(共45张PPT)
第八章
立体几何初步
8.1 基本立体图形
第1课时 多面体
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体——棱柱、棱锥、棱台的结构特性.(直观想象)
2．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型.(直观想象)
1．通过观察和感知实物模型，从整体上认识棱柱、棱锥、棱台的结构特性.
2．与平面几何的有关概念、图形和性质进行适当类比，逐步学会用类比思想分析问题和解决问题.
必备知识·探新知
1．概念：如果只考虑物体的_______和_______，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的___________叫做空间几何体.
空间几何体
知识点1
形状
大小
空间图形
2．多面体与旋转体
(1)多面体：由若干个_____________围成的几何体叫做多面体(如图)，围成多面体的各个多边形叫做多面体的_____；相邻两个面的_________叫做多面体的棱；棱与棱的_________叫做多面体的顶点.
(2)旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定_______旋转所形成的_____________叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴.
平面多边形
面
公共边
公共点
直线
封闭几何体
[归纳总结] 对多面体概念的理解，注意以下几个方面：
(1)多面体是由平面多边形围成的，不是由圆面或其它曲面围成，也不是由空间多边形围成.
(2)本章所说的多边形，一般包括它内部的平面部分，故多面体是一个“封闭”的几何体.
(3)围成一个多面体至少要有四个面.
(4)规定：在多面体中，不在同一面上的两个顶点的连线叫做多面体的对角线，不在同一面上的两条侧棱称为多面体的不相邻侧棱，侧棱和底面多边形的边统称为棱.
(5)一个多面体是由几个面围成，那么这个多面体称为几面体.
1．棱柱
几种常见的多面体
知识点2
定义
一般地，有两个面互相_______，其余各面都是_________，并且每_______两个四边形的公共边都互相_______，由这些面所围成的_________叫做棱柱
有关
概念
棱柱中，两个互相_______的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的_________叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的___________叫做棱柱的顶点
平行
四边形
相邻
平行
多面体
平行
公共边
公共顶点
字母
边数
[归纳总结] 棱柱的简单性质：
(1)侧棱互相平行且相等；侧面都是平行四边形.
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形，如图①所示.
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形，如图②所示.
棱柱概念的推广：
(1)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.
(2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.
(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.
(4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，即平行六面体的六个面都是平行四边形.
(5)长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体.
(6)正方体：棱长都相等的长方体叫做正方体.
2．棱锥
定义
一般地，有一个面是_________，其余各面都是_________________的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
有关
概念
多边形面叫做棱锥的底面或底；有___________的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的___________叫做棱锥的顶点；相邻侧面的_________叫做棱锥的侧棱
多边形
有一个公共顶点
公共顶点
公共顶点
公共边
字母
S－ABCD
边数
四面体
[归纳总结] 棱锥的性质：
(1)侧棱有公共点，即棱锥的顶点；侧面都是三角形.
(2)底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示.
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是三角形，如图②所示.
3．棱台
定义
用一个_________棱锥底面的平面去截棱锥，_____________之间的部分叫做棱台
有关
概念
原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的_________和_________；其余各面叫做棱台的_______；相邻侧面的_________叫做棱台的侧棱；底面与_______的公共顶点叫做棱台的顶点
平行于
底面与截面
下底面
上底面
侧面
公共边
侧面
字母
ABCD－A′B′C′D′
边数
[归纳总结] 棱台的性质：
(1)侧棱延长后交于一点；侧面是梯形.
(2)两个底面与平行于底面的截面是相似多边形，如图①所示.
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是梯形，如图②所示.
关键能力·攻重难
下列关于棱柱的说法：
(1)所有的面都是平行四边形；
(2)每一个面都不会是三角形；
(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确说法的序号是_________.
题型探究
题型一
棱柱的结构特征
典例
1
(3)(4)
[分析] 首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他性质.
[解析] (1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；
(3)正确，由棱柱的定义易知；
(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，
所以说法正确的序号是(3)(4).
[归纳提升] 棱柱结构特征问题的解题策略
(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义：
①两个底面互相平行；
②其余各面是平行四边形；
③相邻两个平行四边形的公共边互相平行且相等.
求解时，首先看是否有两个面平行，再看是否满足其他特征.
