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课时素养评价
十四 从函数观点看一元二次不等式
(15分钟 30分)
1.下列四个不等式中解集为R的是
( )
A.-x2+x+1≥0
B.x2-2x+>0
C.2x2+3x-4<0
D.x2+6x+10>0
【解析】选D.对于D项,不等式可化为>-1,所以x2+6x+10>0的解集为R,其他不等式相应的方程的判别式均大于0,故解集不为R.
2.关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.原不等式等价于(x+2a)(x-4a)<0,a>0,
所以不等式的解集为(-2a,4a),
所以x2-x1=4a-(-2a)=15,解得a=.
3.若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3
000
+20x-0.1x2(0
( )
A.100台
B.120台
C.150台
D.180台
【解析】选C.y-25x=-0.1x2-5x+3
000≤0,
即x2+50x-30
000≥0,
解得x≥150或x≤-200(舍去).
故生产者不亏本的最低产量是150台.
4.若二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的两个交点为(-1,0)和(3,0),则不等式ax2+bx+c<0的解集是________.?
【解析】根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞).
答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)
5.若不等式x2-4x+3m<0的解集为空集,则实数m的取值范围是________.?
【解析】由题意,知x2-4x+3m≥0对一切实数x恒成立,所以Δ=(-4)2-4×3m≤0,解得m≥.
答案:
6.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300
m2的内接矩形花园(阴影部分),求矩形花园一边长x(单位:m)的取值范围.
【解析】矩形的一边长为x
m,设另一边长为y
m,
则由三角形相似知=,所以y=40-x.
因为xy≥300,所以x(40-x)≥300,
所以x2-40x+300≤0,
所以10≤x≤30.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为
( )
A.(0,2)
B.(-2,1)
C.(-∞,-2)∪(1,+∞)
D.(-1,2)
【解题指南】先利用☉运算的法则变形,再解不等式.
【解析】选B.由a☉b=ab+2a+b,得x☉(x-2)=x(x-2)+2x+x-2=x2+x-2<0,所以-22.若不等式ax2-x-c>0的解集为(-2,1),则函数y=ax2-x-c的图象为
( )
【解析】选B.因为不等式的解集为(-2,1),所以a<0,排除C、D,又与x轴交点的横坐标为-2,1,所以排除A.
3.若不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.[-1,4]
B.(-∞,-2]∪[5,+∞)
C.(-∞,-1]∪[4,+∞)
D.[-2,5]
【解析】选A.x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,所以x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4,解得-1≤a≤4.
【补偿训练】
函数y=对一切x∈R恒成立,则实数m的取值范围是( )
A.m>2
B.m<2
C.m<0或m>2
D.0≤m≤2
【解析】选D.由题意知x2+mx+≥0对一切x∈R恒成立,所以Δ=m2-2m≤0,所以0≤m≤2.
4.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10
000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选B.由题意,设本年度年利润为y,则
y=[(1+0.75x)×12-(1+x)×10]×(1+0.6x)×10
000=-6
000x2+2
000x+20
000,
即y=-6
000x2+2
000x+20
000(0上年度利润为(12-10)×10
000=20
000.
所以y-20
000>0,即-6
000x2+2
000x>0,
所以0二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.下面所给关于x的不等式,其中一定为一元二次不等式的是
( )
A.3x+4<0
B.x2+mx-1>0
C.ax2+4x-7>0
D.x2<0
【解析】选BD.根据一元二次不等式的定义以及特征可判定A一定不是,C不一定是,B,D一定是.
6.下列结论错误的是
( )
A.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R
B.不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0
C.若关于x的不等式ax2+x-1≤0的解集为R,则a≤-
D.不等式>1的解为x<1
【解析】选ABD.A选项中,只有a>0时才成立;B选项当a=b=0,c≤0时也成立;D选项应为0三、填空题(每小题5分,共10分)
7.某地每年销售木材约20万立方米,每立方米价格为2
400元.为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样每年的木材销售量减少t万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元,则t的取值范围是________.?
【解析】设按销售收入的t%征收木材税时,税金收入为y万元,
则y=2
400×t%=60(8t-t2).
令y≥900,即60(8t-t2)≥900,解得3≤t≤5.
答案:[3,5]
8.已知关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),则=________,关于x的不等式>0的解集是________.?
