课时素养评价二十九 指数函数及其性质的应用
(15分钟 30分)
1.据报道,某淡水湖的湖水在50年内减少了10%,若按此规律,设2019年的湖水量为m,从2019年起,经过x年后湖水量y与x的函数关系式为
( )
A.y=0.
B.y=m
C.y=0.m
D.y=m
【解析】选C.设每年湖水量为上一年的q%,则(q%)50=0.9,所以q%=0.,则x年后的湖水量为y=0.m.
2.若a>1,则函数y=ax与y=(1-a)x2的图象可能是下列四个选项中的
( )
【解析】选C.因为a>1,所以函数y=ax在R上单调递增,可排除选项B与D.y=(1-a)x2是开口向下的二次函数,可排除选项A.
【补偿训练】
已知函数f(x)=ax在(0,2)内的值域是(a2,1),则函数y=f(x)的图象是( )
【解析】选A.因为f(x)=ax在(0,2)内的值域是(a2,1),所以f(x)在(0,2)内单调递减.所以0
3.函数y=的单调递增区间是
( )
A.(-∞,2]
B.[2,+∞)
C.[1,2]
D.[1,3]
【解析】选A.令u=-3+4x-x2,y=3u为增函数,所以y=的增区间就是u=-3+4x-x2的增区间(-∞,2].
4.若函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是
( )
A.f(-4)>f(1)
B.f(-4)=f(1)
C.f(-4)D.不能确定
【解析】选A.因为|x+1|≥0,函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),所以a>1.
由函数f(x)=a|x+1|在(-1,+∞)上是增函数,且它的图象关于直线x=-1对称,可得函数f(x)在(-∞,-1)上是减函数.再由f(1)=f(-3),可得f(-4)>f(1).
5.若函数y=在区间(-∞,3)上单调递增,则实数a的取值范围是________.?若在区间上不单调,则实数a的取值范围是________.?
【解析】y=在(-∞,3)上递增,
即二次函数y=-x2+ax-1在(-∞,3)上递增,
因此需要对称轴x=≥3,解得a≥6.
若函数在上不单调,则-1≤≤1,
解得-2≤a≤2.
答案:a≥6 -2≤a≤2
6.设函数f(x)=,a是不为零的常数.
(1)若f(3)=,求使f(x)≥4的x值的取值范围.
(2)当x∈[-1,2]时,f(x)的最大值是16,求a的值.
【解析】(1)由f(3)=,即=,
所以10-3a=1,解得a=3.由f(x)=≥4=,即10-3x≤-2,解得x≥4.
(2)当a>0时,函数f(x)=在x∈[-1,2]时为增函数,则x=2时,函数取最大值=16,即10-2a=-4,解得a=7,
当a<0时,函数f(x)=在x∈[-1,2]时为减函数,则x=-1时,函数取最大值=16,即10+a=-4,解得a=-14,
综上可得:a=7或a=-14.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.(2020·新余高一检测)函数y=(0( )
【解析】选D.当x>0时,y=ax(02.(2020·玉溪高一检测)函数f(x)=的单调递减区间为
( )
A.(0,+∞)
B.(-1,+∞)
C.(-∞,-1)
D.(-∞,1)
【解析】选B.由函数f(x)=,结合复合函数单调性知识可知,它的减区间,即为y=x2+2x的增区间.由二次函数的性质可得y=x2+2x的增区间为(-1,+∞).
3.已知函数f(x)=是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.因为f(x)是R上的减函数,
所以解得4.已知函数f(x)=若f(a-1)≥f(-a),则实数a的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.当x≤0时,f(x)=e-x是减函数,且f(x)≥1,当x>0时,
f(x)=-x2-2x+1的对称轴为x=-1,抛物线开口向下,
此时f(x)在(0,+∞)上是减函数且f(x)<1,
综上f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,
若f(a-1)≥f(-a),则a-1≤-a,即a≤,
则实数a的取值范围是.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
A.a>1
B.b>0
C.0D.b<0
【解析】选CD.从题干曲线的变化趋势可以得到函数f(x)为减函数,从而有00,即b<0.
6.关于函数f=的说法中,正确的是
( )
A.偶函数
B.奇函数
C.在上是增函数
D.在上是减函数
【解析】选BC.f==-=-f,所以函数f为奇函数;
当x增大时,ex-e-x增大,故f增大,故函数f为增函数.
