第八章 8.5 8.5.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．若l∥α，m?α，则l与m的关系是( D )
A．l∥m
B．l与m异面
C．l与m相交
D．l与m无公共点
[解析] l与α无公共点，∴l与m无公共点.
2．下列结论：
①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；
②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；
③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行.
其中正确结论的个数为( B )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
[解析] ①中，直线可能与平面相交，故①错；②是正确的；③中，一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故③错.
3．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD上的点，且AE︰EB＝AF︰FD＝1︰4，又点H，G分别为BC，CD的中点，则( B )
A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
[解析] 由AE︰EB＝AF︰FD＝1︰4知，EF∥BD，且EF＝BD，又∵EF?平面BCD，BD?平面BCD，∴EF∥平面BCD，又点H，G分别为BC，CD的中点，
∴HG∥BD且HG＝BD，
∴EF∥HG且EF≠HG，故选B．
4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是( A )
A．平行
B．相交
C．异面
D．平行或异面
[解析] 由长方体性质知：EF∥平面ABCD，
∵EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.
又∵EF∥AB，∴GH∥AB.
5．(多选)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是( BCD )
[解析] B选项中，AB∥MQ，且AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，则AB∥平面MNQ；C选项中，AB∥MQ，且AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，则AB∥平面MNQ；D选项中，AB∥NQ，且AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，则AB∥平面MNQ.故选BCD．
二、填空题
6．如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M、N分别是BF、BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是__平行__.
[解析] ∵M、N分别是BF、BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN?平面ADE，DE?平面ADE，∴MN∥平面ADE.
7．已知直线b，平面α，有以下条件：
①b与α内一条直线平行；
②b与α内所有直线都没有公共点；
③b与α无公共点；
④b不在α内，且与α内的一条直线平行.
其中能推出b∥α的条件有__②③④__.(把你认为正确的序号都填上)
[解析] ①中b可能在α内，不符合；②和③是直线与平面平行的定义，④是直线与平面平行的判定定理，都能推出b∥α.
8．(2020·扬州高二检测)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是__l∥A1C1__.
[解析] ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，AC?平面ABCD，
∴AC∥平面A1B1C1D1．
又平面ACB1经过直线AC与平面A1B1C1D1相交于直线l，
∴AC∥l，又∵AC∥A1C1，∴l∥A1C1．
三、解答题
9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S，E，G分别是B1D1，BC，SC的中点.求证：直线EG∥平面BDD1B1．
[解析] 如图所示，连接SB.
∵E、G分别是BC、SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，
∴直线EG∥平面BDD1B1．
10．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，
求证：BC1∥平面CA1D.
[证明] 连接AC1，设AC1∩A1C＝E，
则E为AC1的中点，又D为AB的中点，∴DE∥BC1．
∵DE?平面A1DC，BC1?平面A1DC，
∴BC1∥平面A1DC.
B 组·素养提升
一、选择题
1．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a、b、c、…，那么这些交线的位置关系为( D )
A．都平行
B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点
D．都平行或交于同一点
[解析] 若l∥平面α，则交线都平行；
若l∩平面α＝A，则交线都交于同一点A.
2．如图，在三棱锥S－ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则( B )
A．EF与BC相交
B．EF∥BC
C．EF与BC异面
D．以上均有可能
[解析] ∵EF?平面SBC，EF∥平面ABC，平面SBC∩平面ABC＝BC，∴EF∥BC.
3．不同直线m、n和不同平面α、β，给出下列结论：
①?m∥β；②?n∥β；③?m、n异面.
其中错误的结论有( C )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
[解析] ∵α∥β，∴α与β没有公共点.
又∵m?α，∴m与β没有公共点，
∴m∥β，故①正确，②③错误.
