第六章 6.4 6.4.3 第2课时
1．已知△ABC中，a＝，b＝，A＝30°，则c＝( C )
A．
B．
C．2或
D．或
[解析] 由正弦定理＝，得＝，
∴sinB＝.
∵b＞a，∴B＝60°或B＝120°.当B＝60°时，C＝90°，此时c＝2.当B＝120°时，C＝30°，此时c＝a＝.故选C．
2．已知在△ABC中，角A、B所对的边分别是a和b，若acos
B＝bcos
A，则△ABC一定是( A )
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
[解析] ∵acos
B＝bcos
A，∴由正弦定理，得sin
Acos
B＝sin
Bcos
A，∴sin(A－B)＝0，
由于－π
3．在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝__2__.
[解析] 在△ABC中，∠A＝75°，∠B＝45°，
所以∠C＝60°，
由正弦定理知＝，
所以AC＝＝＝2．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin
A＝____.
[解析] 因为A＋B＋C＝180°，
且A＋C＝2B，所以B＝60°，由正弦定理得sin
A＝＝＝.
5．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.
(1)求C的大小；
(2)如果a＋b＝6，·＝4，求c的值.
[解析] (1)∵＝，＝，
∴sin
C＝cos
C.∴tan
C＝.
又∵C∈(0，π)，∴C＝.
(2)∵·＝||·||cos
C＝ab＝4，∴ab＝8．
又∵a＋b＝6，由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos
C＝(a＋b)2－3ab＝12，∴c＝2.第六章 6.4 6.4.3 第3课时
A 组·素养自测
一、选择题
1．已知A、B两地的距离为10
km，B、C两地的距离为20
km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为( D )
A．10
km
B．
km
C．10
km
D．10
km
[解析] 在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝100＋400－2×10×20cos120°
＝100＋400－2×10×20×(－)＝700，
∴AC＝10，即A、C两地的距离为10
km.
2．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是( D )
A．γ，c，α
B．b，c，α
C．c，α，β
D．b，α，γ
[解析] 本题中a、c、β这三个量不易直接测量，故选D．
3．如图，从气球A测得济南全运会东荷、西柳两场馆B，C的俯角分别为α，β，此时气球的高度为h(A，B，C在同一铅垂面内)，则两个场馆B，C间的距离为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 在Rt△ADC中，AC＝，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝＝.
4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10
n
mlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时( C )
A．5
n
mlie
B．5
n
mlie
C．10
n
mlie
D．10
n
mlie
[解析] 如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，
∴∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，
在Rt△ABC中，求得AB＝5，
∴这艘船的速度是＝10(n
mlie/h).
5．(多选)某人向正东方向走了x
km后，向右转150°，然后朝新方向走3
km，结果他恰好离出发地
km，那么x的值为( AC )
A．
B．2
C．2
D．5
[解析] 本题考查余弦定理的应用.由题意得()2＝32＋x2－2×3xcos30°，解得x＝或2，故选AC．
二、填空题
6．在相距2
km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是____km.
[解析] 如图所示，由题意易知C＝45°，
由正弦定理得＝，从而AC＝·＝(km).
7．一只蜘蛛沿正北方向爬行x
cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10
cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x＝____cm.
[解析] 如图，
由题意知，∠BAC＝75°，∠ACB＝45°.∠B＝60°，
由正弦定理，得＝，
∴x＝＝＝.
8．坡度为45°的斜坡长为100
m，现在要把坡度改为30°，则坡底要伸长__50(－)__m.
[解析]
如图，BD＝100，∠BDA＝45°，∠BCA＝30°，
设CD＝x，所以(x＋DA)·tan
30°＝DA·tan
45°，
又DA＝BD·cos
45°＝100×＝50，
所以x＝－DA＝－50＝50(－)m.
三、解答题
9．如图，我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知CD＝6
000
m.∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目标出现于地面B处时测得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°.求炮兵阵地到目标的距离.(结果保留根号)
[解析] 在△ACD中，∠CAD＝60°，
AD＝＝CD.
