课时素养评价十七 对数的运算性质
(15分钟 30分)
1.化简2lg
5+lg
4-的结果为
( )
A.0
B.2
C.4
D.6
【解析】选A.原式=2lg
5+2lg
2-2
=2(lg
5+lg
2)-2=0.
2.+等于
( )
A.lg
3
B.-lg
3
C.
D.-
【解析】选C.原式=lo+lo
=log94+log35=log32+log35=log310=.
3.(2020·新乡高一检测)设a=lg
6,b=lg
20,则log23=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.因为a=lg
6=lg
2+lg
3,b=lg
20=1+lg
2,所以log23==.
4.计算:2-1+lg
100-ln=________.?
【解析】原式=+2-=2.
答案:2
5.已知3a=5b=c,且+=2,求c的值.
【解析】因为3a=5b=c,所以a=log3c,b=log5c,c>0,
所以=logc3,=logc5,所以+=logc15.
由logc15=2得c2=15,即c=(负值舍去).
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.设函数f(x)=logax(a>0,a≠1),若f(x1x2…x2
020)=4,则f()+f()+…+f()的值等于
( )
A.4
B.8
C.16
D.2log48
【解析】选B.因为函数f(x)=logax(a>0,a≠1),f(x1x2…x2
020)=4,
所以f(x1x2…x2
020)=loga(x1x2…x2
020)=4,
所以f()+f()+…+f()
=loga(××…×)
=loga(x1x2…x2
020)2=2loga(x1x2…x2
020)=2×4=8.
2.若lg
a,lg
b是方程2x2-4x+1=0的两个根,则的值等于
( )
A.2
B.
C.4
D.
【解析】选A.由根与系数的关系,得lg
a+lg
b=2,lg
a·lg
b=,所以=
(lg
a-lg
b)2=(lg
a+lg
b)2-4lg
a·lg
b=22-4×=2.
3.(2019·北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为
( )
A.1010.1
B.10.1
C.lg
10.1
D.10-10.1
【解析】选A.令m1=-26.7,m2=-1.45,
则m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25
=lg,
所以lg=10.1,则=1010.1.
4.(多选题)(2020·滨州高一检测)已知a,b均为正实数,若logab+logba=,ab=ba,则可以取的值有
( )
A.
B.
C.
D.2
【解析】选AD.令t=logab,则t+=,
所以2t2-5t+2=0,(2t-1)(t-2)=0,
所以t=或t=2,所以logab=或logab=2.
所以a=b2或a2=b.
又因为ab=ba,所以2b=a=b2或b=2a=a2.
所以b=2,a=4或a=2,b=4.
所以=2或=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(lg
5)2-(lg
2)2+lg
4=________.?
【解析】原式=(lg
5+lg
2)(lg
5-lg
2)+lg
4
=lg
5-lg
2+2lg
2=lg
5+lg
2=1.
答案:1
6.已知lg
a+b=3,ab=100,则alg
2·b=________.?
【解析】lg
a+b=3,a=103-b,
又因为ab=100,所以10(3-b)b=100,b(3-b)=2,
所以b=1或2,a=100或10,
所以alg
2·b=102lg
2·1=4或alg
2·b=10lg
2·2=2×2=4.
答案:4
三、解答题
7.(10分)(2020·漳州高一检测)计算下列各式:
(1)(log32+log92)(log43+log83)+;
(2)2lg
5+lg
8+lg
5·lg
20+lg22.
【解析】(1)(log32+log92)(log43+log83)+
=+5
=···+5
=×+5=.
(2)2lg
5+lg
8+lg
5·lg
20+lg22
=2lg
5+lg
23+lg
5·lg(4×5)+lg22
=2lg
5+2lg
2+2lg
5·lg
2+lg25+lg22
=2(lg
5+lg
2)+2lg
5·lg
2+lg25+lg22
=2+(lg
5+lg
2)2=2+1=3.
【补偿训练】
计算:(1)log535-2log5+log57-log51.8;
(2)log2+log212-log242-1.
【解析】(1)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log5=
log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+log55=2.
(2)原式=log2+log212-log2-log22
=log2=log2=log2
=-.
PAGE课时素养评价十六 对数的概念
(15分钟 30分)
1.已知log7[log3(log2x)]=0,那么等于
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由条件知,log3(log2x)=1,
所以log2x=3,所以x=8,所以=.
【补偿训练】
若对数式log(t-2)3有意义,则实数t的取值范围是
( )
A.[2,+∞)
B.(2,3)∪(3,+∞)
C.(-∞,2)
D.(2,+∞)
【解析】选B.要使对数式log(t-2)3有意义,
需,解得t>2且t≠3,
所以实数t的取值范围是(2,3)∪(3,+∞).
2.16、17世纪之交,随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展,改进数字计算方法成了当务之急,数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为简化计算发明了对数.直到18世纪,才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系,即ab=N?b=logaN.现在已知a=log23,则2a=________.?
【解析】由a=log23,化对数式为指数式可得2a=3.
答案:3
3.e0++=________.?
【解析】原式=1+2+8=11.
答案:11
4.已知log62=a,6b=12,则a2+b(1-a)的值为______.?
【解析】由log62=a,则6a=2,
又6b=12,所以b=a+1,
所以a2+b(1-a)=a2+(1+a)(1-a)=1.
答案:1
5.(1)将log232=5化成指数式.
(2)将3-3=化成对数式.
(3)log4x=-,求x.
(4)已知log2(log3x)=1,求x.
【解析】(1)因为log232=5,所以25=32.
(2)因为3-3=,所以log3=-3.
