第七章 7.1 7.1.1
1．(1＋)i的实部与虚部分别是( C )
A．1，
B．1＋，0
C．0,1＋
D．0，(1＋)i
[解析] (1＋)i可看作0＋(1＋)i＝a＋bi，
所以实部a＝0，虚部b＝1＋.
2．若复数z＝＋(m＋2)i的实部与虚部相等，则实数m的值为__－__.
[解析] 由条件知＝m＋2，
∴m2＋4m＝m2＋m－2，∴m＝－.
3．已知A＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，则实数a的值为__－1__.
[解析] 以A∩B＝{3}为解题突破口，按题意a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3，
∴解得a＝－1．
4．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于__－3__.
[解析] ∵z<0，∴，∴m＝－3．
5．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0．
[解析] 由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3．
(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或－3；
(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3．
(3)当时，复数z是纯虚数，∴m＝－2．
(4)当时，复数z是0，∴m＝－3．(共35张PPT)
第七章
复数
7.1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程，理解复数集出现的一些基本概念.(逻辑推理)
2．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件.(逻辑推理)
3．会根据复数相等的充要条件解方程.(数学运算)
1．每一种数的出现都是在研究代数方程的过程中产生的，学习时可以查阅一元多项式方程求解的历史，感受数的产生，体会复数产生的必要性.
2．类比数的分类方法，感受复数的分类.
必备知识·探新知
1．复数的定义
我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做___________，满足i2＝______.全体复数所构成的集合C＝____________________叫做复数集.
复数及相关概念
知识点1
虚数单位
－1
{a＋bi|a，b∈R}
2．复数的表示
复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的_______与_______.
3．复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等当且仅当_____________.
实部
虚部
a＝c且b＝d
复数的分类
知识点2
实数
虚数
[知识解读] 1．数系扩充的脉络
自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集.
2．复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi.
(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是.
3．两个复数相等的条件
(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立.
(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解.
关键能力·攻重难
(1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0．其中真命题的个数为
( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)(2019·启东高二检测)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是__________.
题型探究
题型一
复数的概念
典例
1
B
(3)判断下列命题的真假.
①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；
②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；
③实数集的补集是虚数集.
[解析] (1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；
对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；
对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题.
[归纳提升] 判断与复数有关的命题是否正确的方法
1．举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类型题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答.
2．化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部.
特别提醒：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质.
【对点练习】? 给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②若复数z＝3m＋2ni，则其实部与虚部分别为3m,2n；③在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数；④若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数.其中正确的说法的序号是_____.
③
[解析] ①错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数.
②错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与虚部分别为3m,2n.
③正确，复数z＝x＋yi(x，y∈R)为纯虚数的条件是x＝0且y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数.
④错，只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数.
[分析] 根据复数分类的标准及条件，建立关于实数m的方程或不等式(组)，求解m满足的条件.
题型二
复数的分类及其应用
典例
2
[归纳提升] 利用复数的分类求参数的方法及注意事项.
1．利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，若不是这种形式，应先化为这种形式，得到实部与虚部，再求解；
2．要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解；
3．要特别注意复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0，且b≠0．
已知x是实数，y是纯虚数，且满足(3x－10)＋i＝y－3i，求x与y.
[分析] 因为y是纯虚数，所以可设y＝bi(b∈R，b≠0)代入等式，把等式的左、右两边都整理成a＋bi的形式后，可利用复数相等的充要条件得到关于x与b的方程组，求解后得x与b的值.
题型三
复数相等的条件
典例
3
[归纳提升] 一般利用复数相等的充要条件，可由一个复数等式得到两个实数等式组成的方程组，从而可确定两个独立参数.复数相等是实现复数向实数转化的桥梁.
C
－1
给出下列命题：(1)若x＋yi＝0，则x＝y＝0；(2)若a＋bi＝3＋8i，则a＝3，b＝8；(3)若x为实数，且(x2－4)＋(x2＋2x)i是纯虚数，则x＝±2；(4)若x，m∈R且3x＋mi<0，则有x<0．其中正确命题的序号是______.
[错解] (1)(2)(4)
[错因分析] a，b∈R是复数代数形式定义中的必不可少的条件，忽视了这一条件，就会导致错误的答案.