【补偿训练】
若方程ax-x-a=0有两个解,则a的值可以是
( )
A. B.1 C. D.2
【解析】选CD.当a>1时,y=x+a与y=ax的图象有两个交点;当0三、填空题(每小题5分,共10分)
7.若函数y=ax-m+n-3(a>0且a≠1)的图象恒过定点(3,2),则m+n=________.?
【解析】因为对于函数y=ax-m+n-3(a>0且a≠1)的图象恒过定点,令x-m=0,可得x=m,y=n-2,可得函数的图象经过定点(m,n-2).再根据函数的图象恒过定点(3,2),所以m=3,n-2=2,解得m=3,n=4,则m+n=7.
答案:7
8.若函数y=0.5|1-x|+m的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是________.?
【解析】因为函数y=0.5|1-x|+m的图象与x轴有公共点,
所以就是求函数m=-0.5|1-x|的值域问题.
所以m=-0.5|1-x|的值域为[-1,0).
故实数m的取值范围是[-1,0).
答案:[-1,0)
【补偿训练】
已知函数f(x)=2|x-a|(a为常数),若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是________.?
【解析】由函数f(x)=2|x-a|=可得,当x≥a时,函数f(x)为增函数,而已知函数f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,所以a≤1,
即a的取值范围为(-∞,1].
答案:(-∞,1]
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2020·贵阳高一检测)函数f(x)=2x-是奇函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x∈(0,+∞)时f(x)>m·2-x+4恒成立,求m的取值范围.
【解析】(1)因为函数f(x)=2x-是奇函数,
所以f(-x)=2-x-=-2xa+=-2x+=-f(x),故a=1,故f(x)=2x-;
(2)当x∈(0,+∞)时,f(x)>m·2-x+4恒成立,
即m+1<(2x)2-4·2x在x∈(0,+∞)上恒成立,
令h(x)=(2x)2-4·2x,(x>0),
显然h(x)在(0,+∞)的最小值是h(1)=-4,
故m+1<-4,解得m<-5.
10.(2020·北京高一检测)已知奇函数f(x)的定义域为[-1,1],当x∈[-1,0)时,f(x)=-.
(1)求函数f(x)在(0,1]上的值域;
(2)若x∈(0,1]时,函数y=f2(x)-f(x)+1的最小值为-2,求实数λ的值.
【解析】(1)设x∈(0,1],则-x∈[-1,0),
所以f(-x)=-=-2x.
又因为f(x)为奇函数,
所以有f(-x)=-f(x),
所以当x∈(0,1]时,f(x)=-f(-x)=2x,
所以f(x)在(0,1]上的值域为(1,2].
(2)由(1)知当x∈(0,1]时f(x)∈(1,2],
所以f(x)∈.
令t=f(x),则令g(t)=f2(x)-f(x)+1=t2-λt+1=+1-,
①当≤,即λ≤1时,g(t)>g,无最小值;
②当<≤1,即1<λ≤2时,g(t)min=g=1-=-2,解得λ=±2(舍去).
③当>1,即λ>2时,g(t)min=g(1)=-2,解得λ=4,综上所述,λ=4.
1.若ea+πb≥e-b+π-a,则有( )
A.a+b≤0
B.a-b≥0
C.a-b≤0
D.a+b≥0
【解析】选D.方法一:取特殊值排除,当a=0,b=1时,1+π≥+1,成立,排除A,B.当a=1,b=0,e+1≥1+成立,排除C.
方法二:构造函数利用单调性:令f(x)=ex-,则f(x)是增函数,因为ea-
≥-πb,所以f(a)≥f(-b),即a+b≥0.
2.定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D,存在常数M>0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的上界.已知函数f(x)=1+a+.
(1)当a=1时,求函数f(x)在(-∞,0)上的值域,并判断函数f(x)在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由.
(2)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,求实数a的最大值.
【解析】(1)当a=1时,f(x)=1++.令t=,由x<0
可得t>1,
f(x)=h(t)=t2+t+1=+,
因为h(t)在(1,+∞)上单调递增,故f(t)>f(1)=3,故不存在常数M>0,使|f(x)|≤M恒成立,
故函数f(x)在(-∞,0)上不是有界函数.
(2)若函数f(x)在[0,+∞)上是以3为上界的有界函数,则当x≥0时,|f(x)|≤3恒成立.
故有-3≤f(x)≤3,
即-4-≤a≤2-,
所以≤a≤.
