A级 基础巩固
1.若a<0,则a的三角形式为
( )
A.a(cos
0+isin
0)
B.a(cos
π+isin
π)
C.-a(cos
π+isin
π)
D.-a(cos
π-isin
π)
解析:因为a<0,所以辐角主值为π,故其三角形式为-a(cos
π+
isin
π).
答案:C
2.若|z|=2,arg
z=,则复数z=1+i.
解析:由题意知,z=2(cos+isin)=1+i.
3.复数cos+isin的辐角主值是.
解析:原式=cos(2π+)+isin(2π+)=cos+isin,故其辐角主值为.
4.复数10(cos+isin)化为代数形式为-5-5i.
解析:10(cos+isin)=10(--i)=-5-5i.
5.把下列复数表示成代数形式:
(1)4(cos+isin);
(2)2(cos+isin).
解:(1)4(cos+isin)=4(-i)=2-2i.
(2)2(cos+isin)=2(-i)=-i.
B级 能力提升
6.复数z=(a+i)2的辐角主值为,则实数a=-1.
解析:由于复数z的辐角主值为,
故z=r(cos+isin)=-ri.
因为z=(a+i)2=a2-1+2ai,
所以a2-1+2ai=-ri,
所以a2-1=0,2a=-r<0,所以a=-1.
7.将下列复数表示成代数形式:
(1)8cos+isin;
(2)2cos+isin;
(3)cos+isin.
解:(1)8(cos+isin)=8(--i)=-4-4i.
(2)2(cos+isin)=2(-+i)=-+i.
(3)(cos+isin)=(+i)=+i.
8.下列复数是不是复数的三角形式?如果不是,把它们表示为三角形式.
(1)(sin+icos);
(2)cos-isin;
(3)sin+icos.
解:所给出的三个复数都不是复数的三角形式.
把它们表示为三角形式如下:
(1)(sin+icos)=[sin(-)+icos(-)]=(cos+isin).
(2)cos-isin=cos(-)+isin(-).
(3)sin+icos=sin(+)+icos(-)=
cos+isin.
C级 挑战创新
9.多空题已知复数z=3+i,则复数z的辐角主值是,三角形式是2(cos+isin).
解析:设复数z的辐角主值为θ,由复数z对应的点的坐标为(3,),知θ在第一象限,则0<θ<,可求得θ=.因为r==2,所以z=2(cos+isin).(共11张PPT)
预习导学思维启动
重点探究认知发展(共9张PPT)
预习导学思维启动
重点探究认知发展
T
读_3+i和sn3+io。38不是复数的二角形式
想先把不是三角形式的复数化为三角形式,再求解
T
T
COS
sin
3
aC
7C
Sin
-ficos
3
算
2
cos
+isin
cos
tisin
6
6
3
T
T
COS
iSIn
T
2
cos
ISIn
cOS
ISIn
6
6
T
cOS
sin
T
coS
+isin(
t
3
63
T
cos
-+isin
6
T
T
2
cos
+isin
2
2
cassin
Tt
2
cos+isin
1+√3
方法规律:在进行复数三角形式的除法运算时,注意
先将各个复数化为三角形式,再按照除法法则进行运
算,当不要求把计算结果化为代数形式时,也可以用
三角形式表示.A级 基础巩固
1.复数(sin
10°+icos
10°)(sin
10°+icos
10°)的三角形式是
( )
A.sin
30°+icos
30°
B.cos
160°+isin
160°
C.cos
30°+isin
30°
D.sin
160°+icos
160°
解析:(sin
10°+icos
10°)(sin
10°+icos
10°)=(cos
80°+isin
80°)╳
(cos
80°+isin
80°)=cos
160°+isin
160°.
答案:B
2.计算(cos
40°+isin
40°)÷(cos
10°+isin
10°)=+i.
解析:(cos
40°+isin
40°)÷(cos
10°+isin
10°)=cos
30°+isin
30°=+i.
3.将复数1+i对应的向量顺时针旋转45°,则所得向量对应的复数为.
解析:1+i=(cos
45°
+isin
45°),由题意知,所求复数为(1+i)[cos(-45°)+isin(-45°)]=(cos
45°+isin
45°)·[cos(-45°)+isin(-45°)]=
(cos
0°+isin
0°)=.
4.在复平面内,将复数+i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90°,则所得向量对应的复数为-1+i.
解析:由题意知,所求复数为(+i)×(cos
90°+isin
90°)=2(cos
30°
+isin
30°)×(cos
90°+isin
90°)=2(cos
120°+isin
120°)=-1+i.
B级 能力提升
5.向量,分别对应非零复数z1,z2,若⊥,则是( )
A.负实数
B.纯虚数
C.正实数
D.虚数a+bi(a,b∈R,a≠0)
解析:已知z1,z2为非零复数,设复数z1=
r1(cos
θ1+isin
θ1),z2=
r2(cos
θ2+isin
θ2),由于⊥,所以==[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]=[cos(±90°)+isin(±90°)]=
±i,即为纯虚数.
答案:B
6.已知复数-3+4i的辐角主值为α,复数3-4i的辐角主值为β,则α-β=-π.
解析:由题意知α-β是的三角形式的辐角.因为=-=-1,又由题意知<α<π,<β<2π,所以-<α-β<-,所以α-β=-π.
7.已知等边三角形ABC的两个顶点A,B所表示的复数分别是+i和2,求另一个顶点C所表示的复数.
解:由题意可知,A,B所表示的复数分别是+i和2,所表示的复数为-i,点C的位置有两个,分别计算如下:
把按逆时针方向旋转60°得到,对应的复数为(-i)
(cos
60°+isin
60°)=+i,
=+=+i++i=2+i,即点C对应的复数是2+i;
将按顺时针方向旋转60°得到,对应的复数为
(-i)[cos(-60°)+isin(-60°)]=-i,
=+=+i-i
=-i,即点C'对应的复数是-i.
综上所述,另一个顶点C所表示的复数为2+i或-i.
8.设点A,B分别对应非零复数z1,z2,且+z1z2+=0,试判断△AOB的形状.
解:因为z2≠0,由条件得()2+()+1=0,
解得=-±i=cos(±)+isin(±),
所以∠AOB=π.
因为||=1,所以|z1|=|z2|.
综上可知,△AOB是顶角为的等腰三角形.
C级 挑战创新
9.多空题将复数z1=3+i对应的向量按逆时针方向旋转120°所得到的向量对应的复数为2(cos+isin),该复数除以复数+i后所得到的复数为2i.
解析:z1=3+i=2(cos+isin).由题意知2(cos+isin0·(cos+isin)=2(cos+isin),即将复数z1=3+i对应的向量按逆时针方向旋转120°所得到的向量对应的复数为2(cos+isin).
因为+i=cos+isin,
所以=2(cos+isin)=2i.