章末质量评估(九)
(时间:120分钟 分值:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)
1.学生甲参加基本能力测试,其成绩为270分,若其成绩为第90百分位数,则下列说法中错误的是( )
A.学生乙的成绩为270分,所以学生乙的成绩为第90百分位数
B.学生丙的成绩为第90百分位数,所以学生丙的成绩一定是
270分
C.学生丁的成绩为271分,所以学生丁的成绩可能也是第90百分位数
D.小明的成绩为280分,所以小明成绩的百分位数比第90百分位数大
答案:C
2.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品,产品的数量之比为
3∶5∶7,现用分层随机抽样的方法抽出样本量为n的样本,若样本中甲种产品有18件,则样本量n等于( )
A.54
B.90
C.45
D.126
答案:B
3.某社团有60人,下表为此社团的年龄频数分布表,则此社团第60百分位数为( )
年龄/岁
36
38
39
43
46
48
50
55
58
60
62
65
频数
4
5
7
5
5
2
1
10
7
8
3
3
A.50
B.49
C.55
D.58
答案:C
4.如果数据x1,x2,…,xn的平均数是,方差是s2,那么3x1+2,3x2+2,…,
3xn+2的平均数和方差分别是( )
A.和s2
B.3和9s2
C.3+2和9s2
D.3+2和12s2+4
答案:C
5.某商业集团想了解集团旗下五个超市的销售情况,通知五个超市把最近一周每天的销售额统计上报,要求既能反映一周内每天销售额的多少,又能反映一周内每天销售额的变化情况和趋势,则最好选用的统计图表为( )
A.频率分布直方图
B.折线统计图
C.扇形统计图
D.统计表
答案:B
6.为了解某校高二年级1
000名学生的体能情况,随机抽查部分学生,测试1分钟仰卧起坐的成绩(次数),将数据整理后绘制成的频率分布直方图如图所示,根据统计图的数据,下列结论错误的是( )
A.该校高二年级学生1分钟仰卧起坐的次数超过30的人数约为200
B.该校高二年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为20
C.该校高二年级学生1分钟仰卧起坐的次数的中位数约为26.25次
D.该校高二年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数约为27.5次
答案:B
7.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩,统计后得下表,则这100人成绩的标准差为( )
分数
5
4
3
2
1
人数
20
10
30
30
10
A.2
B.
C.3
D.
答案:B
8.某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.两组工人完成生产任务的工作时间(单位:min)为:
第一种生产方式:68,72,76,77,79,82,83,83,84,85,86,87,87,88,89,90,
90,91,91,92
第二种生产方式:65,65,66,68,69,70,71,72,72,73,74,75,76,76,78,81,
84,84,85,90
则下列结论中,表述不正确的是( )
A.第一种生产方式的工人中,有75%的工人完成生产任务所需要的时间至少80
min
B.第二种生产方式比第一种生产方式的效率更高
C.这40名工人完成任务所需时间的中位数为80
min
D.无论哪种生产方式的工人完成生产任务平均所需要的时间都是80
min
答案:D
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.某市12月17日至21日期间空气质量呈现重度及以上污染水平,经市政府批准,该市启动了空气重污染红色预警,期间实行机动车“单双号”限行等措施.某报就该措施对2
400人进行了问卷调查,并根据调查结果制成扇形统计图如图所示,则下列结论正确的是( )
A.“不支持”部分所占的比例大约是
B.“一般”部分包含的人数估计是800
C.若扇形统计图中圆的半径为2,则“非常支持”部分扇形的面积是π
D.“支持”部分包含的人数估计是1
100
答案:ACD
10.甲、乙两名同学本学期某科目六次考试成绩的统计图如图所示,两组数据的平均数分别为,,则下列说法正确的是( )
A.每次考试甲的成绩都比乙的成绩高
B.甲的成绩比乙的成绩稳定
C.大于
D.甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差
答案:BC
11.某学校为了调查学生一周在生活方面的支出情况,抽出了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在[50,60]元的学生有60人,下列说法正确的是( )
A.样本中支出在区间[50,60]上的频率为0.03
B.样本中支出不少于40元的学生有132人
C.n的值为200
D.若该校有学生2
000人,则一定有600人的支出在50到60元
答案:BC
12.某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛的得分情况如上表,则下列说法正确的是( )
场次
1
2
3
4
5
6
甲的得分
31
16
24
34
18
9
乙的得分
23
21
32
11
35
10
A.甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差
B.甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数
C.甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值
D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
答案:BD
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)
13.某校高一年级学生有850人,高二年级学生有950人,高三年级学生有1
400人,现采用分层随机抽样抽取样本量为64的一个样本,那么在高三年级应抽取的人数为28.