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.
【对点练习】? 下列说法正确的是
( )
A．棱柱的侧面都是矩形
B．棱柱的侧棱都相等
C．棱柱的棱都平行
D．棱柱的侧棱总与底面垂直
B
[解析] 由棱柱的定义知，棱柱的侧面都是平行四边形，不一定都是矩形，故A不正确；而平行四边形的对边相等，故侧棱都相等，所以B正确；对选项C，侧棱都平行，但底面多边形的边(也是棱)不一定平行，所以错误；棱柱的侧棱可以与底面垂直也可以不与底面垂直，故D不正确.
(1)下列说法正确的有____个.
①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.
②正棱锥的侧面是等边三角形.
③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.
题型二
棱锥、棱台的结构特征
典例
2
0
(2)下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②棱锥的侧面只能是三角形；
③由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
④棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是_________.
[分析] 根据棱锥、棱台的结构特征进行判断.
①②③
[解析] (1)①错误.棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的.如图所示的几何体不是棱锥，理由是△ADE和△BCF无公共顶点.
②错误.正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形.
③错误.由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥.如图所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD，满足底面△BCD为等边三角形，三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等.
(2)①正确，棱台的侧面都是梯形.
②正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形.
③正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥.
④错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
[归纳提升] (1)棱柱、棱台、棱锥关系图
(2)关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法：
①举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
②直接法
?
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
【对点练习】? 下列说法正确的有
( )
①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；
②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；
③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
A
[解析] 由五个面围成的多面体还可能是三棱台、三棱柱等，故①错；三棱柱是只有两个面平行的五面体，故②错.如图，可知③④错误.
如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
题型三
空间想象能力与几何体的侧面展开
典例
3
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
(1)都是多面体；
(2)①中的折痕是平行线，是棱柱；
②中折痕交于一点，是棱锥；
③中侧面是梯形，是棱台.
[解析] ①五棱柱；②五棱锥；③三棱台.如图所示.
[归纳提升] 多面体展开图问题的解题策略
(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图.
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图.
【对点练习】? 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，如图1，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，如图2．则标“△”的面的方位是
( )
A．南
B．北
C．西
D．下
B
[解析] 将所给图形还原为正方体，如图3所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让左面向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北.
对如图1所示的几何体描述正确的是___________(填序号).
①这是一个六面体；
②这是一个四棱台；
③这是一个四棱柱；
④此几何体可由三棱柱截去
一个小三棱柱而得到；
⑤此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到.
易错警示
典例
4
凭直观感觉判断几何体致误
①③④⑤
[错解] ①②③④⑤
[错因分析] 解答本题时，学生易直观上感觉是棱台，忽略此几何体侧棱的延长线不能相交于一点，从而错选②.
[正解] ①正确，因为该几何体有六个面，属于六面体.
②错误，因为侧棱的延长线不能交于一点.
③正确，如果把几何体正面或背面作为底面就会发现是一个四棱柱.
④⑤都正确，如图2(1)(2)所示.
[误区警示] 在解答关于空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，这就需要我们熟悉各种空间几何体概念的内涵和外延，切忌只凭图形主观臆断，如本例若意识不到棱台各侧棱延长后交于一点则会致错.
【对点练习】? 有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体是否一定是棱柱？
[解析] 满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示的几何体满足题中条件，但都不是棱柱.
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第八章 8.1 第1课时
A 组·素养自测
一、选择题
1．下面多面体中，是棱柱的共有( D )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析] 根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足.
2．下列说法正确的是( D )
A．多面体至少有3个面
B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
[解析] 一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以选项A错误；选项B错误，反例如图1；选项C错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确.
3．下列说法中正确的是( B )
A．所有的棱柱都有一个底面
B．棱柱的顶点至少有6个
C．棱柱的侧棱至少有4条
D．棱柱的棱至少有4条
[解析] 棱柱有两个底面，所以A项不正确；棱柱底面的边数至少是3，则在棱柱中，三棱柱的顶点数至少是6，三棱柱的侧棱数至少是3，三棱柱的棱数至少是9，所以C、D项不正确，B项正确.
