第八章 8.2
1．下列关于直观图的说法不正确的是( A )
A．原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y′轴，长度不变
B．原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x′轴，长度不变
C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以画成135°
D．在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同
[解析] 平行于y轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故A错.
2．下面关于利用斜二测画法得到直观图的叙述正确的是( B )
A．正三角形的直观图是正三角形
B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．矩形的直观图是矩形
D．圆的直观图是圆
[解析] 直观图改变了原图中角的大小及图形的形状，所以A、C、D都不正确，故选B．
3．(2018·河南省南阳市高一期末)如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，A′B′∥y′轴，B′C′∥x′轴，且A′B′＝2，B′C′＝3，则△ABC中，AC＝__5__.
[解析] 由题意及斜二测画法规则可得，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2A′B′＝4，BC＝B′C′＝3，故AC＝＝5．
4．梯形的直观图是( A )
A．梯形
B．矩形
C．三角形
D．任意四边形
[解析] 梯形的直观图仍为梯形.
5．如图所示，四边形A′B′C′D′是一个水平放置的平面图形的直观图，它所表示的平面图形ABCD的形状是__直角梯形__.
[解析] 根据直观图可知，A′B′，C′D′均与x′轴平行且A′B′≠C′D′，A′D′与y′轴平行，所以在平面图形中，AB∥CD，AB≠CD，AB⊥AD，AD⊥CD，故平面图形ABCD是一个直角梯形.第八章 8.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．AB＝2CD，AB∥x轴，CD∥y轴，已知在直观图中，AB的直观图是A′B′，CD的直观图是C′D′，则( C )
A．A′B′＝2C′D′
B．A′B′＝C′D′
C．A′B′＝4C′D′
D．A′B′＝C′D′
[解析] ∵AB∥x轴，CD∥y轴，∴AB＝A′B′，CD＝2C′D′，
∴A′B′＝AB＝2CD＝2(2C′D′)＝4C′D′.
2．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是( B )
A．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形
B．平行四边形的直观图仍是平行四边形
C．两条相交直线的直观图可能是平行直线
D．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直
[解析] 平行四边形的边平行，则在直观图中仍然平行，故选项B正确.
3．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中O′A′＝6
cm，O′C′＝2
cm，则原图形是( C )
A．正方形
B．矩形
C．菱形
D．梯形
[解析] 将直观图还原得到平行四边形OABC，如图所示.由题意知O′D′＝O′C′＝2
cm，
OD＝2O′D′＝4
cm，C′D′＝O′C′＝2
cm，∴CD＝2
cm，
OC＝＝6
cm，又OA＝O′A′＝6
cm＝OC，∴原图形为菱形.
4．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( A )
[解析] 由斜二测画法可知，与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍.故可判断A正确.
5．如图Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是( C )
A．1
B．
C．2
D．4
[解析] 由直观图可知，原平面图形是Rt△OAB，其中OA⊥OB，则OB＝O′B′＝，OA＝2O′A′＝4，∴S△OAB＝OB·OA＝2，故选C．
二、填空题
6．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为__M′(4,2)__，点M′的找法是__在坐标系x′O′y′中，过点(4,0)和y′轴平行的直线与过点(0,2)和x′轴平行的直线的交点即是点M′__.
[解析] 在x′轴的正方向上取点M1，使O1M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.
7．如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是__10__.
[解析] 由斜二测画法，可知△ABC是直角三角形，且∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，则AB＝＝10．
8．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为__10__.
[解析] 由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10．
三、解答题
9．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积.
[解析] 在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，在直观图中，O′D′＝OD，梯形的高D′E′＝，于是梯形A′B′C′D的面积为×(1＋2)×＝.
10．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3
cm，高为4
cm，圆锥的高为3
cm，画出此几何体的直观图.
[解析] (1)画轴.如图1所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°.
(2)画圆柱的两底面，在x轴上取A、B两点，使AB的长度等于3
cm，且OA＝OB.选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面.在Oz上截取点O′，使OO′＝4
cm，过O′作Ox的平行线O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面.
(3)画圆锥的顶点.在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3
cm.
(4)成图.连接A′A、B′B、PA′、PB′，整理得到此几何体的直观图.如图2所示.
B 组·素养提升
一、选择题
1．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是( C )
①角的水平放置的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都可能会发生改变，∴②③错.
2．下图甲所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( C )
[解析] 按斜二测画法规则，平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变，平行于y轴或在y轴上的线段在新坐标系中变为原来的，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，将图形还原成原图形知选C．
3．已知正三角形ABC的边长为2，那么用斜二测画法得到的△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 根据题意，建立如图1所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图2中△A′B′C′所示.
易知，A′B′＝AB＝2，O′C′＝OC＝.过点C′作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝O′C′＝.所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×2×＝.
4．(多选)水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中以下说法正确的是( ACD )
A．△ABC是直角三角形
B．AC长为6
C．BC长为8
D．AB边上的中线长为
[解析] 由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝，AB边上的中线长度为.故选ACD．
二、填空题
5．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是__AC__.
[解析] 画出原图形如图所示，△ABC为直角三角形，显然，AC边最长.
6．(2020·湖南省永州市高一期中)水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____.
