第八章 8.3 8.3.2
1．若一个球的直径为2，则此球的表面积为( B )
A．2π
B．4π
C．8π
D．16π
[解析] ∵球的直径为2，∴球的半径为1，
∴球的表面积S＝4πR2＝4π.
2．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为( C )
A．1︰2
B．1︰
C．1︰
D．︰2
[解析] 设圆锥底面半径为r，高为h＝2r，
∴其母线长l＝r.
∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，S底︰S侧＝1︰.
3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( A )
A．2π
B．3π
C．4π
D．8π
[解析] 设圆柱母线长为l，底面半径为r，
由题意得解得
∴V圆柱＝πr2l＝2π.
4．若球的半径由R增加为2R，则这个球的体积变为原来的__8__倍，表面积变为原来的__4__倍.
[解析] 球的半径为R时，球的体积为V1＝πR3，表面积为S1＝4πR2，半径增加为2R后，球的体积为V2＝π(2R)3＝πR3，表面积为S2＝4π(2R)2＝16πR2．
所以＝＝8，＝＝4，
即体积变为原来的8倍，表面积变为原来的4倍.
5．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台的侧面积是__54π__.
[解析] 因为圆台的上底面半径r′＝2，下底面半径r＝7，母线长l＝6，所以圆台的侧面积S侧＝π(r＋r′)l＝π×(7＋2)×6＝54π.(共41张PPT)
第八章
立体几何初步
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式.(逻辑推理)
2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(逻辑推理)(数学运算)
1．求几何体的表面积时，要充分利用侧面展开图与原几何体的关系.求体积问题时，要准确把握底面积和高.
2．球心和球的半径是球的“灵魂”.
3．在许多有关球的问题中，要画出实际空间图形比较困难，可以通过构造多面体或取球的截面，把球的问题转化为多面体或平面图形的问题来解决.
必备知识·探新知
圆柱、圆锥、圆台的表面积
知识点1
2πr2
2πrl
2πr(r＋l)
πr2
πrl
πr(r＋l)
πr′2
πr2
π(r′l＋rl)
π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
圆柱、圆锥、圆台的体积
知识点2
πr2h
1．球的表面积公式S＝_______(R为球的半径).
?
2．球的体积公式V＝__________.
球的表面积和体积公式
知识点3
4πR2
[知识解读] 1．对圆柱、圆锥、圆台侧面积与表面积的求解
(1)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，可直接使用公式.但圆台的表面积公式比较复杂，不要求记忆，因此，表面积的求解方法是最重要的.
(2)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积时，应根据条件计算以上旋转体的母线长和底面圆的半径长.
(3)这些公式的推导方法向我们提示了立体几何问题的解题思路，那就是主要通过空间观念等有关知识，将立体几何问题转化为平面几何问题.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一
圆柱、圆锥、圆台的表面积
典例
1
B
2π
168π
[归纳提升] 求旋转体表面积的要点
(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键；
(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；
(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程.
【对点练习】? (1)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为____.
(2)一个圆柱的底面面积是S，其侧面积展开图是正方形，那么该圆柱的侧面积为______.
(3)(2020·浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是____.
7
4πS
1
题型二
圆柱、圆锥、圆台的体积
典例
2
A
(2)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为
( )
A．5π
B．6π
C．20π
D．10π
(3)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这
个圆台的体积是______.
D
(2)用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
[归纳提升] 求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.一些不规则几何体体积可以利用割补法.
【对点练习】? (1)若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是______.
(2)(2020·江苏卷)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2
cm，高为2
cm，内孔半径为0.5
cm，则此六角螺帽毛坯的体积是___________cm.
12π
题型三
球的体积与表面积
典例
3
B
B
C
100π
(2)如图，由条件知，O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，所以球的表面积为100π.
一个球的内接正方体的表面积是54，求该球的表面积和体积.
易错警示
典例
4
找错内切球截面致错
[错因分析] 将球的内接正方体所取截面理解为正方体一个面所在截面，错误得到正方体的面对角线的长等于球的直径的结论.
[误区警示] 正方体的一个面所在截面是球的小圆面，不是球的大圆面.解决此类问题应取正方体的体对角线所在的截面.
【对点练习】? 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为_____.
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第八章 8.3 8.3.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．直径为6的球的表面积和体积分别是( B )
A．36π，144π
B．36π，36π
C．144π，36π
D．144π，144π
2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 设圆柱的底面半径为r，高为h，则h＝2πr，
∴S表＝2πr2＋2πrh＝2πr2(1＋2π)，
∵S侧＝h2＝4π2r2，∴＝.
3．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为( C )
A．120°
B．150°
C．180°
D．240°
[解析] 设底面半径为r，母线长为l，则πrl＋πr2＝3πr2，
∴l＝2r，∴θ＝＝π.
