
x(0≤x≤π)的图象,A(x,y)是图象上任意一点,过点A作x轴的平行线,交其图象于另一点B(A,B可重合).设线段AB的长为f(x),则函数f(x)的图象是
( )
【解析】选A.当x∈时,f(x)=π-2x;
当x∈时,f(x)=2x-π.
【误区警示】此题中选项CD很容易排除,问题往往出在选项AB上,当点A在y=sin
x(0≤x≤π)上运动时,很多同学想当然认为f(x)的图象为曲线,故选择了B项,其实因为点A的横坐标为x,所以f(x)=π-2x或f(x)=2x-π.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.如图所示是一质点做简谐运动的图象,则下列结论正确的是
( )
A.该质点的运动周期为0.8
s
B.该质点的振幅为5
cm
C.该质点在0.1
s和0.5
s时运动速度最大
D.该质点在0.1
s和0.5
s时运动速度为零
【解析】选ABD.由题干图可知,=0.7-0.3=0.4,所以T=0.8;最小值为-5,所以振幅为5
cm;在0.1
s和0.5
s时,质点到达运动的端点,所以速度为0.
6.如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况,则水面高度为3米的时间可能是
( )
A.7
B.13
C.14
D.19
【解析】选AD.根据题图设h=Asin(ωt+φ),则A=6,T=12,=12,所以ω=,点(6,0)为“五点”作图法中的第一个点,所以×6+φ=0,所以φ=-π,
所以h=6·sin=-6sin
t,t∈.分别代入选择项验证得选项AD符合题意,13时和14时水面高度不为3米.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·苏州高一检测)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:y=与函数f(x)=sin(ω>0)的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为A1,A2,…,若点A1的横坐标为1.则点A2的横坐标为______.?
【解析】因为点A1的横坐标为1,
即当x=1时,f(x)=sin=,
所以ω+=2kπ+或ω+=2kπ+(k∈Z),
又直线l:y=与函数f(x)=sin(ω>0)的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为A1,A2,…,
所以ω+=,故ω=,
所以函数的关系式为f(x)=sin.
令f(x)=,即sin=,
所以πx+=+2kπ或πx+=π+2kπ,k∈Z,
所以x=3k或x=1+3k,k∈Z.
因为x1=1,x2=3,所以第二个公共点为.
答案:3
8.振动量函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的初相和频率分别为-π和,则它的运动周期为________,相位是________.?
【解析】因为频率f=,所以T==,
所以ω==3π.所以相位ωx+φ=3πx-π.
答案: 3πx-π
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知弹簧挂着的小球上下振动,它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为h=3sin.
(1)求小球开始振动的位置;
(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标.
【解析】(1)令t=0,得h=3sin
=,
所以开始振动的位置为.
(2)由题意知,当h=3时,t的最小值为,即所求最高点为;当h=-3时,t的最小值为,即所求最低点为.
10.为迎接夏季旅游旺季的到来,少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈,寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少,浪费很严重,为了控制经营成本,减少浪费,就想适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:
①各年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;
②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;
③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系;
(2)请问哪几个月份要准备不少于400份的食物?
【解析】(1)设该函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,0<|φ|<π),根据条件①,可知这个函数的周期是12;由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;由③可知,f(x)在上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.
根据上述分析可得,=12,故ω=,
且解得
根据分析可知,当x=2时,f(x)最小,当x=8时,f(x)最大,
故sin=-1,且sin=1.
又因为0<|φ|<π,故φ=-.
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为f(x)=200sin+300.
(2)由条件可知,200sin+300≥400,
化简得:sin≥,
即2kπ+≤x-≤2kπ+,k∈Z,
解得12k+6≤x≤12k+10,k∈Z.
因为x∈N
,且1≤x≤12,故x=6,7,8,9,10.
故只有6,7,8,9,10五个月份要准备不少于400份的食物.
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四十三 函数y=Asin(ωx+φ)
(15分钟 35分)
1.为了得到函数
y=sin的图象,只需把函数
y=sin的图象
( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
【解析】选D.将
y=sin的图象向右平移个单位长度得到y=sin
=sin的图象.
2.将函数y=sin
x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到的函数为
( )
A.y=5sin
x
B.y=sin
x
C.y=sin
5x
D.y=sin
x
【解析】选C.y=sin
x所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到
y=sin
5x.
3.把函数y=cos的图象适当变换就可以得到y=sin(-3x)的图象,这种变换可以是
( )
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
【解析】选D.因为y=cos
=cos=sin
=sin,
所以将
y=sin的图象向左平移个单位长度能得到y=sin(-3x)的图象.
4.给出几种变换:
①横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变;
②横坐标缩小到原来的,纵坐标不变;
③向左平移个单位长度;
④向右平移个单位长度;
⑤向左平移个单位长度;
⑥向右平移个单位长度;
则由函数y=sin
x的图象得到y=sin2x+的图象,可以实施的方案是( )
A.①→③
B.②→③
C.②→④
D.②→⑤
【解析】选D.y=sin
x的图象y=sin
2x的图象y=sin的图象.
