(共46张PPT)
第八章
立体几何初步
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．理解并掌握平面的基本事实及推论.(逻辑推理)
2．会用基本事实及推论解决有关问题.(逻辑推理)
要充分利用长方体以及身边的生活中的物品认识空间点、直线、平面，要类比初中平面几何中点、直线去认识空间中的点、直线、平面，逐步过渡与抽象，并确定它们之间的关系.
必备知识·探新知
1．平面的概念
几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周___________的.
平面
知识点1
无限延展
2．平面的画法
我们常用矩形的直观图，即_____________表示平面，它的锐角通常画成_______，且横边长等于其邻边长的____倍，如图①.
如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用_______画出来，如图②.
3．平面的表示法
图①的平面可表示为________、平面ABCD、_________或平面BD.
平行四边形
45°
2
虚线
平面α
平面AC
1．直线在平面内的概念
如果直线l上的_________都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.
点、线、面之间的位置关系
知识点2
所有点
2．一些文字语言与符号语言的对应关系：
文字语言表达
符号语言表示
文字语言表达
符号语言表示
点A在直线l上
_______
点A在直线l外
_______
点A在平面α内
_______
点A在平面α外
_______
直线l在平面α内
_______
直线l在平面α外
_______
直线l，m相交于点A
l∩m＝A
平面α，β相交于直线l
α∩β＝l
A∈l
A?l
A∈α
A?α
l?α
l?α
1．
平面的基本性质及应用
知识点3
有且只有
两个点
这个平面内
l?α
公共直线
2．利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：
推论1_______________________________，有且只有一个平面.
推论2___________________，有且只有一个平面.
推论3___________________，有且只有一个平面.
经过一条直线和这条直线外一点
经过两条相交直线
经过两条平行直线
[知识解读] 1．平面的几个特点
(1)平面是平的；
(2)平面是没有厚度的；
(3)平面是无限延展而没有边界的.
2．从集合的角度理解点、线、面之间的位置关系
(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“?”表示.
(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“?”表示.
(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“?”或“?”表示.
3．准确认识三个基本事实的意义和作用
(1)基本事实1
意义：是在空间确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法.
作用：①确定平面；②证明点、线共面.
(2)基本事实2
意义：说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展”.
作用：既是判断直线是否在平面内，又是检验平面的方法.
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可推出不共线的三点，一条直线和这条直线外一点，两条相交直线，两条平行直线，都能唯一确定一个平面.
(3)基本事实3
意义：揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法.
作用：①判断两个平面是否相交；
②确定两个平面的交线；
③证明若干点共线问题.
关键能力·攻重难
根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.
(1)点P与直线AB；
(2)点C与直线AB；
(3)点M与平面AC；
(4)点A1与平面AC；
(5)直线AB与直线BC；
(6)直线AB与平面AC；
(7)平面A1B与平面AC.
题型探究
题型一
三种语言的相互转化
典例
1
[解析] (1)点P∈直线AB；
(2)点C?直线AB；
(3)点M∈平面AC；
(4)点A1?平面AC；
(5)直线AB∩直线BC＝点B；
(6)直线AB?平面AC；
(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.
[归纳提升] 三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”，直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”.
提醒：根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.
【对点练习】? (1)若点M在直线a上，a在平面α内，则M、a、α间的关系可记为___________________；
(2)根据图，填入相应的符号：A_____平面ABC，A_____平面BCD，BD_____平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝_____；
(3)用符号语言表示下面语句，并画出图形：三个
平面α、β、γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，
平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC.
M∈a，a?α，M∈α
∈
?
?
AC
[解析] (3)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.
图形表示：如图所示.
已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图.求证：P、Q、R三点共线.
[分析] (1)P、Q、R三点分别在哪几个平面上？
(2)在两个相交平面上的点，有什么特点？
题型二
点共线问题
典例
2
[解析] 证法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.
又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知：
点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P、Q、R三点共线.
证法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC?面APR.
又∵Q∈面APR，Q∈α，
∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线.
[归纳提升] 点共线的证明方法：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.
【对点练习】? 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：C1、O、M三点共线.
[解析] 由AA1∥CC1，则AA1与CC1确定一个平面A1C.
∵A1C?平面A1C，而O∈A1C，∴O∈平面A1C.
又A1C∩平面BC1D＝O，∴O∈平面BC1D.
∴O点在平面BC1D与平面A1C的交线上.
又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C.
又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C，
∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1、O、M三点共线.
已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.
[证明] 如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l?α.即过a，b，l有且只有一个平面.
题型三
线共面问题
典例
3
[归纳提升] 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.
(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.
【对点练习】? 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
[证明] 法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2．又∵l2?α，∴B∈α.同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α.