14.甲、乙两位射击爱好者在某次射击比赛中各射靶5次,命中的环数分别如下,甲:7,8,7,4,9;乙:9,5,7,8,6,则射击更稳定的爱好者成绩的方差为2.
15.(本题第一空2分,第二空3分)为了解学生的身体状况,某校随机抽取了一批学生测量体重.经统计,这批学生的体重数据(单位:kg)全部介于45至70之间.将数据分成以下5组:第1组[45,50),第2组[50,55),第3组[55,60),第4组[60,65),第5组[65,70],得到的频率分布直方图如图所示,则a=0.04.现采用分层随机抽样的方法,从第3,4,5组中随机抽取6名学生,则第3,4,5组抽取的学生人数依次为3,2,1.
16.某城市为了了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制成折线图如图所示.
根据该折线图,下列结论正确的是②③④(填序号).
①月接待游客量逐月增加;
②年接待游客量逐年增加;
③各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份;
④各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳.
四、解答题(本大题共4小题,共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)
17.(10分)根据某单位职工的月收入情况画出的样本频率分布直方图如图所示,已知图中第一组的频数为4
000,请根据该图提供的信息,解答下列问题.
(1)为了分析职工的收入与年龄、学历等方面的关系,必须从样本中按月收入用分层随机抽样方法抽出100人作进一步分析,则从月收入在区间[3
000,4
000)上的这组中应抽取多少人?
(2)试估计样本数据的中位数与平均数.
解:(1)由题意知,
月收入在区间[2
000,3
000)上的频率为0.000
4×1
000=0.4.
因为月收入在区间[2
000,3
000)上的有4
000人,
所以样本量n==10
000.
因为月收入在区间[3
000,4
000)上的频率为0.000
2×1
000=0.2,
所以月收入在区间[3
000,4
000)上的人数为0.2×10
000=2
000.
因为从10
000人中用分层随机抽样的方法抽出100人,
所以月收入在区间[3
000,4
000)上的这组中应抽取
100×2
000÷10
000=20(人).
(2)因为月收入在区间[2
000,4
000)上的频率为0.4+0.2=0.6>0.5,
所以样本数据的中位数为3
000+=3
000+500=3
500.
由频率分布直方图可知,月收入在区间[6
000,7
000)上的频率为1-(0.000
4+0.000
2+0.000
15+0.000
125+0.000
05)×1
000=0.075.
故样本数据的平均数为2
500×0.4+3
500×0.2+4
500×0.15+5
500×
0.125+6
500×0.075+7
500×0.05=3
925.
18.(10分)某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况,从两班各抽出10名学生进行数学水平测试,成绩如下(单位:分):
甲班:82 84 85 89 79 80 91 89 79 74
乙班:90 76 86 81 84 87 86 82 85 83
(1)求两个样本的平均数;
(2)求两个样本的方差和标准差;
(3)试分析比较两个班的学习情况.
解:(1)=×(82+84+85+89+79+80+91+89+79+74)=83.
2,
=×(90+76+86+81+84+87+86+82+85+83)=84.
(2)=×[(82-83.
2)2+(84-83.
2)2+(85-83.
2)2+(89-83.
2)2+(79-
83.
2)2+(80-83.
2)2+(91-83.
2)2+(89-83.