【解析】依题意,a>0且-=1,所以=-1;不等式>0可变形为(ax-b)(x-2)>0,即(x-2)>0,所以(x+1)(x-2)>0,故x>2或x<-1.
答案:-1 {x|x<-1或x>2}
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a,b的值;
(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
【解析】(1)
因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>1且a>0.
由根与系数的关系,得解得
(2)由(1)知不等式ax2-(ac+b)x+bc<0可化为x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.
当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|210.某城市上年度电价为0.80元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降到0.55元/千瓦时～0.75元/千瓦时,而用户期望电价为0.40元/千瓦时(该市电力成本价为0.30元/千瓦时).
经测算,下调电价后,该城市新增用电量与实际电价和用户期望电价之差成反比,比例系数为0.2a.试问当地电价最低为多少时,可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%?
【解析】设新电价为x元/千瓦时(0.55≤x≤0.75),则新增用电量为千瓦时.依题意,有(a+)(x-0.3)≥a(0.8-0.3)(1+20%),即(x-0.2)(x-0.3)≥0.6(x-0.4),整理得x2-1.1x+0.3≥0,解此不等式,得x≥0.6或x≤0.5,
又0.55≤x≤0.75,
所以0.6≤x≤0.75,因此xmin=0.6,即电价最低为0.6元/千瓦时,可保证电力部门的收益比上年度至少增加20%.
1.对于实数x,当且仅当n≤x)时,[x]=n,则关于x的不等式4[x]2-36[x]+45<0的解集为________.?
【解析】由4[x]2-36[x]+45<0,得<[x]<,又当且仅当n≤x)时,[x]=n,所以[x]=2,3,4,5,6,7,所以所求不等式的解集为[2,8).
答案:[2,8)
2.当0≤x≤2时不等式(2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2恒成立,试求t的取值范围.
【解析】令y=x2-3x+2,0≤x≤2.
则y=x2-3x+2=(x-)2-,所以y在[0,2]上取得最小值为-,最大值为2.
若(2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2在[0,2]上恒成立,则
即
所以或
所以t的取值范围为-1≤t≤1-.
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十三 从函数观点看一元二次方程
(15分钟 30分)
1.函数y=3x2+x-2的零点为
( )
A.1,-
B.-1,
C.2,-
D.-2,
【解析】选B.解方程3x2+x-2=0,得x1=-1,x2=,所以-1,是函数y=3x2+x-2的零点.
【补偿训练】
函数y=x2-x-6的零点为
( )
A.-2,3
B.-3,2
C.2,3
D.-2,-3
【解析】选A.解方程x2-x-6=0,得x1=-2,x2=3,所以-2,3是函数y=x2-x-6的零点.
2.函数y=5x2+4x-1的零点的个数为
( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.无法确定
【解析】选C.考察方程5x2+4x-1=0,因为Δ=42-4×5×=36>0,所以方程5x2+4x-1=0有两个不相等的实数根,所以二次函数有两个零点.
3.函数y=9x2-12x+4的零点所在的区间为
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.由求根公式可得一元二次方程9x2-12x+4=0的根为x=,所以函数y=9x2-12x+4的零点所在的区间为.
4.若二次函数y=ax2+2x+3(a≠0)没有零点,则实数a的取值范围为________.?
【解析】由题意,方程ax2+2x+3=0(a≠0)没有实数根,所以Δ=4-12a<0,所以a>.
答案:
5.已知函数y=x2+ax+b的图象与x轴分别交于点,,求函数y=x2+bx+a的零点.
【解析】由题意,1,2是函数y=x2+ax+b的零点,
所以x1=1,x2=2是方程x2+ax+b=0的根,所以,所以,所以方程x2+2x-3=0的两个根为x1=1,x2=-3,即函数y=x2+2x-3的零点为1,-3.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向下,与y轴正半轴相交,则函数的零点个数是
( )
A.1
B.2
C.0
D.无法确定
【解析】选B.因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象开口向下,所以a<0,因为图象与y轴正半轴相交,所以c>0,所以a·c<0,所以Δ=b2-4ac>0,所以方程ax2+bx+c=0有两个根,故函数有两个零点.
2.已知二次函数y=x2-4x+a的两个零点都在区间内,则a的取值范围是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.因为函数有两个零点,所以Δ=16-4a>0,解得a<4;又因为二次函数图象开口向上,对称轴为x=2,两个零点都在区间内,所以结合函数的图象知当x=1时的函数值大于0,即a>3;故a的取值范围是.
