第八章 8.5 8.5.3
A 组·素养自测
一、选择题
1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1C1与直线AC的位置关系是( A )
A．AC∥截面BA1C1
B．AC与截面BA1C1相交
C．AC在截面BA1C1内
D．以上答案都错误
[解析] ∵AC∥A1C1，又∵AC?面BA1C1，
∴AC∥面BA1C1．
2．下列结论正确的是( C )
①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行.
A．①③
B．②④
C．③④
D．②③④
[解析] 如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就说这两个平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线.
对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在.
对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，同①.
对于③：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行.这是两个平面平行的定义.
对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行.这是两个平面平行的判定定理.
所以只有③④正确，选择C．
3．已知直线l、m，平面α、β，下列结论正确的是( D )
A．l∥β，l?α?α∥β
B．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥β
C．l∥m，l?α，m?β?α∥β
D．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β
[解析] 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB∥CD，则直线AB∥平面DC1，直线AB?平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以选项A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.又EF?平面BC1，B1C1?平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以选项B错误；直线AD∥B1C1，AD?平面AC，B1C1?平面BC1，但平面AC与平面BC1不平行，所以选项C错误；很明显选项D是两个平面平行的判定定理，所以选项D正确.
4．如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是( B )
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上均有可能
[解析] ∵A1B1∥AB，AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，
∴A1B1∥平面ABC.
又A1B1?平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，
∴DE∥A1B1．
又AB∥A1B1，∴DE∥AB.
5．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′︰AA′＝2︰3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为( D )
A．2︰5
B．3︰8
C．4︰9
D．4︰25
[解析] ∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.又∵PA′︰AA′＝2︰3，
∴A′B′︰AB＝PA′︰PA＝2︰5．同理B′C′︰BC＝A′C′︰AC＝2︰5．∴△A′B′C′与△ABC相似，∴S△A′B′C′︰S△ABC＝4︰25．
二、填空题
6．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a，则α与β的位置关系是__平行__(填“平行”或“相交”).
[解析] 假若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线b∥a.故α∥β.
7．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则＝____.
[解析] ∵平面MNE∥平面ACB1，由面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，又∵E为BB1的中点，∴M，N分别为BA，BC的中点，∴MN＝AC，即＝.
8．如图，a∥α，A是α的另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD分别交平面α于E、F、G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝____.
[解析] ∵a∥α，α∩平面ABD＝EG，
∴a∥EG，即BD∥EG，
∴＝，则EG＝＝＝.
三、解答题
9．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E、F、H分别为AB、CD、PD的中点.求证：平面AFH∥平面PCE.
[解析] 因为F为CD的中点，H为PD的中点，
所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE.
又AE∥CF且AE＝CF，
所以四边形AECF为平行四边形，
所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE.
由FH?平面AFH，AF?平面AFH，FH∩AF＝F，
所以平面AFH∥平面PCE.
10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
[解析] 当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，
∴QB∥PA.而QB?平面PAO，PA?平面PAO，
∴QB∥平面PAO.
连接DB，∵P、O分别为DD1，DB的中点，
∴PO为△DBD1的中位线，
∴D1B∥PO.
而D1B?平面PAO，PO?平面PAO，
∴D1B∥平面PAO.
又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.
B 组·素养提升
一、选择题
1．a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个结论.
①a∥c，b∥c?a∥b；②a∥γ，b∥γ?a∥b；
③α∥c，β∥c?α∥β；④α∥γ，β∥γ?α∥β；
⑤α∥c，a∥c?α∥a；⑥a∥γ，α∥γ?α∥a.
其中正确的结论是( C )
A．①②③
B．①④⑤
C．①④
D．①③④
[解析] ①平行公理.
②两直线同时平行于一平面，这两条直线可相交、平行或异面.
③两平面同时平行于一直线，这两个平面相交或平行.
④面面平行传递性.
⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面或平行或直线在平面内.
⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这条直线和平面可平行也可能直线在平面内.故①④正确.
2．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，
由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，且MN＝BC1＝，MC1＝BN＝，
所以梯形的高为，
所以梯形的面积为(＋2)×＝.