4．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( D )
[解析] A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱.故选D．
5．观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是( B )
A．①是棱柱
B．②不是棱锥
C．③不是棱锥
D．④是棱台
[解析] ①是棱柱，②是棱锥，③不是棱锥，④是棱台，故选B．
二、填空题
6．四棱锥的侧面个数是__4__.
[解析] 四棱锥有4个侧面.
7．若棱台上、下底面的对应边之比为1︰2，则上、下底面积之比为__1︰4__.
[解析] 棱台上、下两个底面是相似多边形，面积之比是相似比的平方，故上、下底面积之比为1︰4．
8．下列说法正确的是__①④__.
①一个棱锥至少有四个面；
②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；
③五棱锥只有五条棱；
④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似.
[解析] ①正确.②不正确，四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等.也可以不等.③不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共10条棱.④正确.
三、解答题
9．如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？
[解析] 这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体，有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱.
10．如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1．
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？
(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，请说明理由.
[解析] (1)是棱柱，并且是四棱柱.
(2)截面BCFE右上方部分是棱柱，且是三棱柱，其中△BEB1和△CFC1是底面.
截面BCFE左下方部分也是棱柱，且是四棱柱，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面.
B 组·素养提升
一、选择题
1．下面说法正确的是( C )
A．棱锥的侧面不一定是三角形
B．棱柱的各侧棱长不一定相等
C．棱台的各侧棱延长必交于一点
D．用一个平面截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，另一个是棱台
[解析] 棱台的各侧棱延长后必交于一点，故选C．
2．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，分别连接A1B，A1C，BC1，则将三棱台分成3个三棱锥，即三棱锥A－A1BC，B1－A1BC1，C－A1BC1．
3．(多选)一个正方体的截面可能是( ABD )
A．等边三角形
B．正方形
C．正八边形
D．平行四边形
[解析] 一个正方体的截面可能是正三角形，正方形，平行四边形，边数最多是六边形不可能是正八边形，故选ABD．
4．如图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为( A )
A．模块①②⑤
B．模块①③⑤
C．模块②④⑤
D．模块③④⑤
[解析] 先补齐中间一层，只能用模块⑤或①，且如果补①则后续两块无法补齐，所以只能先用⑤补齐中间一层，然后用①②补齐.
二、填空题
5．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是__①③④⑤__(写出所有正确结论的编号).
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.
[解析] 在如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，若所取四点共面，则只能是正方体的表面或对角面.
即正方形或长方形，∴①正确，②错误.
棱锥A－BDA1符合③，∴③正确；
棱锥A1－BDC1符合④，∴④正确；
棱锥A－A1B1C1符合⑤，∴⑤正确.
6．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A，B，C为其上三点，则在正方体盒子中，∠ABC等于__60°__.
[解析] 由展开图可知，折成的无盖盒子的示意图如图所示(上面无盖).在△ABC中，因为AB，AC，BC均为正方形的对角线，所以AB＝AC＝BC，故△ABC为等边三角形，故∠ABC＝60°.
三、解答题
7．一个几何体的表面展开平面图如图.
(1)该几何体是哪种几何体；
(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？
[解析] (1)该几何体是四棱台；
(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”.
8．根据如图所示的几何体的表面展开图，画出立体图形.
[解析] 图1是以ABCD为底面，P为顶点的四棱锥.
图2是以ABCD和A1B1C1D1为底面的棱柱.
其图形如下图所示.第八章 8.1 第2课时
A 组·素养自测
一、选择题
1．下列几何体中不是旋转体的是( D )
[解析] 由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体.
2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是( D )
A．圆锥
B．圆柱
C．球
D．棱柱
[解析] 棱柱的任何截面都不可能是圆面.
3．(多选)下列命题中正确的是( CD )
A．矩形绕任何一条直线旋转都可以围成圆柱
B．圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线
C．圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线
D．矩形任意一条边所在的直线都可以作为轴，其他边绕其旋转形成圆柱
[解析] 在A中，绕矩形的一条对角线旋转形成的几何体是有公共底面的两个圆锥的组合体，不是圆柱，故A错误；在B中，圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的线段，且这条线段与轴平行，故B错误；在C中，圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线，故C正确；在D中，由旋转的性质得矩形任意一条边所在的直线都可以作为轴，其他边绕其旋转形成圆柱，故D正确.故选CD．
4．如图所示的几何体是由下图中的哪个平面图形旋转后得到的？( A )
[解析] 因为简单组合体为一个圆台和一个圆锥所组成的，因此平面图形应为一个直角三角形和一个直角梯形构成，可排除B、D，再由圆台上、下底的大小比例关系可排除C，故选A．
5．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得.现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是( D )
A．(1)(2)
B．(1)(3)
C．(1)(4)
D．(1)(5)
[解析] 圆锥除过轴的截面外，其它截面截圆锥得到的都不是三角形.
