(共37张PPT)
第七章
复数
7.1 复数的概念
7.1.2 复数的几何意义
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.(直观想象)
2．掌握实轴、虚轴、模及共轭复数等概念.(直观想象)
3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法并能够解决与模有关的问题.(直观想象)
1．类比向量的坐标表示理解复数的几何意义及模的概念.
2．类比向量的形式特征，感受复数的形式特征.
必备知识·探新知
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做_________，x轴叫做_______，y轴叫做_______.实轴上的点都表示_______；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
复平面
知识点1
复平面
实轴
虚轴
实数
实轴
虚轴
复数的几何意义
知识点2
Z(a,b)
复数的模
知识点3
|z|
|a＋bi|
|a|
共轭复数
知识点4
相等
互为相反数
a－bi
[要点解读] 1．复平面、实轴、虚轴与复数的对应
(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示.
(2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数.
(3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数.
关键能力·攻重难
已知复数z＝(a2－4)＋(2a－3)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足以下条件时，求a的值(或取值范围).
(1)Z在实轴上；
(2)Z在第二象限；
(3)Z在抛物线y2＝4x上.
[分析] 根据复数与点的对应关系，得到复数的实部与虚部之间应满足的条件，建立关于a的方程或不等式，即可求得实数a的值(或取值范围)
题型探究
题型一
复数与复平面内点的关系
典例
1
[归纳提升] 1．复数与复平面内点的对应关系的实质：复数的实部就是其对应点的横坐标，复数的虚部就是其对应点的纵坐标.
2．已知复数在复平面内对应点满足的条件求参数值(或取值范围)时，可根据复数与点的对应关系，找到复数实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求得参数值(或取值范围).
【对点练习】? (1)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于
( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
(2)复数z＝(3m－2)＋(m－1)i(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于
( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
C
B
(1)在复平面内，复数10＋7i，－6＋i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是
( )
A．4＋8i
B．16＋6i
C．2＋4i
D．8＋3i
[分析] 根据复数与点、复数与向量的关系求解.
题型二
复数与复平面内向量的关系
典例
2
C
A
－6－8i
[分析] (1)根据求模公式进行计算；
(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a，b.
题型三
复数的模
典例
3
已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是
( )
A．1个圆
B．线段
C．2个点
D．2个圆
[错解] 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，故选D．
[错因分析] 错解中忽视了“|z|”的几何意义导致错误.
[正解] 由题意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1．
∵|z|≥0，∴|z|＝－1应舍去，故应选A．
易错警示
典例
4
混淆复数的模与实数的绝对值致误
A
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第七章 7.1 7.1.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．(2019·海淀区二模)已知复数z在复平面上对应的点为(1，－1)，则( C )
A．z＝－1＋i
B．z＝1＋i
C．z＋i是实数
D．z＋i是纯虚数
[解析] ∵复数z在复平面上对应的点为(1，－1)，
∴z＝1－i.
∴z＋i＝1－i＋i＝1，
∴z＋i是实数.
故选C．
2．在复平面内，复数z＝cos
3＋isin
3的对应点所在象限为( B )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] ∵<3<π，∴sin
3>0，cos
3<0，故复数z＝cos
3＋isin
3的对应点位于第二象限.
3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( C )
A．4＋8i
B．8＋2i
C．2＋4i
D．4＋i
[解析] 复数6＋5i对应的点为A(6,5)，复数－2＋3i对应的点为B(－2,3).利用中点坐标公式得线段AB的中点C(2,4)，故点C对应的复数为2＋4i.
4．已知0
A．(1，)
B．(1，)
C．(1,3)
D．(1,5)
[解析] |z|2＝a2＋1，∵05．(2019·陕西三模)在复平面内，表示复数z＝5a＋(6－a2)i的点在第二象限，则实数a满足( A )
A．－B．a<－
C．0D．－[解析] ∵z＝5a＋(6－a2)i对应的点在第二象限，
∴，解得－故选A．
二、填空题
6．i为虚数单位，设复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝__－2＋3i__.
[解析] ∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3).
∴z2＝－2＋3i.
7．复数3－5i、1－i和－2＋ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为__5__.
[解析] 复数3－5i,1－i和－2＋ai在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a)，所以由三点共线的条件可得＝.解得a＝5．
8．已知3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，则|1－5i|，|x－yi|，|y＋2i|的大小关系为__|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|__.