【补偿训练】
下列函数在区间上存在零点的是
( )
A.y=x2-3x+3
B.y=-2x2+x+1
C.y=ax2-x
D.y=4x2-3
【解析】选D.函数y=x2-3x+3没有零点,函数y=-2x2+x+1的零点为1,-,
函数y=ax2-x的零点为0,,由于01,故A,B,C选项中函数均不存在区间上的零点.函数y=4x2-3的零点为±,其中0<<1.
3.若函数y=ax2+b(a≠0)的零点为,那么函数y=bx2-ax的零点是
( )
A.0,
B.0,-
C.0,2
D.0,-2
【解析】选B.由题意可知2a+b=0,即b=-2a.
所以y=bx2-ax=-2ax2-ax=-ax(2x+1),
因为方程-ax(2x+1)=0的解是x=0或x=-,
所以函数y=bx2-ax的零点是0,-
.
4.(多选题)下列函数存在零点的是
( )
A.y=x2-x+1
B.y=3x2-3x-1
C.
y=x2+ax-2
D.y=x2-4x+4
【解析】选BCD.在A选项中,Δ=2-4<0,函数没有零点;B选项中,Δ=9+12>0,函数有两个零点;C选项中,Δ=a2+8>0,函数有两个零点;D选项中Δ=16-16=0,函数有一个零点.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.若函数f(x)=x2+x-a的一个零点是-3,则实数a的值为________,函数f(x)其余的零点为________.?
【解析】由题意知f(-3)=0,即(-3)2-3-a=0,a=6.所以f(x)=x2+x-6.解方程x2+x-6=0,得x=-3或2.所以函数f(x)其余的零点是2.
答案:6 2
6.函数f(x)=的零点是________.?
【解析】由x2-4=0求出x=±2,但是当x=2时函数无意义,所以函数的零点是-2.
答案:-2
【误区警示】本题易认为函数的零点有两个,即由x2-4=0求出x=±2.
三、解答题
7.(10分)若函数y=x2-(k+2)x+1-3k有两个零点x1,x2,且0【解析】因为函数y=x2-(k+2)x+1-3k有两个零点x1,x2,且0所以函数y=x2-(k+2)x+1-3k的大致图象如图.
据图象有当x=0时函数值大于0,当x=1时函数值小于0,当x=2时函数值大于0,
即1-3k>0,且-4k<0,且1-5k>0,
所以0所以实数k的取值范围为.
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十二 基本不等式的应用
(15分钟 35分)
1.已知a>b>0,全集为R,集合M=xb( )
A.P=M∩(RN)
B.P=(RM)∩N
C.P=M∪N
D.P=M∩N
【解析】选A.由a>b>0结合基本不等式可得,a>>>b,故P=M∩(RN).
2.某工厂第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则
( )
A.x=
B.x≤
C.x>
D.x≥
【解析】选B.由条件知A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,
所以(1+x)2=(1+a)(1+b)≤,
所以1+x≤1+,故x≤.
3.已知a>0,b>0,ab=1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
【解题指南】利用“1”的代换解题.
【解析】选B.因为ab=1,所以m=b+=2b,n=a+=2a,所以m+n=2(a+b)≥4=4.
当且仅当a=b=1时,等号成立.
【补偿训练】
若实数a,b满足+=,则ab的最小值为
( )
A.
B.2
C.2
D.4
【解析】选C.由题意知a>0,b>0,
则+≥2=,
当且仅当=,即b=2a时等号成立.
所以≥,即ab≥2.
4.周长为+1的直角三角形面积的最大值为________.?
【解析】设直角三角形的两条直角边边长分别为a,b,
则+1=a+b+≥2+,
解得ab≤,当且仅当a=b=时取等号,
所以直角三角形面积S≤,即S的最大值为.
答案:
5.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=________.?
【解析】总运费与总存储费用之和
f(x)=4x+×4=4x+≥2=160,
当且仅当4x=,即x=20时取等号.
答案:20
6.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.
证明:
(1)ab+bc+ac≤.
(2)++≥1.
【证明】(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
由题设得(a+b+c)2=1,
即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.
所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.
(2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c.
故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),
即++≥a+b+c.所以++≥1.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.若x,y为正数,且+2y=3,则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选D.由x,y为正数得3=+2y
≥2,所以≤,≤,
当且仅当x=,y=时等号成立.