(3)因为log4x=-,所以x===2-3=.
(4)因为log2(log3x)=1,所以log3x=2,即x=32=9.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.设f(log2x)=2x(x>0),则f(2)的值是
( )
A.128
B.16
C.8
D.256
【解析】选B.由题意,令log2x=2,解得x=4,
则f(log2x)=2x=24=16.
2.(2020·西安高一检测)已知2×9x-28=,则x=
( )
A.log37-log32
B.lo4
C.log34
D.log37
【解析】选C.2×9x-28=,
所以2×(3x)2-28-3x=0,
即(3x-4)(2·3x+7)=0,
解得3x=4,则x=log34.
3.已知x2+y2-4x-2y+5=0,则logx(yx)的值是
( )
A.1
B.0
C.x
D.y
【解题指南】先对方程配方,求出x,y后再利用对数性质求值.
【解析】选B.由x2+y2-4x-2y+5=0,
则(x-2)2+(y-1)2=0,所以x=2,y=1,
所以logx(yx)=log2(12)=0.
【补偿训练】
若10α=2,β=lg
3,则=
( )
A.
B.
C.1
D.
【解析】选D.因为β=lg
3,所以10β=3.
所以====.
4.(多选题)下列各式正确的有
( )
A.lg(lg
10)=0
B.lg(ln
e)=0
C.若10=lg
x,则x=10
D.若log25x=,则x=±5.
【解析】选AB.对于A,因为lg(lg
10)=lg
1=0,所以A对;
对于B,因为lg(ln
e)=lg
1=0,所以B对;
对于C,因为10=lg
x,所以x=1010,C错;
对于D,因为log25x=,所以x=2=5.
所以只有AB正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.若loga2=m,loga3=n,其中a>0,且a≠1,则am+n=________.?
【解析】loga2=m,可得am=2.
loga3=n,an=3.am+n=aman=2×3=6.
答案:6
6.(2020·绍兴高一检测)已知方程loga(5x-3x)=x(其中a>0,a≠1),若x=2是方程的解,则a=________;当a=2时,方程的解x=________.?
【解析】因为x=2是方程的解,所以loga(52-32)=2.
所以a2=16,且a>0,所以a=4.
当a=2时,log2(5x-3x)=x.
所以5x-3x=2x,显然x=1是方程的解.
答案:4 1
【补偿训练】
方程log3(9x-4)=x+1的解x=________.?
【解析】因为log3(9x-4)=x+1,所以9x-4=3x+1,
所以(3x)2-3·3x-4=0,
所以3x=4,x=log34,或3x=-1(舍).
答案:log34
三、解答题
7.(10分)若lox=m,loy=m+2,求的值.
【解析】因为lox=m,所以=x,x2=.
因为loy=m+2,所以=y,y=,所以====16.
【补偿训练】
已知logab=logba(a>0,a≠1;b>0,b≠1),求证:a=b或a=.
【证明】令logab=logba=t,则at=b,bt=a,
所以=a则=a,所以t2=1,t=±1,
当t=1时,a=b;当t=-1时,a=.
所以a=b或a=.
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课时素养评价
十五 指 数
(15分钟 30分)
1.(2020·惠州高一检测)已知a>0,则=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.===.
2.已知=4,则x等于
( )
A.±
B.±8
C.
D.±2
【解析】选A.由=4,得=4,即=,
所以x2=,得x=±.
3.计算:++(2
019)0=
( )
A.6
B.7
C.8
D.
【解析】选B.++(2
019)0=2++1=2+22+1=7.
4.用分数指数幂表示=________.?
【解析】===-.
答案:-
5.计算下列各式:
(1)-(-9.6)0-+;
(2)b-2(-3b-1)÷(4b-3.
【解析】(1)原式=-1-+=-1=.
(2)原式=-×3·b-3÷(2)
=-.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.化简(其中a>0,b>0)的结果是
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选C.===.
2.计算(-2)2
019·(+2)2
020=
( )
A.+2
B.-2
C.--2
D.-+2
【解析】选C.原式=[(-2)(+2)]2
019·(+2)=(-1)2
019·(+2)=--2.
3.化简·的结果是
( )
A.
B.-
C.
D.-
【解析】选B.由题意可知a≤0,则·=(-a·=-(-a·(-a
=-(-a=-=-.
【补偿训练】
化简的结果是
( )
A.-
B.
C.-
D.
【解析】选A.由题意知,解得x<0,
所以==
===-.
【误区警示】本题容易忽视x的范围,式子隐含x<0.
4.(多选题)在下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是
( )
A.(-x)0.5=-(x≠0)
B.=
C.=(xy>0)
D.=-
【解析】选BC.对于A,(-x)0.5和-必有一个无意义,错误;
对于B,==,正确;
对于C,因为xy>0,
则==,正确;
对于D,==,错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.计算:0.06-+1+0.2=________.?
【解析】原式=-1+8+=-1+8+=10.
答案:10
6.(2020·海安高一检测)已知x+x-1=3,则+的值为__________.?
【解析】由题意得,=x+2+x-1=5,
所以+=,
所以+=(+)(x-1+x-1)
=(3-1)=2.
答案:2
三、解答题
7.(10分)化简y=+,并画出简图,写出最小值.
【解析】y=+
=|2x+1|+|2x-3|=
其图象如图所示.
由图易知函数的最小值为4.
【补偿训练】
已知a1,且n∈N
,化简+.
【解析】因为a当n是奇数时,原式=(a-b)+(a+b)=2a;
当n是偶数时,原式=|a-b|+|a+b|
=(b-a)+(-a-b)=-2a.
所以+
=
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