二、填空题
6．圆锥的高与底面半径相等，母线长等于5，则底面半径等于__5__.
[解析] 因为圆锥的高、底面半径和母线构成直角三角形，设底面半径为r，则高为r，所以＝5.所以r＝5．
7．一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1︰4，截去小圆锥的母线长为3
cm，则圆台的母线长为__9
cm__.
[解析] 如图所示，设圆台的母线长为x
cm，
截得的圆台的上、下底半径分别为r
cm,4r
cm，
根据三角形相似的性质，得＝，解得x＝9．
8．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为__2__.
[解析] 设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1．设球的半径为R，则R＝＝，故球的直径为2.
三、解答题
9．如图所示，几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴.
[解析] 先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形.旋转前的平面图形如下：
10．一个圆锥的高为2
cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积.
[解析] 如图轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，
则∠ASO＝30°.在Rt△SOA中，AO＝SO·tan
30°＝(cm).
SA＝＝＝(cm).
所以S△ASB＝SO·2AO＝(cm2).
所以圆锥的母线长为
cm，圆锥的轴截面的面积为
cm2．
B 组·素养提升
一、选择题
1．(2020·河北衡水武邑月考)下列几何体是组合体的是( D )
[解析] A是圆锥，B是圆柱，C是球体，D是圆台中挖去一个圆锥的组合体.
2．下列结论，其中正确结论的个数是( C )
①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个(注：轴截面是指过旋转轴的截面)；②用任意一个平面去截球体得到的截面一定是一个圆面；③用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 由圆锥与球的结构特征可知①②正确，故选择C．
3．(2020·浙江宁波高一月考)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括( D )
A．一个圆台、两个圆锥
B．两个圆台、一个圆柱
C．两个圆台、一个圆柱
D．一个圆柱、两个圆锥
[解析] 如图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边.以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥.故选D．
4．如果把地球看成一个球体，则地球上北纬60°纬线长和赤道线长的比值为( C )
A．4︰5
B．3︰4
C．1︰2
D．1︰4
[解析] 设赤道所在圆的半径为R，北纬60°所在圆的半径为r，由纬度定义可知，cos
60°＝＝.故所求比值即为两个圆半径之比值1︰2．
二、填空题
5．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是__④__.(写出所有不正确的序号)
①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体；
②该几何体有12条棱、6个顶点；
③该几何体有8个面，并且各面均为三角形；
④该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形.
[解析] 平面ABCD可将该几何体分割成两个四棱锥，因此该几何体是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面，而不是一个面，故填④.
6．已知球的外切圆台上、下底面半径分别为r，R，则圆台的高为__2__，球的半径为____.
[解析] 圆台的轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为R＋r，梯形的高即球的直径，即＝2，球的半径为.
三、解答题
7．一个圆台的母线长为12
cm，两底面面积分别为4π
cm2和25π
cm2．
(1)求圆台的高；
(2)求截得此圆台的圆锥的母线长.
[解析] (1)如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形ABCD，作AM⊥BC于点M，连接O1O.
由已知可得上底面圆半径O1A＝2
cm,
下底面圆半径OB＝5
cm，且腰长AB＝12
cm，所以AM＝＝3(cm)，即圆台的高为3
cm.
(2)延长BA，OO1，CD交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得＝，
所以l＝20(cm).即截得此圆台的圆锥的母线长为20
cm.
8．如图所示，圆锥底面圆的半径OA＝6，轴截面的顶角∠ASB是直角，过两条母线的截面SCB截去底面圆周的，求截面的面积.
题图 答图
[解析] 由题意知，轴截面顶角∠ASB＝90°，OA＝6，
∴SA＝SB＝SC＝6.如图，连接OB，OC，作SD⊥BC于D.