所以a的最大值为函数y=2·2x-的最小值,
因为函数y=2·2x-在[0,+∞)上是增函数,
所以ymin=2×20-=2-1=1,故a的最大值为1.
PAGE课时素养评价二十八 指数函数的概念、图象和性质
(15分钟 30分)
1.(2020·邢台高一检测)设y1=40.9,y2=80.48,y3=,则
( )
A.y1>y2>y3
B.y1>y3>y2
C.y2>y1>y3
D.y3>y1>y2
【解析】选B.y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3==21.5,因为y=2x是增函数,
所以y1>y3>y2.
2.若函数f(x)=·ax是指数函数,则f的值为
( )
A.2
B.2
C.-2
D.-2
【解析】选B.因为函数f(x)=·ax是指数函数,所以a-3=1,a>0,a≠1,
解得a=8,所以f(x)=8x,
所以f==2.
3.若f(x)=(2a-1)x是增函数,那么a的取值范围为
( )
A.a<
B.C.a>1
D.a≥1
【解析】选C.因为f(x)=(2a-1)x是增函数,
所以2a-1>1,解得a>1.
4.已知函数f(x)=+2,则f(1)与f(-1)的大小关系是
( )
A.f(1)>f(-1)
B.f(1)C.f(1)=f(-1)
D.不确定
【解析】选B.因为f(x)=+2是减函数,所以f(1)5.已知函数f(x)满足f(x)=则f(-7.5)的值为________.?
【解析】由题意,得f(-7.5)=f(-5.5)=f(-3.5)=f(-1.5)=f(0.5)=20.5=.
答案:
6.求不等式a4x+5>a2x-1(a>0且a≠1)中x的取值范围.
【解析】对于a4x+5>a2x-1(a>0,且a≠1),
当a>1时,有4x+5>2x-1,解得x>-3;
当0故当a>1时,x的取值范围为{x|x>-3};
当0(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.设x>0,且1( )
A.0B.0C.1D.1【解析】选C.因为1因为x>0,所以b>1,
因为bx1,
因为x>0,所以>1?a>b,所以12.函数f(x)=的定义域为
( )
A.(-∞,0)
B.[0,+∞)
C.[2,+∞)
D.(-∞,2)
【解析】选C.由x-2≥0,得x≥2.
3.函数y=的值域是
( )
A.(-∞,0)
B.(0,1]
C.[1,+∞)
D.(-∞,1]
【解析】选B.由≥0且y=是减函数,知04.(2020·衡水高一检测)设f(x)是定义在实数集R上的函数,满足条件:y=f(x+1)是偶函数,且当x≥1时,f(x)=5x,则f,f,f的大小关系是( )
A.fB.fC.fD.f【解析】选D.因为y=f(x+1)是偶函数,
所以y=f(x+1)的对称轴为x=0,
所以y=f(x)的对称轴为x=1.
又x≥1时,f(x)=5x,所以f(x)=5x在[1,+∞)上是增函数,所以f(x)在(-∞,1]上是减函数,因为f=f,且>>,
所以f即f二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.以x为自变量的四个函数中,是指数函数的为
( )
A.y=(e-1)x
B.y=(1-e)x
C.y=3x+1
D.y=πx
【解析】选AD.由指数函数的定义可知选A,D.
6.已知c<0,则下列不等式中错误的是
( )
A.c>2c
B.c>
C.2c>
D.2c<
【解析】选ABC.c<0,所以>1,0<2c<1,所以>2c.
【补偿训练】
设f(x)=,x∈R,则f(x)是
( )
A.奇函数且在(-∞,0)上是增函数
B.偶函数且在(-∞,0)上是增函数
C.奇函数且在(0,+∞)上是减函数
D.偶函数且在(0,+∞)上是减函数
【解析】选BD.依题意,得f(-x)===f(x),所以f(x)是偶函数.当x>0时,f(x)==,该指数函数是减函数;当x<0时,f(x)===2x,该指数函数是增函数.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知函数f(x)=a-x(a>0且a≠1),且f(-2)>f(-3),则a的取值范围是________.?
【解析】由题意可得,函数f(x)=a-x
=(a>0且a≠1)在R上是增函数,故>1,解得
0答案:(0,1)
8.若函数y=ax(a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值和最小值之和为12,则实数a=________.?
【解析】无论函数y=ax是增函数,还是减函数,最大值和最小值的和总为a+a2=12,
解得a=3或a=-4(舍去).
