第八章 8.3 8.3.1
1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则该长方体的表面积为( A )
A．22
B．20
C．10
D．11
[解析] 所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22．
2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为，体对角线长为，则这个棱柱的侧面积是( D )
A．2
B．4
C．6
D．8
[解析] 易知底面正方形的边长为1，棱柱的高为2，所以这个棱柱的侧面积是4×2＝8．
3．如图，ABC－A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] ∵V三棱锥C－A′B′C′＝V三棱柱ABC－A′B′C′＝，∴VC－AA′B′B＝1－＝.
4．(2020·全国Ⅰ卷理)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 如图，设CD＝a，PE＝b，则PO＝＝，
由题意得PO2＝ab，即b2－＝ab，化简得42－2·－1＝0，
解得＝(负值舍去).故选C．
5．已知正三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2.求该三棱锥的表面积.
[解析] 如图所示，VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2.
取BC的中点D，连接VD，则VD⊥BC，
有VD＝＝＝，
则S△VBC＝×VD×BC＝××2＝，S△ABC＝×(2)2×＝3，
所以，三棱锥V－ABC的表面积为3S△VBC＋S△ABC＝3＋3＝3(＋).(共34张PPT)
第八章
立体几何初步
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式.(逻辑推理)
2．理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系.(逻辑推理)
3．能利用计算公式求几何体的表面积与体积.(数学运算)
1．求棱柱、棱锥、棱台的表面积时，要充分利用侧面展开图与原几何体的关系；
2．求体积时，要准确把握底面积和高，尤其是四面体.优先选面积容易求出的面作为底面.
必备知识·探新知
多面体的表面积就是围成多面体_________的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的_________的面积的和.
棱柱、棱锥、棱台的表面积
知识点1
各个面
各个面
棱柱、棱锥、棱台的体积
知识点2
底面积
高
底面积
高
上、下底面面积
高
[知识解读] 1．棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.
2．对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识
(1)等底、等高的两个棱柱的体积相同.
(2)等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.
关键能力·攻重难
现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积.
[分析] 利用体对角线的长求出底面对角线长，由此求出菱形的边长.
题型探究
题型一
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
典例
1
[归纳提升] 棱柱、棱锥、棱台的表面积求法
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和.
【对点练习】? 已知棱长均为5，底面为正方形的四棱锥S－ABCD如图所示，求它的侧面积、表面积.
(1)已知高为3的三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥B1－ABC的体积为
( )
题型二
棱柱、棱锥、棱台的体积
典例
2
D
(2)正四棱台两底面边长分别为20
cm和10
cm，侧面面积为780
cm2．求其体积.
[分析] 利用体积公式计算求解.
【对点练习】? 如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为_____.
(1)如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积.
题型三
求体积的等积法与分割法
典例
3
(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积.
[分析] (1)适合用等积法；(2)适合用分割法.
[归纳提升] 求几何体体积的常用方法
公式法
直接代入公式求解
等积法
例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可
补体法
将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等
分割法
将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积
【对点练习】? 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.
已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9
cm，宽为6
cm的矩形，求此正三棱柱的体积.
易错警示
典例
4
忽略对侧面展开图的分类讨论而致错
[错因分析] 若侧面展开图是一个长、宽不等的矩形，其长和宽都可能是正三棱柱的底面周长.该解法中忽略了另一种情况，导致答案不完整.
[误区警示] 解答此类问题一定要注意侧面展开图的长、宽都可能是底面的周长，不要漏解.
【对点练习】? 如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是
_____.
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第八章 8.3 8.3.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．若正方体的表面积为96，则正方体的体积为( B )
A．48
B．64
C．16
D．96
[解析] 设正方体的棱长为a，则6a2＝96，解得a＝4，故V＝a3＝43＝64．
2．将一正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 设正方体的棱长为1，已知截去的每一个角都是一个三棱锥，且每个三棱锥的体积都等于，因此截去的四个三棱锥的体积为，则剩余的四面体的体积为.
3．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( B )
A．6a2
B．12a2
C．18a2
D．24a2
[解析] 原来正方体表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为a，其表面积为6×2＝a2，总表面积S2＝27×a2＝18a2，
∴增加了S2－S1＝12a2．
4．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体(即由两个同底等高的正四棱锥组成)，所有的棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为，故正八面体的体积V＝2V正四棱锥＝2××12×＝.故选B．
5．如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么V1︰V2＝( A )
A．7︰5
B．6︰5
C．8︰3
D．4︰3
[解析] 设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.因为E，F分别为AC，AB的中点，所以S△AEF＝S，所以V1＝h＝Sh，V2＝V－V1＝Sh.所以V1︰V2＝7︰5．
二、填空题
6．已知一个长方体的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为____.