2.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2
m2,形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝中,选用最合理(够用且浪费最少)的是
( )
A.6.5
m
B.6.8
m
C.7
m
D.7.2
m
【解析】选C.设两直角边分别为a,b,直角三角形框架的周长为l,则ab=2,
所以ab=4,l=a+b+≥2+
=4+2≈6.828(m).
因为要求够用且浪费最少,故应选择7
m长的铁丝.
3.已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值为
( )
A.9
B.12
C.18
D.24
【解析】选B.由+≥
得m≤(a+3b)=++6,
又++6≥2+6=12,当且仅当=,即a=3b时等号成立.所以m≤12,所以m的最大值为12.
【补偿训练】
设a>0,b>0,且不等式++≥0恒成立,则实数k的最小值等于( )
A.0
B.4
C.-4
D.-2
【解析】选C.由++≥0,得k≥,而=++2≥4,
当且仅当a=b时,等号成立,
所以-≤-4,
因此要使k≥-恒成立,应有k≥-4,
即实数k的最小值等于-4.
4.若x,y为正数,则+的最小值是
( )
A.3
B.
C.4
D.
【解析】选C.+
=++≥4,
当且仅当即x=y=时等号成立.
【误区警示】同一题目中多次用基本不等式,必须保证每次用时等号成立的条件相同.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.已知a>0,b>0,a+b=1,对于代数式1+1+,下列说法正确的是
( )
A.最小值为9
B.最大值是9
C.当a=b=时取得最小值
D.当a=b=时取得最大值
【解析】选AC.
=1+1+=·
=5+2≥5+4=9.
当且仅当a=b=时,取等号.
6.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+80
000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.以下判断正确的是
( )
A.该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低
B.该单位每月最低可获利20
000元
C.该单位每月不获利,也不亏损
D.每月需要国家至少补贴40
000元才能使该单位不亏损
【解析】选AD.由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为=x+-200
≥2-200=200,
当且仅当x=,即x=400时等号成立,
故该单位月处理量为400吨时,
才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元.
设该单位每月获利为S元,
则S=100x-y=100x-
=-x2+300x-80
000
=-(x-300)2-35
000,
因为x∈[400,600],
所以S∈[-80
000,-40
000].
故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40
000元才能不亏损.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.在4×□+9×□=60的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数和最小,应分别填上________和________.?
【解析】设两数分别为x,y,即4x+9y=60,
+=
=≥×(13+12)=,
当且仅当=,且4x+9y=60,即x=6且y=4时,等号成立,故应分别填上6,4.
答案:6 4
【补偿训练】
设x,y均为正数,且xy+x-y-10=0,则x+y的最小值是________.?
【解析】由xy+x-y-10=0,
得x==+1,
所以x+y=+1+y≥2=6,
当且仅当=1+y,即y=2时,等号成立.
答案:6
8.为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C(单位:mg·L-1)随时间t(单位:h)的变化关系为C=,则经过________h后池水中该药品的浓度达到最大.?
【解析】C==.
因为t>0,所以t+≥2=4当且仅当t=,即t=2时,等号成立.
所以C=≤=5,
即当t=2时,C取得最大值.
答案:2
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求:
(1)xy的最小值.
(2)x+y的最小值.
【解析】(1)由2x+8y-xy=0,得+=1,
又x>0,y>0,则1=+≥2=,得xy≥64,
当且仅当x=16,y=4时,等号成立.
所以xy的最小值为64.
(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,
则x+y=·(x+y)=10++≥
10+2=18.
当且仅当x=12且y=6时等号成立,
所以x+y的最小值为18.
10.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油升,司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式.
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.
【解析】(1)设所用时间为t=(h),
y=×2×+14×,x∈[50,100].
所以,这次行车总费用y关于x的表达式是
y=+x,x∈[50,100].
(或y=+x,x∈[50,100]).
(2)y=+x≥26,
当且仅当=x,
即x=18时,等号成立.
故当x=18时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为26元.
1.已知正实数a,b,c满足a2-2ab+9b2-c=0,则当取得最大值时,+-的最大值为________.?
【解析】正实数a,b,c满足a2-2ab+9b2-c=0,
得===≤,
当且仅当=,即a=3b时,取最大值.