5.(2020·镇江高一检测)将函数f(x)=cos
2x的图象向左平移个单位长度后,再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,得到函数y=g(x)的图象,则g=
______.?
【解析】将函数f(x)=cos
2x的图象向左平移个单位长度后,可得y=cos的图象,
再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,
得到函数y=g(x)=2cos的图象,
则g=-.
答案:-
6.已知函数f(x)=3sin(2x+φ),其图象向左平移个单位长度后,关于y轴对称.
(1)求函数f(x)的解析式.
(2)说明其图象是由y=sin
x的图象经过怎样的变换得到的.
【解析】(1)将函数f(x)=3sin(2x+φ)图象上的所有点向左平移个单位长度后,所得图象的函数解析式为
y=3sin=3sin.
因为图象平移后关于y轴对称,
所以+φ=kπ+(k∈Z),
所以φ=kπ+(k∈Z),
因为φ∈,所以φ=.
所以f(x)=3sin.
(2)将函数y=sin
x的图象上的所有点向左平移个单位长度,所得图象的函数解析式为y=sinx+,再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得函数y=sin的图象,再把图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),即得函数y=3sin的图象.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.把函数y=sin的图象向右平移个单位,所得图象对应的函数是( )
A.非奇非偶函数
B.既是奇函数又是偶函数
C.奇函数
D.偶函数
【解析】选D.y=sin的图象向右平移个单位得到y=sin
=sin=-cos
2x的图象,y=-cos
2x是偶函数.
2.设ω>0,函数y=sin+2的图象向右平移π个单位后与原图象重合,则ω的最小值为
( )
A.
B.1
C.
D.2
【解析】选C.由题意知是函数周期的整数倍,
又ω>0,所以·k=π,
所以ω=k(k∈Z),
因为ω>0,所以ω的最小值为.
3.(2020·福州高一检测)设函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,且图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数,则函数f(x)的图象
( )
A.关于点对称
B.关于点对称
C.关于直线x=对称
D.关于直线x=对称
【解析】选D.函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<的最小正周期为π,
即=π,所以ω=2.
则f(x)=sin(2x+φ),向左平移个单位后得:
y=sin是奇函数,
即+φ=kπ,k∈Z.所以φ=kπ-,k∈Z,
因为|φ|<,则φ=-,故f(x)的解析式为
f(x)=sin.
由对称中心的横坐标可得:2x-=kπ,k∈Z,
即x=kπ+,k∈Z.所以A,B选项不对.
由对称轴方程可得:2x-=kπ+,k∈Z,即x=kπ+,k∈Z.当k=0时,可得x=.
【补偿训练】
将函数y=sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),再向右平移个单位,所得函数图象的一个对称中心是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.将函数y=sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)可得到函数y=sin的图象,然后该函数的图象向右平移个单位可得到函数y=sin=sin
2x的图象,由2x=kπ?x=,k∈Z,所以该函数的对称中心为.
4.为了得到函数y=sin的图象,可以将函数y=cos
2x的图象
( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
【解析】选B.y=sin
=cos
=cos=cos
=cos.
【误区警示】注意变换前后函数名不一样.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.把函数f(x)=sin的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度可以得到函数g(x)的图象.若g(x)的图象关于y轴对称,则φ的值可以是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】AD.由题意,
得g(x)=sin=sin.
因为g(x)的图象关于y轴对称,所以g(x)为偶函数,所以2φ-=kπ+(k∈Z),所以φ=+(k∈Z).当k=0时,φ=;当k=1时,φ=.
6.将函数f(x)=3sin
x的图象先向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则函数g(x)
( )
A.周期是π
B.增区间是(k∈Z)
C.图象关于点对称
D.图象关于直线x=对称
【解析】选ABC.函数f(x)=3sin
x的图象先向右平移个单位长度,
再把所得各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),
得到函数g(x)=3sin的图象.
所以函数的最小正周期为=π,
令-+2kπ≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
解得,增区间是(k∈Z).
当x=-时,函数的值为0,
所以图象关于点对称.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.将函数y=sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,则函数g(x)在上的最小值为________.?
【解题指南】先根据题目提供的变换方法求出g(x)的解析式,再在固定区间上求g(x)的最小值.
【解析】依据图象变换可得函数g(x)=sin4x+.因为x∈,
所以4x+∈,
所以当4x+=时,g(x)取最小值-.
答案:-
【补偿训练】
若g(x)=2sin+a在上的最大值与最小值之和为7,则a=________.?
【解析】当0≤x≤时,≤2x+≤,≤sin≤1,
所以1+a≤2sin+a≤2+a,由1+a+2+a=7,得a=2.