在△BCD中，∠CBD＝135°，BD＝＝CD，
∠ADB＝90°.
在Rt△ABD中，AB＝＝CD
＝1
000(m).
10．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60
m，求建筑物的高度.
[解析] 设建筑物的高度为h，由题图知，
PA＝2h，PB＝h，PC＝h，
∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA＝，①
cos∠PBC＝.②
∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0．③
由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30
m.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知船A在灯塔C北偏东85°且到C的距离为2
km，船B在灯塔C西偏北25°且到C的距离为
km，则A、B两船的距离为( D )
A．2
km
B．3
km
C．
km
D．
km
[解析] 如图可知∠ACB＝85°＋(90°－25°)＝150°，
AC＝2，BC＝，
∴AB2＝AC2＋BC2－2AC、BC、cos150°＝13，
∴AB＝.
2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68
n
mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( A )
A．
n
mile/h
B．34
n
mile/h
C．
n
mile/h
D．34
n
mile/h
[解析] 如图所示，在△PMN中，＝，
∴MN＝＝34，∴v＝＝(n
mile/h).
3．如图，飞机的航线和山顶C在同一个铅垂面内，若飞机的海拔为18
km，速度为1
000
km/h，飞行员到达A点处看到山顶的俯角为30°，经过1
min后到达B点处看山顶的俯角为75°，则山顶的海拔为(精确到0.1
km，参考数据：≈1.732)( B )
A．11.4
km
B．6.6
km
C．6.5
km
D．5.6
km
[解析] 本题考查正弦定理的实际应用.
∵AB＝1
000×＝(km)，
∴BC＝·sin30°＝(km).
∴航线离山顶的距离为×sin75°＝×sin(45°＋30°)≈11.4(km).
∴山顶的海拔为18－11.4＝6.6(km).故选B．
4．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1
000
m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为( D )
A．500
m
B．200
m
C．1
000
m
D．1
000
m
[解析] ∵∠SAB＝45°－30°＝15°，
∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，
在△ABS中，AB＝＝
＝1
000，
∴BC＝AB·sin45°＝1
000×＝1
000(m).
二、填空题
5．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90
n
mile.此时海盗船距观测站10
n
mile，20
min后测得海盗船距观测站20
n
mlie，再过____min，海盗船到达商船.
[解析] 如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A、B、C处，20
min后，海盗船到达D处，在△ADC中，AC＝10，AD＝20，CD＝30，由余弦定理，得
cos∠ADC＝＝＝.
∴∠ADC＝60°，在△ABD中，由已知得∠ABD＝30°，
∠BAD＝60°－30°＝30°，
∴BD＝AD＝20，×60＝(min).
6．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100
m，则山高MN＝__150__
m
.
[解析] 如图，
在Rt△ABC中，BC＝100，∠CAB＝45°，∴AC＝100.
在△AMC中，∠CAM＝75°，∠ACM＝60°，
∴∠AMC＝45°.
由正弦定理知＝，∴AM＝100.
在Rt△AMN中，∠NAM＝60°，
∴MN＝AM·sin60°＝100×＝150(m).
三、解答题
7．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12
n
mile，渔船乙以10
n
mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2
h追上.
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sinα的值.
[解析] (1)依题意可得，在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.
由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784．解得BC＝28．
所以渔船甲的速度为＝14
n
mile/h.
(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，
由正弦定理，得＝.
即sinα＝＝＝.
8．如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6
km的速度步行了1
min以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB＝α，α的最大值为60°.
(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟；
(2)求塔的高AB.(结果保留根号，不求近似值)
[解析] (1)依据题意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝6
000×＝100(m)，
∠BDC＝45°－30°＝15°，
由正弦定理，得＝，
∴BC＝＝＝
＝＝50(－1)(m)，
在Rt△ABE中，tanα＝，
∵AB为定长，当BE的长最小时，α取最大值60°，
这时BE⊥CD，当BE⊥CD时，在Rt△BEC中，EC＝BC·cos∠BCE＝50(－1)·＝25(3－)(m)，
设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t
min，则t＝×60＝×60＝(min).