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
法二(同法一、重合法)∵l1∩l2＝A，
∴l1，l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内.
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
已知：如图，空间四边形ABCD中，E、H分别为BC、AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DF︰FC＝DG︰GA＝1︰2．
求证：直线EF、BD、HG交于一点.
[分析] 先证EF、HG一定相交于一点，
再证这一点在直线BD上.
题型四
线共点问题
典例
4
设EF∩GH＝O，则O∈GH，O∈EF.
∵GH?平面ABD，EF?平面BCD，∴O∈平面ABD，O∈平面BCD.
∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD，即直线EF、BD、HG交于一点.
[归纳提升] 三线共点的证明方法：
证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.
【对点练习】? 三个平面α、β、γ两两相交，交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，已知直线a和b不平行.
求证：a、b、c三条直线必过同一点.
[解析] ∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a?γ，b?γ，
∵a、b不平行，
∴a、b必相交，设a∩b＝P，
∵P∈a，a?β，
∴P∈β，同理P∈α，
而α∩β＝c，∴P∈c.∴a、b、c相交于一点P，
即a、b、c三条直线过同一点.
已知A、B、C、D、E五点中，A、B、C、D共面，B、C、D、E共面，则A、B、C、D、E五点一定共面吗？
[错解] 因为A、B、C、D共面，所以点A在B、C、D所确定的平面内，因为B、C、D、E共面，所以点E也在B、C、D所确定的平面内，所以点A、E都在B、C、D所确定的平面内，即A、B、C、D、E五点一定共面.
[错因分析] 错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件，实际上B、C、D三点还可能共线.
易错警示
典例
4
对于条件所给的点的位置关系考虑不全面
[正解] (1)如果B、C、D三点不共线，则它们确定一个平面α.因为A、B、C、D共面，所以点A在平面α内，因为B、C、D、E共面，所以点E在平面α内，所以点A、E都在平面α内，即A、B、C、D、E五点一定共面.
(2)如果B、C、D三点共线于l，若A、E都在l上，则A、B、C、D、E五点一定共面；
若A、E中有且只有一个在l上，则A、B、C、D、E五点一定共面；
若A、E都不在l上，则A、B、C、D、E五点可能不共面.
【对点练习】? 如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是
( )
A．A，B，C，D四点中必有三点共线
B．A，B，C，D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交
D．直线AB与CD平行
[解析] 两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.
B
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第八章 8.4 8.4.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．若一直线a在平面α内，则正确的表示图形是( A )
[解析] 选项B、C、D中直线a在平面α外，选项A中直线a在平面α内.
2．如图所示，下列符号表示错误的是( A )
A．l∈α
B．P?l
C．l?α
D．P∈α
[解析] 观察图知：P?l，P∈α，l?α，则l∈α是错误的.
3．下面四个说法(其中A、B表示点，a表示直线，α表示平面)：
①∵A?α，B?α，∴AB?α；
②∵A∈α，B?α，∴AB?α；
③∵A?a，a?α，∴A?α；
④∵A∈a，a?α，∴A∈α.
其中表述方式和推理都正确的结论的序号是( C )
A．①④
B．②③
C．④
D．③
[解析] ①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB?α；③错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确.
4．(2019～2020安徽蚌埠高二期中)三条两两平行的直线可以确定平面的个数为( D )
A．0
B．1
C．0或1
D．1或3
[解析] 当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面，当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面.
5．(多选)空间不共线的四点，可以确定平面的个数可能是( BD )
A．0
B．1
C．2
D．4
[解析] 若有三点共线，则由直线与直线外一点确定一个平面，得不共线的四点，可以确定平面的个数为1个；若任意三点均不共线，则空间不共线的四点，可以确定平面的个数是1或4．故空间不共线的四点，可以确定平面的个数是1或4个.故选BD．
6．如图所示，平面α∩β＝l，A、B∈α，C∈β且C?l，AB∩l＝R，设过A、B、C三点的平面为γ，则β∩γ等于( C )
A．直线AC
B．直线BC
C．直线CR
D．以上都不对
[解析] 由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR.
二、填空题
7．在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有__5__条.
[解析] 由图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条.
8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是__(2)(3)(4)__(填序号).
(1)直线AC1在平面CC1B1B内.
(2)设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1．
(3)由A、C1、B1确定的平面是ADC1B1．
(4)由A、C1、B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一个平面.
[解析] (1)错误.如图所示，点A?平面CC1B1B，所以直线AC1?平面CC1B1B.
(2)正确.如图所示.
因为O∈直线AC?平面AA1C1C，O∈直线BD?平面BB1D1D，O1∈直线A1C1?平面AA1C1C，O1∈直线B1D1?平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1．
(3)(4)都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，
所以四边形AB1C1D是平行四边形，
所以A，B1，C1，D共面.
