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6.2
二元一次方程组的解法
第六章
二元一次方程组
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第1课时
代入消元法解未知数系数含1或
-1的方程组
学习目标
1.理解代入消元法的概念，初步体会解二元一次方程组的基本思想——“消元”.（重点）
2.会用代入消元法解未知数系数含1或-1的方程组.
(难点）
导入新课
视频引入
思考：视频中的问题你知道怎么解吗？
《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣,其中下卷第31题”雉兔同笼”流传尤为广泛,飘洋过海流传到了日本等国.
问题来源
“鸡兔同笼”题为:
今有鸡兔同笼,
上有三十五头,
下有九十四足,
问鸡兔各几何?
“上有三十五头”的意思是什么?
“下有九十四足”的意思是什么?
你能算出鸡兔各几只吗？
讲授新课
用代入法解未知数系数含1或-1的二元一次方程组
一
互动探究
问题1：你能用一元一次方程解决鸡兔同笼的问题吗？
解：设鸡有x只，则兔有_________只.根据题意列方程，得
2x+4(35-x)=94.
(35-x)
解这个一元一次方程，得
x=23.
从而，得
35-x=12.
即鸡有23只，兔子有12只.
问题2：如何利用二元一次方程组解决鸡兔同笼问题？
解：设鸡有x只，兔子有y只.依题意，可列方程组
①
②
由①，得
y=35-x.
③
将
③代入②中，得
2x+4(35-x)=94.
④
①
②
y=35-x
变形
代入
2x+4(35-x)=94
想一想：由方程组
是怎样得出方程
④的？
从中你体会到怎样解二元一次方程组吗？
求解
x=23
代入
求解
y=12
问题3：一个苹果和一个梨的质量合计200g,这个苹果的质量加上一个10g的砝码恰好与这个梨的质量相等,问苹果和梨的质量各是多少g？
+
＝200
x
y
＝
+
10
x
y
+10
+
＝200
x
x
x
+
y
=
200
y
=
x
+
10
(x+10)
x
+(
x
+10)
=
200
①
②
x
=
95
y
=
105
∴方程组
的解是
y
=
x
+
10
x
+
y
=
200
x
=
95，
y
=105.
求方程组解的过程叫做解方程组
将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想，叫做消元思想.
转化
要点归纳
解二元一次方程组的基本思路“消元”
二元一次方程组
一元一次方程
消元
转化
用“代入”的方法进行“消元”，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.
代入法是解二元一次方程组常用的方法之一.
典例精析
例1
求二元一次方程组
的解.
①
②
解：将
①代入②中，得
x+2(x-6)=9.
解这个一元一次方程，得
x=7.
将x=7代入①中，得
y=1.
所以，原方程组的解为
当方程组中有一个方程为y=ax+b的形式，则直接将该方程代入到第二个方程中进行消元.
练一练
解二元一次方程组
①
②
解：方程①可变形为
x=10-y.
③
将③代入②中，得
10-y-2y=4.
解这个方程，得
y=2.
将y=2代入③中，得
x=8.
所以原方程组的解为
你还有其他的解题方法吗？
解二元一次方程组
①
②
解：方程①可变形为
y=10-x.
③
将③代入②中，得
x-2(10-x)=4.
解这个方程，得
x=8.
将x=8代入③中，得
y=2.
所以原方程组的解为
方法一：
解：方程②可变形为
x=4+2y.
③
将③代入①中，得
4+2y+y=10.
解这个方程，得
y=2.
将y=2代入①中，得
x=8.
所以原方程组的解为
方法二：
解二元一次方程组
①
②
方法归纳
用代入消元法解二元一次方程组的过程中，尽可能的选择方程中未知数的系数为±1的方程变形.
x
－
y
=
3
,
3
x
－
8
y
=
14.
转化
代入
求解
回代
写解
①
②
所以这个方程组的解是
x
=
2，
y
=－1.
把y=－1代入③,得
x=2.
把③代入②,得
3(y+3)－8y=14.
解：由①,得
x
=
y
+
3
.③
注意：检验方程组的解
例2
解方程组
解这个方程,得
y=－1.
思考：把③
代入①可以吗？
解：由①得：y
=
8－x.
③
将③代入②得：
5x+3(8－x)=34.
解得：x
=
5.
把x
=
5代入③得：y
=
3.
所以原方程组的解为：
x+y=8①
5x+3y=34②
解二元一次方程组：
练一练
观察上面的方程和方程组，你能发现二者之间的联系吗？请你尝试求得方程组的解。（先试着独立完成，然后与你的同伴交流做法）
1．为什么能替换？
代表了同一个量
二元一次方程组
一元一次方程
消元
2．代入前后的方程组发生了怎样的变化?（代入的作用）
化归思想
代入
做一做
若方程5x
2m+n
+
4y
3m-2n
=
9是关于x、y的二元一次方程，求m
、n
的值.
解：
根据已知条件可列方程组：
2m
+
n
=
1
3m
–
2n
=
1
①
②
由①得
把③代入②得：
n
=
1
–2m
③
3m
–
2（1
–
2m）=
1
把m
代入③，得：
若方程5x
2m+n
+
4y
3m-2n
=
9是关于x,y的二元一次方程，求m
,n
的值.
试一试
解：根据已知条件，由二元一次方程的定义，可列方程组
①
②
方程①可变形为
n=1-2m.
③
将③代入②中，得
3m-2(1-2m)
=1.
解得
将
代入③中，解得
方法归纳
根据二元一次方程的概念，含未知数的项的次数为1，列出二元一次方程组，从而求出未知数的值.
当堂练习
由①直接代入②
1.下列各方程组中，应怎样代入消元？
由①得y=7x
–11
③
将③代入②
x=4y-1
①
3x
+y=10
②
7x-y=11
①
5x
+2y=0
②
小技巧：
用代入法时，往往对方程组中系数为1或-1的未知数所在的方程进行变形代入.
2.解方程组
2y-x=3，
①
x=y+1；
②
(1)
解：(1)将②直接代入①中，得
2y-(y+1)=3,
解得
y=4.
将y=4代入②中，得
x=5.
所以原方程组的解为
2x-y=5
，
①
4x+3y=15.
②
(2)
(2)方程①可变形为
y=2x-5.③
将③代入②中，得
4x+3(2x-5)=15,
解得
x=3.
将x=3代入③中，得
y=1.
所以原方程组的解为
3.已知
和
是方程ax+by=15的两个解，求a，b的值.
解：将
和
分别代入方程ax+by=15中，得
解这个方程组，得
4.某校组织活动，共有100人参加，要把参加活动的人分成两组，已知第一组人数比第二组人数的2倍少8人，问这两组人数各是多少？
解：设第一组有x人，第二组有y人，
根据题意，可列方程组
解这个方程组，得
答：第一组有64人，第二组有36人.
课堂小结
二元一次方程组
一元一次方程
转
化
代入
消元法
选择方程中未知数系数为±1的方程进行变形.
