第七章 7.3 7.3.1 7.3.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．设复数z＝a＋bi＝r(cos
θ＋isin
θ)，其中a，b∈R，＝r，arg
z＝θ，下列说法正确的是( D )
A．r>0，θ∈[0,2π)
B．r≥0，θ∈(0,2π)
C．r∈R，θ∈(－π，π)
D．r≥0，θ∈[0,2π)
[解析] 由复数三角形式的特征知，r≥0,0≤θ<2π.故选D．
2．复数－2辐角的主值是( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 解法1：∵－2＝2，
∴辐角的主值为，故选C．
解法2：复数对应点在第三象限，
∴辐角主值是第三象限角.
3．将代数形式的复数z＝2i改写成三角形式为( D )
A．2＋cos
＋isin
B．2
C．2
D．2
[解析] 因为2i在复平面内所对应的点在y轴正半轴上，所以易知|2i|＝2，arg(2i)＝，
从而可知2i＝2.
4．复数－i的辐角主值为( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] ∵－i＝2＝2，
又∵∈[0,2π)，故－i辐角的主值为.
5．复数(sin
10°＋icos
10°)(sin
10°＋icos
10°)的三角形式是( B )
A．sin
30°＋icos
30°
B．cos
160°＋isin
160°
C．cos
30°＋isin
30°
D．sin
160°＋icos
160°
[解析] 令z＝sin
10°＋icos
10°，其三角形式为z＝cos
80°＋isin
80°，所以z·z＝(cos
80°＋isin
80°)2＝cos
160°＋isin
160°，故选B．
二、填空题
6．设z＝－i，对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转30°，则所得向量对应的复数为__2__.
[解析] 根据复数乘法的几何意义，所得向量对应的复数为：(－i)(cos
30°＋isin
30°)＝(－i)＝2．
7．计算下列式子，写出其结果的代数形式：
5·2＝__＋i__.
[解析] 5·2＝10
＝10＝＋i.
8．计算(cos
40°＋isin
40°)÷(cos
10°＋isin
10°)＝__＋i__.
[解析] (cos
40°＋isin
40°)÷(cos
10°＋isin
10°)＝cos(40°－10°)＋isin(40°－10°)＝cos
30°＋isin
30°＝＋i.
三、解答题
9．把下列复数表示成三角形式.
(1)5；
(2)i；
(3)＋i；
(4)－1－i；
(5)3－3i；
(6)－4＋3i.
[解析] (1)5＝5(cos
0＋isin
0)；
(2)i＝cos
＋isin
；
(3)＋i＝cos
＋isin
；
(4)－1－i＝2＝2；
(5)3－3i＝6＝6；
(6)－4＋3i＝5＝5(cos
θ＋isin
θ)(其中tan
θ＝－).
10．已知z＝1＋i，求复数ω＝的模和辐角主值，并写出复数的三角形式.
[解析] ∵z＝1＋i，∴ω＝＝＝＝1－i，∴|ω|＝，1－i对应的点在第四象限且tan
θ＝－1，∴ω辐角的主值为，
∴复数ω的三角形式为ω＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选)复数z＝3＋i化为三角形式正确的是( AD )
A．z＝2(cos＋isin)
B．z＝2(cos－isin)
C．z＝2(cos＋isin)
D．z＝2(cos＋isin)
[解析] z＝3＋i
＝2(＋i)
＝2(cos＋isin)
＝2(cos＋isin)，
故选AD．
2．设复数2＋i和－3－i的辐角主值分别是α，β，则tan(α＋β)等于( D )
A．
B．－
C．－1
D．1
[解析] 因为复数2＋i和－3－i的辐角主值分别是α，β，所以tan
α＝，tan
β＝，所以tan(α＋β)＝＝1．
3．向量，，分别对应非零复数z1，z2，若⊥，则是( B )
A．负实数
B．纯虚数
C．正实数
D．虚数a＋bi(a，b∈R，a≠0)
[解析] 设复数z1＝r1(cos
θ1＋isin
θ1)，
z2＝r2(cos
θ2＋isin
θ2)，由于⊥，
所以＝
＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]
＝[cos(±90°)＋isin(±90°)]
＝±i，即为纯虚数.故选B．
4．设π<θ<，则复数的辐角主值为( B )
A．2π－3θ
B．3θ－2π
C．3θ
D．3θ－π
[解析] ＝＝cos
3θ＋isin
3θ.
∵π<θ<，∴3π<3θ<，∴π<3θ－2π<，则辐角主值为3θ－2π.故选B．
二、填空题
5．复数z＝(a＋i)2的辐角主值为，则实数a＝__－1__.