2)2+(79-83.
2)2+(74-83.
2)2]=
26.
36,
=
[(90-84)2+(76-84)2+(86-84)2+(81-84)2+(84-84)2+(87-84)2+
(86-84)2+(82-84)2+(85-84)2+(83-84)2]=13.
2,
则s甲=≈5.
13,s乙=≈3.
63.
(3)因为<,所以甲班比乙班平均水平低.
因为s甲>s乙,所以甲班没有乙班稳定.
所以乙班的总体学习情况比甲班好.
19.(10分)一次数学知识竞赛中,两组学生成绩如下表:
分
数
50
60
70
80
90
100
人数
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
已经算得两个组的平均分都是80分,请根据你所学过的统计知识,进一步判断这两个组这次竞赛中成绩谁优谁次,并说明理由.
解:(1)甲组成绩的众数为90分,乙组成绩的众数为70分,从成绩的众数角度看,甲组成绩好些.
(2)=×[2×(50-80)2+5×(60-80)2+10×(70-80)2+13×
(80-80)2+14×(90-80)2+6×(100-80)2]=×(2×900+5×400+10×100+13×0+14×100+6×400)=172.
=×(4×900+4×400+16×100+2×0+12×100+12×400)=256.
因为<,所以甲组成绩较乙组成绩稳定.
(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分,其中甲组成绩在80分以上(含80分)的有33人,乙组成绩在80分以上(含80分)的有
26人,从这一角度看,甲组成绩总体较好.
(4)从成绩统计表看,甲组成绩大于或等于90分的人数为20人,乙组成绩大于或等于90分的人数为24人,所以乙组成绩在高分阶段的人数多,同时,乙组得满分的比甲组得满分的多6人,从这一角度看,乙组成绩较好.
20.(10分)从某学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高,被测学生身高全部介于155
cm和195
cm
之间,将测量结果按如下方式分组:第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195],按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为4.
(1)请补全频率分布直方图,并求出第七组的频率;
(2)估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180
cm以上(含180
cm)的人数;
(3)估计身高的第95百分位数.
解:(1)第六组的频率为=0.08,则=0.016.
由频率分布直方图的性质,可得第七组的频率为1-0.08-5×(0.008×2+0.016+0.04×2+0.06)=0.06.则=0.012.
补全频率分布直方图如图所示.
(2)身高在第一组[155,160)的频率为0.008×5=0.04,
身高在第二组[160,165)的频率为0.016×5=0.08,
身高在第三组[165,170)的频率为0.04×5=0.2,
身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5=0.2,
由于0.04+0.08+0.2=0.32<0.5,0.04+0.08+0.2+0.2=0.52>0.5,
设这所学校的800名男生的身高的中位数为m,则170由0.04+0.08+0.2+(m-170)×0.04=0.5,得m=174.5,
所以估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5
cm.
由以上过程得后三组频率为1-0.52-0.06×5=0.18,
所以身高在180
cm以上(含180
cm)的人数为0.18×800=144.
(3)由题图可知,身高低于185
cm的所占比例为
5×(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)+0.08=0.90=90%;
身高在190
cm以下的所占比例为0.90+0.06=0.96.
所以第95百分位数一定位于区间[185,190)上,
185+5×≈189.2,
即估计身高的第95百分位数为189.2
cm.章末复习课
要点训练一 用样本的频率分布估计总体分布
总体分布中相应的统计图表主要包括:频率分布表、频率分布直方图等.通过这些统计图表给出的相应统计信息可以估计总体.用频率分布直方图解决相关问题时,应正确理解图中各个量的意义,识图掌握信息是解决该类问题的关键.