答案:2
8.将函数f(x)=Asin(ωx+φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=Asin
x的图象,则ω=________,φ=________.?
【解析】y=Asin
x的图象向左平移个单位长度,得到y=Asin的图象,再将每一点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到y=Asin的图象即为f(x)=Asin(ωx+φ)的图象,所以f(x)=Asin,所以ω=,φ=.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=2sin+1(ω>0,0<φ<π)为偶函数,且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.
【解析】(1)因为f(x)为偶函数,所以φ-=kπ+(k∈Z),所以φ=kπ+(k∈Z).
又0<φ<π,所以φ=,
所以f(x)=2sin+1=2cos
ωx+1.
又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为,所以T==2×,所以ω=2,
所以f(x)=2cos
2x+1,
所以f=2cos+1=+1.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到函数f的图象,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到
f的图象,
所以g(x)=f=2cos+1
=2cos+1.
当2kπ≤-≤2kπ+π,k∈Z,
即4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z)时,g(x)单调递减.
所以函数g(x)的单调递减区间是
(k∈Z).
10.(2020·南通高一检测)已知函数f(x)=sin
x,x∈R.现有如下两种图象变换方案:
方案1:将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位长度;
方案2:将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变.
请你从中选择一种方案,确定在此方案下所得函数g(x)的解析式,并解决如下问题:
(1)画出函数g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象;
(2)请你研究函数g(x)的定义域,值域,周期性,奇偶性以及单调性,并写出你的结论.
【解析】方案1:sin
x→sin
2x→sin
2;
方案2:sin
x→sin→sin,
所以,无论在何种方案下所得的函数都是g(x)=sin.
(1)如图,是函数g(x)=sin在[0,π]这一周期上的图象:
(2)定义域:R.
值域:[-1,1].
周期:π.
奇偶性:因为g(0)=sin=≠0,±1,
所以g(x)不具有奇偶性.
单调性:在每个区间(k∈Z)上单调递增;在每个区间(k∈Z)上单调递减.
1.(2020·上海高一检测)已知函数f(x)=4sin2x+,x∈的图象与直线y=m的三个交点的横坐标分别为x1,x2,x3(x1
【解析】用“五点法”画出函数f(x)=4sin,x∈的图象,
如图
因为函数的图象关于直线x=和直线x=对称,所以由题意得x1+x2=2×=,x2+x3=2×=,所以x1+2x2+x3=.
答案:
【补偿训练】
函数y=2sin
πx-(-2≤x≤4)的所有零点之和为________.?
【解析】函数y=2sin
πx-(-2≤x≤4)的零点即方程2sin
πx=的根,
作函数y=2sin
πx与y=的图象如图,由图可知共有8个公共点,所以原函数有8个零点.
y=2sin
πx-=2sin(π-πx)-,
令t=1-x,则y=2sin
πt-,t∈,
该函数是奇函数,故零点之和为0.所以原函数的8个零点关于(1,0)对称,所以零点之和为8.
答案:8
2.已知函数f(x)=2sin
ωx,其中常数ω>0.
(1)若y=f(x)在上单调递增,求ω的取值范围;
(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,区间(a,b∈R且a【解析】(1)因为ω>0,
根据题意有?0<ω≤.
所以ω的取值范围是.
(2)由f(x)=2sin
2x可得,
g(x)=2sin+1
=2sin+1,
g(x)=0?sin=-?x=kπ-或x=kπ-π,k∈Z,
即g(x)的零点相邻间隔依次为和,
故若y=g(x)在上至少含有30个零点,
则b-a的最小值为14×+15×=.
PAGE课时素养评价四十二 正切函数的图象与性质
(15分钟 35分)
1.(2020·大庆高一检测)与函数y=tan的图象不相交的一条直线
是
( )
A.x=
B.x=
C.x=
D.x=
【解析】选C.由2x+≠kπ+,k∈Z,
得x≠+,
则当k=0时,x≠,即x=与函数图象不相交.
【补偿训练】
函数y=的定义域是________.?
【解析】由题意得1-tan
x≥0即tan
x≤1结合图象可解得kπ-k∈Z.
答案:(k∈Z)
2.f(x)=tan的最小正周期为
( )
A.
B.
C.π
D.2π
【解析】选B.方法一:函数y=tan(ωx+φ)的周期是T=,直接套用公式,
可得T==.
方法二:由诱导公式可得tan=
tan=tan,
所以f=f(x),所以周期为T=.
3.当x∈时,函数y=tan
|x|的图象
( )
A.关于原点对称
B.关于y轴对称
C.关于x轴对称
D.无法确定
【解析】选B.函数y=tan
|x|,x∈是偶函数,其图象关于y轴对称.
4.已知函数f(x)=tan
ωx在上单调递减,则ω的取值范围是( )
A.0<ω≤1
B.-1≤ω<0
C.-2≤ω<0
D.0<ω≤
【解析】选B.由f(x)在上单调递减知:ω<0,且?,因此-≥,解得-1≤ω<0,故选B.
