章末复习课
要点训练一 复数的概念
1.代数形式为z=a+bi(a,b∈R),其中实部为a,虚部为b.
2.共轭复数为=a-bi(a,b∈R).
3.复数的分类
a+bi
①若z=a+bi(a,b∈R)是实数,则z与的关系为z=.
②若z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数,则z与的关系为z+=0.
4.复数相等的充要条件
a+bi=c+di?(a,b,c,d∈R).
若复数z=1+i(i为虚数单位),是z的共轭复数,则z2+的虚部为( )
A.0
B.-1
C.1
D.-2
解析:因为z=1+i,所以=1-i,所以z2+=(1+i)2+(1-i)2=2i+(-2i)=0.故选A.
答案:A
2.设i是虚数单位,若复数a-(a∈R)是纯虚数,则a的值为
( )
A.-3
B.-1
C.1
D.3
解析:a-=a-=a-=(a-3)-i,由纯虚数的定义,知a-3=0,所以a=3.
答案:D
3.复数z=log3(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为什么实数时,(1)z∈R?(2)z为虚数?
解:(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0,
所以
解得x=4,所以当x=4时,z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0,
所以
解得x>,且x≠4.
所以当x>,且x≠4时,z为虚数.
要点训练二 复数的代数运算
1.复数的模
复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=,且z=|z|2=a2+b2.
2.复数的四则运算
若两个复数z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R),则
(1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i;
(2)减法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i;
(3)乘法:z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i;
(4)除法:==+i(z2≠0).
1.在复平面内,设z=1+i(i是虚数单位),则复数+z2对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:+z2=+(1+i)2=+2i=(1-i)+2i=1+i,所以复数+z2对应的点为(1,1),位于第一象限.
A
2.已知z1,z2为复数,(3+i)z1为实数,z2=,且|z2|=5,求z2.
由已知,得z1=z2(2+i),
所以(3+i)z1=z2(2+i)(3+i)=z2(5+5i)∈R.
因为|z2|=5,
所以|z2(5+5i)|=50,
所以z2(5+5i)=±50,
所以z2=±=±=±(5-5i).
3.已知z是复数,z-3i为实数,为纯虚数(i为虚数单位).
(1)求复数z;
(2)求的模.
(1)设z=a+bi(a,b∈R),
所以z-3i=a+(b-3)i为实数,可得b=3,
所以z=a+3i.
因为==为纯虚数,
所以2a+2=0,
所以a=-1,
所以z=-1+3i.
(2)====-2+i,
所以||=|-2+i|==.
要点训练三 与共轭复数有关问题的求解方法
1.若复数z的代数形式已知,则根据共轭复数的定义可以先写出,再进行复数的四则运算.必要时,需通过复数的运算先确定出复数z的代数形式,再根据共轭复数的定义求.
2.共轭复数应用的另一种常见题型:已知关于z和的方程,而复数z的代数形式未知,求z.解此类题的常规思路为设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入所给方程,利用复数相等的充要条件,转化为求解方程(组).
1.已知复数z1=(-1+i)(1+bi),z2=,其中a,b∈R,且z1与z2互为共轭复数,求a,b的值.
z1=(-1+i)(1+bi)
=-1-bi+i-b
=(-b-1)+(1-b)i,
z2=
=
=
=+i.
因为z1和z2互为共轭复数,
所以
解得
2.已知z∈C,虚部大于0,且|z|2+(z+)·i=5+2i.
(1)求z;
(2)若m∈R,ω=z·i+m,求证:|ω|≥1.
(1)设z=a+bi,a,b∈R,且b>0,
所以=a-bi.
由已知,得a2+b2+2ai=5+2i,
所以
解得
所以z=1+2i.
(2)由(1),得ω=(1+2i)·i+m=(m-2)+i,
则|ω|=≥1,
当且仅当m=2时,等号成立,所以|ω|≥1.
要点训练四 数形结合思想
1.任何一个复数z=a+bi(a,b∈R),在复平面内都有唯一的一个点Z(a,b)和它对应,也与从原点出发的向量一一对应.
2.复数加法的几何意义
若复数z1,z2对应的向量,不共线,则复数z1+z2是以,为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数.
3.复数减法的几何意义
若复数z1,z2对应的向量,不共线,则复数z1-z2是连接向量,的终点,并指向Z1的向量所对应的复数.
1.如图所示,若i为虚数单位,复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是
( )
A.E
B.F
C.G
D.H
因为点Z(3,1)对应的复数为z,所以z=3+i,所以====2-i,该复数对应的点的坐标是(2,-1),即点H.
答案:D
2.已知复数z1=2+3i,z2=a+bi,z3=1-4i,它们在复平面内所对应的点分别为A,B,C.若=2+,则a=-3,b=-10.