∵弧BC的长为底面圆周长的，
∴∠BOC＝×360°＝60°.
∴OB＝OC＝BC＝6．
∴SD＝＝＝3.
∴S△SCB＝×6×3＝9.
∴截面面积为9.第八章 8.1 第1课时
1．棱柱的侧棱( C )
A．相交于一点
B．平行但不相等
C．平行且相等
D．可能平行也可能相交于一点
[解析] 棱柱的侧棱互相平行且相等，故选C．
2．有两个面平行的多面体不可能是( B )
A．棱柱
B．棱锥
C．棱台
D．长方体
[解析] 棱锥的任意两个面都相交，不可能有两个面平行，所以不可能是棱锥.
3．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为( A )
[解析] 两个不能并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A．也可通过实物制作检验来判断.
4．一个棱柱的底面是正六边形，侧面都是正方形，用至少过棱柱三个顶点(不在同一侧面或同一底面内)的平面去截这个棱柱，所得截面的形状不可能是( D )
A．等腰三角形
B．等腰梯形
C．五边形
D．正六边形
[解析] 画图得.
5．一个棱台至少有__5__个面，面数最少的棱台有__6__个顶点，有__9__条棱.
[解析] 面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱.
课堂检测·固双基
※☆※☆
☆☆※※
B
※|☆
※☆※(共36张PPT)
第八章
立体几何初步
8.1 基本立体图形
第2课时 旋转体和简单组合体
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.(直观想象)
2．认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.(直观想象)
1．利用柱、锥、台之间的联系来加强记忆，如棱柱、棱锥、棱台为一类，圆柱、圆锥、圆台为一类；或分成柱体、锥体、台体三类来分别认识.只有对比才能把握实质与区别.
2．与平面几何的有关概念、图形和性质进行适当类比，逐步学会用类比的思想分析问题和解决问题.
必备知识·探新知
圆柱的结构特征
知识点1
定义
以_______的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
有关
概念
旋转轴叫做圆柱的_____；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的_______；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的_______；无论旋转到什么位置，_________于轴的边都叫做圆柱侧面的母线
矩形
轴
底面
侧面
不垂直
圆心
O′O
圆柱
棱柱
[知识解读] 圆柱的简单性质：
(1)圆柱有无数条母线，它们互相平行且相等.
(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆，如图①所示.
(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形，如图②所示.
(4)过任意两条母线的截面是矩形，如图③所示.
圆锥的结构特征
知识点2
直角
直角边
有关
概念
如上图所示，轴为_____，底面为______，SA为母线.另外，S叫做圆锥的_______，OA(或OB)叫做底面⊙O的_______
表示法
圆锥用表示它的_____的字母表示，上图中的圆锥可记作圆锥_____
规定
_______与_______统称为锥体
SO
⊙O
顶点
半径
轴
SO
棱锥
圆锥
[知识解读] 圆锥的简单性质：
(1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等.
(2)平行于底面的截面都是圆，如图①所示.
(3)过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形，如图②所示.
(4)过任意两条母线的截面是等腰三角形，如图③所示.
圆台的结构特征
知识点3
圆锥
底面
截面
有关
概念
原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的_____底面和_____底面.与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、_______、母线，如上图所示，轴为_______，AA′为母线
表示法
用表示轴的_______表示，上图中的圆台可记作圆台_______
规定
_______与_______统称为台体
下
上
侧面
OO′
字母
OO′
圆台
棱台
[知识解读] 圆台的简单性质：
(1)圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点.
(2)平行于底面的截面是圆，如图①所示.
(3)过轴的截面是全等的等腰梯形，如图②所示.
(4)过任意两条母线的截面是等腰梯形，如图③所示.
球
知识点4
定义
以半圆的_______所在直线为旋转轴，半圆面旋转_______形成的旋转体叫做球体，简称球
有关
概念
半圆的_______叫做球的球心；半圆的_______叫做球的半径；半圆的_______叫做球的直径
直径
一周
圆心
半径
直径
球心
O
关键能力·攻重难
下列结论正确的是_________.
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥；
⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；
题型探究
题型一
旋转体的结构特征
典例
1
⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；
⑦球面上任意三点可能在一条直线上；
⑧用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.