3．已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点E，F，G，H分别是棱AD，BB′，B′C′，DD′的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB′D′平行的条数是( D )
A．0
B．2
C．4
D．6
[解析] 连接EG，EH，EF，FG，GH，∵EH∥FG且EH＝FG，∴四边形EFGH为平行四边形，∴E，F，G，H四点共面.由EG∥AB′，EH∥AD′，EG∩EH＝E，AB′∩AD′＝A，EG?平面EFGH，EH?平面EFGH，AB′?平面AB′D′，AD′?平面AB′D′，可得平面EFGH∥平面AB′D′.故平面EFGH内的每条直线都符合条件.故选D．
4．(多选题)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论正确的是( ACD )
A．AE∥平面C1BD
B．四面体ACEF的体积不为定值
C．三棱锥A－BEF的体积为定值
D．四面体ACDF的体积为定值
[解析] 对于A，如图1，AB1∥DC1，易证AB1∥平面C1BD，同理AD1∥平面C1BD，且AB1∩AD1＝A，所以平面AB1D1∥平面C1BD，又AE?平面AB1D1，所以AE∥平面C1BD，A正确；
对于B，如图2，S△AEF＝EF·h1＝×1×＝，点C到平面AEF的距离为点C到平面AB1D1的距离d为定值，所以VA－CEF＝VC－AEF＝××d＝d为定值，所以B错误；
对于C，如图3，S△BEF＝×1×3＝，点A到平面BEF的距离为A到平面BB1D1D的距离d为定值，所以VA－BEF＝××d＝d为定值，C正确；
对于D，如图4，四面体ACDF的体积为VA－CDF＝VF－ACD＝××3×3×3＝为定值，D正确.故选ACD．
二、填空题
5．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E、F、G、H分别为PA、PD、PC、PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；
②BC∥平面PAD；
③AB∥平面PCD；
④平面PAD∥平面PAB.
其中正确的有__①②③__.(填序号)
[解析] 把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，所以EH∥平面ABCD.同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交.∵AB∥CD，∴AB∥平面PCD.同理平面BC∥PAD.
6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足__点M在FH上__时，有MN∥平面B1BDD1．
[解析] ∵FH∥BB1，HN∥BD，FH∩HN＝H，
∴平面FHN∥平面B1BDD1，
又平面FHN∩平面EFGH＝FH，
∴当M∈FH时，MN?平面FHN，
∴MN∥平面B1BDD1．
三、解答题
7．如图所示，P为□ABCD所在平面外一点，点M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
(1)求证：BC∥l；
(2)MN与平面PAD是否平行？证明你的结论.
[解析] (1)因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC∥AD.又因为AD?平面PAD，BC?平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，BC?平面PBC，所以BC∥l.
(2)MN∥平面PAD.
证明如下：如图所示，取PD的中点E，连接NE、AE，所以NE∥CD，NE＝CD.
而CDAB，M为AB的中点，所以NE∥AM，NE＝AM，所以四边形MNEA是平行四边形，所以MN∥AE.又AE?平面PAD，MN?平面PAD，所以MN∥平面PAD.
8．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.
求证：EC∥A1D.
[解析] 因为BE∥AA1，AA1?平面AA1D，BE?平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD?平面AA1D，BC?平面AA1D，
所以BC∥平面AA1D.
又BE∩BC＝B，BE?平面BCE，BC?平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.第八章 8.5 8.5.3
1．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有( C )
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
[解析] 底面为正六边形的六棱柱，互相平行的面最多.
2．下列结论中，错误的是( A )
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．平行于同一平面的两直线关系不确定
D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面
[解析] 如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，
BB1∥平面ADD1A1，
BB1∥平面DCC1D1，
而平面ADD1A1∩平面DCC1D1＝DD1．
3．已知异面直线l、m，且l∥平面α，m?平面α，l?平面β，α∩β＝n，则直线m、n的位置关系是__相交__.
[解析] 由于l∥平面α，l?平面β，α∩β＝n，则l∥n.又直线l、m异面，则直线m、n相交.
4．如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BDC1．
[解析] ∵ABA1B1，C1D1A1B1，
∴ABC1D1．
∴四边形ABC1D1为平行四边形.
∴AD1∥BC1．
又AD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1．
同理BD∥平面AB1D1．
又∵BD∩BC1＝B，
∴平面AB1D1∥平面BDC1．
5．如图所示，四边形ABCD是矩形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.
求证：四边形BCFE是梯形.
[解析] ∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD，
∵AD?平面PAD，BC?平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，
∴BC∥EF.
∵AD＝BC，AD≠EF，
∴BC≠EF，
∴四边形BCFE是梯形.(共36张PPT)
第八章
立体几何初步
8.5 空间中直线、平面的平行
8.5.3 平面与平面平行
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握线面平行的判定定理和性质定理.(逻辑推理)
2．掌握面面平行的判定定理和性质定理.(逻辑推理)
3．会用面面平行的判定定理和性质定理证明面面平行、线面平行、线线平行.(逻辑推理)
借助长方体，通过直观感知，探索发现平面与平面平行的判定定理和性质定理，培养数学抽象，提升逻辑推理及直观想象素养.
必备知识·探新知
两个平面平行的判定定理
知识点1
两条相交直线
两个平面平行的性质定理
知识点2
平行
a∥b
[知识解读] 1．剖析平面与平面平行的判定定理
(1)具备两个条件
判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件.
①平面β内两条相交直线a，b，即a?α，b?α，a∩b＝P.
②两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.
(2)体现了转化思想
此定理将证明面面平行的问题转化为证明线面平行.
(3)此定理可简记为：线面平行?面面平行.
2．解读平面与平面平行的性质定理
(1)两个平面平行的性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”.该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理.可简述为“若面面平行，则线线平行”.