解析:因为=2+,
所以1-4i=2(2+3i)+(a+bi)=(a+4)+(b+6)i,
即
所以章末质量评估(七)
(时间:120分钟 分值:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)
1.已知复数z=2+i,则z=
( )
A.
B.
C.3
D.5
答案:D
2.设复数z满足z+i=3-i,则=
( )
A.-1+2i
B.1-2i
C.3+2i
D.3-2i
答案:C
3.(2020年新高考全国Ⅰ卷)=
( )
A.1
B.-1
C.i
D.-i
答案:D
4.已知复数z=a+i(a∈R),若z+=4,则复数z的共轭复数=( )
A.2+i
B.2-i
C.-2+i
D.-2-i
答案:B
5.(全国卷Ⅱ)设z=-3+2i,则在复平面内对应的点位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案:C
6.已知i为虚数单位,复数z=i(2-i)的模|z|=
( )
A.1
B.
C.
D.3
答案:C
7.复数+的虚部是
( )
A.i
B.
C.-i
D.-
答案:B
8.如图,在复平面内,若复数z1,z2对应的向量分别是,,则复数z1z2对应的点位于
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案:D
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.若复数z满足(1-i)z=3+i,则
( )
A.z的实部是2
B.z的虚部是2i
C.=1-2i
D.|z|=
答案:CD
10.实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2,设z=x+yi,则下列说法正确的是( )
A.z在复平面内对应的点在第一象限
B.|z|=
C.z的虚部是i
D.z的实部是1
答案:ABD
11.下面四个命题中是真命题的有
( )
A.若复数z满足∈R,则z∈R
B.若复数z满足z2∈R,则z∈R
C.若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=
D.若复数z∈R,则∈R
AD
12.已知z1与z2互为共轭复数,以下四个命题一定正确的是( )
A.<|z2|2
B.z1z2=|z1z2|
C.z1+z2∈R
D.∈R
BC
(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)
13.若i为虚数单位,则=-1-i.
14.(本题第一空3分,第二空2分)若复数z=,则|z|=,复数z在复平面内对应的点位于第一象限.
15.若关于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i=0有实数根,则纯虚数m=4i.
16.若复数z=x+yi(x,y∈R),且|z-2|=,则的最大值为.
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)
17.(10分)计算:(+i)5+（）4+（）7.
解:(+i)5+（）4+（）7
=-i()5[(1+i)2]2(1+i)+[]2+i7
=16(-1+i)--i
=-(16+)+(16-1)i.
18.(12分)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为1,z1z2是实数,求z2.
解:因为(z1-2)(1+i)=1-i,
所以z1-2===-i,
所以z1=2-i.
由复数z2的虚部为1,设z2=a+i,
所以z1z2=(2-i)(a+i)=(2a+1)+(2-a)i.
因为z1z2是实数,所以2-a=0,即a=2.
所以z2=2+i.
19.(12分)已知复数z1=(1+bi)(2+i),z2=3+(1-a)i
(a,b∈R,i为虚数单位).
(1)若z1=z2,求a,b的值;
(2)若b=1,a=0,求.
解:(1)复数z1=(1+bi)(2+i)=2-b+(2b+1)i,z2=3+(1-a)i,
由z1=z2,得解得
(2)若b=1,a=0,则z1=1+3i,z2=3+i.
所以||===2.
20.(12分)已知复数z满足(1+2i)=4+3i.
(1)求复数z;
(2)若复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
解:(1)因为(1+2i)=4+3i,
所以====2-i,
所以z=2+i.
(2)由(1)知z=2+i,则(z+ai)2=(2+i+ai)2=[2+(a+1)i]2=4-(a+1)2+
4(a+1)i.
因为复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,
所以解得-1
21.(12分)在复平面内A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.
(1)求,,对应的复数;
(2)判断△ABC的形状;
(3)求△ABC的面积.
解:(1)设A,B,C三点对应的复数分别为zA=1,zB=2+i,zC=-1+2i,则对应的复数为zB-zA=(2+i)-1=1+i,
对应的复数为zC-zB=(-1+2i)-(2+i)=-3+i,
对应的复数为zC-zA=(-1+2i)-1=-2+2i.
(2)由(1)知||=|1+i|=,||=|-3+i|=,||=|-2+2i|=2,
所以||2+||2=||2,
故△ABC为直角三角形.
(3)S△ABC=||·||=××2=2.
22.(12分)已知复数w满足w(1+2i)=4+3i(i为虚数单位),z=+|w-2|,求一个以z为根的实系数一元二次方程.
解:由w(1+2i)=4+3i,
得w====2-i,
所以z=+|w-2|=+|2-i-2|=+1=2+i+1=3+i,所以=3-i.
所以z+=6,z=32-i2=10,
因此,以复数z为一个根的实系数方程为(x-z)(x-)=0,即x-(z+)x+z
=0,
即x2-6x+10=0.