第七章 7.2 7.2.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( B )
A．－2
B．4
C．3
D．－4
[解析] z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B．
2．设x∈R，则“x＝1”是“复数z＝(x2－1)＋(x＋1)i为纯虚数”的( A )
A．充分必要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] z是纯虚数??x＝1，故选A．
3．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数z1－z2＝( B )
A．－1＋2i
B．－2－2i
C．1＋2i
D．1－2i
[解析] ＝(－2，－1)，＝(0,1)，
∴z1＝－2－i，z2＝i，
∴z1－z2＝－2－2i.
4．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是( A )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．锐角三角形
D．钝角三角形
[解析] |AB|＝|2i－1|＝，|AC|＝|4＋2i|＝，|BC|＝5，
∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2．故选A．
5．(多选)设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么( BD )
A．z的虚部为i
B．z的虚部为1
C．z＝－－i
D．z＝＋i
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi＋＝2＋i，
∴解得∴z＝＋i.
∴z的虚部为1．
二、填空题
6．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝__5__.
[解析] |(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝＝5．
7．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝__－1＋10i__.
[解析] ∵z1＋z2＝5－6i，
∴(x＋2i)＋(3－yi)＝5－6i，
∴即
∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i，
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
8．已知|z|＝，且z－2＋4i为纯虚数，则复数z＝__2±i__.
[解析] 设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，
则z－2＋4i＝(x－2)＋(y＋4)i.
由题意知
∴或∴z＝2±i.
三、解答题
9．已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)，设z＝z1－z2＝13－2i，求z1，z2．
[解析] z＝z1－z2＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i，
又∵z＝13－2i，且x，y∈R，
∴解得
∴z1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i＝5－9i，
z2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i
＝－8－7i.
10．(1)若|z1|＝|z2|＝1，且|z1＋z2|＝，求|z1－z2|.
(2)设向量及在复平面内分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1－z2，并在复平面内表示出来.
[解析] (1)|z1＋z2|和|z1－z2|是以和为两邻边的平行四边形的两条对角线的长.
如图所示，由|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，知四边形为正方形，
∴另一条对角线的长|z1－z2|＝.
(2)z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i.
如图所示，即为z1－z2所对应的向量.
根据复数减法的几何意义：复数z1－z2是连接向量，的终点，并指向被减数的向量所对应的复数.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z等于( D )
A．－3
B．3
C．－3i
D．3i
[解析] 设z＝x＋yi，x，y∈R，
则z＋3i＝x＋(y＋3)i.因为z＋3i是纯虚数，
所以又因为|z|＝＝3，解得x＝0，y＝3，即z＝3i.
2．□ABCD中，点A、B、C分别对应复数4＋i、3＋4i、3－5i，则点D对应的复数是( C )
A．2－3i
B．4＋8i
C．4－8i
D．1＋4i
[解析] 对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，
设点D对应的复数为z，则对应的复数为(3－5i)－z.
由平行四边形法则知＝，
∴－1＋3i＝(3－5i)－z，
∴z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C．
3．(2020·福州高二检测)已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，那么实数a的值为( C )
A．1
B．2
C．－2
D．－2或1
[解析] 由z1＋z2＝a2－2＋a＋(a2－3a＋2)i是纯虚数，得?a＝－2．
4．设复数z满足|z－3－4i|＝1，则|z|的最大值是( D )
A．3
B．4
C．5
D．6
[解析] 因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心，半径为1的圆上，由几何性质得|z|的最大值是＋1＝6．
二、填空题
5．(2020·大连高二检测)在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为z0＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为__－4__.
[解析] 因为＋＝，
所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，
所以得a－b＝－4．
6．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|为__2__.
[解析] 由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应z1，z2的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2.
三、解答题
7．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，求：
(1)点C，D对应的复数；
(2)平行四边形ABCD的面积.
[解析] (1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，
所以向量对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.
又＝＋，
所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)
＝4－2i.
因为＝，
所以向量对应的复数为3－i，
即＝(3，－1).