(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE⊥CD，在Rt△BEC中，BE＝BC·sin∠BCD，
所以AB＝BE·tan60°＝BC·sin∠BCD·tan60°＝50(－1)××＝25(3－)(m)，即所求塔高为25(3－)m.(共39张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第2课时 正弦定理
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明.(逻辑推理)
2．能应用正弦定理解三角形.(数学运算)
3．能综合利用余弦定理、正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.(数据分析)
1．通过研究特殊的三角形到一般的三角形，从而得到任意三角形的边角之间的数量关系，感受从特殊到一般的探究思想.
2．根据不同的条件选择不同的方法解三角形，特别是在已知两边及其中一边的对角解三角形时，要能正确确定解的个数并求解.
3．用正弦定理解决问题时，注意数形结合思想的应用.
4．在解三角形中灵活地选择定理进行边角互化.
必备知识·探新知
正弦定理的表示
知识点1
正弦
正弦定理的常见变形
知识点2
[微提醒] 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题
(1)已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角.
关键能力·攻重难
在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝2，求△ABC中其他边与角的大小.
[分析] 已知两角，由三角形内角和定理可求出第三个角，已知一边可由正弦定理求其他两边.
题型探究
题型一
已知两角和一边解三角形
典例
1
[归纳提升] 已知任意两角和一边，解三角形的步骤：
(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角.
(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边.
已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解.
A
[分析] 在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可运用正弦定理求解，但要注意解的个数的判定.
题型二
已知两边和其中一边的对角解三角形
典例
2
[归纳提升] 已知三角形两边及一边对角解三角形时利用正弦定理求解，但要注意判定解的情况.基本步骤是：(1)求正弦：根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值.判断解的情况.(2)求角：先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三角.(3)求边：根据正弦定理求第三条边的长度.
在△ABC中，若(a－c·cos
B)·sin
B＝(b－c·cos
A)·sin
A，判断△ABC的形状.
[分析]
题型三
判断三角形的形状
典例
3
[归纳提升] 在判断三角形的形状时，一般考虑从两个方向进行变形：一个方向是边，走的是代数变形途径，通常是正、余弦定理结合；另一个方向是角，走的是三角变换途径.由于高考重点考查的是三角变换，故解决此类问题时，可先考虑把边转化成角，若用此种方法不好解决问题，再考虑把角转化成边，但计算量常较大.
【对点练习】? 在△ABC中，若sin
A＝2sin
Bcos
C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.
题型四
正、余弦定理的简单综合
典例
4
易错警示
典例
5
忽视三角形中大边对大角
30°
C
课堂检测·固双基
素养作业·提技能(共40张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度等有关的实际应用问题.(数学运算)
2．能根据题意画出几何图形.(直观想象)
3．掌握运用正、余弦定理解决实际问题的方法.(数学建模)
4．能将实际问题转化为解三角形问题.(数学抽象)
通过正、余弦定理在实际中的应用感受正、余弦定理在解决三角形边角关系(长度与角度)中的工具性作用.
必备知识·探新知
(1)基线的定义
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.
(2)选择基线的原则
在测量过程中，为使测量工具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度，一般来说，基线_______，测量的精确度越高.
基线的概念与选择原则
知识点1
越长
(1)仰角和俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_______时叫仰角，目标视线在水平视线_______时叫俯角，如图所示.
相关术语
知识点2
上方
下方
(2)方位角
指从___________顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图1所示).
正北方向
(3)方位角的其他表示——方向角
①正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上.依此可类推正北方向、正东方向和正西方向.
②东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图2所示).
关键能力·攻重难
(1)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120
m，则河的宽度是_____m.