[解析] 设长方体从一点出发的三条棱长分别为a，b，c，则三式相乘得(abc)2＝6，故长方体的体积V＝abc＝.
7．如图所示的三棱柱中，两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，则该几何体的表面积为__24＋2__.
[解析] 该三棱柱的表面积为2×＋3×(4×2)＝24＋2.
8．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为____.
[解析] V三棱锥A－DED1＝V三棱锥E－DD1A＝××1×1×1＝.
三、解答题
9．如图，已知正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，求此正三棱锥的表面积.
[解析] 如图，设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，与AB交于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.
∵S侧＝2S底，∴3×a×h′＝2×a2．
∴a＝h′.
∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2．
∴32＋2＝h′2．
∴h′＝2，∴a＝h′＝6．
∴S底＝a2＝×62＝9，
S侧＝2S底＝18.
∴S表＝S侧＋S底＝18＋9＝27.
10．如图，棱锥的底面ABCD是一个矩形，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高.若VM＝4
cm，AB＝4
cm，VC＝5
cm，求锥体的体积.
[解析] ∵VM是棱锥的高，
∴VM⊥MC.
在Rt△VMC中，
MC＝＝＝3(cm)，
∴AC＝2MC＝6(cm).
在Rt△ABC中，
BC＝＝＝2(cm).
S底＝AB·BC＝4×2＝8(cm2)，
∴V锥＝S底h＝×8×4＝(cm3).
∴棱锥的体积为
cm3．
B 组·素养提升
一、选择题
1．(2020·江苏高一期中)已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为( B )
A．80
B．240
C．320
D．640
[解析] 由题意可知，该棱台的侧面为上、下底边长分别为4和16，腰长为10的等腰梯形，则该等腰梯形的高为＝8．
∴等腰梯形的面积为×(4＋16)×8＝80，∴该棱台的侧面积S＝3×80＝240．故选B．
2．(2020·河北高一月考)某六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧面是矩形，侧棱长为4，则其表面积为( B )
A．12＋12
B．48＋12
C．64＋6
D．72＋6
[解析] 由题意知该六棱柱的侧面面积为4×2×6＝48，上、下底面的面积均为×2×2××6＝6，所以全面积等于48＋12.故选B．
3．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为，则正三棱台的侧面积S1与底面面积之和S2的大小关系为( A )
A．S1>S2
B．S1C．S1＝S2
D．以上都不是
[解析] 斜高h′＝＝，
S1＝(C＋C′)h′＝(3×2＋3×4)×＝9，
S2＝×22＋×42＝5，所以S1>S2．
4．正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积为( A )
A．32
B．48
C．64
D．
[解析] 如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，连接AC，BD，交于O点，连接PO，取BC的中点E，连接PE，OE，易知PO为正四棱锥P－ABCD的高，PE为斜高，则OE＝PE，因为OE＝AB＝2，所以PE＝4，则S侧＝4××4×4＝32．
二、填空题
5．(2020·江苏省扬州市检测)若正四棱锥的底面边长为2
cm，体积为8
cm3，则它的侧面面积为__4__cm2．
[解析] ∵该正四棱锥的底面边长为2
cm，体积为8
cm3，∴该四棱锥的高为3
cm，∴侧面等腰三角形的高为＝(cm)，故S侧＝4××2×＝4(cm2).
6．(2020·山东济南高一学习质量评估)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，CE＝2EP.若三棱锥P－EBD的体积为V1，三棱锥P－ABD的体积为V2，则的值为____.
[解析] 设四棱锥P－ABCD的高为h，底面ABCD的面积为S，则V2＝×Sh＝Sh.因为CE＝2EP，所以PE＝PC，所以V1＝VE－PBD＝VC－PBD＝VP－BCD＝×Sh＝Sh，所以＝＝.
三、解答题
7．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.
[解析] 设AB＝a，AD＝b，DD′＝c，则长方体ABCD?A′B′C′D′的体积V＝abc，又S△A′DD′＝bc，且三棱锥C?A′DD′的高为CD＝a.
∴V三棱锥C?A′DD′＝S△A′DD′·CD＝abc.
则剩余部分的几何体体积V剩＝abc－abc＝abc.
故V棱锥C?A′DD′∶V剩＝abc∶abc＝1∶5．
8．(2020·河北高一月考)如图，已知正六棱锥P－ABCDEF的表面积为18，且AB＝2，求正六棱锥P－ABCDEF的体积.
[解析] 取AB的中点M，连接OM，MP，如图.
∵AB＝2，∴OM＝，S△OAB＝×2×＝，
∴S底＝6.由该正六棱锥的表面积为18，可得S△PAB＝(18－6)÷6＝2.
又由S△PAB＝AB·PM＝2，得PM＝2，
∴PO＝＝＝3．
∴VP－ABCDEF＝×6×3＝6.