4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面交底面三角形ABC的边BC、AC于点E、F，则( B )
A．MF∥NE
B．四边形MNEF为梯形
C．四边形MNEF为平行四边形
D．A1B1∥NE
[解析] ∵在□AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，∴AMBN，∴MNAB.又MN?平面ABC，AB?平面ABC，∴MN∥平面ABC.又MN?平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，∴MN∥EF，∴EF∥AB，显然在△ABC中EF≠AB，∴EF≠MN，∴四边形MNEF为梯形.故选B．
二、填空题
5．如图，四边形ABCD是空间四边形，E，F，G，H分别是四边上的点，它们共面，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，则当四边形EFGH是菱形时，AE︰EB＝__m︰n__.
[解析] ∵AC∥平面EFGH，
∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF＝HG＝m.
同理，EH＝FG＝n，∴m＝n，
∴AE︰EB＝m︰n.
6．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，当点P满足条件__P是CC1中点(答案不唯一)__时，A1P∥平面BCD.
[解析] 如图，取CC1中点P，连接A1P.∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，
D为AA1中点，点P在侧面BCC1B1上运动，
∴当点P是CC1中点时，A1P∥CD.
∵A1P?平面BCD，CD?平面BCD，
∴A1P∥平面BCD.
三、解答题
7．如图，在三棱台DEF－ABC中，由AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点.
求证：BD∥平面FGH.
[证明] 如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH.
在三棱台DEF－ABC中，由AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC且DF＝GC，
所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点，
又H为BC的中点，所以OH∥BD.
因为OH?平面FGH，BD?平面FGH，
所以BD∥平面FGH.
8．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F.证明：EF∥B1C.
[解析] 由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC，且A1B1＝AB＝DC，所以四边形A1B1CD为平行四边形，从而B1C∥A1D.
又A1D?平面A1DFE，B1C?平面A1DFE，于是B1C∥平面A1DFE.又B1C?平面B1CD1，平面A1DFE∩平面B1CD1＝EF，所以EF∥B1C.第八章 8.5 8.5.2
1．三棱台ABC－A1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是( B )
A．相交
B．平行
C．在平面内
D．不确定
[解析] ∵AB∥A1B1，AB?平面A1B1C1，A1B1?平面A1B1C1，
∴AB∥平面A1B1C1．
2．平面α与△ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD︰DB＝AE︰EC，如图所示，则BC与α的位置关系是( A )
A．平行
B．相交
C．异面
D．BC?α
[解析] 在△ABC中，
∵AD︰DB＝AE︰EC，∴BC∥DE.
∵BC?α，DE?α，∴BC∥α.
3．点M、N是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，则MN与平面PCB1的位置关系是( A )
A．平行
B．相交
C．MN?平面PCB1
D．以上三种情形都有可能
[解析] 如图，∵M、N分别为A1A和A1B1中点，
∴MN∥AB1，
又∵P是正方形ABCD的中心，
∴P、A、C三点共线，
∴AB1?平面PB1C，
∵MN?平面PB1C，
∴MN∥平面PB1C.
4．如图，已知S为四边形ABCD外一点，G、H分别为SB、BD上的点，若GH∥平面SCD，则( B )
A．GH∥SA
B．GH∥SD
C．GH∥SC
D．以上均有可能
[解析] ∵GH∥平面SCD，GH?平面SBD，
平面SBD∩平面SCD＝SD，∴GH∥SD.
5．如图，三棱柱ABC－A′B′C′，点M、N分别为A′B和B′C′的中点.证明：MN∥平面A′ACC′.
[解析] 连接AB′、AC′，则点M为AB′的中点.
又点N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.
又MN?平面A′ACC′，AC′?平面A′ACC′，
因此MN∥平面A′ACC′.(共29张PPT)
第八章
立体几何初步
8.5 空间中直线、平面的平行
8.5.2 直线与平面平行
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握线面平行的判定定理和性质定理.(逻辑推理)
2．会用线面平行的判定定理和性质定理证明线面平行、线线平行.(逻辑推理)
1．充分利用空间基本模型——长方体来认识空间中的直线、平面的平行关系，帮助认识和直观感知定理.