[解析] 由3－4i＝x＋yi(x，y∈R)，得x＝3，y＝－4．
而|1－5i|＝＝，|x－yi|＝|3＋4i|＝＝5，|y＋2i|＝|－4＋2i|＝＝2.
∵2<5<，∴|y＋2i|<|x－yi|<|1－5i|.
三、解答题
9．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i是：
(1)对应点在x轴上方；
(2)对应点在直线x＋y＋5＝0上.
[解析] (1)由m2－2m－15>0，得知m<－3或m>5时，z的对应点在x轴上方；
(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0，得知：
m＝或m＝，
z的对应点在直线x＋y＋5＝0上.
10．在复平面上，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i,2，O为复平面的坐标原点.
(1)求向量＋，对应的复数；
(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数.
[解析] (1)由已知得，，所对应的复数分别为1＋4i，－3i,2，
于是＝(1,4)，＝(0，－3)，＝(2,0)，
因此＋＝(1,1)，＝－＝(1，－4)，
故＋对应的复数为1＋i，对应的复数为1－4i.
(2)由已知得点A，B，C的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则AC的中点为(，2)，由平行四边形的性质知BD的中点也是(，2)，若设D(x0，y0)，则
有解得故D(3,7).
B 组·素养提升
一、选择题
1．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上，则实数m的值是( C )
A．－1
B．4
C．－1和4
D．－1和6
[解析] 由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C．
2．复平面内，向量表示的复数为1＋i，将向右平移一个单位后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为( C )
A．1＋i,1＋i
B．2＋i,2＋i
C．1＋i,2＋i
D．2＋i,1＋i
[解析] 向量向右平移一个单位后起点O′(1,0)，
∵＝＋＝＋＝(1,0)＋(1,1)＝(2,1)，
∴点A′对应复数2＋i，又＝，
∴对应复数为1＋i.故选C．
3．(2020·湖北孝感高二检测)若(a－2)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2＝( D )
A．0
B．2
C．5
D．1
[解析] 由题意，得解得
∴a2＋b2＝1．
4．(多选)设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中不正确的是( ABD )
A．在复平面内，z对应的点在第一象限
B．z一定不是纯虚数
C．在复平面内，z对应的点在实轴上方
D．z一定是实数
[解析] ∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴A，B，D错误.故选ABD．
二、填空题
5．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则＝__＋4i__.
[解析] 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则，所以，所以＝＋4i.
6．在复平面内，已知O为坐标原点，点Z1，Z2分别对应复数z1＝4＋3i，z2＝2a－3i(a∈R)，若⊥，则a＝____.
[解析] 因为z1＝4＋3i，z2＝2a－3i(a∈R)，所以＝(4,3)，＝(2a，－3).因为⊥，所以8a＝9，即a＝.
三、解答题
7．已知O为坐标原点，对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i(a∈R).若与共线，求a的值.
[解析] 因为对应的复数为－3＋4i，对应的复数为2a＋i，
所以＝(－3,4)，＝(2a,1).
因为与共线，所以存在实数k使＝k，
即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，
所以所以
即a的值为－.
8．已知两向量a，b对应的复数分别是z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R)，且a，b的夹角为60°，求m的值.
[解析] 因为a，b对应的复数分别为z1＝－3，z2＝－＋mi(m∈R)，所以a＝(－3,0)，b＝(－，m).
又a，b的夹角为60°，所以cos60°
＝，
即＝，解得m＝±.第七章 7.1 7.1.2
1．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是( B )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
[解析] 在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称.
2．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( A )
A．1或3
B．1
C．3
D．2
[解析] 依题意可得＝2，解得m＝1或3，故选A．
3．(2019·天津模拟)若复数z＝－i，则其复数(z与的实部相等，虚部互为相反数)在复平面内对应的点位于( A )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] 由z＝－i，
∴＝＋i，
则在复平面内对应的点的坐标为(，)，位于第一象限.故选A．
4．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是( D )
A．z1>z2
B．z1C．|z1|>|z2|
D．|z1|<|z2|
[解析] 不全为实数的两个复数不能比较大小，排除选项A，B．
又|z1|＝，|z2|＝，∴|z1|<|z2|.
故选D．
5．已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，且z1＋z2＝i，求z1，z2的值.
[解析] 由z1＋z2＝i及|z1|＝|z2|＝1，
设z1＝a＋bi(a，b∈R)，
则z2＝i－z1＝－a＋(1－b)i.
且解得
∴z1＝＋i，z2＝－＋i，
或z1＝－＋i，z2＝＋i.