4．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( C )
A．
B．
C．8π
D．
[解析] 设球的半径为R，则截面圆的半径为，
∴截面圆的面积为S＝π()2＝(R2－1)π＝π，
∴R2＝2，
∴球的表面积S＝4πR2＝8π.
5．(多选)将一个边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积可能是( AB )
A．32π2＋8π
B．32π2＋32π
C．32π2＋64π
D．64π
[解析] 当4π作为底面圆周长时，圆柱的侧面积为4π×8π＝32π2，
底面圆的半径为r＝2，两底面面积为2πr2＝8π，
所以圆柱的表面积为32π2＋8π；
当8π作为底面圆周长时，圆柱的侧面积为4π×8π＝32π2，
底面圆的半径为r＝4，两底面面积为2πr2＝32π，
所以圆柱的表面积为32π2＋32π.
二、填空题
6．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是____.
[解析] 易知圆锥的母线长为2，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝×2π×2，
∴r＝1，高h＝＝.
∴V圆锥＝πr2h＝π×＝.
7．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为____.
[解析] 设正方体的棱长为a，球的半径为R，则πR3＝，∴R＝，
又＝2R，∴a＝3，∴a＝.
8．一个圆台上、下底面的半径分别为3
cm和8
cm，若两底面圆心的连线长为12
cm，则这个圆台的母线长为__13__cm.
[解析] 如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.
在Rt△ABC中，
AC＝12(cm)，
BC＝8－3＝5(cm).
∴AB＝＝13(cm).
三、解答题
9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积.
[解析] 该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.
该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
10．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积.
[解析] 设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.
则R＝OC＝2，AC＝4，
AO＝＝2.
如图所示易知△AEB∽△AOC，
∴＝，即＝，∴r＝1，
S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2π.
∴S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝(2＋2)π.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小的底面半径为( A )
A．7
B．6
C．5
D．3
[解析] 设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7．
2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( A )
A．16π
B．20π
C．24π
D．32π
[解析] 设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝a2h＝a2＝6，得a＝.由题意知，球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋()2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π.故选A．
3．若圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比为( C )
A．3︰2
B．2︰1
C．4︰3
D．5︰3
[解析] 底面半径r＝l＝l，故圆锥的S侧＝πl2，S表＝πl2＋π2＝πl2，所以表面积与侧面积的比为4︰3．
4．如图所示的是一个封闭几何体的直观图，则该几何体的表面积为( C )
A．7π
cm2
B．8π
cm2
C．9π
cm2
D．11π
cm2
[解析] 由题图知该几何体是一个圆柱挖去一个半球所得的组合体，圆柱的底面直径与半球的直径均为2
cm，圆柱的高为3
cm，故圆柱一个底面的面积为π×()2＝π(cm2)，圆柱的侧面积为2×π×3＝6π(cm2)，半球面面积为×4×π×()2＝2π(cm2)，故该几何体的表面积为S＝π＋6π＋2π＝9π(cm2).
二、填空题
5．已知圆柱OO′的母线l＝4
cm，全面积为42π
cm2，则圆柱OO′的底面半径r＝
__3__cm.
[解析] 圆柱OO′的侧面积为2πrl＝8πr(cm2)，两底面积为2×πr2＝2πr2(cm2)，
∴2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7(舍去)，
∴圆柱的底面半径为3
cm.
6．(2019·天津卷文，12)已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为____.
[解析] 如图所示，
在四棱锥V－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，也是圆柱下底面的中心，由四棱锥底面边长为，可得OC＝1．
设M为VC的中点，过点M作MO1∥OC交OV于点O1，则O1即为圆柱上底面的中心.
∴O1M＝OC＝，O1O＝VO.
∵VO＝＝2，∴O1O＝1．
可得V圆柱＝π·O1M2·O1O＝π×()2×1＝.
三、解答题
7．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5
cm，两个直径为5
cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？
[解析] 设取出小球后，容器中水面下降h
cm，
两个小球的体积为V球＝2[×()3]＝(cm3)，
此体积即等于它们的容器中排开水的体积V＝π×52×h，
所以＝π×52×h，
所以h＝，即若取出这两个小球，则水面将下降
cm.
8．已知四面体的各面都是棱长为a的正三角形，求它外接球的体积及内切球的半径.
[解析] 如图，设SO1是四面体S－ABC的高，则外接球的球心O在SO1上.
设外接球半径为R.
∵四面体的棱长为a，O1为正△ABC中心，
∴AO1＝×a＝a，
SO1＝＝＝a，
在Rt△OO1A中，R2＝AO＋OO＝AO＋(SO1－R)2，
即R2＝(a)2＋(a－R)2，解得R＝a，
∴所求外接球体积V球＝πR3＝πa3．
∴OO1即为内切球的半径，OO1＝a－a＝a，
∴内切球的半径为a.
