第七章 7.2 7.2.2
1．如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m等于( B )
A．1
B．－1
C．
D．－
[解析] ∵(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i是实数，m∈R，
∴由a＋bi(a、b∈R)是实数的充要条件是b＝0，
得m3＋1＝0，即m＝－1．
2．已知是z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝( A )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入z·i＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，
∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，
由复数相等的条件得，
∴
∴z＝1＋i，故选A．
3．已知复数z满足(2＋i)z＝3＋4i，则z＝( A )
A．2＋i
B．2－i
C．1＋2i
D．1－2i
[解析] z＝＝＝2＋i.选A．
4．(2019·全国Ⅰ卷文，1)设z＝，则|z|＝( C )
A．2
B．
C．
D．1
[解析] ∵
z＝＝＝，
∴
|z|＝
＝.
故选C．
5．把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及.
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由已知得：(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知，得a＝2，b＝1，
∴z＝2＋i.
∴＝＝＝＝＋i.(共35张PPT)
第七章
复数
7.2 复数的四则运算
7.2.2 复数的乘、除运算
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算，并会简单应用.(数学运算)
2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.(逻辑推理)
1．对比向量坐标的数量积运算，感觉复数乘法运算的差异，体会复数乘法运算与实数运算的异同.
2．对比复数除法运算与实数除法运算的差异，类比分母有理化与共轭的关系.
必备知识·探新知
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝______________________.
复数的乘法法则
知识点1
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
复数乘法的运算律
知识点2
交换律
z1·z2＝_________
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
分配律
z1(z2＋z3)＝_____________
z2·z1
z1z2＋z1z3
复数代数形式的除法法则
理想化
知识点3
[知识解读] 1．对复数乘法的三点说明
(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1).
(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用.
(3)常用结论
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
2．对复数除法的两点说明
(1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似.
(2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开.
特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一
复数代数表示式的乘法运算
典例
1
D
D
(3)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞)
D．(－1，＋∞)
[分析] 利用乘法公式进行运算.
[解析] (1)由题意可得z2－2z＝2i－2(1＋i)＝－2．
故|z2－2z|＝|－2|＝2．
故选D．
B
[归纳提升] 两个复数代数形式乘法的一般方法
(1)首先按多项式的乘法展开；
(2)再将i2换成－1；
(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式.
【对点练习】? (1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝
( )
A．2－13i
B．13＋2i
C．13－13i
D．－13－2i
(2)(2017·全国卷Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是
( )
A．i(1＋i)2
B．i2(1－i)
C．(1＋i)2
D．i(1＋i)
D
C
[解析] (1)(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.故选D．
(2)A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；
C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数；
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数.故选C．
[分析] 复数的除法运算就是分子分母同乘分母的共轭复数，转化为乘法进行.
题型二
复数代数形式的除法运算
典例
2
D
A
B
－2＋i
已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一个根.
(1)求实数a，b的值；
(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明.
[分析] 解决实系数一元二次方程的基本方法是复数相等的充要条件.
题型三
实系数一元二次方程在复数范围内根的问题
典例
3
(2)由(1)知方程为x2＋2x＋2＝0．
设另一个根为x2，由根与系数的关系，得－1＋i＋x2＝－2，
∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
则左边＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右边，
∴x2＝－1－i是方程的另一个根.
[归纳提升] (1)实系数一元二次方程的虚根是成对出现的，即若复数a＋bi(a，b∈R，b≠0)是实系数一元二次方程的根，则其共轭复数a－bi是该方程的另一根.
(2)和在实数范围内对比，在复数范围内解决实系数一元二次方程问题，韦达定理和求根公式仍然适用，但是判别式判断方程根的功能就发生改变了.
【对点练习】? (1)方程x2＋6x＋13＝0的一个根是
( )
A．－3＋2i
B．3＋2i
C．－2＋3i
D．2＋3i
(2)已知a，b∈R，且2＋ai，b＋i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根，求p，q的值.
A
已知复数z满足条件z2－|z|－6＝0，求复数z.
[错解] 由z2－|z|－6＝0?(|z|－3)(|z|＋2)＝0．
因为|z|＋2≠0，所以|z|＝3．
则在复平面内以原点为圆心，3为半径的圆上的所有点对应的复数均符合要求.
[错因分析] 本题将复数z的模等同于实数的绝对值，误认为|z|2＝z2．
易错警示
典例
4
误认为|z|2＝z2
[误区警示] 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝a2＋b2，即z2≠|z|2，二者不可混淆.
【对点练习】? (2019·湖南省长沙市检测)已知复数z满足z＝－|z|，则z的实部
( )
A．不小于0
B．不大于0
C．大于0
D．小于0
B
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第七章 7.2 7.2.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．(2020·郑州高二检测)设复数z＝a＋bi(a、b∈R)，若＝2－i成立，则点P(a，b)在( A )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] ∵＝2－i，∴z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，∴a＝3，b＝1，∴点P(a，b)在第一象限.
2．设复数z满足＝i，则|1＋z|＝( C )
A．0
B．1
C．
D．2
[解析] 因为＝i，所以z＝，
所以z＋1＝＋1＝＝1－i，所以|z＋1|＝.