5.函数f(x)=-2tan
x+m,x∈有零点,则实数m的取值范围是________.?
【解析】函数f(x)=-2tan
x+m有零点,即方程2tan
x=m有解.因为x∈,所以tan
x∈[-1,],所以m∈[-2,2].
答案:[-2,2]
6.求函数y=tan的定义域、周期及单调区间.
【解析】由x-≠+kπ,k∈Z,得x≠+2kπ,k∈Z,所以函数y=tan的定义域为.
T==2π,所以函数y=tan的周期为2π.
由-+kπ所以函数y=tan的单调递增区间为(k∈Z).
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知A为锐角,且tan
A=,那么下列判断正确的是
( )
A.0°B.30°C.45°D.60°【解析】选B.由题知,<<1,
即tan
30°A45°.
由正切函数随锐角的增大而增大,得30°2.函数f(x)=tan与函数g(x)=sin-2x的最小正周期相同,则ω=
( )
A.±1
B.1
C.±2
D.2
【解析】选A.g(x)的最小正周期为π,则=π,得ω=±1.
3.已知函数f(x)=x+tan
x+1,若f(a)=2,则f(-a)=
( )
A.0
B.-1
C.-2
D.3
【解析】选A.设g(x)=x+tan
x,显然g(x)为奇函数.
因为f(a)=g(a)+1=2,所以g(a)=1,
所以f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=0.
【补偿训练】
函数y=
( )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数,又是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
【解析】选A.因为1+cos
x≠0,即cos
x≠-1,
得x≠2kπ+π,k∈Z.
又tan
x中x≠kπ+,k∈Z,所以函数y=的定义域关于(0,0)对称.
令f(x)=,
则f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数.
4.(2020·长治高一检测)函数y=tan的图象
( )
A.关于原点对称
B.关于点对称
C.关于直线x=-对称
D.关于点对称
【解析】选D.函数y=tan中,
令2x+=,k∈Z;
解得x=-,k∈Z;
令k=1,得x=,
所以y=tan的图象关于点对称,D正确.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下列各式中正确的是
( )
A.tan
735°800°
B.tan
1>tan
2
C.tanD.tan【解析】选ABD.因为tan
735°=tan(735°-720°)=tan
15°,tan
800°
=tan(800°-720°)=tan
80°且0°<15°<80°<90°,正切函数在上单调递增,所以tan
735°800°;
tan
1>tan
0=0,tan
2<0,
所以tan
1>tan
2;
因为<π<π<π,且正切函数在上是单调递增的,所以tan>tan,
因为tan=tan,且0<<<,正切函数在上单调递增,所以tan即tanπ6.满足tan
A>-1的三角形的内角A的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选BD.因为角A为三角形的内角,所以0A>-1,结合正切曲线得A∈∪.
【光速解题】因为角A是三角形的内角,所以0三、填空题(每小题5分,共10分)
7.若函数f(x)=tan
ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=1所得线段长为,则f的值是________.?
【解题指南】f(x)=tan
ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=1所得线段长为,说明函数f(x)的周期为.
【解析】由题意知=,
所以ω=4.
所以f=tan=.
答案:
8.若f(n)=tan(n∈N
),则f(1)+f(2)+…+f(2
020)=________.?
【解析】因为f(n)=tann(n∈N
)的周期T==3,且f(1)=tan=,
f(2)=tan=-,f(3)=tan
π=0,
所以f(1)+f(2)+…+f(2
020)=×0+tan=.
答案:
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.函数y=Atan(ωx+φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为,,且过点(0,-3),求此函数的解析式.
【解析】因为T=-=,
所以ω==.
将点代入y=Atan,
得0=Atan,得φ=-.
将(0,-3)代入y=Atan,得A=3.
所以y=3tan.
10.已知函数f(x)=x2+2xtan
θ-1,x∈[-1,],其中θ∈.
(1)当θ=-时,求函数f(x)的最大值与最小值.
(2)求θ的取值范围,使y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数.
【解析】(1)当θ=-时,f(x)=x2-x-1=-,x∈[-1,].
所以当x=时,f(x)取得最小值,为-;
当x=-1时,f(x)取得最大值,为.
(2)函数f(x)=(x+tan
θ)2-1-tan2θ的图象的对称轴为x=-tan
θ.
因为y=f(x)在区间[-1,]上单调,
所以-tan
θ≤-1或-tan
θ≥,
即tan
θ≥1或tan
θ≤-.
又θ∈,
所以θ的取值范围是∪.
1.函数y=tan
x+sin
x-|tan
x-sin
x|在区间内的图象是
( )
【解析】选D.当xx,y=2tan
x<0;当x=π时,y=0;
当πtan
x>sin
x,y=2sin
x<0.