1.统计某校n名学生的某次数学同步练习成绩(满分150分),根据成绩依次分成六组:
[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],并得到频率分布直方图如图所示.若不低于140分的人数为110.有以下说法:①m=0.031;②n=800;③100分以下的人数为60;④分数在区间[120,140)上的人数占大半.其中正确的是( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
解析:由题意,根据频率分布直方图的性质,
得10×(m+0.020+0.016+0.016+0.011+0.006)=1,解得m=0.031.故①正确;
因为不低于140分的频率为0.011×10=0.11,所以n==1
000,故②错误;
由100分以下的频率为0.006×10=0.06,所以100分以下的人数为1
000×0.06=60,故③正确;
分数在区间[120,140)上的人数占0.031×10+0.016×10=0.47,占小半.故④错误.
所以说法正确的是①③.
答案:B
2.某电子商务公司对10
000名网络购物者在2019年度的消费情况进行统计,发现消费金额(单位:万元)都在区间[0.3,0.9]上,其频率分布直方图如图所示.
(1)直方图中的a=3;
(2)在这些购物者中,消费金额在区间[0.5,0.9]上的购物者的人数为6
000.?
解析:(1)由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1+0.8×
0.1+1.5×0.1+2×0.1+2.5×0.1+a×0.1=1,解得a=3.
(2)由(1)可得消费金额在区间[0.5,0.9]上的频率为0.2×0.1+0.8×
0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,所以消费金额在区间[0.5,0.9]上的购物者的人数为0.6×10
000=6
000.
3.某制造商生产一批直径为40
mm的乒乓球,现随机抽样检查20个,测得每个球的直径(单位:mm,保留两位小数)如下:
40.03 40.00 39.98 40.00 39.99 40.00
39.98 40.01 39.98 39.99 40.00 39.99
39.95 40.01 40.02 39.98 40.00 39.99
40.00 39.96
(1)完成下面的频率分布表,并画出频率分布直方图;
分组
频数
频率
[39.95,39.97)
[39.97,39.99)
[39.99,40.01)
[40.01,40.03]
合计
(2)假定乒乓球的直径误差不超过0.02
mm为合格品.若这批乒乓球的总数为10
000,试根据抽样检查结果估计这批产品的合格个数.
解:(1)频率分布表如下:
分组
频数
频率
[39.95,39.97)
2
0.10
5
[39.97,39.99)
4
0.20
10
[39.99,40.01)
10
0.50
25
[40.01,40.03]
4
0.20
10
合计
20
1.00
50
频率分布直方图如图所示.
(2)因为抽样的20个产品中在区间[39.98,40.02]上的有17个,所以样本合格率为×100%=85%.
所以10
000×85%=8
500.
所以估计这批产品的合格个数为8
500.
要点训练二 用样本的分布规律估计总体的分布规律
样本的分布规律分为两大类:一类是反映样本数据集中趋势的特征数,例如平均数;另一类是反映样本数据波动大小的特征数,例如方差和标准差.通常我们用样本的平均数和方差(标准差)来近似代替总体的平均数和方差(标准差),从而实现对总体的估计.平均数、中位数、众数与方差、标准差都是重要的参数,利用它们可对总体进行一种简明的描述,它们所反映的情况有着重要的实际意义,平均数、中位数、众数可描述总体的集中趋势,方差和标准差可描述数据的离散程度.
1.现有10个数,其平均数是4,且这10个数的平方和是200,那么这组数的标准差是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:设这10个数分别为a1,a2,…,a10,
则有++…+=200,且a1+a2+…+a10=40,
所以
=
==4,
所以标准差为=2.
答案:B
2.从某企业生产的某批产品中随机抽取10件,测量这些产品的一项质量指标,其频率分布表如下:
质量指标分组
[10,30)
[30,50)
[50,70]
频率
0.1
0.6
0.3
则可估计这批产品的质量指标的众数、中位数为( )
A.30,43
B.40,43
C.40,43
D.30,43
答案:C
3.在某次高中学科竞赛中,4
000名考生的参赛成绩的频率分布直方图如图所示,若85%的学生不能参加复赛,则估计86.7分以上可以参加复赛.
解析:由题图可知,低于80分的考生所占的比例为:
10×(0.01+0.015+0.02+0.03)×100%=75%.
低于90分的考生所占的比例为:75%+0.015×10×100%=90%.
