课时素养评价九 全称量词命题与存在量词命题的否定
(15分钟 30分)
1.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是
( )
A.所有不能被2整除的整数都是偶数
B.所有能被2整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的整数是偶数
D.存在一个能被2整除的整数不是偶数
【解析】选D.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”是一个全称量词命题,其否定一定是一个存在量词命题,故排除A,B,结合全称量词命题的否定方法,我们易得命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”.
2.(2020·潍坊高一检测)命题“?x∈(0,+∞),x+≥3”的否定是
( )
A.?x∈(0,+∞),x+≤3
B.?x∈(0,+∞),x+<3
C.?x∈(0,+∞),x+<3
D.?x∈(0,+∞),x+≤3
【解析】选C.命题“?x∈(0,+∞),x+≥3”的否定是:否定存在量词和结论,故为:?x∈(0,+∞),x+<3.
3.下列全称量词命题的否定是假命题的个数是
( )
①所有能被3整除的数都能被6整除;
②所有实数的绝对值是正数;
③三角形的外角至少有两个钝角.
A.0
1
2
3
【解析】选B.①该命题的否定:存在能被3整除的数不能被6整除”如3是能被3整除,不能被6整除的数,这是一个真命题;②该命题的否定:?x=0∈R,|0|=0,不是正数,这是一个真命题;③该命题的否定:存在一个三角形,其外角最多有一个钝角,这是一个假命题.
4.(2020·扬州高一检测)命题“?x∈R,x>2”的否定是________.?
【解析】因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以,命题“?x∈R,x>2”的否定是:?x∈R,x≤2.
答案:?x∈R,x≤2
【补偿训练】
命题“?x>-1,x2+x-2
019>0”的否定是________.?
【解析】该命题的否定是“?x>-1,x2+x-2
019≤0”.
答案:?x>-1,x2+x-2
019≤0
5.写出下列命题的否定,并判断真假:
(1)直角相等.
(2)等圆的面积相等,周长相等.
(3)有的三角形为正三角形.
(4)?x>0,x+1>.
【解析】(1)该命题的否定:有些直角不相等.这是一个假命题.
(2)该命题的否定:存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等.这是一个假命题.
(3)该命题的否定:所有的三角形都不是正三角形.这是一个假命题.
(4)该命题的否定:?x>0,使x+1≤.
因为x+1-=+>0,所以?x>0,x+1>是真命题,它的否定是假命题.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.“对于任意a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根”的否定是( )
A.对于任意a≤0,关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根
B.对于任意a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根
C.存在a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至多有三个实数根
D.存在a>0,关于x的方程x3+ax+1=0至少有四个实数根
【解析】选D.全称量词“任意”改为存在量词“存在”,另一方面“至多有三个”的否定是“至少有四个”.
2.已知命题p:?x∈{x|1
( )
A.a<1
B.a>3
C.a≤3
D.a≥3
【解析】选D.p是真命题,所以p是假命题;
所以?x∈{x|1所以当13.命题“?a,b∈R,使方程ax=b都有唯一解”的否定是
( )
A.?a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一
B.?a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一
C.?a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在
D.?a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在
【解析】选D.该命题的否定:?a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在.
【误区警示】解答本题,在否定结论时容易出现考虑不全面而出错的情况.
4.(多选题)(2020·济南高一检测)下列命题正确的是
( )
A.“a>1”是“<1”的充分不必要条件
B.命题“若x<1,则x2<1”的否定是“存在x<1,则x2≥1”
C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件
D.设a,b∈R,则“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件
【解析】选ABD.A正确.“a>1”可推出“<1”,但是当<1时,a有可能是负数,所以“<1”推不出“a>1”,所以“a>1”是“<1”的充分不必要条件;B正确.由全称量词命题的否定方法可知.C.错误.当x=-3,y=3时,x2+y2≥4,但是“x≥2且y≥2”不成立,所以“x2+y2≥4”推不出“x≥2且y≥2”,所以“x≥2且y≥2”不是“x2+y2≥4”的必要条件.
D正确.“a≠0”推不出“ab≠0”,但“ab≠0”可推出“a≠0”,所以“a≠0”是“ab≠0”的必要而不充分条件.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”,用符号表示为________,此命题的否定是______,是______命题(填“真”或“假”).?
【解析】此命题用符号表示为?x,y∈R,x+y>1,
此命题的否定是?x,y∈R,x+y≤1,
原命题为真命题,所以它的否定为假命题.
答案:?x,y∈R,x+y>1 ?x,y∈R,x+y≤1 假
6.命题“对于任意三个正数a,b,c,三个数a+,b+,c+中至少有一个不小于2”的否定是____________.?