【补偿训练】
函数y=sin
x与y=tan
x的图象在区间[0,2π]上有________个交点.?
【解析】函数y=sin
x与y=tan
x在区间[0,2π]内的图象如图所示:
观察图象可知,函数y=tan
x与y=sin
x在区间[0,2π]上有3个交点.
答案:3
2.是否存在实数a,且a∈Z,使得函数y=tan-ax在x∈上是单调递增的?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
【解析】存在.因为y=tan
θ在区间kπ-,kπ+(k∈Z)上是单调递增的,
所以a<0.
又x∈,
所以-ax∈,
所以-ax∈,
所以
解得--≤a≤6-8k(k∈Z).
令k=0,得-≤a≤6不符合题意,
令k=-1,得≤a≤14不符合题意,
令k=1,
此时-2≤a≤-2,
所以a=-2<0,
所以存在a=-2∈Z,满足题意.
PAGE课时素养评价四十一 正弦函数、余弦函数的性质
(15分钟 35分)
1.函数f(x)=2sin,x∈[-π,0]的单调递增区间是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,
解得2kπ-≤x≤2kπ+π,k∈Z,
又-π≤x≤0,所以-≤x≤0.
【补偿训练】
函数y=2sin的单调递增区间是
( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
【解析】选B.y=2sin=-2sin,函数y=sin的单调递减区间为y=2sin的单调递增区间,令2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),解得
kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),所以y=2sin的单调递增区间为(k∈Z).
2.函数y=cos,x∈的值域是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为x∈,所以x+∈,所以y=cos∈.
3.下列不等式中成立的是
( )
A.sin>sin
B.sin
3>sin
2
C.sinπ>sin
D.sin
2>cos
1
【解析】选D.因为sin
2=cos
=cos,且0<2-<1<π,
所以cos>cos
1,即sin
2>cos
1.
由正弦函数f(x)=sin
x的性质知f(x)在上单调递增,
又-<-<-<0,
所以sinf(x)=sin
x在上单调递减,又<2<3<π,所以sin
32,B错,
C中π+=π,所以sin=sin,C错.
4.设函数f(x)=sinωx+φ+ω>0,|φ|<的最小正周期为π,且是偶函数,则
( )
A.f(x)在上单调递减
B.f(x)在上单调递减
C.f(x)在上单调递增
D.f(x)在上单调递增
【解析】选A.由条件知ω=2.
因为f(x)是偶函数且|φ|<,所以φ=,
这时f(x)=sin=cos
2x.
因为x∈时,2x∈(0,π),
所以f(x)在上单调递减.
5.函数y=sin2x-cos
x+1的最大值为________.?
【解析】y=sin2x-cos
x+1=-cos2x-cos
x+2=-+,因为-1≤cos
x≤1,所以当cos
x=-时,y取最大值.
答案:
6.已知函数f(x)=2cos.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值.
【解析】(1)令2kπ-π≤3x+≤2kπ(k∈Z),
解得-≤x≤-(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).
(2)当3x+=2kπ-π(k∈Z)时,f(x)取最小值-2.
即x=-(k∈Z)时,f(x)取最小值-2.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.函数y=sin在区间[0,π]上的一个单调递减区间是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),取k=0,则一个单调递减区间为.
2.下列关系式中正确的是
( )
A.sin
11°10°168°
B.sin
168°11°10°
C.sin
11°168°10°
D.sin
168°10°11°
【解析】选C.由诱导公式,得cos
10°=sin
80°,
sin
168°=sin(180°-12°)=sin
12°,由正弦函数y=sin
x在[0°,90°]
上是单调递增的,所以sin
11°12°80°,即sin
11°168°
10°.
3.函数y=|sin
x|的一个单调增区间是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.画出y=|sin
x|的图象即可求解.
【补偿训练】
函数f(x)=在[-π,π]上的单调递减区间为
( )
A.
B.
C.,
D.∪
【解析】选C.在[-π,π]上,依据函数图象的对称性可知y=|cos
x|的单调递增区间是和,而f(x)随|cos
x|取值的递增而递减,故,为f(x)的单调递减区间.
4.若函数f(x)=sin
ωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω=
( )
A.3
B.2
C.
D.
【解析】选C.函数f(x)=sin
ωx(ω>0)在区间上单调递增,在区间上单调递减,因此=,所以ω=.
【误区警示】函数f(x)=sin
ωx(ω>0)在区间上单调递增不是函数的单调增区间是,即不一定是函数的一个完整增区间,应该利用函数的两个单调区间推导出函数的最大值点.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.同时具有以下性质的函数不可能为
( )
①最小正周期是π;②图象关于直线x=对称;③在上是单调递增的.
A.y=sin
B.y=cos
C.y=sin
D.y=cos
【解析】选ABD.最小正周期是π的只有B,C,
y=cos=cos=-sin,
当x∈时,2x-∈,因此在上C是单调递增的,
B是单调递减的,令2x-=+kπ(k∈Z),则x=+π(k∈Z).