题型探究
题型一
测量距离问题
典例
1
60
[归纳提升] 测量距离的基本类型及方案
【对点练习】? (1)如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，测量者在A点所在的岸边选定一点C，测出AC＝60
m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为_________.
A
如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
题型二
测量高度问题
典例
2
[归纳提升] 测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题.
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.
【对点练习】? 如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800
m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.
题型三
测量角度问题
典例
3
某观测站C在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路上B处有一人，距C为31
km，正沿公路向A城走去，走了20
km后到达D处，此时CD间的距离为21
km，问：这人还要走多少千米才能到达A城？
易错警示
典例
4
[错因分析] 本题在解△ACD时，由于先求AC的长，再用余弦定理求AD，产生了增解.
100
n
mile或200
n
mile
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第六章 6.4 6.4.3 第3课时
1．如图，为了测量障碍物两侧A、B之间的距离，给定下列四组数据，测量时应该用的数据为( C )
A．α，a，b
B．α，β，a
C．a，b，γ
D．α，β，b
[解析] 由余弦定理，得|AB|＝.故选C．
2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( B )
A．α>β
B．α＝β
C．α＋β＝90°
D．α＋β＝180°
[解析] 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图如图.知α＝β，故选B．
3．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4
m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为( D )
A．12
m
B．8
m
C．3
m
D．4
m
[解析] 由题意知，∠A＝∠B＝30°，
所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，
由正弦定理得，＝，即
AB＝＝＝4.
4．如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角为α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°，已知甲楼高AB＝24米，则乙楼高CD＝__32__米.
[解析] 过A作AE⊥CD(图略)，垂足为E，ED＝AB＝24米，则AE＝＝＝8(米).
在Rt△ACE中，CE＝AE·tan
30°＝8×＝8(米)，
∴CD＝CE＋ED＝8＋24＝32(米).
5．某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上A，B两点处测量与地面垂直的塔CD的高，由A，B两地测得塔顶C的仰角分别为60°和45°，又知AB的长为40
m，斜坡与水平面成30°角，求该转播塔的高度.
[解析] 如图所示，由题意，得∠ABC＝45°－30°＝15°，
∠DAC＝60°－30°＝30°.
∴∠BAC＝150°，∠ACB＝15°，
∴AC＝AB＝40
m，∠ADC＝120°，∠ACD＝30°.
在△ACD中，由正弦定理，得
CD＝×AC＝×40＝(m).
故转播塔的高度为
m.(共33张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．理解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理及其推论.(逻辑推理)
2．能用余弦定理解三角形.(数学运算)
1．进一步感受向量三角形法则与数量积运算的价值，体会向量数量积运算在解决长度问题中的特点.
2．通过特殊化与一般化感受勾股定理与余弦定理的关系，并加深对勾股定理的理解.
必备知识·探新知
余弦定理
知识点1
文字语言
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和_______这两边与它们的夹角的余弦的积的_____倍
符号语言
在△ABC中，a2＝___________________，
b2＝___________________，
c2＝___________________
推论
在△ABC中，
cos
A＝________，cos
B＝________，cos
C＝_________
减去
两
b2＋c2－2bccos
A
c2＋a2－2cacos
B
a2＋b2－2abcos
C
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的_______.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做___________.
解三角形
知识点2
元素
解三角形
[微提醒] (1)利用余弦定理可以解两类有关三角形的问题
①已知两边及其夹角，解三角形；
②已知三边，解三角形.
(2)余弦定理和勾股定理的关系
在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos
C，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.
关键能力·攻重难
[分析] (1)由余弦定理可直接求第三边；
(2)先由余弦定理建立方程，从中解出BC的长.
题型探究
题型一
已知两边及一角解三角形
典例
1
60
4或5
[归纳提升] 已知两边及一角解三角形的两种情况
(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解.
(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其它角.
D
在△ABC中，a︰b︰c＝3︰5︰7，求其最大内角.
[分析] 由已知条件知角C为最大角，然后利用余弦定理求解.