又因为a2-2ab+9b2-c=0,所以此时c=12b2,
所以+-=+-
=≤=1.
当且仅当a=3,b=1时,等号成立.
故最大值为1.
答案:1
【补偿训练】
设a>b>c>0,则2a2++-10ac+25c2的最小值是
( )
A.2
B.4
C.2
D.5
【解析】选B.2a2++-10ac+25c2
=(a-5c)2+a2-ab+ab++
=(a-5c)2+ab++a(a-b)+
≥0+2+2=4,
当且仅当a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1时,等号成立,
如取a=,b=,c=时满足条件.
2.我们学习了二元基本不等式:设a>0,b>0,≥,当且仅当a=b时,等号成立,利用基本不等式可以证明不等式,也可以利用“和定积最大,积定和最小”求最值.
(1)对于三元基本不等式请猜想:设a>0,b>0,c>0,≥________,当且仅当a=b=c时,等号成立(把横线补全).?
(2)利用(1)猜想的三元基本不等式证明:
设a>0,b>0,c>0,求证:(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc.
(3)利用(1)猜想的三元基本不等式求最值:
设a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,求(1-a)(1-b)(1-c)的最大值.
【解析】(1)对于三元基本不等式猜想:设a>0,b>0,c>0,≥,当且仅当a=b=c时,等号成立.
答案:
(2)因为a>0,b>0,c>0,
又因为a+b+c≥3>0,
a2+b2+c2≥3>0,
所以(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9=9abc,
当且仅当a=b=c时,等号成立.
即(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc,
(3)因为a>0,b>0,c>0,≥,
所以abc≤,
又因为a+b+c=1,
0<1-a<1,0<1-b<1,0<1-c<1,
所以(1-a)(1-b)(1-c)≤=,
当且仅当a=b=c=时,等号成立.
所以(1-a)(1-b)(1-c)的最大值为.
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PAGE课时素养评价十一 基本不等式的证明
(15分钟 35分)
1.已知a+2b=2(a>0,b>0),则ab的最大值为
( )
A.
B.2
C.3
D.
【解析】选A.因为a>0,b>0,所以a+2b≥2,所以2≤2,所以ab≤,当且仅当a=1,b=时,等号成立.
2.不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是
( )
A.x=3
B.x=6
C.x=5
D.x=10
【解析】选C.由基本不等式知等号成立的条件为=x-2,即x=5(x=-1舍去).
3.设非零实数a,b,则“a2+b2≥2ab”是“+≥2”成立的
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.因为a,b∈R时,
都有a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,
即a2+b2≥2ab,而+≥2?ab>0,
所以“a2+b2≥2ab”是“+≥2”的必要不充分条件.
4.函数y=1-2x-(x<0)的最小值为________.?
【解析】因为x<0,所以y=1-2x-
=1+(-2x)+≥1+2=1+2,
当且仅当x=-时取等号,故y的最小值为1+2.
答案:1+2
5.若0【解析】因为0所以a+b>2,a2+b2>2ab.
所以四个数中最大的应从a+b,a2+b2中选择.
而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1).
又因为0所以a2+b2-(a+b)<0,即a2+b2答案:a+b
6.已知方程ax2-3x+2=0的解为1,b.
(1)求a,b的值.
(2)求(2a+b)x-(x>0)的最小值.
【解题指南】(1)利用一元二次方程根与系数的关系求a,b.(2)利用基本不等式求最小值.
【解析】(1)由题意知:
解得a=1,b=2.
(2)由(1)知a=1,b=2,
所以(2a+b)x-=4x+,
而x>0时,4x+≥2=2×6=12.
当且仅当4x=,即x=时取等号.
所以(2a+b)x-(x>0)的最小值为12.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a( )
A.aB.v=
C.D.v=
【解题指南】先写出全程的平均时速为v的表达式,再利用基本不等式与作差法比较即可.
【解析】选A.设甲、乙两地相距s,
则小王用时为+,因为a所以v==<=.
又v-a=-a=>=0,
所以v>a.
2.已知当x=a时,代数式x-4+(x>-1)取得最小值b,则a+b=
( )
A.-3
B.2
C.3
D.8
【解析】选C.
令y=x-4+=x+1+-5,由x>-1,得x+1>0,>0,
所以由基本不等式得y=x+1+-5≥2-5=1,
当且仅当x+1=,即(x+1)2=9,即x+1=3,即x=2时取等号,所以a=2,b=1,a+b=3.