当k=0时,x=为一条对称轴,因此只有C具有这三条性质.
6.设函数f(x)=cos,则下列结论正确的是
( )
A.f(x)的一个周期为-2π
B.y=f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x+π)的一个零点为x=
D.f(x)在上单调递减
【解析】选ABC.A项,因为f(x)=cos的周期为2kπ(k∈Z,且k≠0),所以f(x)的一个周期为-2π,A正确.
B项,因为f(x)=cos图象的对称轴为直线x=kπ-(k∈Z),所以y=f(x)的图象关于直线x=对称,B项正确.
C项,f(x+π)=cos.令x+=kπ+(k∈Z),得x=kπ-π,当k=1时,x=,
所以f(x+π)的一个零点为x=,C项正确.
D项,因为f(x)=cos的单调递减区间为
(k∈Z),单调递增区间为
(k∈Z),所以是单调递减区间,是单调递增区间,D项错误.
【光速解题】画出函数的图象,马上就可以得到选项A、B、D的对错,利用诱导公式将选项C化简,结合图象,也可以得到选项C的对错.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知函数f(x)=2sin
ωx(ω>0)在区间上的最小值是-2,则ω的最小值为________.?
【解题指南】根据x的范围,求出ωx的范围,再根据f(x)的最小值,求出ω的最小值.
【解析】函数f(x)=2sin
ωx(ω>0)在区间上的最小值是-2,则ωx的取值范围是,所以-≤-或≥,解得ω≥或ω≥6,所以ω的最小值为.
答案:
【补偿训练】
第7题中条件“在区间上的最小值为-2”改为“在区间上单调递增”其他条件不变,求ω的取值范围.
【解析】由-≤ωx≤,得f(x)的一个递增区间为,
由题设得?,
所以-≤-且≥,得0<ω≤.
8.设函数f(x)=sin,则该函数的最小正周期为________,f(x)在上的最小值为________.?
【解析】由题意可知,T==π;因为x∈,
所以2x-∈,所以sin∈,所以f(x)在上的最小值为-.
答案:π -
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.求函数y=3-4cos,x∈的最大值、最小值及相应的x值.
【解析】因为x∈,所以2x+∈,从而-≤cos≤1.
所以当cos=1,即2x+=0,x=-时,ymin=3-4=-1.
当cos=-,即2x+=,x=时,ymax=3-4×=5.
综上所述,当x=-时,ymin=-1;
当x=时,ymax=5.
10.已知f(x)=sin-.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值.
(2)讨论f(x)在上的单调性.
【解析】(1)因为f(x)=sin-,
所以T==π,最大值为1-.
(2)当x∈时,0≤2x-≤π,
从而当0≤2x-<,即≤x<时,f(x)单调递增,当≤2x-≤π,即≤x≤时,f(x)单调递减.
综上可知,f(x)在上单调递增;在上单调递减.
1.如图所示,函数y=cos
x·|tan
x|0≤x<且x≠的图象是
( )
【解析】选C.y=cos
x|tan
x|
=故其图象为C.
2.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-4,-3]上是单调递增的,α,β是锐角三角形的两个内角,试判断f(sin
α)与f(cos
β)的大小.
【解析】由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函数f(x)是周期函数,且2是它的一个周期.
因为函数f(x)是偶函数且在[-4,-3]上单调递增,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增.
又α,β是锐角三角形的两个内角,则有α+β>,
所以α>-β,即>α>-β>0,
因为y=sin
x在上单调递增,
所以sin
α>sin=cos
β,
且sin
α∈(0,1),cos
β∈(0,1),
所以f(sin
α)>f(cos
β).
PAGE课时素养评价四十 正弦函数、余弦函数的图象
(15分钟 35分)
1.函数y=ln
cos
x的图象是
( )
【解析】选A.首先y=ln
cos
x=ln
cos(-x),所以函数为偶函数,排除B、D,又因为-x∈(0,1],所以y=ln
x≤0且图象左增右减.
2.(2020·赤峰高一检测)已知f(x)=sin,g(x)=cos,则f(x)的图象
( )
A.与g(x)的图象相同
B.与g(x)的图象关于y轴对称
C.向左平移个单位,得g(x)的图象
D.向右平移个单位,得g(x)的图象
【解析】选D.f(x)=sin,g(x)=cosx-=cos=sin
x,f(x)的图象向右平移个单位得到g(x)的图象.
3.方程|x|=cos
x在(-∞,+∞)内
( )
A.没有根
B.有且仅有一个根
C.有且仅有两个根
D.有无穷多个根
【解析】选C.求解方程|x|=cos
x在(-∞,+∞)内根的个数问题,可转化为求解函数f(x)=|x|和g(x)=cos
x在(-∞,+∞)内的交点个数问题.f(x)=|x|和g(x)=cos
x的图象如图,
显然有两交点,即原方程有且仅有两个根.