2．梳理初中阶段所学的平面内的线线平行的知识，如中位线定理、平行四边形的对边相互平行等.
3．要善于从充要条件的角度看待判定定理和性质定理的关系.
必备知识·探新知
直线与平面平行的判定定理
知识点1
平面外
平面内
平行
a?α，b?α，且a∥b
直线与平面平行的性质定理
知识点2
平行
交线
a?β，α∩β＝b
[知识解读] 直线与平面平行的判定(证明)
1．定义法：判定(证明)直线与平面无公共点.
2．判定定理：
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.用符号表示：a?α，b?α且a∥b?a∥α.
3．体现了转化思想
此定理将证明线面平行的问题转化为证明线线平行.此定理可简记为：线线平行?线面平行.
关键能力·攻重难
如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是
( )
A．相交
B．b∥α
C．b?α
D．b∥α或b?α
[解析] 由a∥b，且a∥α，知b∥α或b?α.
题型探究
题型一
线面平行判定定理的理解
典例
1
D
[归纳提升] 线面平行的判定定理必须具备三个条件
(1)直线a在平面α外，即a?α；
(2)直线b在平面α内，即b?α；
(3)两直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可.
【对点练习】? 下列说法正确的是
( )
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∩b＝?，直线b?α，则a∥α
D．若直线a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
[解析] A错误，直线l还可以在平面α内；B错误，直线a在平面α外，包括平行和相交；C错误，a还可以与平面α相交或在平面α内.故选D．
D
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
题型二
直线与平面平行的判定
典例
2
[证明] 连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1．
又AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，
所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1．
又EF?平面AD1G，AD1?平面AD1G，
所以EF∥平面AD1G.
【对点练习】? (1)在四面体ABCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_________________.
(2)如果四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.
求证：MN∥平面PAD.
平面ABD、平面ABC
[解析] (1)如图所示，取CD的中点E.
则EM︰MA＝1︰2，
EN︰BN＝1︰2，
所以MN∥AB.
又MN?平面ABD，
MN?平面ABC，
AB?平面ABD，AB?平面ABC，
所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.
如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
题型三
线面平行性质定理的应用
典例
3
[分析] 根据线面平行的性质定理，要证AP∥GH，只需证AP∥平面BDM，只需证AP与平面BDM中的某一条直线平行.
[证明] 如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.
又M是PC的中点，∴AP∥OM.
又AP?平面BMD，OM?平面BMD，
∴AP∥平面BMD.
又∵AP?平面PAHG，
平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴AP∥GH.
[归纳提升] (1)利用线面平行的性质定理解题的步骤
(2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线，然后确定线线平行.
【对点练习】? 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形.
[证明] 因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB?平面ABC，
所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.
同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面MNPQ是平行四边形.
证明：已知平面外的两条直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于该平面.
已知：a∥b，a?β，b?β，a∥β.
求证：b∥β.
易错警示
典例
4
忽视定理的必备条件
[错解] 因为a∥b，所以直线a，b确定平面γ，设β∩γ＝c.
因为a∥β，所以a∥c，又因为a∥b，所以b∥c，
又因为c?β，b?β，所以b∥β.
出错的原因是此时直线a，b确定的平面γ与β不一定相交，也可能平行，所以直线c也可能不存在.
[错因分析] 使用定理证明或判断线线平行或线面平行时，一定要注意定理成立的条件，缺一不可.
[正解] 证明：在平面β内任一点A，因为a∥β，所以A?a.
设点A与直线a确定平面γ，β∩γ＝c.
又a∥β，由线面平行的性质定理可得a∥c，
又a∥b，所以b∥c，又c?β，b?β，所以b∥β.
【对点练习】? b是平面α外的一条直线，可以推出b∥α的条件是
( )
A．b与α内的一条直线不相交
B．b与α内的两条直线不相交
C．b与α内的无数条直线不相交
D．b与α内的任何一条直线都不相交
[解析] ∵b∥α，∴b与α无公共点，从而b与α内任何一条直线无公共点.
D
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