3.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为
( )
A.2
B.4
C.9
D.16
【解析】选B.(x+y)=1+a++≥1+a+2=(1+)2.
当且仅当=时取等号.
所以(1+)2≥9,所以a≥4.
4.如图所示,4个长为a,宽为b的长方形,拼成一个正方形ABCD,中间围成一个小正方形A1B1C1D1,则以下说法中错误的是
( )
A.(a+b)2≥4ab
B.当a=b时,A1,B1,C1,D1四点重合
C.(a-b)2≤4ab
D.(a+b)2>(a-b)2
【解析】选C.由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和,即有(a+b)2≥4ab;正方形A1B1C1D1的面积为(a-b)2,结合图形可知(a+b)2>(a-b)2,且当a=b时A1,B1,C1,D1四点重合,但是正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定.因此C选项错误.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.设a,b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有
( )
A.ab>1
B.ab<1
C.<1
D.>1
【解析】选BD.因为ab≤,a≠b,
所以ab<1,
又1==<,
所以>1,所以ab<1<.
6.下列推导过程,正确的为
( )
A.因为a,b为正实数,所以+≥2=2
B.因为x∈R,所以>1
C.a<0,所以+a≥2=4
D.因为x,y∈R,xy<0,所以+=-+≤-2=-2
【解析】选AD.因为a,b为正实数,所以,为正实数,符合基本不等式的条件,故A正确;
当x=0时,有=1,故B不正确;当a<0时,+a≥2=4是错误的,C不正确;由xy<0,得,均为负数,但在推导过程中将整体+提出负号后,,均变为正数,符合基本不等式的条件,且计算正确,D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知t>0,则函数y=的最小值为________.?
【解析】因为t>0,所以y==t+-4≥2-4=-2,且在t=1时取等号.
答案:-2
8.规定记号“☉”表示一种运算,即a☉b=+a+b(a,b为正实数).若1☉k=3,则k的值为________,此时的最小值为________.?
【解析】1☉k=+1+k=3,即k+-2=0,
所以=1或=-2(舍),所以k=1.
==1++≥1+2=3,
当且仅当=,即x=1时等号成立.
答案:1 3
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.求t=x+的取值范围.
【解析】当x>0时,x+≥2=2,
当且仅当x=,即x=1时,“=”成立,
所以x+≥2.
当x<0时,x+=-≤-2=-2,当且仅当-x=,
即x=-1时,“=”成立.
所以x+≤-2.
故t=x+的取值范围为{t|t≤-2或t≥2}.
10.已知a>b>c,求证:(a-c)≥4.
【证明】因为a-c=(a-b)+(b-c),
所以[(a-b)+(b-c)]
=2++,
又a>b>c,所以+≥2,
故(a-c)≥4,
当且仅当=时,取“=”.
1.已知a>0,b>0,则++2的最小值是
( )
A.2
B.2
C.4
D.5
【解析】选C.++2≥2+2≥
4=4.当
即a=b=1时,等号成立,
因此++2的最小值为4.
2.已知x1·x2·…·x2
020=1,且x1,x2,…,x2
020都是正数,求(1+x1)(1+x2)…(1+x2
020)的最小值.
【解析】因为x1·x2·…·x2
020=1,且x1,x2,…,x2
020都是正数,
所以(1+x1)(1+x2)…(1+x2
020)≥2·2·…·2
=22
020·=22
020.
当且仅当x1=x2=…=x2
020=1时,取“=”.
故所求最小值为22
020.
PAGE课时素养评价十 不等式的基本性质
(15分钟 30分)
1.下列选项不正确的是
( )
A.
若aB.
若a-3≥0,则a≥3
C.<
D.x2+y2+1>2
【解析】选C.
由两个实数大小比较的基本事实以及不等式的基本性质知,
A,B正确,
-=1>0,
所以>,所以C不正确;
x2+y2+1-2=++1>0,
所以x2+y2+1>2,D正确.
2.设a>1>b>-1,则下列不等式中恒成立的是
( )
A.a>b2
B.>
C.<
D.a2>2b
【解析】选A.对于A,因为-11,所以a>b2,故A正确;对于B,若a=2,b=,此时满足a>1>b>-1,但<,故B错误;对于C,若a=2,b=-,此时满足a>1>b>-1,但>,故C错误;对于D,若a=,b=,此时满足a>1>b>-1,但a2<2b,故D错误.