4.函数y=-cos
x(x>0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为
( )
A.
B.(π,1)
C.(0,1)
D.(2π,1)
【解析】选B.用“五点法”作出函数y=-cos
x,x>0的图象如图所示,可知B正确.
5.不等式sin
x<-,x∈[0,2π]的解集为________.?
【解析】如图所示,不等式sin
x<-的解集为.
答案:
6.用“五点法”画出y=-2cos
x+3(0≤x≤2π)的简图.
【解析】列表:
x
0
π
2π
cos
x
1
0
-1
0
1
-2cos
x+3
1
3
5
3
1
描点、连线得出函数y=-2cos
x+3(0≤x≤2π)的图象.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.点M在函数y=sin
x的图象上,则m等于
( )
A.0
B.1
C.-1
D.2
【解析】选C.由题意得-m=sin
,
所以-m=1,所以m=-1.
2.从函数y=cos
x,x∈[0,2π)的图象来看,对应于cos
x=的x有
( )
A.1个值
B.2个值
C.3个值
D.4个值
【解析】选B.如图所示,y=cos
x,x∈[0,2π)与y=的图象,有2个交点,所以方程有2个解.
3.函数y=cos
x+|cos
x|,x∈[0,2π]的大致图象为
( )
【解析】选D.由题意得
y=
显然只有D合适.
4.若函数y=2cos
x(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积是
( )
A.4
B.8
C.2π
D.4π
【解析】选D.作出函数y=2cos
x,x∈[0,2π]的图象,函数y=2cos
x,x∈[0,2π]的图象与直线y=2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.
利用图象的对称性可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积,又因为OA=2,OC=2π,
所以S阴影部分=S矩形OABC=2×2π=4π.
【误区警示】解此题,往往忽视对称,我们需要将不规则图形转化为规则图形.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.用“五点法”画y=3sin
x,x∈[0,2π]的图象时,下列哪些点是关键点
( )
A.
B.
C.(π,0)
D.(2π,0)
【解析】选BCD.五个关键点的横坐标依次是0,,π,,2π.代入横坐标,计算得B、C、D正确.
6.已知函数y=若y=,则x的可能取值为
( )
A.-
B.
C.
D.
【解析】选ABD.作出函数y=
的图象,再作直线y=,如图所示,则当-π≤x<0时,由图象知x=-,当0≤x≤π时,x=或x=.
【光速解题】根据题意,画出函数f(x)的图象及直线y=的图象,分别求出交点坐标即可.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.若sin
x=2m+1,则m的取值范围是________.?
【解析】由-1≤2m+1≤1,解得-1≤m≤0.
答案:-1≤m≤0
8.当x∈[-π,π]时,y=x与y=sin
x的图象交点的个数为________,这些交点的横坐标之和为________.?
【解析】如图.根据图象知,两个函数有3个交点,3个交点横坐标之和为0.
答案:3 0
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.若集合M=,N=,θ∈[0,2π],求M∩N.
【解析】首先作出正弦函数,余弦函数在[0,2π]上的图象以及直线y=,如图所示.
由图象可知,在[0,2π]内,
sin
θ≥时,得≤θ≤,
cos
θ≤时,得≤θ≤.
所以在[0,2π]内,同时满足sin
θ≥与cos
θ≤时,≤θ≤.所以M∩N=.
10.方程sin
x=在x∈上有两个实数根,求a的取值范围.
【解析】首先作出y=sin
x,x∈的图象,然后再作出y=的图象,如果y=sin
x,x∈与y=的图象有两个交点,方程
sin
x=,x∈就有两个实数根.
设y1=sin
x,x∈,y2=.
y1=sin
x,x∈的图象如图.
由图象可知,当≤<1,即-1x,x∈的图象与y2=的图象有两个交点,即方程sin
x=在x∈上有两个实根.
1.函数f(x)=lg
cos
x+的定义域为________.?
【解析】由题意,得x满足不等式组
即
作出y=cos
x的图象,如图所示.
结合图象可得x∈∪
∪.
答案:∪∪
【补偿训练】
函数y=lg(-2cos
x)在x∈[0,2π]内的定义域是________.?
【解析】由-2cos
x>0,得cos
x<,
作出y=cos
x的图象和直线y=,
由图象可知cos
x<在[0,2π]内的解集为.
答案:
2.已知函数f(x)=sin
x+2|sin
x|,x∈[0,2π],若直线y=k与其仅有两个不同的交点,求k的取值范围.
【解析】由题意知f(x)=sin
x+2|sin
x|=
图象如图所示:
若函数f(x)的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则由图可知k的取值范围是(1,3).
PAGE课时素养评价三十九 三角函数的周期性
(15分钟 30分)
1.函数f(x)=cos的周期为
( )
A.