因此,第85百分位数一定位于区间[80,90)上,
80+10×≈86.7,即86.7分以上可以参加复赛.
4.某中学要从高一年级甲、乙两个班级中选择一个班参加市电视台组织的“环保知识竞赛”.该校对甲、乙两班的参赛选手(每班7人)进行了一次环境知识测试,他们取得的成绩(满分100分)如下:
甲班:75,78,80,89,85,92,96;
乙班:75,80,80,85,90,90,95.
求甲、乙两班同学成绩的方差的大小,并从统计学角度分析该校应选择甲班还是乙班参赛.
解:==85,
==85,
所以=×[(75-85)2+(78-85)2+…+(96-85)2]=,
=×[(75-85)2+(80-85)2+…+(95-85)2]=.
所以=,>.
所以该校应该选择乙班参赛.
要点训练三 抽样方法
对抽样方法的选择:
(1)当总体的量较小,样本量也较小时,制签简单,号签容易搅拌均匀,所以可以采用抽签法.
(2)当总体的量较大,样本量小,可以采用随机数法.
(3)当总体由明显差异的几部分构成时,采用分层随机抽样.
1.某中学高一年级有400人,高二年级有320人,高三年级有280人,若每人被抽到的可能性都为0.2,用随机数法在该中学抽取样本量为n的样本,则n等于( )
A.80
B.160
C.200
D.280
解析:由题意可知,=0.2,解得n=200.
答案:C
2.某中学共有1
400名学生,其中高一年级有540人,用分层随机抽样的方法抽取样本量为70的样本,则高一年级抽取的人数为( )
A.18
B.21
C.26
D.27
解析:因为从1
400名学生中抽取样本量为70的样本,抽样比为,所以根据分层随机抽样可知,高一年级抽取的人数为540×=27.
答案:D
3.总体已经分成A、B、C三层,且A、B、C三层个体数之比为
2∶3∶5,现要从总体中抽取一个样本量为20的样本,已知A层中用简单随机抽样抽取样本时,甲被抽到的可能性为,则总体的个体数为( )
A.60
B.80
C.100
D.120
解析:由已知条件知,在整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性为,所以总体的个体数为20÷=80.
答案:B
要点训练四 数形结合思想
数形结合思想是通过数与形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法.统计中常结合统计图表对数据进行分析,解决问题.
1.某地区对当地3
000户家庭的2019年所得年收入情况调查统计,年收入(单位:万元)的频率分布直方图如图所示,数据的分组依次为[2,4),[4,6),[6,8),[8,10],则年收入不超过6万的家庭有( )
A.900户
B.600户
C.300户
D.150户
答案:A
2.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均数、众数、中位数;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在区间[50,90)之外的人数.
分数段
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
x∶y
1∶1
2∶1
3∶4
4∶5
解:(1)由频率分布直方图可得10×(2a+0.02+0.03+0.04)=1,
所以a=0.005.
(2)平均数为55×0.005×10+65×0.04×10+75×0.03×10+85×0.02×10+
95×0.005×10=73(分).
众数为65分.
中位数为+70=(分).
(3)数学成绩在区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)内的人数如下:
在区间[50,60)上的人数为100×0.005×10=5,
在区间[60,70)上的人数为100×0.04×10×=20,
在区间[70,80)上的人数为100×0.03×10×=40,
在区间[80,90)上的人数为100×0.02×10×=25,
所以数学成绩在区间[50,90)之外的人数为
100-5-20-40-25=10(人).
3.某自媒体为了了解公众网上购物的情况,收集并整理了2019年全年每月甲、乙两个网络购物平台点击量(单位:万次)的数据,绘制的折线图如图所示.根据该折线图,下列结论正确的是( )
A.全年甲平台的点击量要大于乙平台的点击量
B.全年各月甲平台点击量的中位数是28万次
C.全年各月乙平台点击量的极差为38万次
D.8月份甲、乙两个平台的点击量相差最多
答案:C