(2)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：
①平面α和平面β平行，即α∥β；
②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；
③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.
以上三个条件缺一不可.
(3)在应用这个定理时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面一切直线”的错误.
3．两个平面平行的一些常见结论
(1)如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行.
(2)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交.
(3)夹在两个平行平面间的所有平行线段相等.
关键能力·攻重难
如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1．
题型探究
题型一
两个平面平行的判定
典例
1
[分析] 要证平面A1EB∥平面ADC1，只需证平面A1EB内有两条相交直线平行于平面ADC1即可.
[解析] 如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC.
又D、E分别为BC，B1C1的中点，
所以C1E∥DB，C1E＝DB，
则四边形C1DBE为平行四边形，
因此EB∥C1D.
又C1D?平面ADC1，EB?平面ADC1，
所以EB∥平面ADC1．
连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，
所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED∥B1B，ED＝B1B.
因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，
所以ED∥A1A，ED＝A1A，
则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD.
又A1E?平面ADC1，AD?平面ADC1，
所以A1E∥平面ADC1．
由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E?平面A1EB，EB?平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1．
[归纳提升] 平面与平面平行的判定方法：
(1)定义法：两个平面没有公共点；
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【对点练习】? 如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM︰MA＝BN︰ND＝PQ︰QD，求证：平面MNQ∥平面PBC.
[解析] ∵在三角形PBD中，BN︰ND＝PQ︰QD，
∴QN∥PB，∴QN∥平面PBC，
同理PM︰MA＝PQ︰QD，∴MQ∥AD.
又底面ABCD是平行四边形，则AD∥BC，
∴MQ∥BC，∴MQ∥平面PBC.
而MQ∩NQ＝Q，MQ?平面MNQ，NQ?平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PBC.
(2020·河南郑州高一检测)如图，两条异面直线AB，CD与三个平行平面α，β，γ分别相交于A，E，B及C，F，D，又AD，BC与平面β的交点为H，G.
求证：四边形EHFG为平行四边形.
题型二
面面平行性质的应用
典例
2
[分析] 利用面面平行的性质说明EH∥BD，GF∥BD及EG∥AC，HF∥AC.从而说明四边形EHFG为平行四边形.
【对点练习】? (2020·山东济南联考)如图所示，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点.M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
[证明] 因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE?平面ABC，AB?平面ABC，
所以DE∥平面ABC.
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.
如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点.设F是棱AB的中点.
求证：直线EE1∥平面FCC1．
题型三
线线、线面、面面平行的转化
典例
3
[证明] 因为F为AB的中点，所以AB＝2AF
又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，因为AB∥CD，所以CD∥AF，
所以AFCD为平行四边形，所以FC∥AD，又FC?平面ADD1A1，
AD?平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1，
因为CC1∥DD1，CC1?平面ADD1A1，DD1?平面ADD1A1，
所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，
所以平面ADD1A1∥平面FCC1．
又EE1?平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1．
[归纳提升] 空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
【对点练习】? (1)将本例改为：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F是棱C1D1，A1D1的中点.
求证：AF∥平面BDE.
(2)将本例改为：如图所示，在长方体
ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，M，
N分别是AE，CD1的中点.求证：MN∥平面ADD1A1．
[证明] (1)法一：如图，连接EF，AC，AC∩BD＝G，显然四边形EFAG为平行四边形，又AF?平面BDE，EG?平面BDE，所以AF∥平面BDE.
法二：取A1B1中点H，连接AH，FH，证明平面AFH∥平面BDE即可.
(2)如图所示，取CD的中点K，连接MK，NK.
因为M，N，K分别为AE，CD1，CD的中点，
因为MK∥AD，NK∥DD1，
所以MK∥平面ADD1A1，NK∥平面ADD1A1．
而NK与MK相交，
所以平面MNK∥平面ADD1A1．
因为MN?平面MNK，所以MN∥平面ADD1A1．
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点，求证：平面EFGH∥平面ABCD.
易错警示
典例
4
应用定理条件不足，推理论证不严密致误
[错解] ∵E、F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB，
又EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD，
同理可证，HG∥平面ABCD.
又EF?平面
EG，HG?平面EG，
∴平面EFGH∥平面ABCD.
[错因分析] 错解中，EF与HG是平面EG内的两条平行直线，不是相交直线，不符合面面平行的判定定理的条件，因此证明不正确.
[正解] ∵E、F分别是AA1和BB1的中点，
∴EF∥AB，又EF?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD.
同理可证EH∥平面ABCD.
又EF?平面EG，EH?平面EG，EF∩EH＝E，
∴平面EFGH∥平面ABCD.
[误区警示] 利用面面平行的判定定理证明两个平面平行时，所满足的条件必须是明显或已经证明成立的，并且要与定理条件保持一致，否则容易导致错误.
【对点练习】? 如图所示，设E、F、E1、F1分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB、CD、A1B1、C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是
( )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
A
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