题型二
已知三边解三角形
典例
2
[归纳提升] 已知三角形三边求角，可先用余弦定理求一个角，继续用余弦定理求另一个角，进而求出第三个角.
A
120°
在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos
Bcos
C，试判断△ABC的形状.
[分析] 思路一，利用正弦定理将已知等式化为角的关系；思路二，利用余弦定理将已知等式化为边的关系.
[解析] 已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos
B·cos
C，∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋2bccos
B·cos
C，∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccos
Bcos
C＝(bcosC＋ccosB)2＝a2，∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形.
题型三
判断三角形的形状
典例
3
[归纳提升] 利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项
(1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解.
【对点练习】? 在△ABC中，acos
A＋bcos
B＝ccos
C，试判断△ABC的形状.
通分得
a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理得(a2－b2)2＝c4．
∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2．
根据勾股定理知△ABC是直角三角形.
设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围.
易错警示
典例
4
忽略三角形三边关系导致出错
[名师点津] 由于余弦定理及公式的变形较多，且涉及平方和开方等运算，可能会因不细心而导致错误.在利用余弦定理求出三角形的三边时，还要判断一下三边能否构成三角形.
【对点练习】? 在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，c＝t，且C是最大角，求t的取值范围.
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第六章 6.4 6.4.3 第1课时
A 组·素养自测
一、选择题
1．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( A )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 设△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则a＝3，c＝，∠C＝120°，由余弦定理，得13＝9＋b2＋3b，解得b＝1，即AC＝1．
2．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 设等腰三角形的底边边长为x，则两腰长为2x(如图)，
由余弦定理得
cosA＝＝，故选D．
3．(多选)在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝b＝12，则c的值为( AB )
A．4
B．8
C．4或6
D．无解
[解析] 由3a＝b＝12，得a＝4，b＝4，
利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos
A，
即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8．
4．在△ABC中，若aA．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．不存在
[解析] ∵c2∵a5．△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A＝( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2cosA，所以2b2(1－sinA)＝2b2(1－cosA)，所以sinA＝cosA，即tanA＝1，又0二、填空题
6．在△ABC中，若a＝＋1，b＝－1，c＝，则△ABC的最大角的度数为__120°__.
[解析] 由c>a>b，知角C为最大角，则cosC＝＝－，∴C＝120°，即此三角形的最大角为120°.
7．在△ABC中，B＝45°，AC＝，AB＝2，则BC＝__3__.
[解析] 由余弦定理得AC2＝BC2＋AB2－2BC·ABcosB，又因为B＝45°，AC＝，AB＝2，所以()2＝BC2＋22－2×BC×2×cos45°，
整理，得BC2－2BC－6＝0，
所以(BC－3)(BC＋)＝0，
解得BC＝3或BC＝－(舍去)，
所以BC边的长为3.
8．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b＝，c＝1＋，且a2＝b2＋c2－2bcsinA，则边a＝__2__.
[解析] 由已知及余弦定理，得sinA＝＝cosA，
∴A＝45°，∴a2＝b2＋c2－2bccos45°＝4，a＝2．
三、解答题
9．在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求角A、B、C.
[解析] 在△ABC中，由余弦定理，得
cosC＝＝
＝＝.
∴C＝45°；同理A＝30°.
∴B＝180°－(A＋C)＝180°－(30°＋45°)＝105°.
10．在△ABC中，b＝asin
C，c＝acos
B，试判断△ABC的形状.
[解析] 由余弦定理知cos
B＝，
代入c＝acos
B，得c＝a·，
∴c2＋b2＝a2．
∴△ABC是以A为直角的直角三角形.
又∵b＝asin
C，∴b＝a·.∴b＝c.
∴△ABC也是等腰三角形.
综上所述，△ABC是等腰直角三角形.
B 组·素养提升
一、选择题
1．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为( B )
A．
B．
C．
D．3
[解析] 如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，且AB＝3，BC＝，AC＝4．
∵cosA＝＝，
∴sinA＝.