三、解答题
9．如图，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E.求证：B，E，D三点共线.
[证明] 因为AB∥CD，
所以AB，CD可确定一个平面，设为平面β，
所以AC在平面β内，即点E在平面β内.
而AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，
可知点B，D，E为平面α与平面β的公共点，
根据基本事实3可得，B，D，E三点共线.
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：
(1)E、C、D1、F、四点共面；
(2)CE、D1F、DA三线共点.
[解析] (1)分别连接EF、A1B、D1C，
∵E、F分别是AB和AA1的中点，
∴EF∥A1B且EF＝A1B.
又∵A1D1B1C1BC，
∴四边形A1D1CB是平行四边形，
∴A1B∥CD1，从而EF∥CD1．
EF与CD1确定一个平面.
∴E、F、D1、C四点共面.
(2)∵EFCD1，
∴直线D1F和CE必相交.设D1F∩CE＝P，
∵D1F?平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1D.
又CE?平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD，
即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点.
而平面ABCD∩平面AA1D1D＝直线AD，
∴P∈直线AD(公理3)，∴直线CE、D1F、DA三线共点.
B 组·素养提升
一、选择题
1．空间中四点可确定的平面有( D )
A．1个
B．3个
C．4个
D．1个或4个或无数个
[解析] 当四个点在同一条直线上时，经过这四个点的平面有无数个；当这四个点为三棱锥的四个顶点时，可确定四个平面；当这四个点为平面四边形的四个顶点时，确定一个平面；当其中三点共线于l，另一点不在直线l上时，也确定一个平面，故选D．
2．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个结论，其中正确的结论是( D )
①P∈a，P∈α?a?α
②a∩b＝P，b?β?a?β
③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α
④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b
A．①②
B．②③
C．①④
D．③④
[解析] 当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a?α，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P?a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b?α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D．
3．经过同一直线上的3个点的平面( C )
A．有且只有1个
B．有且只有3个
C．有无数个
D．只有0个
[解析] 因3个点在同一条直线，所以经过该直线的平面都满足条件，故选C．
4．下列各图均是正六棱柱，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是( D )
[解析] 在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P、Q、R、S共面，故选D．
二、填空题
5．若直线l与平面α相交于点O，A、B∈l，C、D∈α，且AC∥BD，则O、C、D三点的位置关系是__共线__.
[解析] ∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α.
又∵O∈AB?β，∴O∈直线CD，∴O、C、D三点共线.
6．已知α、β是不同的平面，l、m、n是不同的直线，P为空间中一点.若α∩β＝l，m?α、n?β、m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为__P∈l__.
[解析] 因为m?α，n?β，m∩n＝P，所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l，所以点P在直线l上，所以P∈l.
7．给出以下结论：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确结论的个数是__0__.
[解析] 如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AD与A′B′都与直线AA′相交，但是直线AD与A′B′不在同一平面内，故①错误；在正方体ABCD－A′B′C′D′中，直线AB，AD，AA′两两相交，但是这三条直线不在同一平面内，故②错误；当两个平面相交时，两个平面可有无数个公共点，只有当两个平面有三个不共线的公共点时，两个平面才重合，故③错误；两两平行的三条直线也可能在同一平面内，故④错误.综上可知，正确结论的个数是0．
三、解答题
8．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.
(1)画出直线l的位置；
(2)设l∩A1B1＝P，求线段PB1的长.
[解析] (1)延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则NE即为直线l的位置.
(2)∵M为AA1的中点，AD∥ED1，
∴AD＝A1E＝A1D1＝a.
∵A1P∥D1N，且D1N＝a，
∴A1P＝D1N＝a，
于是PB1＝A1B1－A1P＝a－a＝a.第八章 8.4 8.4.1
1．如右图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为( A )
A．平面MN
B．平面NQP
C．平面α
D．平面MNPQ
[解析] MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.
2．如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，则可以表示为( B )
A．A?a，a?α，B∈α
B．A∈a，a?α，B∈α
C．A?a，a∈α，B?α
D．A∈a，a∈α，B∈α
[解析] 点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在平面α内，表示为A∈a，a?α，B∈α.
3．下列说法中正确的是( C )
A．三点确定一个平面
B．四边形一定是平面图形
C．梯形一定是平面图形
D．两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点
[解析] 不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确.故选C．
4．两个平面若有三个公共点，则这两个平面( C )
A．相交
B．重合
C．相交或重合
D．以上都不对
5．看图填空：
(1)AC∩BD＝__O__；
(2)平面AB1∩平面A1C1＝__A1B1__；
(3)平面A1C1CA∩平面AC＝__AC__；
(4)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝__OO1__.
