第八章 8.5 8.5.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( B )
A．全等
B．相似
C．仅有一个角相等
D．无法判断
[解析] 由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以这两个三角形相似.
2．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( B )
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面
[解析] 若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1，l3有三种位置关系，可能平行、相交或异面，故A不对.虽然l1∥l2∥l3，或l1，l2，l3共点，但l1，l2，l3可能共面，也可能不共面，故C、D也不正确.
3．如图，用正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( D )
A．MN与CC1垂直
B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行
D．MN与A1B1平行
[解析] 连接DC1，可知MN是△C1DB的中位线，所以MN∥BD，BD与A1B1不平行，所以MN不可能与A1B1平行.
4．已知直线a，b，c，下列三个命题：
①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；
②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；
③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.
其中，正确命题的个数是( A )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 对于①，c与a可以相交；对于②，b和c可以异面；对于③，b与c可以相交，也可以异面.
5．(多选)下列四面体中，直线EF与MN不可能平行的是( ABD )
[解析] 根据过平面内一点和平面外一点的直线，与平面内不过该点的直线异面，可判定A，B中EF，MN异面；C中直线EF与MN平行；D中，若EF∥MN，则过EF的平面与底面相交，EF就跟交线平行，则过点N有两条直线与EF平行，不可能.故选ABD．
二、填空题
6．如图，AA′是长方体ABCD－A′B′C′D′的一条棱，那么长方体中与AA′平行的棱共有__3__条.
[解析] ∵四边形ABB′A′、ADD′A′均为长方形，
∴AA′∥BB′，AA′∥DD′.
又四边形BCC′B′为长方形，
∴BB′∥CC′，∴AA′∥CC′.
故与AA′平行的棱共有3条，它们分别是BB′，CC′，DD′.
7．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若＝＝，＝＝，则四边形EFGH形状为__梯形__.
[解析] 如右图
在△ABD中，∵＝＝，
∴EH∥BD且EH＝BD.
在△BCD中，∵＝＝，
∴FG∥BD且FG＝BD，∴EH∥FG且EH>FG，
∴四边形EFGH为梯形.
8．已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是__平行__.
[解析] 如图所示，MNAC，
又∵ACA′C′，
∴MNA′C′.
三、解答题
9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为棱AA1，CC1的中点.求证：BFED1．
[证明] 如图，取BB1的中点G，连接GC1，GE.
∵F为CC1的中点，∴BGC1F，
∴四边形BGC1F为平行四边形，
∴BFGC1．
又∵EGA1B1，A1B1D1C1，
∴EGD1C1，
∴四边形EGC1D1为平行四边形，
∴ED1GC1，∴BFED1．
10．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点.
求证：∠NMP＝∠BA1D.
[解析] 如图，连接CB1、CD1，∵CDA1B1，
∴四边形A1B1CD是平行四边形，
∴A1D∥B1C.
∵M、N分别是CC1、B1C1的中点，∴MN∥B1C，
∴MN∥A1D.
∵BCA1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1．
∵M、P分别是CC1、C1D1的中点，∴MP∥CD1，
∴MP∥A1B，
∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，
∴∠NMP＝∠BA1D.
B 组·素养提升
一、选择题
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是边AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( C )
A．相交
B．异面
C．平行
D．垂直
[解析] 如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点.由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C．
2．如图，在三棱锥P?ABC中，E，F，G，H，I，J分别为线段PA，PB，PC，AB，BC，CA的中点，则下列说法正确的是( C )
A．PH∥BG
B．IE∥CP
C．FH∥GJ
D．GI∥JH
[解析] 由题意结合三角形中位线的性质，可得FH∥PA，GJ∥PA，由平行公理可得FH∥GJ.
3．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是( B )
A．5
B．10
C．12
D．不能确定
[解析] 如图所示，由三角形中位线的性质可得EHBD，FGBD，再根据基本事实4可得四边形EFGH是平行四边形，那么所求的是平行四边形的对角线的平方和，EG2＋HF2＝2×(12＋22)＝10．故选B．
4．如图，在四面体A－BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是( D )
A．M，N，P，Q四点共面
B．∠QME＝∠CBD
C．△BCD∽△MEQ
D．四边形MNPQ为梯形
[解析] 由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.对于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A说法正确；对于B，根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B说法正确；对于C，由等角定理，知∠QME＝∠DBC，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C说法正确；由三角形的中位线定理，知MQBD，NPBD，所以MQNP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D说法不正确.