【解析】该命题的否定:存在三个正数a,b,c,三个数a+,b+,c+全小于2.
答案:存在三个正数a,b,c,三个数a+,b+,c+全小于2
三、解答题
7.(10分)已知集合A=,集合B=,如果命题“?m∈R,使得A∩B≠”为假命题,求实数a的取值范围.
【解析】因为“?m∈R,使得A∩B≠”为假命题,所以它的否定“?m∈R,使得A∩B=”为真命题,当a<0时,A==,符合A∩B=;当a≥0时,因为m2+3>0,所以由?m∈R,A∩B=可得a综上,实数a的取值范围为a<3.
PAGE课时素养评价八 全称量词命题与存在量词命题
(15分钟 30分)
1.“存在集合A,使A”,对这个命题,下面说法中正确的是
( )
A.全称量词命题、真命题
B.全称量词命题、假命题
C.存在量词命题、真命题
D.存在量词命题、假命题
【解析】选C.当A≠时,A,是存在量词命题,且为真命题.故选C.
2.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称量词命题是
( )
A.?a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2
B.?a<0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2
C.?a>0,b>0,a2+b2+2ab=(a+b)2
D.?a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2
【解析】选D.命题对应的全称量词命题为:?a,b∈R,a2+b2+2ab=(a+b)2.
3.若“任意x∈,x≤m”是真命题,则实数m的最小值为( )
A.-
B.-
C.
D.
【解析】选D.因为“任意x∈,x≤m”是真命题,所以m≥,
所以实数m的最小值为.
4.对每一个x1∈R,x2∈R,且x1【解析】含有全称量词“每一个”,是全称量词命题,令x1=-1,x2=0,则>,故此命题是假命题.
答案:全称 假
5.用符号“?”与“?”表示下列含有量词的命题,并判断真假:
(1)实数都能写成小数形式.
(2)有的有理数没有倒数.
(3)不论m取什么实数,方程x2+x-m=0必有实根.
(4)存在一个实数x,使x2+x+4≤0.
【解析】(1)?a∈R,a都能写成小数形式,此命题是真命题.
(2)?x∈Q,x没有倒数,有理数0没有倒数,故此命题是真命题.
(3)?m∈R,方程x2+x-m=0必有实根.
当m=-1时,方程无实根,是假命题.
(4)?x∈R,使x2+x+4≤0.x2+x+4=+>0恒成立,所以为假命题.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.下列命题中,存在量词命题的个数是
( )
①实数的绝对值是非负数;
②正方形的四条边相等;
③存在整数n,使n能被11整除.
A.1
B.2
C.3
D.0
【解析】选A.①②是全称量词命题,③是存在量词命题.
2.设非空集合P,Q满足P∩Q=Q且P≠Q,则下列命题是假命题的是
( )
A.?x∈Q,有x∈P
B.?x∈P,有x?Q
C.?x?Q,有x∈P
D.?x?Q,有x?P
【解析】选D.因为P∩Q=Q且P≠Q,所以QP,所以集合Q中的元素都是集合P的元素,但是集合P中有元素集合Q中是没有的,所以A,B,C正确,D错误.
3.(2020·丹东高一检测)已知?x∈[0,2],p>x;?x∈[0,2],q>x.那么p,q的取值范围分别为
( )
A.p∈(0,+∞),q∈(0,+∞)
B.p∈(0,+∞),q∈(2,+∞)
C.p∈(2,+∞),q∈(0,+∞)
D.p∈(2,+∞),q∈(2,+∞)
【解析】选C.由?x∈[0,2],p>x;得p>2.
由?x∈[0,2],q>x;得q>0.
所以p,q的取值范围分别为(2,+∞),(0,+∞).
4.(多选题)下列命题是真命题的为
( )
A.?x∈R,-x2-1<0
B.?n∈Z,?m∈Z,nm=m
C.所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径
D.存在实数x,使得=
【解析】选ABC.对于A,?x∈R,-x2≤0,
所以-x2-1<0,此命题是真命题;
对于B,当m=0时,nm=m恒成立,此命题是真命题;
对于C,任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径,此命题是真命题.对于D,
因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,
所以≤<.故该命题是假命题.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.能够说明“存在两个不相等的正数a,b,使得a-b=ab”是真命题的一组有序数对(a,b)为________.?
【解析】当a=,b=时,存在两个不相等的正数a,b,使得a-b=ab是真命题,故所求有序数对可以为.
答案:(答案不唯一)
6.给出下列命题,
①存在a,b∈R,使得a2+b2-2a-2b+2<0;
②任何实数都有算术平方根;
③某些四边形不存在外接圆;
④?x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0.