[解析] 由直观图可知，原平面图形是边AC＝3，边BC＝4的直角三角形ABC，故AB边上的中线长为×＝.
三、解答题
7．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1
cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图.请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积.
题图 答图
[解析] 如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′＝1
cm；
在y轴上取OB＝2O′B′＝2
cm；
在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1
cm.
顺次连接O，A，B，C各点，即得到了原图形.
由作法可知，OABC为平行四边形，
OC＝＝＝3(cm)，
∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8(cm)，面积为1×2＝2(cm2).
8．用斜二测画法画出底面边长为1.4
cm高为0.9
cm的正四棱锥的直观图.
[解析] (1)画轴，如图1画x′轴，y′轴，z′轴使得∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.
(2)画底面以点O′为中心，在x′轴上画MN＝1.4
cm，在y′轴上画PQ＝0.7
cm，分别过点M，N作y′轴的平行线，过点P，Q作x′轴的平行线，设它们的交点分别为ABCD，则四边形ABCD就是该棱锥的底面.
(3)画高确定顶点，在z′轴上截取O′S＝0.9
cm.
(4)连线成图，连接SA，SB，SC，SD(注意区别实线和虚线)，去掉辅助线，就得到了正四棱锥的直观图，如图2所示.(共39张PPT)
第八章
立体几何初步
8.2 立体图形的直观图
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.(直观想象)
2．用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及简单组合体的直观图.(直观想象)
3．掌握直观图与原图、直观图与三视图的关系.(数据分析)(直观想象)
1．结合初中所学的平行投影方法，把握图形投影的规则.
2．结合常见平面图形感受其直观图并体会斜二测的含义.
必备知识·探新知
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
知识点1
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可.
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图.
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示.
用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
知识点2
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的_________和_______都不变.
几何体直观图的画法规则
知识点3
平行性
长度
[知识解读] 1．对斜二测画法中“斜”“二测”的解读
“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x轴成45°或135°；
“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半.
斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出.
2．在直观图中“变”的量与“不变”量
(1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变；
(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)；
(3)有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的形状发生变化.
斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变.
关键能力·攻重难
画正五边形的直观图.
[分析] (1)如何建立直角坐标系.
(2)确定不在坐标轴上的点.
(3)建立坐标系xOy后，B、E两点不在坐标轴上或平行于坐标轴的直线上，故需作BG⊥x轴于G，EH⊥x轴于H.
题型探究
题型一
水平放置的平面图形直观图的画法
典例
1
[解析] (1)以正五边形的中心为原点O，建立如图(1)所示的直角坐标系xOy，再建立如图(2)所示的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°；
[归纳提升] 画平面图形的直观图的关键点
画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或与轴平行的线段上；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，遇到这类顶点一般通过过此点作与轴平行的线段，将其转化到与轴平行的线段上来确定.
【对点练习】? 画边长为1
cm的正三角形的水平放置的直观图.
[解析] (1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O(尺寸自定).
题型二
几何体的直观图画法
典例
2
[解析] 画法：(1)画六棱锥P－ABCDEF的底面.
①在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于O(如图1所示)，画相应的x′轴和y′轴、z′轴，三轴交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°(如图2所示).
(3)成图.连接P′A′、P′B′、P′C′、P′D′、P′E′、P′F′，并擦去x′轴、y′轴、z′轴，便得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′(图3).
[归纳提升] 简单几何体直观图的画法规则：
(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系.
(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面.
(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.
(4)连线成图.
【对点练习】? 用斜二测画法画长、宽、高分别是4
cm、3
cm、2
cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图.
[解析] (1)画轴.如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(4)成图.顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②).
题型三
直观图的还原与计算
典例
3
D
(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为_______.
[分析] 利用斜二测画法的规则将直观图复原.
【对点练习】? (2019·河南省郑州市检测)水平放置的正方形ABCO如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为_____.
如图①所示，△ABC水平放置的直观图为△A′B′C′，∠B′A′C′＝30°，∠A′C′B′＝90°，请用作图法画出原△ABC，并量出△ABC的各内角，∠BAC是否等于∠B′A′C′的2倍？∠BCA是否等于∠B′C′A′？
易错警示
典例
4
对斜二测画法理解不透，导致判断错误.
[错解] ∠BAC＝2∠B′A′C′，∠BCA＝∠B′C′A′
[错因分析] 错误的原因是对斜二测画法理解不透，在用斜二测画法画直观图时，角的度数一般会发生变化，但这种变化并不是角的度数减小了一半，它的变化与角的两边的位置有关.
[正解] 如图②所示，画出直角坐标系xOy，以点A为原点.在直观图中过C′作C′D′∥O′y′轴，交A′B′于D′，在Ox轴上截取AB＝A′B′，AD＝A′D′.过D作DC∥Oy轴，使DC＝2D′C′，连接AC，BC，则△ABC为原三角形.用量角器量出∠BAC，可以得出∠BAC≠60°，所以∠BAC≠2∠B′A′C′，∠BCA≠∠B′C′A′.
【对点练习】? 水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是
( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．任意三角形
[解析] 将△A′B′C′还原，由斜二测画法知，△ABC为钝角三角形.
C
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