3.不等式≥+1的解集是
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选C.不等式两边同乘以4得,x≥4x+2,两边同加上-4x得-3x≥2,两边同乘以-得x≤-.
4.已知a>b>0,c”或“<”)
【解析】因为c-d>0,
因为a>b>0,所以a-c>b-d>0,
所以0<<,
又因为e<0,所以>.
答案:>
5.世纪公园的票价是:每人5元;一次购票满30张,每张可少收1元.某班有27人去世纪公园游玩.当班长王小华准备好了零钱到售票处买27张票时,爱动脑筋的李敏喊住了王小华,提议买30张票.但有的同学不明白,明明我们只有27个人,买30张票,岂不是“浪费”吗?
那么,李敏的提议对不对呢?是不是真的浪费?谈谈你们的看法.
【解析】如买27张票要花27×5=135(元),
如买30张票要花30×(5-1)=120(元),
通过比较,135>120,可以得出结论:27人买30张票不是浪费,
反而还节省15元呢.
李敏的提议非常正确.
同学们,数学无处不在,要好好学习数学!
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.设a,b∈R,当a>b和>同时成立时,a,b必须满足的条件是
( )
A.b-a<0
B.ab<0
C.a>b>0
D.b<0【解析】选D.由-=>0,及b-a<0知ab<0,又a>b,所以b<0【补偿训练】
“>1”的一个充分不必要条件是
( )
A.x>y
B.x>y>0
C.xD.y【解析】选B.当x>y>0时,必有>1,
而>1?>0?x>y>0或x所以x>y>0是>1的充分不必要条件.
2.下列命题中,恒成立的是
( )
A.若a>b,则|a|>|b|
B.x2+2y2+4x+4y>-6
C.若0D.若-1≤α<β≤1,则-<α+β<1
【解析】选C.用排除法.若a=1,b=-2,a>b但|a|<|b|,故A不正确;由x2+2y2+
4x+4y+6=(x+2)2+2(y+1)2≥0,
知B不正确;因为-1≤α<β≤1,所以-1≤α<1,
-<β≤
,所以-<α+β<,D不正确;故选C.
3.已知a>b>c,则++的值
( )
A.为正数
B.为非正数
C.为非负数
D.不确定
【解析】选A.因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>b-c>0,所以>0,>0,
<,所以+>0,所以++>0,所以++的值为正数.
4.(多选题)下列结论正确的是
( )
A.不等式x->5的解集是
B.若xax>a2
C.已知a,b,m是正实数,则当aD.已知m<0,则关于m的不等式m【解析】选BC.解不等式x->5得其解集为,A不正确;因为x2-ax=x(x-a)>0,所以x2>ax,又ax-a2=a(x-a)>0,所以ax>a2,所以x2>ax>a2,所以B正确;因为-=
,当a>0,b>0,m>0,且
a0,a-b<0,所以<0,C正确;根据不等式性质,不等式m二、填空题(每小题5分,共10分)
5.若x∈R,则与的大小关系为________.?
【解析】因为-==≤0.所以≤.
答案:≤
6.某公司有20名技术人员,计划开发A,B两类共50件电子器件,每类每件所需人员和预计产值如下:
产品种类
每件需要人员数
每件产值/万元
A类
7.5
B类
6
今制订计划欲使总产值最高,则应开发A类电子器件________件,能使总产值最高为________万元.?
【解析】设应开发A类电子器件x件,则开发B类电子器件(50-x)件,
则+≤20,解得x≤20.
由题意得总产值:y=7.5x+6=300+1.5x≤330
(万元),
当且仅当x=20
时,y取最大值330.
答案:20 330
三、解答题
7.(10分)已知m∈R,a>b>1,函数y=,试比较x=a与x=b时函数值的大小.
【解析】因为y==m,
所以,当x=a时的函数值为
m,
当x=b时的函数值为m.
由a>b>1,知a-1>b-1>0.
所以<,所以1+<1+.
(1)当m>0时,m(2)当m=0时,m=m;
(3)当m<0时,m>m.
综上所述,当m>0时,x=a时的函数值小于x=b时的函数值;当m=0时,两函数值相等;当m<0时,x=a时的函数值大于x=b时的函数值.
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