故BD＝AB·sinA＝3×＝.
2．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝，则·等于( D )
A．－
B．－
C．
D．
[解析] ∵·＝||·||·cos〈，〉，
由向量模的定义和余弦定理可以得出||＝3，||＝2，cos〈，〉＝＝.
故·＝3×2×＝.
3．锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是( C )
A．1B．1C．D．不确定
[解析] 若a是最大边，则cos
A>0，
∴>0，由b＝1，c＝2，可解得a<；
若c是最大边，则cos
C>0，
∴>0，解得a>.
∴a的取值范围是4．(2018·全国卷Ⅱ理，6)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( A )
A．4
B．
C．
D．2
[解析]cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－，在
△ABC中，由余弦定理，得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cosC，
所以AB2＝1＋25－2×1×5×＝32，
所以AB＝4.
二、填空题
5．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C的大小为 .
[解析] ∵p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，p∥q，
∴(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，
即a2＋b2－c2＝ab.
由余弦定理，得cosC＝＝＝，
∵06．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos
B＝－，则b＝__4__.
[解析] 因为b＋c＝7，所以c＝7－b.
由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos
B，即b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×(－)，解得b＝4．
三、解答题
7．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长.
[解析] 由余弦定理的推论，得
cosA＝＝＝，
设中线长为x，由余弦定理知：
x2＝()2＋AB2－2××ABcosA＝42＋92－2×4×9×＝49，则x＝7．所以，所求中线长为7．
8．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1)求角A的大小；
(2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状.
[解析] (1)∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
∴a2＝b2＋c2－bc，
而a2＝b2＋c2－2bccos
A，∴2cos
A＝1，∴cos
A＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos
A，且a＝，
∴()2＝b2＋c2－2bc·＝b2＋c2－bc.①
又∵b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3，
∴∴b＝c＝，
于是a＝b＝c＝，即△ABC为等边三角形.第六章 6.4 6.4.3 第1课时
1．在△ABC中，已知a＝9，b＝2，C＝150°，则c等于( D )
A．
B．8
C．10
D．7
[解析] 由余弦定理得：
c＝
＝＝7.
2．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于( C )
A．60°
B．45°
C．120°
D．30°
[解析] 由cos
A＝＝－，∴A＝120°.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC( C )
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．是锐角或直角三角形
[解析] 由>0得－cos
C>0，所以cos
C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形.
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝，c＝，则B＝____.
[解析] cos
B＝＝＝－，又B∈(0，π)，∴B＝.
5．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
[解析] 在△ABC中，
∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，
∴B＝60°.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos
B＝(a＋c)2－2ac－2accos
B＝82－2×15－2×15×＝19．∴b＝.第六章 6.4 6.4.3 第2课时
A 组·素养自测
一、选择题
1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝，则sinB＝( B )
A．
B．
C．
D．1
[解析] 由＝，知＝，即sinB＝，选B．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则的值为( D )
A．－
B．
C．1
D．
[解析] 由正弦定理得＝
＝－1＝－1＝.
3．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则sinA＝( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由已知，得＝×2××sinA，
∴sinA＝.
4．在△ABC中，已知3b＝2asin
B，且cos
B＝cos
C，角A是锐角，则△ABC的形状是( D )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
[解析] 由3b＝2asin
B，得＝，根据正弦定理，得＝，所以＝，即sin
A＝.又角A是锐角，所以A＝60°.又cos
B＝cos
C，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C.故△ABC为等边三角形，故选D．
5．(多选)在△ABC中，若a＝2，b＝2，A＝30°，则B为( AC )
A．60°
B．30°
C．120°
D．30°或150°
[解析] 由正弦定理可知＝，
∴sin
B＝＝＝，
∵B∈(0°，180°)，∴B＝60°或120°.
二、填空题
6．已知△ABC外接圆半径是2
cm，∠A＝60°，则BC边长为__2
cm .
[解析] ∵＝2R，
∴BC＝2RsinA＝4sin60°＝2(cm).