B.
C.π
D.2π
【解析】选C.方法一(定义法):因为f(x)=
cos=cos
=cos=f(x+π),
即f(x+π)=f(x),
所以函数f(x)=cos的周期T=π.
方法二(公式法):因为y=cos,
所以ω=2.又T===π.
所以函数f(x)=cos的周期T=π.
【补偿训练】
下列函数中,周期为的是
( )
A.y=sin
B.y=sin
2x
C.y=cos
D.y=cos(-4x)
【解析】选D.A中,T==4π;
B中,T==π;
C中,T==8π;
D中,T==.
2.已知函数y=2cos(ω<0)的最小正周期是4π,则ω=
( )
A.-4
B.-
C.-1
D.-
【解析】选D.因为T==4π,
所以|ω|=,
因为ω<0,所以ω=-.
3.函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,且f(1)=2,则f(5)=
( )
A.2
B.1
C.-2
D.-1
【解析】选C.因为f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数,
所以f(x+3)=f(x)且f(-x)=-f(x),
又f(1)=2,所以f(5)=f(2+3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.
4.已知函数f(x)对于任意x∈R满足条件f(x+3)=,且f(1)=,则f(2
014)=
________.?
【解析】因为f(x+6)==f(x),
所以函数f(x)的周期为6,
故f(2
014)=f(4)==2.
答案:2
5.若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而呈周期性变化,如图所示,请回答下列问题:
(1)单摆运动的周期是多少?
(2)从O点算起,到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动?如从A点算起呢?
(3)当t=11
s时,单摆小球相对于静止位置的位移是多少?
【解析】(1)从图象可以看出单摆运动的周期是0.4
s.
(2)若从O点算起,到曲线上的D点表示完成了一次往复运动;若从A点算起,到曲线上的E点表示完成了一次往复运动.
(3)11=0.2+0.4×27,所以小球经过11
s相对于静止位置的位移是0
cm.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.设函数f(x)(x∈R)是以π为最小正周期的周期函数,且当x∈时,
f(x)=sin
x;当x∈时,f(x)=cos
x,则f=
( )
A.-
B.
C.
D.-
【解析】选A.因为T=π,x∈时,f(x)=cos
x,
所以f=f=f=cos
=cos=-cos=-.
2.设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则函数y=f(x)的图象是
( )
【解析】选B.由f(-x)=f(x),得f(x)是偶函数,图象关于y轴对称.
由f(x+2)=f(x),得f(x)的周期为2.
3.设函数f(x)=sinx,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2
019)=
( )
A.
B.-
C.
D.0
【解析】选C.因为f(x)=sinx的周期T==6,
所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2
019)
=336[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(2
017)+f(2
018)+f(2
019)
=336（sin+sinπ+sin
π+sinπ+sinπ+sin
2π）+f(336×6+1)+
f(336×6+2)+f(336×6+3)=336×0+f(1)+f(2)+f(3)=sin+sinπ+sinπ=.
【补偿训练】
定义在R上的函数f(x)的周期为π,且是奇函数,f=1,则f的值为( )
A.2 B.1 C.0 D.-1
【解析】选D.由已知得f(x+π)=f(x),
f(-x)=-f(x),
所以f=f=f
=-f=-1.
4.(多选题)设函数f(x)=3sin,ω>0,x∈(-∞,+∞),且以为最小正周期.
若f=,则cos
α的可取值为
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选CD.因为f(x)的最小正周期为,
ω>0,所以ω==4.
所以f(x)=3sin.
由f
=-3sin
α=,
sin
α=-.
得cos
α=±.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.若函数f(x)=2cos的最小正周期为T,且T∈(1,3),则正整数ω的最大值是______.?
【解题指南】根据求函数周期的公式,表示出函数的周期,再根据条件T∈(1,3)列出不等式组,求出ω的范围,注意ω是正整数这一条件.
【解析】T=,又T∈(1,3),所以1<<3,
又ω∈N
,则ω=3,4,5,6,所以ω的最大值为6.
答案:6
【补偿训练】
函数y=sin的周期不大于4,则正整数k的最小值为________.?
【解析】由T=得T==.
因为T≤4,所以≤4,所以k≥π,所以正整数k的最小值为4.
答案:4
6.已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=-(f(x)≠0),若f(1)=-5,则f(5)=________,f(f(5))=________.?
【解析】因为f(x+2)=-,
所以f(x+4)=-=-=f(x).
所以f(x)是周期函数,4就是它的一个周期.
所以f(5)=f(1)=-5,
所以f(f(5))=f(-5)=f(-1)
===.
答案:-5
三、解答题
7.(10分)已知函数y=sin
x+|sin
x|.
(1)画出函数的简图;
(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期.
【解析】(1)y=sin
x+|sin
x|
=
函数图象如图所示.
(2)由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2π重复一次,则函数的最小正周期是2π.
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