3．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2等于( C )
A．－1＋i
B．－1－i
C．1＋i
D．1－i
[解析] ＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.
4．若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为( C )
A．－2
B．4
C．－6
D．6
[解析] ∵＝＝为纯虚数，∴∴a＝－6．
5．(2019·全国Ⅲ卷理，2)若z(1＋i)＝2i，则z＝( D )
A．－1－i
B．－1＋i
C．1－i
D．1＋i
[解析] 由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故选D．
二、填空题
6．(2020·浦东新区一模)已知i是虚数单位，复数z满足z·(1＋i)，则|z|＝____.
[解析] ∵复数z满足z·(1＋i)＝1，
∴z(1＋i)(1－i)＝1－i，
化为4z＝1－i，
即z＝－i，
∴|z|＝＝.
故答案为.
7．设复数z1、z2在复平面内的对应点分别为A、B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝____.
[解析] ∵z1(1－i)＝3－i，
∴z1＝＝＝2＋i，
∵A与B关于x轴对称，∴z1与z2互为共轭复数，
∴z2＝1＝2－i，∴|z2|＝.
8．已知1＋2i是方程x2－mx＋2n＝0(m，n∈R)的一个根，则m＋n＝____.
[解析] 将x＝1＋2i代入方程x2－mx＋2n＝0，有(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n＝0，
即(－3－m＋2n)＋(4－2m)i＝0．
由复数相等的充要条件，
得解得
故m＋n＝2＋＝.
三、解答题
9．计算：
(1)；
(2)；
(3)6＋.
[解析] (1)＝＝－1－3i.
(2)＝＝＝＝＋i.
(3)6＋＝6＋＝i6＋i＝－1＋i.
10．设存在复数z同时满足下列条件：
(1)复数z在复平面内对应点位于第二象限；
(2)z·＋2iz＝8＋ai(a∈R).
试求a的取值范围.
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，由(1)得x＜0，y＞0，
由(2)得，x2＋y2＋2i(x＋yi)＝8＋ai，
即x2＋y2－2y＋2xi＝8＋ai.
由复数相等的定义得，
由①得x2＋(y－1)2＝9，∵x<0，y>0，∴－3≤x<0，∴－6≤a＜0．
B 组·素养提升
一、选择题
1．若z＝4＋3i，则＝( D )
A．1
B．－1
C．＋i
D．－i
[解析] |z|＝＝5，＝4－3i，则＝－i.
2．若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于( C )
A．{－1}
B．{1}
C．{1，－1}
D．?
[解析] A＝{i，i2，i3，i4}＝{i，－1，－i,1}.∴A∩B＝{－1,1}.故选C．
3．(2020·长安一中质检)设z＝＋i(i是虚数单位)，则z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6＝( C )
A．6z
B．6z2
C．6
D．－6z
[解析] z2＝－＋i，z3＝－1，z4＝－－i，z5＝－i，z6＝1，∴原式＝(＋i)＋(－1＋i)＋(－3)＋(－2－2i)＋(－i)＋6＝3－3i＝6(－i)＝6.
4．(多选)设f(n)＝n＋n(n∈N)，则集合{x|x＝f(n)}的元素有( ABC )
A．2
B．0
C．－2
D．1
[解析] f(n)＝in＋(－i)n，当n＝4k(k∈N)时，f(n)＝2；当n＝4k＋1(k∈N)时，f(n)＝0；当n＝4k＋2(k∈N)时，f(n)＝－2；当n＝4k＋3(k∈N)时，f(n)＝0．所以集合中共有－2,0,2这3个元素.
二、填空题
5．i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值是__－2__.
[解析] (1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i，该复数为纯虚数，所以a＋2＝0，且1－2a≠0，所以a＝－2．
6．(2020·青岛高二检测)若复数z满足(3－4i)z＝4＋3i，则|z|＝__1__.
[解析] 因为(3－4i)z＝4＋3i，
所以z＝＝＝＝i.则|z|＝1．
三、解答题
7．已知z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1．
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围.
(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数.
[解析] 设z1＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0).
(1)z2＝z1＋＝a＋bi＋＝(a＋)＋(b－)i.
因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，所以z2＝2a.
由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，
解得－≤a≤，
即z1的实部的取值范围是[－，].
(2)ω＝＝
＝＝－i.
因为a∈[－，]，b≠0．所以ω为纯虚数.
8．已知z为复数，z＋2i和均为实数，其中i是虚数单位.
(1)求复数z和|z|；
(2)若复数z1＝＋－i在复平面内对应的点位于第四象限，求实数m的取值范围.
[解析] (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则z＋2i＝a＋(b＋2)i为实数，所以b＋2＝0，即b＝－2．
又＝＝＝＋i为实数，
所以＝0，所以a＝－2b.
又b＝－2，所以a＝4，所以z＝4－2i，
所以|z|＝＝2.
(2)z1＝＋－i＝4＋＋(2－)i＝＋i.
因为z1在复平面内对应的点位于第四象限，
所以，解得－2所以实数m的取值范围为(－2，)∪(1，).