[解析] 由于复数z的辐角主值为，故z＝r＝－ir，又z＝(a＋i)2＝a2－1＋2ai，所以a2－1＋2ai＝－ir，所以a2－1＝0,2a＝－r，故a＝－1．
6．＝__2－2i__.
[解析] ＝
＝4＝4＝2－2i.
三、解答题
7．若复平面内单位圆上三点所对应的复数z1，z2，z3，满足z＝z1z3且z2＋iz3－i＝0，求复数z1，z2，z3．
[解析] 设z1＝cos
α＋isin
α，z2＝cos
β＋isin
β，z3＝cos
γ＋isin
γ，则由z2＋iz3－i＝0，可得
利用cos2β＋sin2β＝1，解得
所以，z3＝.
当z3＝时，z2＝－i(z3－1)＝，z1＝＝1；
当z3＝时，
z2＝－i(z3－1)＝，z1＝＝1．
8．计算的值.
[解析]
＝
＝
＝＝2
＝1＋i.第七章 7.3 7.3.1 7.3.2
1．下列复数是复数三角形式表示的是( D )
A．
B．－
C．
D．cos
＋isin
[解析] 选项A，cos
与isin
之间用“－”连接，不是用“＋”连接；选项B，－<0不符合r≥0要求；选项C，是sin
与icos
用“＋”连接而不是cos
＋isin
的形式.故A、B、C均不是复数的三角形式.故选D．
2．复数z＝－i的三角形式为( D )
A．2
B．2
C．2
D．2
[解析] 因为r＝2，所以cos
θ＝，与z＝－i对应的点在第四象限，所以arg(－i)＝，所以z＝－i＝2.
3．复数z＝化为代数形式为( D )
A．＋i
B．－＋i
C．－－i
D．－i
[解析] z＝
＝sin
＋icos
＝×＋i×
＝－i.
4．计算8×＝__－4＋4i__.
[解析] 原式＝8
＝8＝－4＋4i.
5．计算12÷＝__－＋i__.
[解析] 原式＝2
＝2＝－＋i.
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第七章
复数
7.3
复数的三角表示
7.3.1 复数的三角表示式
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．复数的三角表示.(数学抽象)
2．复数的代数表示与三角表示之间的关系.(数学运算)
3．复数乘、除运算的三角表示及其几何意义.(数学运算与直观想象)
1．在复数几何意义的基础上感受复数的三角表示.
2．类比三角函数的单位圆定义体会复数三角表示的特征.
3．类比三角函数的特点，结合复数的几何意义，体会复数运算的三角表示与三角函数之间的关联.
必备知识·探新知
复数的三角形式
知识点1
r(cos
θ＋isin
θ)
辐角
三角形式
代数形式
规定在___________范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作_________.
辐角主值
知识点2
0≤θ<2π
arg
z
两个复数相乘，积的模等于各复数模的_____，积的辐角等于各复数的辐角的_____.
r1(cos
θ1＋isin
θ1)·r2(cos
θ2＋isin
θ2)
＝__________________________.
复数三角形式的乘法
知识点3
积
和
r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]
复数三角形式的除法
知识点4
商
差
关键能力·攻重难
[分析] 先求复数的模，再根据复数所在象限确定复数的辐角主值，然后写出复数的三角形式.
题型探究
题型一
复数的代数形式化为三角形式
典例
1
[归纳提升] 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤：
(1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角；(4)求得复数的三角形式.
[分析] 将复数的三角形式化为代数形式，只需要将其中蕴含的三角函数值求出数值即可.
题型二
将复数的三角形式化为代数形式
典例
2
[归纳提升] 将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z＝r(cos
A＋isin
A)，代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcos
A，y＝rsin
A.
1－i
[分析] 按照复数三角形式的乘法法则进行.
题型三
复数三角形式的乘法运算
典例
3
[归纳提升] 直接利用复数三角形式的乘法运算法则进行运算，即两个复数相乘，所得的结果是模相乘，辐角相加.
2i
[分析] 根据复数三角形式的除法法则进行.
题型四
复数三角形式的除法运算
典例
4
[归纳提升] 直接利用复数三角形式的除法运算法则进行运算，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减.
求复数z＝1＋cos
θ＋isin
θ(π<θ<2π)的模与辐角主值.
易错警示
典例
5
求辐角主值时的常见误区
【对点练习】? 求复数z＝1＋cos
θ－isin
θ(π<θ<2π)的模与辐角主值.
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