答案:3
【补偿训练】
(2020·阜阳高一检测)已知函数y=在[-2,-1]上的最小值是m,最大值是n,则m+n的值为________.?
【解析】因为y=在[-2,-1]上为减函数,所以m==3,n==9,所以m+n=12.
答案:12
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知函数f(x)=ax-1(x≥0).其中a>0且a≠1.
(1)若f(x)的图象经过点,求a的值.
(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.
【解析】(1)函数图象过点,
所以a2-1=,则a=.
(2)f(x)=ax-1(x≥0),由x≥0得x-1≥-1,
当0所以f(x)的值域为(0,a-1];
当a>1时,ax-1≥a-1,
所以f(x)的值域为[a-1,+∞).
10.已知指数函数f(x)的图象经过点P(3,8),且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称.
(1)求函数g(x)的解析式.
(2)若g(x2-3x+1)>g(x2+2x-5),求x的取值范围.
【解析】(1)设指数函数为f(x)=ax(a>0且a≠1),
因为指数函数f(x)的图象过点(3,8),
所以8=a3,所以a=2,
所求指数函数为f(x)=2x.
因为函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,所以g(x)=2-x.
(2)由(1)得g(x)为减函数,
因为g(2x2-3x+1)>g(x2+2x-5),
所以2x2-3x+1即x2-5x+6<0,
解得x∈(2,3),
所以x的取值范围为(2,3).
1.若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)x2在[0,+∞)上是增函数,则a=________.?
【解析】当a>1时,有a2=4,a-1=m,
所以a=2,m=.
此时g(x)=-x2在[0,+∞)上是减函数,不合题意.
当0所以a=,m=.检验知符合题意.
答案:
2.已知函数f(x)=b·ax(a,b为常数且a>0,a≠1)的图象经过点A(1,8),B(3,32).
(1)试求a,b的值.
(2)若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.
【解析】(1)因为函数f(x)=b·ax的图象经过点A(1,8),B(3,32),
所以 解得a=2,b=4.
(2)设g(x)=+=+,
y=g(x)在R上是减函数,
所以当x≤1时,g(x)min=g(1)=.
若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,即m≤.
【补偿训练】
(2020·杭州高一检测)已知函数f(x)=(a>0,a≠1)是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的值域;
(3)当x∈(0,1]时,t·f(x)≥2x-2恒成立,求实数t的取值范围.
【解析】(1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)==0,解得a=2.
(2)由(1)得,f(x)==
=1-,又因为2x>0,
所以2x+1>1,所以0<<2,
所以-1<1-<1,
所以函数f(x)的值域为(-1,1).
(3)由(1)可得,f(x)=,当00,
所以当0等价于t≥=对x∈(0,1]恒成立,
令m=2x-1,则0所以当m=1时,有最大值.所以t≥0.
故所求的t的取值范围是t≥0.
PAGE课时素养评价二十七 幂 函 数
(15分钟 30分)
1.下列结论正确的是
( )
A.幂函数图象一定过原点
B.当α<0时,幂函数y=xα是减函数
C.当α>1时,幂函数y=xα是增函数
D.函数y=x2既是二次函数,也是幂函数
【解析】选D.函数y=x-1的图象不过原点,故A不正确;y=x-1在(-∞,0)及(0,+∞)上是减函数,故B不正确;函数y=x2在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数,故C不正确.
2.已知幂函数f(x)=kxα的图象过点,则k+α等于
( )
A.
B.1
C.
D.2
【解析】选A.因为幂函数f(x)=kxα(k∈R,α∈R)的图象过点,
所以k=1,f==,即α=-,所以k+α=.
3.在下列四个图形中,y=的图象大致是
( )
【解析】选D.函数y=的定义域为(0,+∞),是减函数.
4.幂函数的图象过点(3,
),则它的单调递增区间是
( )
A.[-1,+∞)
B.[0,+∞)
C.(-∞,+∞)
D.(-∞,0)
【解析】选B.设幂函数为f(x)=xα,因为幂函数的图象过点(3,
),所以f(3)=3α==,解得α=,所以f(x)=,所以幂函数的单调递增区间为[0,+∞).
5.(2020·南京高一检测)已知幂函数f过点,则f在其定义域内
( )
A.为偶函数
B.为奇函数
C.有最大值
D.有最小值
【解析】选A.设幂函数为f=xα,
代入点,即2α=,
所以α=-2,f=x-2,定义域为∪,
为偶函数且f=x-2∈.