7．(2019·北师大附二中高二检测)在△ABC中，若B＝2A，a︰b＝1︰，则A＝__30°__.
[解析] 由正弦定理＝知，
＝＝，
所以sinB＝sinA＝sin2A.
所以cosA＝，因为A为△ABC的内角，
所以A＝30°.
8．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为____.
[解析] 由余弦定理可得49＝AC2＋25－2×5×AC×cos
120°，整理得：
AC2＋5·AC－24＝0，解得AC＝3或AC＝－8(舍去)，
再由正弦定理可得＝＝.
三、解答题
9．在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，求△ABC中其他边与角的大小.
[解析] 由正弦定理，得＝，
∴sinC＝＝＝，
∵因为0°当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1；
当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1．
∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，
C＝120°.
10．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC.
[解析] (1)在△ABD中，
由正弦定理得＝，
由题设知，＝，
所以sin∠ADB＝.
由题设知，∠ADB<90°，
所以cos∠ADB＝＝.
(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.
在△BCD中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，所以BC＝5．
B 组·素养提升
一、选择题
1．在△ABC中，若sin
A>sin
B，则A与B的大小关系为( A )
A．A>B
B．AC．A≥B
D．A，B的大小关系不确定
[解析] 设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵sin
A>sin
B，∴2Rsin
A>2Rsin
B(R为△ABC外接圆的半径)，即a>b，故A>B.
2．在△ABC中，a＝1，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积为( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由正弦定理，得c＝
＝，∵B＝180°－30°－45°＝105°，
sin105°＝sin(60°＋45°)
＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝，
∴S△ABC＝acsinB＝.
3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝( D )
A．－
B．
C．
－1
D．
1
[解析] ∵acosA＝bsinB，
∴sinAcosA＝sin2B＝1－cos2B，∴sinAcosA＋cos2B＝1．
4．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝，则C＝( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 因为a＝2，c＝，
所以由正弦定理可知，＝，
故sinA＝sinC，
又B＝π－(A＋C)，
故sinB＋sinA(sinC－cosC)
＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC
＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC
＝(sinA＋cosA)sinC
＝0．
又C为△ABC的内角，
故sinC≠0，
则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1．
又A∈(0，π)，所以A＝.
从而sinC＝sinA＝×＝.
由A＝知C为锐角，故C＝.
故选B．
二、填空题
5．在△ABC中，已知a︰b︰c＝4︰3︰5，则＝__1__.
[解析] 设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，由正弦定理，得＝＝1．
6．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，则B＝____.
[解析] 由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，
得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.
∴2sinBcosB＝sin(A＋C).
又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.
∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.
又sinB≠0，∴cosB＝.
又∵0三、解答题
7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.
(1)求的值；
(2)若cos
B＝，△ABC的周长为5，求b的长.
[解析] (1)由正弦定理可设
＝＝＝k，
则＝
＝，
所以＝，
即(cos
A－2cos
C)sin
B
＝(2sin
C－sin
A)cos
B，
化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C).
又A＋B＋C＝π，
所以sin
C＝2sin
A，因此＝2．
(2)由＝2，得c＝2a.
由余弦定理及cos
B＝，
得b2＝a2＋c2－2accos
B＝a2＋4a2－4a2×＝4a2，所以b＝2a.
又a＋b＋c＝5，所以a＝1，因此b＝2．
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos
C(acos
B＋bcos
A)＝c.
(1)求C.
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长.
[解析] (1)由已知及正弦定理得，
2cos
C(sin
Acos
B＋sin
Bcos
A)＝sin
C，
即2cos
Csin(A＋B)＝sin
C.
故2sin
Ccos
C＝sin
C.
又C为△ABC的内角，
可得cos
C＝，所以C＝.
(2)由已知，absin
C＝.
又C＝，所以ab＝6．
由已知及余弦定理得a2＋b2－2abcos
C＝7．
故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25．
所以△ABC的周长为5＋.