其中正确命题的序号为________.?
【解析】①是假命题,因为对任意的a,b∈R,
都有a2+b2-2a-2b+2=+≥0;
②是假命题,例如-4没有算术平方根;
③是真命题,因为只有对角互补的四边形有外接圆;
④为假命题,当x=y=0时,x2+|y|=0.
答案:③
【误区警示】解答本题①容易忽视配方法的应用.
三、解答题
7.(10分)是否存在整数m,使得命题“?x≥-,-5<3-4m【解析】假设存在整数m,使得命题“?x≥-,-5<3-4m因为当x≥-时,x+1≥,
所以-5<3-4m<,解得又m为整数,所以m=1,
故存在整数m=1,使得命题“?x≥-,
-5<3-4mPAGE课时素养评价七 充分条件、必要条件、充要条件
(15分钟 30分)
1.使|x|=x成立的一个必要条件是
( )
A.x<0
B.x≥0或x≤-1
C.x>0
D.x≤-1
【解析】选B.因为|x|=x?x≥0
?x≥0或x≤-1,所以使|x|=x成立的一个必要条件是x≥0或x≤-1.
2.有以下说法,其中正确的个数为
( )
(1)“m是有理数”是“m是实数”的充分条件.
(2)
“两三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.
(3)“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
【解析】选D.(1)由于“m是有理数”?“m是实数”,因此“m是有理数”是“m是实数”的充分条件.
(2)由三角形全等可推出这两个三角形对应的角相等,所以“两三角形对应角相等”是“这两个三角形全等”的必要条件.
(3)
由(a+b)·(a-b)=0,得|a|=|b|,推不出a=b,由a=b,能推出|a|=|b|,故“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b”的必要条件.
【补偿训练】
设a,b∈R,则“(a-b)a2<0”是“a( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.由(a-b)a2<0一定可得出a3.若△ABC∽△DEF,“相似比为3∶2”是“对应高的比为3∶2”的_______
_________条件.(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个合适的填空)?
【解析】相似三角形的对应高的比与相似比相等,所以“相似比为3∶2”是“对应高的比为3∶2”的充要条件.
答案:充要
4.函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是________.?
【解析】函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是k>0,b>0.
答案:k>0,b>0
【补偿训练】
“k>4,b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)?
【解析】当k>4,b<5时,函数y=(k-4)x+b-5的图象如图所示.
由一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴,知x=0,
y=b-5<0,所以b<5.当y=0时,x=>0,因为b<5,所以k>4.故填“充要”.
答案:充要
5.下列所给的各组p,q中,p是q的什么条件?
(1)p:x2=x+6,q:x=;
(2)p:b2=ac,q:=;
(3)p:A∩B=A,q:UB?UA;
(4)p:点P(2-a,3a-2)到两坐标轴距离相等,q:a=1或a=0.
【解析】(1)由于“x2=x+6”,则“x=±”,故“x2=x+6”是“x=”的必要不充分条件.
(2)b2=ac
=,如b=0,c=0时,b2=ac,而,无意义.但=?b2=ac,
所以p是q的必要条件,但p不是q的充分条件.
(3)画出Venn图(如图)可得.
A∩B=A?A?B?UA?UB,故p是q的充要条件.
(4)当a=1时,点P(1,1)到两坐标轴距离相等,
当a=0时,点P(2,-2)到两坐标轴距离相等,
当点P(2-a,3a-2)到两坐标轴距离相等时,
|2-a|=|3a-2|,解得a=1或a=0.
所以p?q,所以p是q的充要条件.
(25分钟 50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.若非空集合A,B,C满足A∪B=C,且B不是A的子集,则
( )
A.“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件
B.“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件
C.“x∈C”是“x∈A”的充分条件也是“x∈A”的必要条件
D.“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件也不是“x∈A”的必要条件
【解析】选B.x∈A必有x∈C,但反之不一定成立,所以“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件.
2.(2020·常州高二检测)盛唐著名边塞诗人王昌龄在其作品《从军行》中写道:青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还.其最后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.“攻破楼兰”不一定“返回家乡”,但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”,由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.
3.(2020·南通高一检测)设U是全集,A,B均是非空集合,则“存在非空集合C,使得C?A,B?UC”是“A∩B=”成立的
( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【解题指南】“存在非空集合C,使得C?A,B?UC”,B与A可能有公共元素,
“A∩B=”?“存在非空集合C,使得C?A,B?UC”,由此能求出结果.