[答案]
④⑥⑧
[分析] 准确理解旋转体的定义，在此基础上掌握各旋转体的性质，才能更好地把握它们的结构特征，以作出准确的判断.
[解析] ①以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰为轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义可知⑥正确；球面上任意三点一定不共线，故⑦错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故⑧正确.
[归纳提升] 圆柱、圆锥、圆台、球都是常见的旋转体，熟练掌握它们结构特征，弄清旋转体的性质是准确作图解题的前提.
【对点练习】? 下列结论：①任意平面截圆柱，截面都是圆面；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线.其中正确的是
( )
A．①
B．②
C．①②
D．②③
[解析] 过两母线的截面为矩形，有时斜的截面为椭圆，故①错；根据母线的定义和特点，③错误；②正确，故选B．
B
如图，绕虚线旋转一周后形成的旋转体是由哪些简单几何体组成的？
[解析] 如图所示，由一个圆锥O4O5，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O1O2组成的.
题型二
简单组合体的结构特征
典例
2
[归纳提升] 平面图形绕某条直线旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后分析旋转体的结构和组成.
【对点练习】? 已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰，如右图.分别以AB、BC、CD、DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征.
[解析] (1)以AB为轴旋转所得旋转体是圆台.如下图①所示.
(2)以BC边为轴旋转所得的旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥.如图②所示.
(3)以CD边为轴旋转所得的旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥.如图③所示.
(4)以AD边为轴旋转所得的组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥.如图④所示.
[分析] 绳子沿圆柱侧面由A到C且最短，故侧面展开后为A、C两点间的线段长.
题型三
旋转体的侧面展开问题
典例
3
[归纳提升] 求多面体表面上两点间的最短距离的思路
将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.立体图形上两点之间的最短距离问题常通过把立体图形转化为平面图形，利用轴对称、平移或旋转等几何图形的变换，运用“两点之间，线段最短”来解决.具体步骤如下：
(1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图；
(2)将所求问题转化为平面上的线段问题；
(3)结合已知条件求得结果.
【对点练习】? 如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面圆的直径构成边长为6
m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食.此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程.(结果不取近似值)
如图所示，它们是不是棱锥、棱台、圆柱、圆锥等几何体？
[错解] 图①是圆柱；图②是圆锥.
[错因分析] 不能只依据概念的某一结论去判断.判断几何体的形状时，要考虑周全，要满足几何体的所有特征.
[正解] 图①不是圆柱，因为上下两面不平行
(或不是由一个矩形旋转而成)；图②不是由一个直角
三角形旋转而成，故不是圆锥.
易错警示
典例
4
旋转体的概念不清致误
【对点练习】? 下列几何体中
( )
A．旋转体3个，台体(棱台和圆台)2个
B．旋转体3个，柱体(棱柱和圆柱)5个
C．柱体3个，锥体(棱锥或圆锥)4个
D．旋转体3个，多面体4个
[解析] (6)(7)(8)为旋转体，(5)(7)为台体.
A
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第八章 8.1 第2课时
1．下列几何体中是旋转体的是( B )
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体.
A．①
B．①和④
C．①和⑤
D．③和④
[解析] ①④是旋转体，②③⑤是多面体，故选B．
2．如图所示的组合体，其结构特征是( D )
A．两个圆锥
B．两个圆柱
C．一个棱锥和一个棱柱
D．一个圆锥和一个圆柱
[解析] 如图所示的几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成的组合体.
3．关于圆台，下列说法正确的是__②③④__.
①两个底面平行且全等；
②圆台的母线有无数条；
③圆台的母线长大于高；
④两底面圆心的连线是高.
[解析] 圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确.
4．圆柱的母线长为10，则其高等于( B )
A．5
B．10
C．20
D．不确定
[解析] 圆柱的母线长与高相等，则其高等于10．
5．已知圆锥的母线长为5，底面圆直径为8，则圆锥的高h＝__3__.
[解析] 如图，
∵圆锥的底面直径AB＝8，
∴圆锥的底面半径R＝OA＝4，
又∵SA＝5，
∴圆锥的高h＝SO＝＝3．
课堂检测·固双基
B