二、填空题
5．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
③若a?平面α，b?平面β，则a，b一定是异面直线；
④若a，b与c成等角，则a∥b.
其中正确的命题是__①__(填序号).
[解析] 由基本事实4知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；a?α，b?β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故③不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故④不正确.
6．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB∥CM；
②EF与MN是异面直线；
③MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为__①②__.
[解析] 把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①②正确.
三、解答题
7．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由.
[解析] 如图所示，在平面A1C1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求.
理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.
8．如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BCAD，BEFA，G，H分别为FA，FD的中点.
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
[解析] (1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GHAD.又BCAD，∴GHBC，
∴四边形BCHG为平行四边形.
(2)由BEAF，G为FA的中点知，BEFG，∴四边形BEFG为平行四边形，
∴EF∥BG.由(1)知BGCH，
∴EF∥CH，∴EF与CH共面.
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.(共28张PPT)
第八章
立体几何初步
8.5 空间中直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握基本事实4及等角定理.(逻辑推理)
2．会用基本事实4证明线线平行.(逻辑推理)
借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行的关系.
必备知识·探新知
平行于同一条直线的两条直线_______.
基本事实4
知识点1
平行
定理
知识点2
相等
互补
[知识解读] 1．对基本事实4的认识
(1)基本事实4，它表述的性质通常叫做平行线的传递性.
(2)基本事实4是论证平行问题的主要依据.
2．对等角定理的两点认识
(1)等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本事实4的直接应用.
(2)当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补.因此等角定理用来证明两个角相等或互补.
关键能力·攻重难
如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形.
题型探究
题型一
证明直线与直线平行
典例
1
[归纳提升] 证明空间两条直线平行的方法
(1)平面几何法
三角形中位线、平行四边形的性质等.
(2)定义法
用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点.
(3)基本事实4
用基本事实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由基本事实4即可得到a∥c.
【对点练习】? 如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，若E，F分别为AA′，CC′的中点，求证：四边形BFD′E是平行四边形.
[证明] 如图所示，取BB′的中点G，连接GC′，GE.
因为F为CC′的中点，
所以BG∥FC′，且BG＝FC′.
所以四边形BFC′G是平行四边形.
所以BF∥GC′，BF＝GC′，
又因为EG∥A′B′，EG＝A′B′，
A′B′∥C′D′，A′B′＝C′D′，
所以EG∥C′D′，EG＝C′D′.
所以四边形EGC′D′是平行四边形.
所以ED′∥GC′，ED′＝GC′，
所以BF∥ED′，BF＝ED′，
所以四边形BFD′E是平行四边形.
题型二
等角定理的应用
典例
2
所以BM∥A1E，所以CF1∥A1E.
同理可证A1F∥CE1．
因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1．
[归纳提升] 求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似.
【对点练习】? 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E.
设已知空间两个角α，β且α，β的两边分别平行，α＝60°，则β＝______________.
[错解] 60°
[错因分析] 在应用等角定理解题时一定要注意“两组边对应平行且方向相同”这一条件，在求解本题时容易忽略此条件而出错误答案60°.
[正解] 因为角α，β的两边分别平行，所以α，β相等或互补，又α＝60°，所以β＝60°或120°.
易错警示
典例
3
等角定理理解不准确
60°或120°
【对点练习】? 下列结论中，正确的结论有
( )
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；
④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析] ②④是正确的.
B
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第八章 8.5 8.5.1
1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( D )
A．一定平行
B．一定相交
C．一定异面
D．相交或异面
2．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则有( C )
A．∠BAC＝∠B′A′C′
B．∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
C．∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
D．∠BAC＋∠B′A′C′＝90°
3．如图，空间四边形ABCD的对角线AC，BD相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是( C )
A．矩形
B．正方形
C．菱形
D．空间四边形
4．两等角的一组对应边平行，则( D )
A．另一组对应边平行
B．另一组对应边不平行
C．另一组对应边不可能垂直
D．以上都不对
5．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点.求证：四边形MNA′C′是梯形.
[解析] 如图，连接AC，
∵M、N为CD、AD的中点，∴MNAC.
由正方体性质可知ACA′C′，
∴MNA′C′，
∴四边形MNA′C′是梯形.
课堂检测·固双基
H
D
G
B
C