【解析】选C.U是全集,A,B均是非空集合,
“存在非空集合C,使得C?A,B?UC”,B与A可能有公共元素,
“A∩B=”?“存在非空集合C,使得C?A,B?UC”,所以“存在非空集合C,使得C?A,B?UC”是“A∩B=”成立的必要不充分条件.
4.(多选题)已知p,q都是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,则
( )
A.p是q的既不充分也不必要条件
B.p是s的充分条件
C.r是q的必要不充分条件
D.s是q的充要条件
【解题指南】可将r,p,q,s的关系用图表示,然后利用递推法结合图示作答.
【解析】选BD.根据题意画出示意图如图:
由图示可知,p?r?s?q?r?s,所以p是q的充分条件,p是s的充分条件,
r是q的充要条件,s是q的充要条件.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知P={x|a-4【解析】因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,所以Q?P,所以即所以-1≤a≤5.
答案:-1≤a≤5
【补偿训练】
下列不等式:①
x<1;②
0【解析】由于<1,即-1x<1;
②
0③-1④-1所以②③④是<1的一个充分条件,①④是<1的一个必要条件.
答案:②③④ ①④
6.设n∈N+,一元二次方程
x2-4x+n=0
有整数根的充要条件是
n=__________.?
【解析】直接利用求根公式进行计算,然后用完全平方数、整除等进行判断.
x=
=2±
,因为
x
是整数,即
2±为整数,所以为整数,且n≤4
,又因为n∈N+
,取
n=1,2,3,4,验证可知
n=3,4符合题意;反之n=3,4
时,可推出一元二次方程
x2-4x+n=0有整数根.
答案:3或4
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.已知ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.(提示:a3+b3=
(a+b)(a2-ab+b2))
【证明】设p:
a3+b3+ab-a2-b2=0,q:
a+b=1.
(1)充分性(p?q):因为a3+b3+ab-a2-b2=0,
所以(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0,
即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0.
因为ab≠0,a2-ab+b2=+b2>0,
所以a+b-1=0,即a+b=1.
(2)必要性(q?p):因为a+b=1,所以b=1-a,
所以a3+b3+ab-a2-b2=a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2=
a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a2=0,
综上所述:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
8.设x,y∈R,求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
【证明】设p:xy≥0,q:|x+y|=|x|+|y|,
(1)充分性(p?q):如果xy≥0,则有xy=0和xy>0两种情况,
当xy=0时,不妨设x=0,
则|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|,所以等式成立.
当xy>0时,即x>0,y>0,或x<0,y<0,
又当x>0,y>0时,|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y,所以等式成立.
当x<0,y<0时,|x+y|=-(x+y),
|x|+|y|=-x-y=-(x+y),所以等式成立.
总之,当xy≥0时,|x+y|=|x|+|y|成立.
(2)必要性(q?p):若|x+y|=|x|+|y|且x,y∈R,
则|x+y|2=(|x|+|y|)2,
即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x||y|,
所以|xy|=xy,所以xy≥0.
由(1)(2)可得,xy≥0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件.
PAGE课时素养评价六 命题、定理、定义
(15分钟 30分)
1.下列语句中,是命题的个数是
( )
①垂直于同一条直线的两条直线平行吗?
②x,y都是无理数,则x+y是无理数;
③请完成第九题;
④正方形既是矩形又是菱形.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.根据命题的定义逐个判断.①不是命题,因为它不是陈述句;②是命题,是假命题,例如-+=0,不是无理数;③不是命题,因为它不是陈述句;④是命题,是真命题.
2.下列四个命题中,可判断为真的是
( )
A.空集没有子集
B.空集是任何集合的一个真子集
C.空集的元素个数为0
D.任何集合至少有两个不同子集
【解析】选C.空集只有一个子集是它本身,故A、D错误;空集是任何非空集合的一个真子集,故B错误;C正确.
3.将“等角的余角相等”改写成“如果……,那么……”的形式为_____________
_________________________.?
【解析】根据命题的特点,可以改写为:“如果两个角相等,那么它们的余角也相等”.
答案:如果两个角相等,那么它们的余角也相等
4.有下列命题:①对于任意m∈R,mx2+2x-1=0是一元二次方程;②若xy=0,则+=0;③互相包含的两个集合相等;④如果两个角互为补角,那么这两个角和为180°.真命题的个数是________.?
【解析】①当m=0时,方程是一元一次方程,故是假命题;②当x=1,y=0时,xy=0,但+≠0,故是假命题;③④是真命题.
答案:2
5.将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.
(1)6是12和18的公约数;
(2)能被6整除的整数,一定能被3整除;
(3)平行四边形的对角线互相平分;
(4)已知x,y为非零自然数,当y-x=2时,y=4,x=2.