【补偿训练】
已知2.4α>2.5α,则α的取值范围是________.?
【解析】因为0<2.4<2.5,而2.4α>2.5α,
所以y=xα在(0,+∞)上为减函数,故α<0.
答案:(-∞,0)
6.已知幂函数f(x)=(-2①在区间(0,+∞)上单调递增;
②对任意的x∈R,都有f(-x)-f(x)=0.
求幂函数f(x)的解析式,并求当x∈时,f(x)的值域.
【解析】因为函数在上单调递增,
所以-m2-2m+3>0,解得:-3因为-2又因为f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,所以-m2-2m+3为偶数.
当m=-1时,-m2-2m+3=4满足题意,
当m=0时,-m2-2m+3=3不满足题意,
所以f(x)=x4,所以f(x)在上递增,
所以f(x)min=f(0)=0,f(x)max=f(4)=256,
所以值域是.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2020·琼海高一检测)若函数f(x)=(m2-6m+9)是幂函数且为奇函数,则m的值为
( )
A.2
B.3
C.4
D.2或4
【解析】选D.因为函数f(x)=(m2-6m+9)为幂函数,所以m2-6m+9=1,所以m=2或m=4,当m=4时,f(x)=x5是奇函数,满足题意,当m=2时,f(x)=x-1是奇函数,满足题意;所以m=2或4.
2.下列命题中,不正确的是
( )
A.幂函数y=x-1是奇函数
B.幂函数y=x2是偶函数
C.幂函数y=x既是奇函数又是偶函数
D.y=既不是奇函数,又不是偶函数
【解析】选C.因为x-1=,=-,所以A正确;
(-x)2=x2,所以B正确;-x=x不恒成立,所以C不正确;
y=定义域为[0,+∞),不关于原点对称,所以D正确.
3.给出幂函数:①f(x)=x;②f(x)=x2;③f(x)=x3;④f(x)=;⑤f(x)=.
其中满足条件
f>(x1>x2>0)的函数的个数是
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选A.①函数f(x)=x的图象是一条直线,故当x1>x2>0时,
f=;
②函数f(x)=x2的图象是凹形曲线,故当x1>x2>0时,f<;
③在第一象限,函数f(x)=x3的图象是凹形曲线,故当x1>x2>0时,
f<;
④函数f(x)=的图象是凸形曲线,故当x1>x2>0时,f>;
⑤在第一象限,函数f(x)=的图象是一条凹形曲线,故当x1>x2>0时,
f<.
故仅有函数f(x)=满足当x1>x2>0时,
f>.
4.(多选题)下列函数中,其定义域和值域相同的函数是
( )
A.y=
B.y=
C.y=
D.y=
【解析】选A、B、C.A中y==,定义域、值域都为R;B中y==定义域与值域都为(0,+∞);C中y=的定义域、值域也为R;D中y==定义域为R,而值域为[0,+∞).
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,且在(0,+∞)上单调递减,则实数m=________.?
【解析】在幂函数f(x)=(m2-m-1)中,
令m2-m-1=1,得m2-m-2=0,
解得m=2或m=-1;
当m=2时,m2-2m-2=-2,函数f(x)=x-2,
在(0,+∞)上单调递减,满足题意;
当m=-1时,m2-2m-2=1,函数f(x)=x,
在(0,+∞)上单调递增,不满足题意;所以实数m=2.
答案:2
6.已知函数f(x)=-(x>0),则满足f(3-n)>0的n的取值范围是__________.?
【解析】函数g(x)=在(0,+∞)上单调递减,函数t(x)=-在(0,+∞)上单调递减,所以函数f(x)=g(x)+t(x)=-在(0,+∞)上单调递减.又f(1)=0,所以满足f(3-n)>0的n的取值范围是0<3-n<1,即2答案:(2,3)
三、解答题
7.(10分)已知幂函数f(x)=
(m∈N
)经过点(2,),试确定m的值,并求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围.
【解析】因为幂函数f(x)经过点(2,),
所以=,即=.
所以m2+m=2.解得m=1或m=-2.
又因为m∈N
,所以m=1.
所以f(x)=,则函数的定义域为[0,+∞),
并且在定义域上为增函数.由f(2-a)>f(a-1),
得解得1≤a<.
所以a的取值范围为.
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