设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，
所以，解得
所以点D对应的复数为5．
(2)因为·＝||||cosB，
所以cosB＝＝＝.
所以sinB＝.
所以S＝||||sinB＝××＝7，
所以平行四边形ABCD的面积为7．
8．已知|z|＝2，求|z＋1＋i|的最大值和最小值.
[解析] 设z＝x＋yi，则由|z|＝2知x2＋y2＝4，
故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，
∴|z＋1＋i|表示圆上的点到点(－1，－)的距离.
又∵点(－1，－)在圆x2＋y2＝4上，
∴圆上的点到点(－1，－)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，
即|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为4和0．第七章 7.2 7.2.1
1．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1－z2是纯虚数，则有( A )
A．a－c＝0且b－d≠0
B．a－c＝0且b＋d≠0
C．a＋c＝0且b－d≠0
D．a＋c＝0且b＋d≠0
[解析] z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i，因为z1－z2是纯虚数，所以a－c＝0且b－d≠0．
2．[(a－b)－(a＋b)i]－[(a＋b)－(a－b)i]等于( A )
A．－2b－2bi
B．－2b＋2bi
C．－2a－2bi
D．－2a－2ai
[解析] 原式＝[(a－b)－(a＋b)]＋[－(a＋b)＋(a－b)]i＝－2b－2bi.
3．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是( C )
A．
B．i
C．＋i
D．＋2i
[解析] 解法1：设所求的复数为x＋yi(x，y∈R)，由题意知x＋yi＋＝5＋i.
∴(x＋)＋yi＝5＋i.
由复数相等的定义，得
解得故所求的复数为＋i.
解法2：由条件知所求复数虚部为，实部不为零，所以选C．
4．已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2对应的点位于复平面内的( A )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] z＝z1－z2＝(3＋2i)－(1－3i)＝2＋5i，点(2,5)在第一象限.
5．已知x，y∈R，i为虚数单位，若1＋xi＝(2－y)－3i，则|x＋yi|＝( A )
A．
B．3
C．
D．
[解析] 1＋xi＝(2－y)－3i??则|x＋yi|＝.(共29张PPT)
第七章
复数
7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握复数代数形式的加、减运算法则，并会简单应用.(数学运算)
2．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.(直观想象)
1．类比向量加、减的坐标运算，感受和把握复数的加、减运算.
2．类比向量运算的平行四边形法则与三角形法则，感受和把握复数加、减法的几何意义.
必备知识·探新知
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1＋z2＝__________________，
z1－z2＝__________________.
复数的加、减法运算法则
知识点1
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
(1)交换律：_________________；
(2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝_______________.
复数加法的运算律
知识点2
z1＋z2＝z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
复数加、减法的几何意义
知识点3
[知识解读] 对复数的加法、减法运算应注意以下几点
(1)一种规定：复数代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；
特殊情形：当复数的虚部为零时，与实部的加法、减法法则一致.
(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.实数的移项法则在复数中仍然成立.
(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数.
关键能力·攻重难
(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝_________.
(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝_____.
[分析] 直接运用复数的加减运算法则进行计算.
题型探究
题型一
复数代数表示式的加、减法运算
典例
1
－2－i
[归纳提升] 复数加、减运算的法则
(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部.
(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算.
【对点练习】? (1)－i－(－1＋5i)＋(－2－3i)－(i－1)＝________.
(2)已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝____.
－10i
3
如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为0,3＋2i，－2＋4i，试求
[分析] 要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量的相等直接给出所求的结论.
题型二
复数加减法及复数模的几何意义
典例
2
[归纳提升] 利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论
①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中.
【对点练习】? 已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长.
题型三
复数加法、减法几何意义的应用
典例
3
[分析] 涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.
A
[归纳提升] 两个复数差的模的几何意义
(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式.
(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆.
【对点练习】? 若本例(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值.
A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形AOB一定是
( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
[错解] A
易错警示
典例
4
B
【对点练习】? △ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的
( )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
[解析] 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A、B、C距离相等，∴P为△ABC的外心.
A
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