【解析】(1)若一个数是6,则它是12和18的公约数,是真命题.
(2)若一个整数能被6整除,则这个数能被3整除,是真命题.
(3)若一个四边形是平行四边形,则它的对角线互相平分,是真命题.
(4)已知x,y为非零自然数,若y-x=2,则y=4,x=2,是假命题.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为
( )
A.3,2,1
B.
1,-2,-3
C.-1,-2,-3
D.
0,-2,-3
【解析】选C.所举反例应满足“若a>b>c,则a+b≤c”,可设a,b,c的值依次为-1,-2,-3.
2.下列叙述正确的有____个
( )?
①若|a|=-a,则a≤0;②若|a|=|b|,则a=-b;
③若a|b|,则a>b.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选A.绝对值等于其相反数的数是小于等于0的,故①正确;绝对值相等的两个实数,相等或互为相反数,故②错误;当a=-3,b=1时,a|b|,故③错误;当a=-3,b=-1时,|a|>|b|,但a【补偿训练】
下列说法正确的是
( )
A.命题“任何一个角的补角都不小于这个角”是真命题
B.语句“标准大气压下,100
℃时水沸腾”不是命题
C.命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D.语句“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”是真命题
【解析】选D.选项A中的命题是假命题,例如120°的角大于它的补角;B所给语句是命题;C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3,腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”.对于D,因为m>0,所以方程x2+2x-3m=0的判别式Δ=12m+4>0.
所以“若m>0,则方程x2+2x-3m=0有实数根”为真.
3.下列命题中,是真命题的有
( )
①如果a>-1,那么am>-m(m≠0);
②在同一平面内,如果a⊥b,b⊥c,则a⊥c;
③若x2+y2=0,则x,y全为零;
④正三角形都相似.
A.
4个
B.
3个
C.
2个
D.
1个
【解析】选C.①a>-1,则当m>0时,am>-m,当m<0时,am<-m,故如果a>-1,那么am>-m(m≠0)是假命题;②在同一平面内,如果a⊥b,b⊥c,则a∥c,故在同一平面内,如果a⊥b,b⊥c,则a⊥c是假命题;③④是真命题,故真命题有2个.
4.(多选题)下列命题中,是真命题的是
( )
A.三边长为5,12,13的三角形是直角三角形
B.等边三角形是轴对称图形,它只有一条对称轴
C.有两边及第三边上的高线对应相等的两个锐角三角形全等
D.抛物线y=(x+2)2+1的对称轴是直线x=-2
【解析】选ACD.对于A,由于52+122=132,根据勾股定理的逆定理即可得出该三角形是直角三角形,此命题是正确的;对于B,等边三角形是轴对称图形,有3条对称轴,此命题是错误的;对于C,利用证两次全等的方法可以判断出:有两边及第三边上的高线对应相等的两个锐角三角形全等,故此命题正确;对于D,抛物线y=(x+2)2+1
的对称轴是直线x=-2,正确,是真命题.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知命题:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的弧,若把上述命题改为“若p,则q”的形式,则p:________,q:________.?
【解析】已知命题可改写成:若一条直线是弦的垂直平分线,则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.
p:一条直线是弦的垂直平分线,
q:这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.
答案:一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧
6.给出下列几个命题:
(1)若x,y互为相反数,则x+y=0;
(2)若四边形的对角互补,则该四边形是圆的内接四边形;
(3)若x>-3,则x2+x-6≤0.
其中的假命题有________个.?
【解析】根据两数互为相反数的性质,(1)正确,为真命题;(2)由圆的内接四边形的性质可知,为真命题;(3)中若取x=3>-3,而x2+x-6=6>0,故为假命题.
答案:1
三、解答题
7.(10分)判断下列命题的真假:
(1)若三条线段a,b,c满足a+b>c,则这三条线段a,b,c能够组成三角形;
(2)个位数字是5的整数,能被5整除;
(3)对于所有的自然数n,代数式n2-n+11的值都是质数;
(4)一边上的中点到其余两边的距离相等的三角形是等腰三角形.
【解析】(1)a=2,b=5,c=3,满足a+b>c,但不能围成三角形,所以命题为假.
(2)因为个位数字是0或5的整数,能被5整除,所以命题为真.
(3)约数只有1和它本身的数就是质数.
当n=11时,n2-n+11=112不是质数,所以命题为假.
(4)命题为真,理由如下:
已知:如图,D为BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE=DF,
求证:三角形ABC为等腰三角形;
证明:如图,因为DE=DF,BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,
所以Rt△BDE≌Rt△CDF,所以∠B=∠C,
所以AB=AC,所以△ABC为等腰三角形.
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