第八章 8.4 8.4.2
1．如果两条直线a和b没有公共点，那么a和b( D )
A．共面
B．平行
C．异面
D．平行或异面
[解析] 直线a、b没有公共点时，a、b可能平行，也可能异面.
2．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有( B )
A．3条
B．4条
C．5条
D．6条
[解析] EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1．
3．若直线a?平面α，则下列结论中成立的个数是( A )
①α内的所有直线与a异面；
②α内的直线与a都相交；
③α内存在唯一的直线与a平行；
④α内不存在与a平行的直线.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] ∵直线a?平面α，∴直线a与平面α可能相交或平行.若a与α平行，则α内与a平行的直线有无数条；若a与α相交，则α内的直线可以与a相交，也可以与a异面.故①②③④都不正确.
4．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( C )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．不能确定
[解析] 由题目分别在两个平面内的两直线平行判定两平面是相交或平行.解答本题可逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线.同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示).
5．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是__③__(填序号).
[解析] ①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交.
6．试讨论空间中三个平面将空间分成几个部分？
[解析] ①当三个平面两两平行时，将整个空间分成4部分；
②当三个平面中有两个互相平行，且同时与第三个平面相交或三个平面两两相交有1条交线时，分成6部分；
③当三个平面两两相交且交线为3条互相平行的直线时，分成7部分；
④当三个平面两两相交于共点的三条直线时，分成8部分.
综上所述，空间中三个平面将空间分成4、6、7或8个部分.(共32张PPT)
第八章
立体几何初步
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.(数学抽象)(直观想象)
2．会用符号语言表示空间点、直线、平面的位置关系.(数学抽象)
3．根据有关概念，学会判断(证明)空间点、直线、平面的位置关系.(逻辑推理)
学习本节知识要多观察实物，感知现实中空间点、直线、平面的位置关系，再给出并学习定义.长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映.
必备知识·探新知
1．异面直线的定义和画法
(1)定义：_______________________的两条直线叫做异面直线.
(2)画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个_______衬托.
空间中直线与直线的位置关系
知识点1
不同在任何一个平面内
平面
2．空间中直线与直线的位置关系
位置关系
是否在同一平面内
公共点个数
共面直线
相交直线
_____
1
平行直线
是
0
异面直线
_____
0
是
否
空间中直线与平面的位置关系
知识点2
无数
有且只有一个
a∩α＝A
a∥α
空间中平面与平面的位置关系
知识点3
α∥β
α∩β＝l
[知识解读] 对异面直线的理解
(1)异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)注意异面直线定义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理解为：在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线.
关键能力·攻重难
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_______；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_______；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是_______；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是_______.
题型探究
题型一
直线与直线位置关系的判断
典例
1
平行
异面
相交
异面
[解析] (1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.
(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.
(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1．
(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.
[归纳提升] 判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交.
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为l?α，A?α，B∈α，B?l?AB与l是异面直线(如图).
【对点练习】? 正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1是异面直线的条数为
( )
A．4
B．5
C．6
D．7
[解析] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线BA1是异面的直线有CD，C1D1，C1C，D1D，B1C1，AD，共6条，故选C．
C
下列五个结论中正确结论的个数是
( )
①如果a、b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α
内的任何一条直线平行；
③如果直线a、b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；
④如果直线a、b和平面α满足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α；
⑤如果a与平面α上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α.
A．0
B．1
C．2
D．3
题型二
直线与平面的位置关系
典例
2
B
[解析] 如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′却在过BB′的平面ABB′A′内，故①错；AA′∥平面BB′C′C，BC?平面BB′C′C，但AA′不平行于BC，故②错；AA′∥平面BB′C′C，A′D′∥平面BB′C′C，但AA′与A′D′相交，故③错；A′B′∥C′D′，A′B′∥平面ABCD，C′D′?平面ABCD，则C′D′∥平面ABCD，故④正确；AA′显然与平面ABB′A′中的无数条直线平行，但AA′?平面ABB′A′，故⑤错误，故选B．
[归纳提升] 直线与平面位置关系的判断：
(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决.另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法.
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面α内，要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点，要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点.
【对点练习】? 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，指出B1C，BD1与各面的位置关系.
[解析] (1)B1C?平面BCC1B1，B1C∥平面ADD1A1，B1C与其余4个面相交.
(2)BD1与6个面都相交.
观察下面的两个图：
(1)一楼、二楼的地面所在平面的位置关系是什么？
(2)房顶所在平面的位置关系是什么？
(3)怎样用图形表示两平面的位置关系？
题型三
平面与平面的位置关系
典例
3
[解析] (1)平行.
(2)相交.
(3)①两平行平面的画法：画两平行的平面时要注意把表示平面的两个平行四边形画成对应边平行.
②两相交平面的画法：
先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如图(1).
再画表示两平面交线的线段，如图(2).
再过图(1)中线段的端点分别画线段使它平行且等于(2)表示交线的线段，如图(3).
再画表示平面的平行四边形的其他边，如图(4).
[归纳提升] 平面与平面的位置关系的判断方法：
(1)平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点.
(2)平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点.
【对点练习】? 以下四个命题中，正确的命题有
( )
①在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
②在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
③平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行；
④平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交.