易错警示
典例
4
对复数相关概念的理解不清致误
(4)
[点评] 复数中的许多结论，都是建立在复数为标准的代数形式这一条件下的，如果没有这一条件，相应结论不一定能够成立.例如：a＋bi＝0?a＝b＝0成立的条件是a，b∈R；a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d成立的条件是a，b，c，d∈R.另外，复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的条件是a＝0，且b≠0，切记不能丢掉“b≠0”这一条件.
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第七章 7.1 7.1.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．(2020·泉州高二检测)如果复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i为纯虚数，那么实数a的值为( A )
A．－2
B．1
C．2
D．1或－2
[解析] 由题意知：解得a＝－2，故选A．
2．设a－2＋(2a＋1)i的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝( A )
A．－3
B．－2
C．2
D．3
[解析] 由题意知a－2＝2a＋1，解得a＝－3．故选A．
3．(2019·西安高二检测)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a－bi为纯虚数”的( B )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] ∵a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，故选B．
4．(多选)有下列四个命题，其中正确的是( ABC )
①方程2x－5＝0在自然数集N中无解；
②方程2x2＋9x－5＝0在整数集Z中有一解，在有理数集Q中有两解；
③x＝i是方程x2＋1＝0在复数集C中的一个解；
④x4＝1在R中有两解，在复数集C中也有两解.
A．①
B．②
C．③
D．④
[解析] 经逐一检验知①②③正确，④中方程x4＝1在C中有4解，错误，故选ABC．
5．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( C )
A．a＝－1
B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1
D．a≠2
[解析] 若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1，故选C．
二、填空题
6．(2020·广元模拟)已知a是实数，i是虚数单位，若z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，则a＝__1__.
[解析] ∵z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，
∴，解得a＝1．
故答案为1．
7．(2019·江苏卷，2改编)已知复数a－2＋(a＋2)i的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是__2__.
[解析] ∵a－2＋(a＋2)i的实部为0，
故a＝2．
8．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝__2__，n＝__±2__.
[解析] 由复数相等的充要条件有
?
三、解答题
9．分别求满足下列条件的实数x，y的值.
(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
(2)＋(x2－2x－3)i＝0．
[解析] (1)∵x，y∈R，
∴由复数相等的定义得
解得
(2)∵x∈R，
∴由复数相等的定义得
即∴x＝3．
10．实数m分别为何值时，复数z＝＋(m2－3m－18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.
[解析] (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0．
故若使z为实数，则，
解得m＝6．所以当m＝6时，z为实数.
(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0．
故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0，
所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数.
(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0．
故若使z为纯虚数，则，
解得m＝－或m＝1．
所以当m＝－或m＝1时，z为纯虚数.
B 组·素养提升
一、选择题
1．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为( B )
A．2kπ－
B．2kπ＋
C．2kπ±
D．＋(以上k∈Z)
[解析] 由得
(k∈Z).
∴θ＝2kπ＋(k∈Z).
2．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为( A )
A．0
B．－1
C．－
D．
[解析] 由z1>z2，得
即解得a＝0．
3．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围为( D )
A．－7≤λ≤
B．≤λ≤7
C．－1≤λ≤1
D．－≤λ≤7
[解析] 由z1＝z2，得
消去m，得λ＝4sin2θ－3sinθ＝4(sinθ－)2－.
由于－1≤sinθ≤1，故－≤λ≤7．
4．(2020·哈尔滨高二检测)若复数z＝(sinθ－)＋(cosθ－)i(θ∈R)是纯虚数，则tan(θ－)的值为( A )
A．－7
B．－
C．7
D．－7或－
[解析] 因为复数z是纯虚数，所以满足实部为零且虚部不为零，即
因为sinθ＝且cosθ≠，
所以cosθ＝－，所以tanθ＝－，
所以tan(θ－)＝＝＝－7．
二、填空题
5．若复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，则x的值为__4__.
[解析] ∵复数z＝log2(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)为实数，
∴，解得：x＝4．
6．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于__3－i__.
[解析] 由题意，n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即解得∴z＝3－i.
三、解答题
7．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值.
[解析] 由题意，得
∴∴当m＝3时，原不等式成立.
8．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值.
[解析] 由定义运算＝ad－bc，
得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
因为x，y为实数，
所以有
得得x＝－1，y＝2．