A．③④
B．②③④
C．②④
D．①④
A
设P是异面直线a、b外的一点，则过P与a、b都平行的平面
( )
A．有且只有一个
B．恰有两个
C．没有或只有一个
D．有无数个
易错警示
典例
4
对空间线面位置关系考虑不全面致误
C
[错解] 如图，过P作a1∥a，b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴过a1、b1有且只有一个平面.故选A．
[错因分析] 错解是因为对空间概念理解不透彻，对P点位置没有作全面地分析，只考虑了一般情况，而忽略了特殊情形.事实上，当直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或a)平行时，与a、b都平行的平面就不存在了.
[正解] C
[误区警示] 对于空间中的线面和面面位置关系问
题，应注意结合实例，全面考虑，认真分析所有可能的
情形，才能避免判断失误.
【对点练习】? 若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是
( )
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行、相交或异面
D
[解析] 可借助长方体来判断.
如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面.
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第八章 8.4 8.4.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．异面直线是指( D )
A．空间中两条不相交的直线
B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
[解析] 对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面.∴A应排除.
对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，∴B应排除.
对于C，如图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除.只有D符合定义.∴应选D．
2．直线a与平面α平行，直线b?α，则a与b的位置关系是( D )
A．相交
B．平行
C．异面
D．平行或异面
[解析] ∵a∥α，∴a与α无公共点，
又∵b?α，∴a与b无公共点，
∴a∥b或a与b异面.
3．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线( D )
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行或异面
[解析] 两个平面内的直线必无交点，所以不是异面必是平行.
4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BD和CD的中点，长方体的各棱中与EF平行的有( D )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
[解析] 如图所示
∵E、F分别为BD、CD的中点，∴EF∥BC，
又∵BC∥B1C1，∴EF∥B1C1，同理，EF∥A1D1，EF∥AD.
5．平面α∥平面β，直线a∥α，则( D )
A．a∥β
B．a在面β上
C．a与β相交
D．a∥β或a?β
[解析] 如图(1)满足a∥α，α∥β，此时a∥β；
如图(2)满足a∥α，α∥β，此时a?β，故选D．
二、填空题
6．过平面α外一点，作直线l∥α，则这样的直线l有__无数__条.
[解析] 过平面α外一点可以作无数条直线平行于平面α.
7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中判断下列位置关系：
(1)AD1所在的直线与平面BCC1的位置关系是__平行__；
(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是__相交__.
8．两个不重合的平面可以把空间分成__三或四__部分.
[解析] 两平面平行时，把空间分成三部分.两平面相交时，把空间分成四部分.
三、解答题
9．如图所示，用集合符号表示下列图形中元素的位置关系.
[解析] (1)α∩β＝l，m?α，n?β，l∩n＝P，m∥l.
(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B.
10．如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系.
(1)AB与CC1；
(2)A1B1与DC；
(3)D1E与CF.
[解析] (1)AB与CC1是异面直线.
(2)A1B1与DC是平行直线.
(3)D1E与CF是相交直线.
B 组·素养提升
一、选择题
1．下列说法中正确的是( B )
A．若两直线无公共点，则两直线平行
B．若两直线不是异面直线，则必相交或平行
C．过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异面直线
D．和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线
[解析] 对于A，空间两直线无公共点，则两直线可能平行，可能异面，故A不正确；对于C，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线，故C不正确；对于D，和两条异面直线都相交的两条直线还可能是相交直线，如图的三棱锥A－BCD中，l1与l2为异面直线，BC与AC均与l1，l2相交，但BC与AC也相交，故D不正确.
2．直线a在平面γ外，则( D )
A．a∥γ
B．a与γ至少有一个公共点
C．a∩γ＝A
D．a与γ至多有一个公共点
[解析] 直线a在平面γ外，包括两种情况，一种是平行，另一种相交，故选D．
3．若平面α∥平面β，则( A )
A．平面α内任一条直线与平面β平行
B．平面α内任一条直线与平面β内任一条直线平行
C．平面α内存在一条直线与平面β不平行
D．平面α内一条直线与平面β内一条直线有可能相交
4．(多选)如图所示的是一个正方体的平面展开图，如果图示面为里面，将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有( ABC )
A．AB与CD
B．AB与GH
C．EF与GH
D．EF与CD
题图 答图
[解析] 将平面图形还原成正方体后如图所示，其中AB与CD异面，AB与GH异面，EF与GH异面.
二、填空题
5．将一个长方体的四个侧面和两个底面延展成平面后，可将空间分成__27__部分.
6．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则下列说法正确的是__①__(填序号).
①若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；
②若平面α和平面β相交，则直线a和直线b相交.
[解析] 若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交.反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行.
三、解答题
7．已知三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c?β，c∥b.
(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；
(2)判断c与a的位置关系，并说明理由.
[解析] (1)c∥α，因为α∥β，所以α与β没有公共点.又c?β，所以c与α无公共点，所以c∥α.
(2)c∥a，因为α∥β，所以α与β没有公共点.又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a?α，b?β，且a、b?γ，所以a、b没有公共点.由于a，b都在平面γ内，因此a∥b.又c∥b，所以c∥a.
8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由.
[解析] 如图，取AB的中点F，连接EF、A1B、CF.
∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形.
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、F、C、D1四点共面.
∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，
F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，
∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.
∴过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.
